Exakte Diagonalisierung in beliebigen Magnetfeldern

n ^r , bestehend aus M verschiedenen Tupeln (n

= % n )

vor. Aufgrund des Pauli-Prinzips gilt

N^$ 2 ^þ max0 N^{y %} N^{z 1 þ} M ^þ N (4.2)

Damit haben wirN MSinguletts^sut ,M N^z ungepaarte Spin-^s -Elektronen undM N^y ungepaarte Spin-^t -Elektronen. Die Verteilung der Singuletts ist durch das Pauli-Prinzip bestimmt, und die Zahl der Quantenzahlen, die f ¨ur die ungepaarten Spins zur Verf ¨ugung steht, ist M (N M). Somit erhalten wir die Blockgr¨oße aus der Verteilung vonM (N M) Quantenzahlen auf die ungepaarten Spins^s und ^t

Blockgr¨oße

In Tabelle IV ist die Zerlegung in Eigenzust¨ande von ˆS²f ¨ur ein Sechselektronen-System als Funktion vonMundSzaufgef ¨uhrt. Es stellt sich außerdem heraus, daß die Bl¨ocke f ¨ur die bei der ED relevanten Elektronenzahlen ziemlich klein sind. Z.B. ist die maxi-male Blockgr¨oße 252 f ¨urN 10 beiM 10,Sz 0 noch innerhalb eines vern ¨unftigen Rahmens. Außerdem muß die Diagonalisierung f ¨ur jeden Wert vonMnur einmal aus-gef ¨uhrt werden unabh¨angig vom speziellen Muster ^o n

= % n ^r . Damit k¨onnen wir z.B.

die effektive Matrixgr¨oße f ¨urN 6,Sz 0 von 326120 Slater-Determinanten auf 92410 f ¨urS 0, 152460 f ¨ur S 1, 70711 f ¨urS 2 und 10539 f ¨ur S 3 reduzieren.

4.2 Exakte Diagonalisierung in beliebigen Magnetfeldern

Abbildung 4.1 zeigt die Struktur des Programms f ¨ur ED in beliebigen Magnet-feldern. Wir beginnen mit einer großz ¨ugig dimensionierten FD-Einteilchen-Basis (nmax mmax 16). Die zugeh¨origen Coulomb-Matrixelemente liegen in einer se-paraten Datei gespeichert mit hoher Genauigkeit vor (vgl. Anhang A). Ausgehend

Bei Drehimpulsen und Spins verzichten wir auf die Angabe von ¯h.

ABBILDUNG 4.1:Konzept f¨ur die ED mit Gesamtspin als guter Quantenzahl.

von der Einteilchen-Basis wird f ¨ur ein N-Elektronen-System mit Drehimpuls L und Spin S_z eine Vielteilchen-Basis aus Slater-Determinanten berechnet, die eine Scha-lenstruktur mit hohen Entartungen aufweist. Ein Parameter bestimmt die maximale Zahl der in der ED verwendeten Slater-Determinanten; nicht-volle Schalen werden nicht ber ¨ucksichtigt.

Zus¨atzlich garantiert die Schalenstruktur die Vollst¨andigkeit der Bl¨ocke f ¨ur die n

=

n -Muster, aus denen die Linearkombinationen des Gesamtspinoperators zum zugeh¨origen Eigenwert S berechnet werden. Nach Abschluß der Vorbereitungen ist es m¨oglich, die Hamiltonian-Matrix des Systems in dem durch die Quantenzahlen L, Sz und S definierten Unterraum zu erzeugen. Die Matrix ist d ¨unn besetzt, was eine Abspeicherung in komprimierter Form nahelegt.

Im folgenden Schritt wird das Eigenwertproblem mit Hilfe eines iterativen Schemas f ¨ur die energetisch niedrigsten Zust¨ande gel¨ost. Die nun vorliegenden Eigenenergien und Eigenfunktionen sind Grundlage f ¨ur die Berechnung von Erwartungswerten wie Dichten, Stromdichten, etc.

4.2.1 Ergebnisse

In diesem Abschnitt pr¨asentieren wir Ergebnisse f ¨ur die GZe von 4, 5 und 6 Elek-tronen in einem Confinement-Potential von 3meV und in Magnetfeldern zwischen 0 und 3T. Dieses Regime beschreibt den ¨Ubergang vom Droplet ohne Magnetfeld zum 2-QHD und dessen Rekonstruktion zum vollst¨andig spin-polarisierten^î 1-Droplet. Alle Rechnungen wurden mit GaAs-Parametern (^, 124, m 0069me) durchgef ¨uhrt. Bei Endergebnissen wurde auch die GaAs-Zeeman-Energie (g 044) ber ¨ucksichtigt.

Zun¨achst wollen wir die Genauigkeit der ED im Vergleich mit der von QMC- oder dazu ¨aquivalenten Rechnungen betrachten. In Tabelle V sind die in der Literatur erh¨altlichen GZ-Energien zusammen mit denen aus der ED aufgef ¨uhrt. F ¨ur 5, 6 und

N (L^% S) EQMC[meV] ESVM[meV] EED[meV] rel. Fehler der ED

TTABELLEABELLE V:V:Vergleich von GZ-Energien f ¨urN 4, 5, 6, 7, 8 der Unterr¨aume (L^Í S) bei ¯h^Y ₀ 332meV. QMC-Energien sind aus Referenz¹²⁴, Stochastic-variational-method-Energien aus Referenz¹⁶⁰. In ¨Ubereinstimmung mit Re-ferenz¹⁶⁰ finden wir keine Verletzung der Hundschen Regel f ¨ur vier Elek-tronen. Die Diskrepanzen f ¨ur acht Elektronen werden im Text diskutiert.

7 Elektronen stimmen alle drei Methoden (QMC¹²⁴, SVM¹⁶⁰, ED) gut ¨uberein. Dis-krepanzen treten allerdings bei vier und acht Elektronen auf. F ¨ur vier Teilchen finden Pederiva et al. (2000¹²⁴) im Gegensatz zu Varga et al. (2001¹⁶⁰) und ED eine Verlet-zung der Hundschen Regel, d.h. der GZ ist trotz halb gef ¨ullter Schale unpolarisiert.

Abweichungen von der Hundschen Regel f ¨ur N 4 sind aber auch schon in fr ¨uhe-ren QMC-Rechnungen¹³ dokumentiert. Dagegen weisen experimentelle Arbeiten^8,154 wie auch verschiedene theoretische Ans¨atze (SDFT/LSDA⁸⁶, SVM¹⁶⁰, ED) auf deren G ¨ultigkeit hin.

F ¨ur N 8 tritt ein ¨ahnlich geartetes Problem beim Vergleich von QMC und ED auf. Die beiden Methoden stimmen zwar darin ¨uberein, daß die Hundsche Regel gilt, aber mit Ausnahme der Konfiguration (L^% S) (0^% 0) sind die relativen Fehler signifi-kant gr¨oßer. Außerdem finden wir eine unterschiedliche Reihenfolge der angeregten Zust¨ande. Um dieses Ph¨anomen genauer zu untersuchen, wurde ein Konvergenztest f ¨ur die ED-GZ-Energien als Funktion der Abschneideenergie f ¨ur die Vielteilchen-Basis durchgef ¨uhrt, dessen Ergebnis in Abbildung 4.2 zu sehen ist. Abbildung 4.2 zeigt deutlich, daß gem¨aß ED keine Niveaukreuzung zwischen angeregten Zust¨anden zu erwarten ist; die Energiedifferenzen bleiben stabil. Eine Ausnahme bilden die (in ED) quasi-entarteten Zust¨ande (L^% S) 0^% 0 und ( 4^% 0), deren Reihenfolge nicht endg ¨ultig bestimmt werden kann. Wir weisen aber darauf hin, daß dieselben Zust¨ande in QMC keine Quasientartung zeigen. Ferner erlaubt eine qualitative ¨Uberlegung auf der Basis eines effektiven Einteilchen-Bildes (Abbildung 4.3) die energetische Reihenfolge aus der ED zu verstehen. Wir ber ¨ucksichtigen dabei im wesentlichen Austauscheffekte durch parallele Spins und eine Absenkung von Zust¨anden derselben Schale mit be-tragsm¨aßig wachsendem Drehimpuls, also die entscheidenden Elemente, die auch zur

F ¨ur SVM liegen keine Werte f ¨urN 6 vor.

ABBILDUNG4.2:

ABBILDUNG4.2:

ABBILDUNG4.2: Konvergenztest f ¨ur ein System mit acht Elektronen als Funktion der Abschneideenergie f ¨ur die Vielteilchen-Basis. In (a) sind die ED-Energien im Vergleich mit den QMC-Energien¹²⁴ abgebildet. (b) zeigt die Energiedifferenzen der angeregten Zust¨ande zur GZ-Energie. Auf der Abszisse sind die Abschneideenergien f ¨ur die Vielteilchen-Basis aufgetra-gen. 1, 2, 3, 4 bedeuten E_cutoff 19 ¯h^Y ₀, 21 ¯h^Y ₀, 23 ¯h^Y ₀, 25 ¯h^Y ₀ bzw. eine Zahl von ca. 23000, 96000, 355000, 1160000 Slater-Determinanten.

Hundschen Regel f ¨uhren. Dabei ist eine Ausrichtung der Spins energetisch vorteilhaf-ter als eine Besetzung von Zust¨anden mit betragsm¨aßig großem Drehimpuls. Damit erhalten wir die niedrigste Energie f ¨ur (b) (L^% S) (0^% 1), da sowohl die Spins parallel sind wie auch die energetisch g ¨unstigen Zust¨ande mit Drehimpuls ⁾ 2 besetzt sind.

Die zweitbeste Konfiguration (c) (L^% S) (⁾ 2^% 1) hat ebenfalls ausgerichtete Spins, al-lerdings ist jetzt ein Zustand mit Drehimpuls 0 besetzt. Als n¨achstes folgen die beiden quasientarteten Zust¨ande (d) (L^% S) (0^% 0) und (f) (L^% S) (⁾ 4^% 0). Jetzt kann die GZ-Energie nicht mehr durch parallele Spins gesenkt werden, sondern nur durch Vermei-dung von Zust¨anden mit Drehimpuls 0. Deshalb sind die beiden zuletzt genannten Konfigurationen gegen ¨uber (e) (L^% S) (⁾ 2^% 0) abgesenkt. Insbesondere die energe-tische Anordnung der S 0 Zust¨ande in QMC erscheint vor dem Hintergrund der genannten Aspekte problematisch. Die Zuverl¨assigkeit der QMC-Ergebnisse f ¨ur acht Elektronen darf wie im Fall der Verletzung der Hundschen Regel f ¨urN 4 angezwei-felt werden. Ein weiteres Indiz ist der relative Fehler der GZ-Energien im Vergleich von QMC und ED, der f ¨ur alle Konfigurationen gleichm¨aßig ansteigen sollte, aber bei der Konfiguration (L^% S) (0^% 0) in der gleichen Gr¨oßenordnung wie bei den niedrige-ren Elektronenzahlen liegt.

Das Ziel der ED-Rechnungen war eine m¨oglichst hohe Genauigkeit f ¨ur GZ-Energien und GZ- ¨Uberg¨ange. Das zugrunde liegende Konzept soll anhand des BeispielsN 6 illustriert werden: Zun¨achst werden alle Unterr¨aume zu S 0, 1, 2, 3 separat behan-delt. In jedem Unterraum berechnen wir die GZ-Energien f ¨ur die Drehimpulse von L^{ó X} 1 2 17 bis 0 im ganzen Magnetfeldintervall mit mittlerer Genauigkeit, d.h. ca.

60000 Slater-Determinanten beiS_z 0. Abbildung 4.4(a) zeigt das Ergebnis zuS 0.

Alle Drehimpulse in Abbildung 4.4(a) sind m¨ogliche GZ-Kandidaten, da sie in einem

Beachte: Im UnterraumSz^Þ 0 sind alle Unterr¨aume mitS^Þ 0, 1, 2, 3 enthalten.

ABBILDUNG4.3:

AABBILDUNGBBILDUNG4.3:4.3:Effektives Einteilchen-Bild f ¨ur verschiedene Konfiguratio-nen eines Systems mit acht ElektroKonfiguratio-nen. Einteilchen-Zust¨ande aus derselben Schale, aber mit betragsm¨aßig wachsendem Drehimpuls liegen energetisch g ¨unstiger. Im Falle von Zust¨anden mit List die Konfiguration mit negati-vem Drehimpuls dargestellt.

Intervall GZ sind oder in dessen unmittelbarer N¨ahe liegen. F ¨ur diese Zust¨ande wie-derholen wir die ED mit erh¨ohter Genauigkeit unter Verwendung von bis zu 300000 Slater-Determinanten f ¨ur vier Elektronen und bis zu 400000 f ¨ur f ¨unf und sechs Elek-tronen. Die verbesserte Rechnung f ¨urN 6, S 0 ist in Abbildung 4.4(b) dargestellt.

Als Resultat erhalten wir GZ-Energien in allen S-Unterr¨aumen f ¨ur 4 (vgl. Abbil-dung 4.5(a)), 5 (vgl. AbbilAbbil-dung 4.5(b)) und 6 (vgl. AbbilAbbil-dung 4.5(c)) Elektronen. Auf-grund der hohen Genauigkeit ist es z.B. auch m¨oglich, die korrelationsdominierten Phasen ¨uberg¨ange der Rekonstruktion des ^Ð 2-QHDs zum ^Ð 1-QHD aufzul¨osen (Abbildung 4.5).¹⁷³ Dieser Prozeß vollzieht sich in einer Abfolge von Zust¨anden mit abnehmendem Drehimpuls. Im Gegensatz zum Drehimpuls zeigt jedoch der Spin kei-ne monotokei-ne Abh¨angigkeit.¹⁷³ Eine weitere wichtige Anwendung der ED-Methode im Rahmen dieser Arbeit ist nat ¨urlich die Berechnung von Referenzgr¨oßen f ¨ur die GZ-Energien und -dichten in Kapitel 6 zur Extraktion von XC-GZ-Energien.