Vollst¨andig polarisierte Systeme

Dieser Abschnitt besch¨aftigt sich mit vollst¨andig polarisierten Systemen. Jedes KS-Niveau ist mit einem Spin-down-Elektron besetzt. Somit ist die N-Teilchen-KS-Wellenfunktion eine Eigenfunktion des Gesamtspinoperators, f ¨ur die Teilchenzahl ergibt sich keine Einschr¨ankung hinsichtlich ihrer Parit¨at. W¨ahrend der Inversion der KS-Gleichungen, d.h. der iterativen Berechnung der XC-Potentiale, besteht keine M¨oglichkeit, Informationen ¨uber das XC-Potential f ¨ur die unbesetzte Spinrichtung zu gewinnen.¹⁸ Dieses Problem spielt aber bei der Extraktion der XC-Energiedichten in

¯h 0 ^Þ 3meV, 332meV, 35meV, 4meV, 45meV, 5meV, 55meV, 6meV, 65meV, 7meV, 75meV, 8meV, 85meV, 9meV, 10meV, 12meV, 14meV, 16meV, 18meV, 20meV, 25meV, 30meV, 35meV, 40meV, 45meV, 50meV, 55meV, 60meV, 65meV, 70meV, 75meV, 80meV, 85meV, 90meV, 95meV, 100meV

ABBILDUNG6.4:

AABBILDUNGBBILDUNG6.4:6.4: (a) und (b) stellen die ED-GZ-Dichten f ¨ur Systeme mit sechs und acht Elektronen den DFT-Ergebnissen mit verschiedenen Para-metrisierungen (ISI, AMGB, TC) gegen ¨uber.

N h¯^" h ED TC AMGB ISI

6 3meV 86.5177 meV 87.0216 meV 86.8146 meV 86.4520 meV 8 3meV 144.1706 meV 144.7258 meV 144.4365 meV 143.94578 meV 6 100meV 1690.1873 meV 1695.0288 meV 1694.2967 meV 1694.0850 meV 8 100meV 2712.4841 meV 2717.5142 meV 2716.5164 meV 2716.2468 meV

TABELLEVII:

TTABELLEABELLE VII:VII:GZ-Energien f ¨ur die SystemeN 6,S S_z 3,L 0 und N 8, S S_z 4, L 0 bei 3meV und 100meV Confinement-Potential.

Die Energien wurden mit ED bzw. DFT unter Verwendung der Parametri-sierungen TC, AMGB, ISI berechnet.

LDA keine Rolle, da in Gleichung (5.22) das XC-Potential der unbesetzten Spinrich-tung jeweils mit der entsprechenden Spindichte oder deren AbleiSpinrich-tung multipliziert wird und somit verschwindet.

Eine Sonderstellung als GZe nehmen Konfigurationen mit vollst¨andiger Polarisati-on und verschwindender Stromdichte ein. Gem¨aß den Spektren aus Kapitel 4 sollten sie nicht als GZe auftreten. Dennoch sind Situationen denkbar, wo solche Zust¨ande zu GZen werden. So berichten Mikhailov & Savostianova (2002¹¹³) bzw. Mikhailov (2002¹¹¹) von ¨Uberg¨angen zu vollst¨andig polarisierten GZen bei einer Abschw¨achung des externen Confinement-Potentials. Andererseits kann eine stark erh¨ohte Zeeman-Energie schon bei kleinen Magnetfeldern zu einem spin-polarisierten GZ f ¨uhren. Wir wollen an dieser Stelle die Konfigurationen N 6, S Sz 3, L 0 und N 8, S S_z 4, L 0 betrachten, die f ¨ur vollst¨andig polarisierte Systeme als GZe auf-treten.

In Abbildung 6.4 sind die GZ-Dichten f ¨ur Systeme mit N 6 und 8 Elektronen bei einem externen Potential der St¨arke 3meV gegen ¨ubergestellt. Die Struktur der Dich-ten ist gekennzeichnet durch ein Maximum im Dotzentrum und ein Zwischenmini-mum und ein ZwischenmaxiZwischenmini-mum mit wachsendem Radius. In den Extrema finden wir auch die gr¨oßten (absoluten) Abweichungen der ED-GZ-Dichten von den

F ¨urN^Þ 4, 5 und 7 existieren keine vollst¨andig polarisierten GZe mitL^Þ 0.

GZ-Dichten. Die einzelnen Parametrisierungen (TC, AMGB, ISI) unterscheiden sich hingegen nur marginal in den Dichten. Hinsichtlich der GZ-Energien liefert wie schon zuvor ISI den niedrigsten Wert im Vergleich mit den anderen Parametrisierungen (vgl.

Tabelle VII), der außerdem auch noch unter dem der ED liegt. Es kann nicht abschlie-ßend beurteilt werden, ob die ISI-GZ-Energie die beste Approximation darstellt, da die DFT-GZ-Energie keine obere Schranke f ¨ur die exakte GZ-Energie ist (vgl. Kapitel 2.1). Allerdings sind die Unterschiede im Vergleich zur ED so gering, daß sie in deren Fehlerbereich liegen. Wesentlicher sind die Abweichungen in den Dichten zwischen DFT und ED, die klar die Fehler in der ED ¨uberschreiten.

Abbildung 6.5 zeigt am Beispiel des Sechselektronen-Systems bei einem Confine-ment-Potential von 3meV die Inversion der KS-Gleichungen. Das extrahierte XC-Potential (gestrichelte Kurve in Abbildung 6.5(b)) reproduziert die Dichte aus der ED perfekt (vgl. Abbildung 6.5(a)). Im Vergleich zum TC-XC-Potential (graue, durchgezo-gene Kurve in (b)) sind das Potentialminimum und das Zwischenmaximum st¨arker ausgepr¨agt. Damit korrigiert es die Abweichungen zwischen ED und DFT in der GZ-Dichte, die wir in Abbildung 6.4(a) festgestellt haben. In (c) bzw. (d) sind die ex-trahierte XC-Energiedichte (schwarz, gestrichelt) und die TC-XC-Energiedichte (grau, durchgezogen) gegen den Radiusr bzw. gegen den Dichteparameter r_S aufgetragen.

Die Struktur von Dichte und Potential, die durch drei Extrema gekennzeichnet ist, spiegelt sich auch in der extrahierten XC-Energiedichte wider (vgl. (d) und (e)). Die Abweichungen der ^, _XC-Werte beim selben r_S sind wie zuvor auf nicht-lokale Effekte zur ¨uckzuf ¨uhren.

In Abbildung 6.6(a) bzw. (b) sind die Resultate f ¨ur die extrahierten XC-Energiedichten bei verschiedenen Confinement-Potentialen f ¨ur sechs bzw. acht Elektronen zusammengefaßt. Wie im Fall der stromlosen, unpolarisierten Systeme sehen wir eine relativ gute ¨Ubereinstimmung der Einh ¨ullenden mit den Referenz-parametrisierungen TC, AMGB, ISI. Die Abweichungen der ^, XC-Werte bei großen Dichteparametern sind wiederum eine Folge der (nicht exakten) Darstellung der Dich-te im Regime der exponentiell abfallenden Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Rand.

In den Abbildungen (c) und (d) konzentrieren wir uns erneut auf XC-Energiedichten aus den Extrema der Dichte. Sowohl f ¨ur sechs (c) als auch acht (d) Teilchen finden wir Abweichungen von den Referenzparametrisierungen TC, AMGB und ISI zu niedrigeren XC-Energiedichten. In Abbildung (e) sind die Ergebnisse f ¨ur sechs und acht Elektronen zusammen dargestellt. Diese Form der Auftragung ist ein wichtiger Test, um die Konsistenz der extrahierten ^, _XC-Werte zu pr ¨ufen. Obwohl sie f ¨ur kleine rS-Werte nur gr¨oßenordnungsweise ¨ubereinstimmen, l¨aßt sich aus (e) eine klare Tendenz zu niedrigeren XC-Energiedichten schlußfolgern. Diese w ¨urden auch insbesondere die f ¨ur große Confinement-Potentiale charakteristische ¨Ubersch¨atzung der GZ-Energie durch die DFT verhindern (vgl. Tabelle VII f ¨ur 100meV).

F ¨ur die ED wurden 58739 (N^Þ 6) bzw. 149996 (N^Þ 8) Slater-Determinanten verwendet.

Bei gr¨oßerem Confinement liefert die ED wieder die niedrigsten Energien (vgl. Tabelle VII).

Die Struktur der dargestellten Gr¨oßen ist f ¨ur acht Elektronen qualitativ gleich.

3meV, 4meV, 5meV, 6meV, 7meV, 8meV, 9meV, 10meV, 20meV, 30meV, 40meV, 50meV, 60meV, 70meV, 80meV, 90meV, 100meV

ABBILDUNG6.5:

AABBILDUNGBBILDUNG6.5:6.5:Diese Abbildung zeigt die Inversion der KS-Gleichungen f ¨ur ein System von sechs Elektronen mit einem Confinement-Potential von 3meV. Das XC-Potential (schwarze, gestrichelte Linie) in (b) reproduziert das Dichteprofil der ED (graue, durchgezogene Linie in (a)). In (b) ist zum Vergleich das TC-XC-Potential in einer grauen, durchgezogenen Linie dar-gestellt. (c) zeigt die TC-XC-Energiedichte (grau, durchgezogen) versus extrahierter XC-Energiedichte (schwarz, gestrichelt). In (d) sind dieselben Gr¨oßen wie in (c) zu sehen, aber entsprechend gegen den Dichteparame-ter r_S aufgetragen. (e) zeigt die redundante Struktur der extrahierten XC-Energiedichte zwischen den Dichteextrema. F ¨ur acht Elektronen verhalten sich die entsprechenden Gr¨oßen qualitativ gleich.

ABBILDUNG6.6:

ABBILDUNG6.6:

ABBILDUNG6.6: Die Abbildung zeigt extrahierte XC-Energiedichten f ¨ur sechs ((a) und (c)) und acht Elektronen ((b) und (d)), die gegen den Dich-teparameter aufgetragen sind, zusammen mit Referenzkurven (ISI, AMGB, TC). In (c), (d) und (e) sind jeweils die Differenzen zur TC-Parametrisierung dargestellt. Die Ergebnisse f ¨ur sechs bzw. acht Teilchen der Teilabbildungen (c) bzw. (d) sind in (e) zusammengefaßt.