5. Methoden zur Extraktion von Austausch-Korrelations-Energiedichten 87
5.2 Methode
5.2.2 Austausch-Korrelations-Energiedichten in lokaler Dichten¨aherung 92
In diesem Abschnitt wenden wir uns der Extraktion von XC-Energiedichten aus den exakten XC-Potentialen zu. Der allgemeine Zusammenhang zwischen XC-Funktional und XC-Potential ist durch die Gleichungen (2.35) und (2.36) gegeben
eAXC(r) 1
In Kapitel 6 werden wir feststellen, daß die Methode zwar zu konvergenten Ergebnissen f ¨uhrt, aber dennoch nicht optimal ist.
Nach Berechnung der XC-Energie ist die Konstante bekannt und das XC-Potential k¨onnte entspre-chend geeicht werden (vgl. Abschnitt 5.2.2).
ABBILDUNG5.1:
AABBILDUNGBBILDUNG5.1:5.1: Die Abbildung zeigt eine Testrechnung f ¨ur ein unpo-larisiertes System von sechs Elektronen in einem Quantendot mit 3meV Confinement-Potential und beiB 0. In (a) sind die GZ-Dichten und in (b) die XC-Potentiale dargestellt. Graue, durchgezogene Linien bezeichnen die Ergebnisse der urspr ¨unglichen DFT/LDA-Rechnung, schwarze, gestrichelte Linien sind Resultate des Extraktionsschemas.
Allerdings erlaubt diese Form aufgrund der Unkenntnis der Funktionale nicht, eine Verbindung zwischen XC-Energie und XC-Potentialen zu konstruieren. Erst die LVS-DA (2.38)
EXC[ni % v]¾
drn(r), XC(ni (r)% v(r)) (5.15)
verkn ¨upft XC-Energiedichten und -Potentiale (n¨aherungsweise) miteinander eAXCK
Die obigen Gleichungen werden nach den Ableitungen der XC-Energie bez ¨uglich der Spindichten und der Vortizit¨at aufgel¨ost
2 , XC
Dabei nehmen wir f ¨ur das Integral die (physikalische) Randbedingung
rlim
an. Anschließend werden die Ergebnisse der Gleichungen (5.18) und (5.19) in die Ab-leitung der XC-Energiedichte nach dem Radiusr eingesetzt
2 , XC(r)
Nach einigen Umformungen liegt eine inhomogene lineare Differentialgleichung
mit der Inhomogenit¨at I(r) 1
vor, die die gesamte Information ¨uber die Spindichte- und Vortizit¨atsabh¨angigkeit enth¨alt. Die L¨osung der homogenen DGL
2 , XC(r)
gegeben. Eine spezielle L¨osung der DGL k¨onnen wir mit Hilfe der Variation der Kon-stanten (z.B. Referenz84) unter Verwendung des Ansatzes
,
spezXC (r) (r)$ n(r) (5.26)
berechnen. F ¨ur die Funktion (r) erhalten wir eine elementare DGL
2
2
r(r) n(r)I(r), (5.27)
die durch Separation der Variablen gel¨ost werden kann
(r)
Dann lautet die allgemeine L¨osung der DGL (5.22)
, XC(r) , homXC (r)&Ä, spezXC (r)
An dieser Stelle ber ¨ucksichtigen wir in Form der Konstanten c , daß die skalaren XC-Potentiale noch nicht geeicht sind (vgl. Paragraph 5.2.1).
Nach R ¨ucksubstitution der Inhomogenit¨at erhalten wir Da der Betrag der XC-Energie
CEXC[ni % v]CL¾
drn(r)Cl, XC(r)Cu N (5.32)
in LVSDA endlich sein muß, w¨ahlen wir die Konstante Q so, daß Q (0) ni (0)∑i ci 0 gilt, und vermeiden dadurch divergente Beitr¨age; oder anders ausge-dr ¨uckt: Der Freiheitsgrad Q der L¨osung der DGL (5.22) wird durch die Forderung einer endlichen XC-Energie in lokaler Dichten¨aherung eindeutig bestimmt. Somit erhalten wir als analytische L¨osung von (5.22)
, XC(r)
∑
Es bleiben noch die Eichkonstanten ci der skalaren Potentiale zu berechnen. Ei-ne weitere bisher ungenutzte Randbedingung ist die ¨Ubereinstimmung der DFT-GZ-Energie mit der exakten GZ-DFT-GZ-Energie. Dazu eliminieren wirVXCKi (r) undAXC(r) aus der DFT-GZ-Energie (2.31) und schreiben sie in der modifizierten FormEGZ
∑
Daraus k¨onnen wir die XC-EnergieEXC[ni % v] f ¨ur die GZ-Dichten exakt(!) extrahieren, da alle anderen Gr¨oßen bekannt sind: Die KS-Wellenfunktionen sind durch die selbst-konsistente L¨osung der KS-Gleichungen gegeben (vgl. 5.2.1). Damit k¨onnen dieErwar-tungswerte¡ dr
3
ji (r) 0
2m1¨ (p& eA(r))2& Vi (r)1
3
ji (r) des nicht-wechselwirkenden Sy-stems berechnet werden. Die Coulomb-Energie und GZ-Energie sind durch das exakte System eindeutig bestimmt. Andererseits gilt f ¨ur die XC-Energie (5.33) in LVSDA
EXC[ni % v]¾
woraus ∑i ci Ni bestimmbar ist. In zwei F¨allen f ¨uhrt diese Nebenbedingung auch zu eindeutigen Ergebnissen: F ¨ur unpolarisierte Systeme gilt c : cy cz und damit
∑i ci Ni cN. Bei vollst¨andiger Polarisation ist dagegen das ci der unbesetzten Spin-richtung irrelevant, da das entsprechende Ni 0 ist. Komplizierter ist die Situation im Falle von partieller Polarisation, weil dann eine weitere Randbedingung zur ein-deutigen L¨osung notwendig ist (vgl. Abschnitt 6.1.3).
Als Beispiel betrachten wir wiederum ein System mit sechs Elektronen und Confi-nement 3meV, aber jetzt liegt ein Magnetfeld von 3T an ( ¯h" h 39645meV). Unter diesen Umst¨anden ist der GZ ein vollst¨andig polarisiertes 1-QHD (vgl. Abbildung 3.1) mit Drehimpuls L 15, der auch zu einer endlichen paramagnetischen Strom-dichte f ¨uhrt. Wir berechneten den GZ mit Hilfe der CSDFT/LVSDA. Allerdings gibt es, wie in Abschnitt 2.3 erw¨ahnt, keine Parametrisierung der XC-Energiedichte als Funk-tion von (rs%ÇÁE% v), sondern nur von (rs%ÇÁE% f) (2.62). Da der lokale F ¨ullfaktor f 1$ CvC indirekt proportional zum Betrag der Vortizit¨at ist, involviert die Koordinatentransfor-mation der XC-Energiedichte von (rs%ÇÁE% v) zu (rs%ÇÁE% f) Divergenzen und Unstetigkeiten im XC-Vektorpotential an Stellen mitv 0. In CSDFT-Rechnungen wird es deshalb an den kritischen Stellen entsprechend gegl¨attet.85 Der Einfluß dieser Effekte auf Dichten und Energien ist aber im Normalfall vernachl¨assigbar, da sie ¨ublicherweise am Rand in Bereichen mit niedriger Dichte auftreten. F ¨ur unsere Testrechnungen ist eine Pa-rametrisierung als Funktion von (rs%ÇÁE% f) allerdings ungeeignet. Deshalb verwenden wir an dieser Stelle eine rein fiktive, unphysikalische Parametrisierung f ¨ur die XC-Energiedichte
, XC(rs%ÇÁE% v) , TestXC(rs% v)&Ä, TCXC(rs%ÇÁ ) (5.36)
mit
,
TestXC (rs% v) e rs v2, (5.37)
die aber unseren Zwecken vollauf gen ¨ugt. Abbildung 5.2 zeigt die Ergebnisse der CSDFT-Rechnung. In (a), (b) und (c) sind die GZ-Dichte, die paramagnetische Strom-dichte und die Vortizit¨at dargestellt, in (d) bzw. (e) sind die Graphen des skalaren XC-Potentials bzw. des XC-Vektorpotentials abgebildet. Nach L¨osung der DGL (5.22) fin-den wir eine XC-Energiedichte als Funktion des Radius (schwarze, gestrichelte Linie in Abbildung 5.2(f)), die exakt der urspr ¨unglichen Parametrisierung entspricht (graue,
ABBILDUNG5.2:
AABBILDUNGBBILDUNG5.2:5.2: Die Abbildung zeigt eine Testrechnung f ¨ur ein unpo-larisiertes System von sechs Elektronen in einem Quantendot mit 3meV Confinement-Potential und bei B 3T. (a) zeigt die GZ-Dichte, (b) die pa-ramagnetische Stromdichte, (c) die Vortizit¨at, (d) das skalare XC-Potential, (e) das XC-Vektorpotential und (f) die XC-Energiedichte. In (f) kenn-zeichnet die graue, durchgezogene Linie das Ergebnis der urspr ¨unglichen CSDFT/LVSDA-Rechnung; die schwarze, gestrichelte Linie ist das Resultat der DGL (5.33).
durchgezogene Linie), was eindrucksvoll die Selbstkonsistenz des Extraktionsverfah-rens demonstriert.
Als Ergebnis der Invertierung des LVSDA-Formalismus erhalten wir eine XC-Energiedichte als Funktion des Radius. Da auch Spindichten und Vortizit¨at in Abh¨angigkeit von r bekannt sind, kann r eliminiert werden, wodurch wir zu der gewohnten Darstellung der XC-Energiedichte als Funktion von (rS%ÇÁE% v) gelangen. Wie schon mehrfach betont wurde, geht in die obige Rechnung die lokale Dichten¨aherung ein. Als Konsequenz dieser Approximation ist die Interpretation der XC-Energien als Gr¨oßen homogener Systeme nicht in allen Dichtebereichen korrekt, da nicht-lokale Effekte im Formalismus unber ¨ucksichtigt bleiben. Dieser Aspekt findet bei der Interpretation der Ergebnisse im folgenden Kapitel besondere Beachtung.
5.3 Klassifizierung der Systeme
Im folgenden werden wir die zu untersuchenden Systeme nach zwei verschiedenen Kriterien unterscheiden: Ein Aspekt ist der Polarisationsgrad des Systems, der in die Kategorien unpolarisiert, teilweise polarisiert und vollst¨andig polarisiert eingeteilt ist.
Andererseits spielt die paramagnetische Stromdichte eine wichtige Rolle. Sie ver-schwindet nur f ¨ur GZe mit L 0, bei GZen mit endlichem Drehimpuls tr¨agt sie via Vortizit¨at zu XC-Effekten bei.