Sobolevr¨aume

Da unicht differenzierbar ist, k ¨onnen Grenzwerte von Folgen von H also aus dem Raum hinausf ¨uhren. Damit kann der Darstellungssatz von Riesz nicht angewendet wer-den. Gibt es einen Ausweg aus diesem Problem? Ja, er besteht darin, den Funktionen-raum zu ¨andern. Eine Idee lautet, den RaumHbez ¨uglich seiner Norm zu vervollst¨andi-gen, d.h. den RaumHzu betrachten, wobei der Abschluss bez ¨uglich der oben definier-ten Norm zu verstehen ist. Solche vervollst¨andigdefinier-ten R¨aume heißen Sobolevr¨aume. Wir untersuchen sie im folgenden Abschnitt genauer, bevor wir uns der L ¨osung des Pro-blems (5.3) zuwenden.

5.2 Sobolevr¨ aume

Wir definieren in diesem Abschnitt Sobolevr¨aume, die f ¨ur die schwache L ¨osbarkeit el-liptischer Differentialgleichungen essentiell sind, und notieren einige ihrer wichtigsten Eigenschaften. Die Beweise aller Eigenschaften w ¨urde den Rahmen dieses Manuskripts sprengen, und wir m ¨ussen f ¨ur Details auf die Literatur ¨uber Sobolevr¨aume verweisen;

siehe z.B. Adams [1] oder Troianiello [13].

Es sei im FolgendenΩ⊂^Rneine offene Menge undk∈ ^N0. Wir definieren auf dem VektorraumC^∞(^Ω)das Skalarprodukt

(u,v)_Hk =

∑

Ferner definieren wir (siehe Alt, 1.25 [2]):

Definition 5.3. Sei Ω ⊂ ^Rn offen. Der Abschluss von X = {^u ∈ ^C∞(^Ω) : k^uk_H^k₍Ω) <

∞}bez ¨uglich der Normk · k_H^k₍Ω)ist derSobolevraumH^k(^Ω). Der Abschluss von C₀^∞(^Ω) bez ¨uglich der Normk · k_H^k(^Ω) ist derSobolevraumH₀^k(^Ω). Wir schreiben:

H^k(^Ω) = X, H₀^k(^Ω) =C₀^∞(^Ω).

Die R¨aume H^k(^Ω) und H₀^k(^Ω) sind Hilbertr¨aume. Wir setzen H⁰(^Ω) = L²(^Ω). Gem¨aß Definition kann eine Funktion u aus H^k(^Ω) (bzw. H₀^k(^Ω)) durch Funktionen u_nausC^∞(^Ω)∩^Hk(^Ω)(bzw.C₀^∞(^Ω)) approximiert werden,

nlim→^∞k^un−^uk_H^k(Ω) =0.

Die obige Definition vermeidet das am Ende des vorigen Abschnitts erw¨ahnte Pro-blem der Nicht-Vollst¨andigkeit, aber sie hat den Nachteil, dass sie eher abstrakt ist. Wir k ¨onnen allerdings auch eine andere Charakterisierung des SobolevraumsH^k(^Ω)geben.

Satz 5.4 (Charakterisierung von Sobolevfunktionen). SeiΩ ⊂^Rn offen. Dann gilt H^k(^Ω) = {^u∈ ^L2(^Ω) : D^αu∈ ^L2(^Ω)f ¨ur alle|^α| ≤ ^k}^,

wobei D^αu∈ D^′(^Ω)die distributionelle Ableitung von u ist.

Beweisskizze. Der Beweis basiert auf folgender Idee: SeiZ ={^u ∈ ^L2(^Ω) : D^αu∈ ^L2(^Ω),

|^α| ≤ ^k} und definiere die Abbildung J : H^k(^Ω) → ^L2(^Ω)durch J(u) = u, wobeiu = L²- lim_n→∞u_nund(u_n)eine Cauchyfolge inC^∞(^Ω)sind. Wegen der ¨Aquivalenzrelation in H^k(^Ω) ist J injektiv und nach der Definition der Norm in H^k(^Ω) normerhaltend.

Man kann außerdem mit Hilfe der Faltung zeigen, daß Jsurjektiv aufZist. F ¨ur Details verweisen wir auf [2], Abschnitt 1.25. Folglich ist J : H^k(^Ω) → ^Z bijektiv. Daher ist Z vollst¨andig und wir k ¨onnenZmitH^k(^Ω)identifizieren.

Da L²-Funktionen nur fast ¨uberall (d.h. bis auf Nullmengen) definiert sind, besteht H^k(^Ω)eigentlich aus ¨Aquivalenzklassen von Funktionen, die bis auf Nullmengen ¨uber-einstimmen. In diesem Sinne giltu =vin H^k(^Ω), wennu(x) = v(x)f ¨ur allex ∈ ^Ω\^N und N⊂^Ωeine Nullmenge ist.

Beispiel 5.5. (i) Die Funktion u(x) = |^x| ist ein Element aus H¹(−^{1, 1}), denn die distributionelle Ableitungu^′, gegeben durchu^′(x) = −^{1 f ¨urx} <_{0 undu}^′(x) =1 f ¨ur x >_{0, istL}²-integrierbar. Die zweite Ableitung vonulautet dagegenu^′′ =2δ₀, denn

5.2 Sobolevr¨aume 63 unstetigen Funktion ausH¹. f ¨ur alleφ∈ D(−^{1, 1})folgt

Dieses Beispiel zeigt, dass Funktionen aus H¹nicht stetig (fortsetzbar) sein m ¨ussen.

(iii) Die Funktion u(x) = sin(ln(1+1/|^x|)) mit x ∈ ^B1(0) ⊂ ^R3 ist beschr¨ankt (im Gegensatz zum Beispiel in (ii)) und ein Element vonH¹(B₁(0)), aber an der Stelle

x =0 nicht stetig (siehe Abbildung 5.2).

Wie k ¨onnen wir uns Funktionen aus H₀¹(^Ω) vorstellen? Da sie durch Funktionen aus C₀^∞(^Ω), die samt allen Ableitungen auf ∂Ω verschwinden, approximiert werden, k ¨onnen wir vermuten, dass auch Funktionen ausH₀¹(^Ω)auf∂Ωgleich null sind,

u∈ ^H₀¹(^Ω), wenn u∈ ^H1(^Ω)und “u=0 auf∂Ω”.

Allerdings haben wir in dem obigen Beispiel gezeigt, dass Sobolevfunktionen nicht ste-tig sein m ¨ussen, also i.a. auf ∂Ω nicht punktweise definiert sind. In welchem Sinn ist dann die Aussage “u = 0 auf ∂Ω” zu verstehen? Dazu ben ¨otigen wir die Spur einer Funktion.

Satz 5.6 (Spur von Sobolevfunktionen). Sei Ω ⊂ ^Rn eine offene, beschr¨ankte Menge mit ∂Ω ∈ ^C1. Dann existiert ein beschr¨ankter linearer Operator, genannt die Spur (engl.:

trace), T: H¹(^Ω) → ^L2(∂Ω)mit der Eigenschaft

T(u) =u|∂Ω f ¨ur alle u ∈ ^H1(^Ω)∩^C0(^Ω).

Abbildung 5.3: Illustration f ¨ur den Beweis von Satz 5.6. Die hellblaue Fl¨ache be-schreibtB⁺, die fette schwarze Linie istΓ.

Beweisskizze. Wir nehmen zun¨achst an, dassu ∈ ^C1(^Ω) und dass∂Ωin der N¨ahe eines Randpunktes x₀“gegl¨attet” ist, also in der Menge{^xn =0}liegt. Wir wollenTu :=u|^Γ auf Γ definieren und m ¨ussen daher zeigen, dass k^Tuk_L²(^Γ) = k^uk_L²(^Γ) ≤ ^Ck^uk_H¹(^Ω)

gilt. Sei B_r(x₀) eine Kugel um x₀ mit Radius r > _{0 und sei ξ} ∈ ^C∞₀ (B_r(x₀)) mit ξ ≥ ⁰ und ξ = 1 in B_r/2(x₀). Seien weiterΓ = ∂Ω∩^Br/2(x₀) und B⁺ = B_r(x₀)∩ {^xn > ₀} (Abbildung 5.3). Dann ist

Z

Γu²ds ≤ Z

{xn=0}ξu²ds =− Z

B⁺

∂

∂x_n(ξ|^u|²)dx (denn ξ =0 auf∂B⁺\{^xn =0}⁾

=− Z

B⁺

∂ξ

∂x_nu²+2ξu ∂u

∂x_n

dx≤^C Z

B⁺

u²+ ^∂u

∂x_n 2

dx≤^Ck^uk²_H1(^Ω). Im vorletzten Schritt haben wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf u(∂u/∂x_n) an-gewendet undξbzw.∂ξ/∂x_n durchL^∞-Normen abgesch¨atzt. F ¨ur den allgemeinen Fall zerlegt man∂Ωin endlich viele Teilmengen, die in der N¨ahe eines Randpunktes “gegl¨at-tet” werden und definiertTu:=u|∂Ω. Die obige Rechnung motiviert die Beschr¨anktheit vonT:

k^Tuk_L²(∂Ω) ≤^Ck^uk_H¹₍Ω).

Schließlich seien u ∈ ^H1(^Ω) und (u_n) ⊂ ^C1(^Ω) eine Folge von Funktionen, die u ∈ H¹(^Ω) approximiert, und definiere Tu := L²- lim_n→∞Tu_n. F ¨ur den vollst¨andigen

Be-weis siehe Theorem 1, Kapitel 5.5 in [7].

Der Satz ist auch g ¨ultig, wenn der Rand vonΩnur lipschitzstetig ist, d.h. lokal durch eine lipschitzstetige Funktion dargestellt wird. Dies gilt f ¨ur alle nachfolgenden S¨atze dieses Abschnitts, in denenC¹-Regularit¨at des Randes gefordert wird.

5.2 Sobolevr¨aume 65

Sei u ∈ ^H₀¹(^Ω). Dann existiert eine Folge(u_n) ⊂ ^C₀^∞(^Ω), so dassu_n → ^uinH1(^Ω). Dann gilt gem¨aß dem obigen SatzT(u_n) = 0 und, daTein stetiger Operator ist,T(u) = 0. Es gilt auch die Umkehrung; siehe Theorem 2, Kapitel 5.5 [7]. Damit k ¨onnen wir H₀¹(^Ω)-Funktionen charakterisieren.

Satz 5.7 (Charakterisierung von H₀¹-Funktionen). SeiΩ⊂^Rneine offene, beschr¨ankte Menge mit∂Ω∈ ^C1. Sei ferner u∈ ^H1(^Ω). Dann gilt

u∈ ^H1₀(^Ω) genau dann, wenn T(u) =0.

F ¨ur Sobolev-Funktionen kann die partielle Integration verallgemeinert werden.

Satz 5.8 (Gauß f¨ur Sobolev-Funktionen). SeiΩ ⊂ ^Rn eine offene, beschr¨ankte Menge mit∂Ω∈ ^C1und seien u₁, . . . ,u_n, w∈ ^H1(^Ω). Setze u= (u₁, . . . ,u_n)^T. Dann gilt

Z

Ω(divu)wdx =− Z

Ωu· ∇^wdx+ Z

∂Ω(u·^ν)wds, wobeiνder ¨außere Normaleneinheitsvektor auf∂Ωist.

Das Randintegral ist alsR

∂Ω(T(u)·^ν)T(v)dsundT(u) = (T(u₁), . . . ,T(u_n))^T zu in-terpretieren, wobeiTder Spuroperator ist. Dieses Integral ist definiert, daT(u_i),T(v) ∈ L²(∂Ω). Der Satz kann durch Approximation mit Funktionen aus C₀^∞(^Rn) beweisen werden; siehe Abschnitt A6.8 in [2].

Wir haben in Beispiel 5.5 gesehen, dass H¹-Funktionen nicht unbedingt stetig sein m ¨ussen. Sind H^k-Funktionen stetig, wennkhinreichend groß ist? Der folgende Einbet-tungssatz zeigt, dass dies tats¨achlich der Fall ist.

Satz 5.9 (Einbettungssatz von Sobolev). SeiΩ ⊂ ^Rn eine offene, beschr¨ankte Menge mit∂Ω∈ ^C1und es gelte k−^n/2>_{m f ¨ur k}∈ ^{Nund m}∈ ^N0. Dann gilt

H^k(^Ω) ֒→^Cm(^Ω), d.h., es gibt eine Konstante C>0, so dass f ¨ur alle u∈ ^Hk(^Ω)

k^uk_Cm(^Ω) ≤^Ck^uk_H^k₍Ω).

Wir haben H^k(^Ω) ֒→ ^Cm(^Ω) anstatt H^k(^Ω) ⊂ ^Cm(^Ω) geschrieben, denn die Men-geninklusion ist streng genommen nicht korrekt, weil H^k(^Ω) aus ¨Aquivalenzklassen von Funktionen besteht. Das Zeichen “֒→” deutet die folgende Aussage an: Jede ¨ Aqui-valenzklasse von H^k(^Ω)enth¨alt einen Repr¨asentanten, der ein Element vonC^m(^Ω)ist.

Die Absch¨atzung derC^m-Norm gilt dann f ¨ur diesen Repr¨asentanten.

Beweisskizze. Wir skizzieren den Beweis nur f ¨ur den Fallk=1,m =0 und

wobeiνden Einheitsnormalenvektor bezeichne. Integration ¨uberν∈ ^∂B1(0)und Trans-formation der sph¨arischen auf euklidische Koordinaten viax =x₀+rνliefert

meas(∂B₁(0))|^u(x₀)| ≤ Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ergibt sich dann

meas(∂B₁(0))|^u(x₀)| ≤

Der allgemeine Fall kann ¨ahnlich beweisen werden; siehe Seiten 330-335 in [2].

Abbildung 5.4: Illustration f ¨ur den Beweis von Satz 5.9.

B

_R

(x

₀

)

Ω

x0

x0+rν

Wir k ¨onnen die Aussage des Einbettungssatzes auch folgendermaßen formulieren:

Die Identit¨at ist eine stetige Abbildung von H^k(^Ω)nachC^m(^Ω), d.h., der Raum H^k(^Ω) ist inC^m(^Ω)stetig eingebettet. Es gilt sogar:

Satz 5.10 (Rellich-Kondrachov). SeiΩ ⊂^Rn eine offene, beschr¨ankte Menge mit ∂Ω ∈ C¹ und seien k ∈ ^{N, m} ∈ ^N0 mit k > m. Dann ist die Einbettung H^k(^Ω) ֒→ ^Hm(^Ω) kompakt, d.h., beschr¨ankte Mengen in H^k(^Ω)sind pr¨akompakt in H^m(^Ω).

5.2 Sobolevr¨aume 67

Ist also (u_n) eine beschr¨ankte Folge aus H^k(^Ω), so existiert eine Teilfolge (u_n′) von (u_n), so dass(u_n′)inH^m(^Ω)konvergiert, wennk >m. F ¨ur den recht technischen Beweis verweisen wir auf Kapitel 5.7 in [7].

Wir kehren zum Raum H₀¹(^Ω) zur ¨uck. Er hat die wichtige Eigenschaft, dass die Beschr¨anktheit von k∇^uk_L²₍Ω) die Beschr¨anktheit von k^uk_L²₍Ω) impliziert. Unter der Normk∇^uk_L²(^Ω) verstehen wir dieL²(^Ω)-Norm von|∇^u|. Genauer gilt:

Satz 5.11 (Poincar´e-Ungleichung). Sei Ω ⊂ ^Rn eine offene, beschr¨ankte Menge (be-schr¨ankt in einer Richtung gen ¨ugt). Dann existiert eine Konstante C_p > 0, so dass f ¨ur alle u ∈ ^H₀¹(^Ω)gilt:

k^uk_L²(^Ω) ≤^Cpk∇^uk_L²(^Ω).

x₁ Ω

–L L

Abbildung 5.5: Illustration f ¨ur den Beweis von Satz 5.11.

Beweis. Sei zun¨achstu∈ ^C₀^∞(^Ω). Wegen der Beschr¨anktheit vonΩexistiert einL>_{0, so} dass Ω ⊂ (−^L,L)×^Rn−1 (Abbildung 5.5). Mit partieller Integration und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt:

k^uk²_L2(^Ω) = Z

Ω

∂

∂x₁(x₁u²)dx− Z

Ωx₁ ∂

∂x₁(u²)dx= Z

∂Ωx₁u²ν₁ds−² Z

Ωx₁u∂u

∂x₁dx

≤^2Lk^uk_L²(^Ω)

∂u

∂x₁ L²(^Ω).

Hierbei haben wir benutzt, dassu=0 auf∂Ωgilt. Wir erhalten also k^uk_L²(^Ω) ≤^2L∂u

∂x₁

L²(^Ω) ≤^2Lk∇^uk_L²(^Ω) f ¨ur alleu ∈ D(^Ω).

Sei nun u∈ ^H₀¹(^Ω). Nach Definition kann udurch eine Folge(u_n)ausD(^Ω) appro-ximiert werden, so dassu_n →^uund∇^un → ∇^{uf ¨urn}→^∞inL2(^Ω)gelten. Dann folgt aus

k^unk_L²(Ω) ≤^2Lk∇^unk_L²(Ω)

durch den Grenz ¨ubergangn →^∞die Behauptung mitC_p =2L.

Die Poincar´e-Ungleichung hat die Ungleichungskette

k^uk²_H1(^Ω) =k^uk²_L2(^Ω)+k∇^uk²_L2(^Ω) ≤(C²_p+1)k∇^uk²_L2(^Ω) ≤(C²_p+1)k^uk²_H1(^Ω) (5.4) zur Folge, die zeigt, dassk∇(·)k_L²(Ω) eine zuk · k_H¹₍Ω) ¨aquivalente Norm in H₀¹(^Ω)ist.

Schließlich ben ¨otigen wir noch Sobolevr¨aume mit negativem Index. Betrachte etwa die Funktion u(x) = |^x| ^{f ¨ur x} ∈ (−^{1, 1}). Nach Beispiel 5.5 (i) gilt u ∈ ^H1(−^{1, 1}), also u^′ ∈ ^H0(−^{1, 1}) = L²(−^{1, 1}). Die zweite Ableitung u^′′ existiert nur im distributionellen Sinne, und es ist naheliegend,u^′′ ∈ ^H−1(−^{1, 1})zu schreiben. Im Folgenden definieren wir diesen Raum.

Definition 5.12. SeienΩ ⊂^Rn eine offene Menge und k ∈^N. Wir definieren H^−k(^Ω)als den Dualraum von H₀^k(^Ω), d.h.

H^−k(^Ω) ={^{u: H}₀^k(^Ω) →^R: u ist linear und stetig}^. Der Raum H^−k(^Ω)ist mit der Norm

k^uk_H−k(^Ω) =sup{|^u(φ)|^: k^φk_H^k

0(^Ω) =1}^{, u} ∈ ^H−k(^Ω), versehen.

Ahnlich wie bei Distributionen verwenden wir f ¨ur¨ u∈ ^H−k(^Ω) undφ∈ ^H₀^k(^Ω)die Notationu(φ) =h^u,φi_H−k. Jedes Element aus H^−k(^Ω)ist eine Distribution, H^−k(^Ω) ⊂ D^′(^Ω), denn f ¨uru ∈ ^H−k(^Ω)undφ∈ D(K)(K ⊂^Ωkompakt) folgt

|h^u,φi_H−k| ≤ k^uk_H−k(Ω)k^φk_H^k

0(^Ω) ≤^Ck^uk_H−k(Ω)k^φk_C^k(K)

mit einer Konstante C > _{0, die von K} abh¨angt. Beispiele f ¨ur Elemente aus H^−k sind L²(^Ω)-Funktionen (via Identifikation), denn aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung er-halten wir f ¨ur alleu∈ ^L2(^Ω),φ∈ ^H₀^k(^Ω)undk∈ ^N0:

|h^u,φi_H−k|= Z

Ωuφdx≤ k^uk_L²(^Ω)k^φk_L²(^Ω) ≤ k^uk_L²(^Ω)k^φk_H^k

0(^Ω). Damit erhalten wir die Inklusionskette:

D(^Ω)⊂ ^Hk(^Ω) ⊂^L2(^Ω) ⊂^H−k(^Ω)⊂ D^′(^Ω), k≥^1.

Beispiel 5.13. Betrachte die Delta-Distribution δ ∈ D^′(^Ω), definiert durchh^δ,φi = φ(0) f ¨ur φ ∈ D(^Ω). Wir behaupten, dass δ ∈ ^H−k(^Ω), wobei k ∈ ^{N mit k} > _n/2.

Seien dazuφ∈ ^H₀^k(^Ω)undφ_n ∈ D(^Ω)eine Folge, die inH^k(^Ω)gegenφkonvergiert.

Dann erhalten wir mit dem Sobolevschen Einbettungssatz 5.9 f ¨urm =0

|h^δ,φni| =|^φn(0)| ≤ k^φnk_C⁰₍Ω) ≤^Ck^φnk_H^k(^Ω).

5.3 Existenz schwacher L ¨osungen 69

Im Dokument Partielle Differentialgleichungen (Seite 61-69)