Fundamentall ¨osungen

Beispiel 3.15. Es gilt f ¨ur die Delta-Distributionψ∗^δ=ψ, denn f ¨urφ∈ D(^Rn)folgt h^ψ∗^δ,φi =h^δ,(Rψ)∗^φi= ((Rψ)∗^φ)(0) =

Z

Rnψ(x)φ(x)dx=h^ψ,φi^.

Diese Eigenschaft spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung von Fundamen-tall ¨osungen, die wir im n¨achsten Abschnitt einf ¨uhren.

3.3 Fundamentall¨ osungen

Ziel dieses Abschnitts ist die L ¨osung von partiellen Differentialgleichungen L(u) = f inRⁿ,

wobei Lein linearer formaler Differentialoperator der Ordnung kaufD(^Rn)ist, L(φ) =

∑

|α|≤k

c_αD^αφ, φ∈ D(^Rn), undc_α ∈ ^C∞(^Rn),|^α| ≤^k.

Definition 3.16. Derformal adjungierte Operatorist definiert durch L^∗(φ) =

∑

|α|≤k

(−¹)^|α|D^α(c_αφ), φ∈ D(^Rn). Operatoren mit der Eigenschaft L= L^∗heißenformal selbstadjungiert.

Beispiele formal selbstadjungierter Operatoren sind L=^∆, L= ^∂2

∂t² −^c2∆.

Der formal adjungierte Operator ergibt sich durch partielle Integration, indem man alle Ableitungen auf die Testfunktion anwendet. Randintegrale verschwinden hierbei, da die Testfunktionen kompakten Tr¨ager inRⁿ besitzen:

Z

RnL(φ)ψdx =

∑

|α|≤k

Z

Rnc_α(D^αφ)ψdx =

∑

|α|≤k

(−¹)^|α| Z

RnφD^α(c_αψ)dx= Z

RnφL^∗(ψ)dx.

Der OperatorL^∗ist daher die adjungierte Abbildung im Sinne von Satz 3.10. Wir k ¨onnen folglich die Anwendung vonLauf eine Distribution definieren durch

h^L(u),φi=h^u,L∗(φ)i^{, u} ∈ D^′(^Rn), φ∈ D(^Rn).

Dies erlaubt die Definition verschiedener L ¨osungsbegriffe f ¨ur die Differentialgleichung L(u) = f.

Definition 3.17. SeienΩ⊂^Rn eine offene Menge und f ∈ D^′(^Ω).

(i)Die Funktion u heißtklassische L ¨osungvon L(u) = f , wenn u∈ ^Ck(^Ω)und wenn sie die Differentialgleichung f ¨ur alle x∈ ^Ωl¨ost.

(ii) Die Abbildung u heißtdistributionelle L ¨osung von L(u) = f , wenn u ∈ D^′(^Ω) und wenn L(u) = f im Distributionensinne gilt, d.h.h^L(u)−^f,φi =0f ¨ur alleφ∈ D(^Ω). (iii)Eine distributionelle L¨osung u, die inΩ lokal integrierbar ist, heißt schwache L ¨o-sungvon L(u) = f .

Das folgende Lemma zeigt, dass der Begriff der distributionellen L ¨osung eine Er-weiterung des klassischen L ¨osungsbegriffs ist.

Lemma 3.18. Jede klassische L¨osung der Differentialgleichung L(u) = f ist auch eine distri-butionelle L¨osung. Ist umgekehrt u eine distridistri-butionelle L¨osung und u∈ ^Ck(^Ω), so ist sie auch eine klassische L¨osung.

Beweis. Sei u ∈ ^Ck(^Ω) eine klassische L ¨osung von L(u) = f. Dann folgt f ¨ur alle φ ∈ D(^Ω)

h^L(u)− ^f,φi = Z

Ω(L(u)−^f)φdx=0.

Also istu eine distributionelle L ¨osung. Sei umgekehrtu ∈ ^Ck(^Ω) eine distributionelle L ¨osung von L(u) = f. Dann erhalten wir f ¨ur alleφ∈ D(^Ω)

0=h^L(u)− ^f,φi = Z

Ω(L(u)−^f)φdx.

Dies impliziert nach Lemma 1.9L(u) = f inΩ.

Wesentlich f ¨ur die L ¨osung der Differentialgleichung ist der Begriff der Fundamen-tall ¨osung.

Definition 3.19. Seien L ein linearer formaler Differentialoperator wie zu Beginn dieses Abschnitts undξ ∈ ^Rn. Wir nennen eine distributionelle L¨osung von

L(U_ξ) = δ_ξ,

wobeiδ_ξ die verschobene Delta-Distribution aus Beispiel 3.11 ist,Fundamentall ¨osung von Lmit Pol inξ.

Beispiel 3.20. Wir zeigen, dass die Funktion g(·^,ξ) f ¨ur gegebenesξ ∈ ^R, definiert durch

g(x,ξ) =

x(ξ−¹) : x ≤^ξ

ξ(x−¹) : x >_ξ, ^x ∈^R,

3.3 Fundamentall ¨osungen 41

−2 −1 0 1 2 −2

0

−2 2 0 2 4 6

x ξ

z

Abbildung 3.5: Fundamentall ¨osung g(x,ξ)aus Beispiel 3.20.

eine Fundamentall ¨osung von d²/dx² mit Pol in ξ ist (siehe Abbildung 3.5). Dazu rechnen wir f ¨urφ∈ D(^R)

h^g′′,φi =h^g,φ′′i = Z _ξ

−^∞x(ξ−¹)φ^′′(x)dx+ Z ∞

ξ ξ(x−¹)φ^′′(x)dx

= (ξ−¹)[xφ^′(x)]^ξ₋∞− Z _ξ

−^∞φ^′(x)dx +ξ

[(x−¹)φ^′(x)]^∞_ξ − Z ∞

ξ φ^′(x)dx

= (ξ−¹) ξφ^′(ξ)−^φ(ξ)+ξ −(ξ−¹)φ^′(ξ) +φ(ξ) =φ(ξ).

Wegenh^δξ,φi =φ(ξ)folgt die Behauptung.

Fundamentall ¨osungen liefern distributionelle L ¨osungen von L(u) = f, falls L ein Differentialoperator mitkonstantenKoeffizienten ist. Dies wird im folgenden Satz pr¨azi-siert.

Satz 3.21. Seien L ein linearer formaler Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten und U₀eine Fundamentall¨osung mit Pol in null.

(i)Dann istτ_−ξU₀eine Fundamentall¨osung mit Pol inξ.

(ii)Ist f ∈ D(^Rn), so ist u =U₀∗ f eine distributionelle L¨osung von L(u) = f . Beweis. (i) Seiφ∈ D(^Rn). Dann folgt

h^L(τ_−ξU₀),φi =h^τ₋ξU₀,L^∗(φ)i=h^U0,τ_ξL^∗(φ)i =^∗ h^U0,L^∗(τ_ξφ)i

=h^L(U₀),τ_ξφi =h^δ0,τ_ξφi=h^δξ,φi^.

Die Gleichheit “∗” gilt nur bei konstanten Koeffizienten, da der Operator τ_ξ dann nur auf die Testfunktion φwirkt. Wir erhalten L(τ_−ξU₀) = δ_ξ, d.h., τ_−ξU₀ ist eine Funda-mentall ¨osung mit Pol inξ.

(ii) DaLkonstante Koeffizienten besitzt, folgt aus Lemma 3.14 und dann aus Beispiel

3.15

L(U₀∗ ^f) = L(U₀)∗ ^f =δ₀∗ ^f = f.

Dies zeigt, dassU₀∗ ^f eine distributionelle L ¨osung ist.

Nach dem Satz von Ehrenpreis-Malgrange existiert zu jedem linearen formalen Dif-ferentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentall ¨osung. Der Beweis ist recht aufwendig und verwendet den Fortsetzungssatz von Hahn-Banach. Wir verwei-sen f ¨ur Details auf H ¨ormander [10].

In einigen F¨allen ist es m ¨oglich, eine Fundamentall ¨osung zu finden, die durch eine Funktion repr¨asentiert wird. Welche Gleichung sollte diese Fundamentall ¨osung erf ¨ul-len? Seiτ_−ξU₀eine Fundamentall ¨osung mit Pol inξ. Dann folgt

φ(ξ) =h^δξ,φi =h^L(τ_−ξU₀),φi=h^τ−ξU₀,L^∗(φ)i^.

L¨asst sich nunτ_−ξU₀durch eine FunktionU(x,ξ)darstellen, so muss die Gleichung Z

RnU(x,ξ)(L^∗(φ))(x)dx=φ(ξ) f ¨ur alleφ∈ D(^Rn) (3.4) erf ¨ullt sein. Diese Formel werden wir im folgenden Kapitel zur Bestimmung von Fun-damentall ¨osungen elliptischer Gleichungen verwenden.

43

4 Die Poisson-Gleichung

4.1 Fundamentall¨ osung und Greensche Funktion

In diesem Abschnitt suchen wir eine Fundamentall ¨osung der Poisson-Gleichung

∆u = f inRⁿ und eine L ¨osung des Dirichlet-Randwertproblems

∆u = f inΩ, u= g auf∂Ω,

wobei Ω ⊂^Rn ein beschr¨anktes Gebiet mit∂Ω ∈ ^C1 sei. Wegen Satz 3.21 (i) gen ¨ugt es, eine Fundamentall ¨osung mit Pol in null zu bestimmen, d.h. eine distributionelle L ¨osung von∆u =δ. Nach Beispiel 3.9 giltδ=0 aufRⁿ\{⁰}. Wir suchen also eine Funktion, die die Laplace-Gleichung∆u =0 aufRⁿ\{⁰}erf ¨ullt und eine Singularit¨at in null hat.

Die Symmetrie des Problems macht die Verwendung sph¨arischer Koordinaten plau-sibel. Dazu m ¨ussen wir den Laplace-Operator in sph¨arischen Koordinaten formulieren.

Sei dazur =|^x| =^qx₁²+· · ·+x²_n und schreibev(r) =u(x). Wir rechnen Die Gleichung∆u=0 wird eine gew ¨ohnliche Differentialgleichung,

v^′′(r) + ⁿ−¹

−1 −0.5 0 0.5 1

Abbildung 4.1:Fundamentall ¨osung des Laplace-Ope-rators f ¨urn=2. spezielle Konstanten c₂ und c₃ eine Fundamentall ¨osung liefert.

Der folgende Satz zeigt, dass dies tats¨achlich der Fall ist (siehe Ab-bildung 4.1).

Satz 4.1. Die lokal integrierbare Funktion U(r) = Koordinaten lautet das Integral ¨uber den Radialanteil

Z ₁

0 U(r)rⁿ⁻¹dr,

und dieses Integral existiert f ¨ur allen≥2. Damit istU(r)eine regul¨are Distribution. Wir m ¨ussen also gem¨aß der Formel (3.4), n¨amlich φ(ξ) = R

4.1 Fundamentall ¨osung und Greensche Funktion 45

B

_e

(0) Ω

e

R

ⁿ Abbildung 4.2:Zur Definition vonΩ_ε.

gilt, wobeiΩ_ε = ^Rn\^Bε(0) (siehe Abbildung 4.2). Der Grenzwert ist notwendig, daU im Ursprung eine Singularit¨at aufweist. Wir integrieren zweimal partiell gem¨aß dem Satz von Gauß:

Das erste Integral auf der rechten Seite verschwindet, da nach Konstruktion∆U =0 in Ω_ε. Es bleiben also nur die beiden Randintegrale abzusch¨atzen.

Die ¨außere Normale an∂Ω_εist gleich der negativen ¨außeren Normalen anB_ε(0), die in Radialrichtung weist. Daher ist∇^U·^ν=∂U/∂ν =−dU/dr. Die Absch¨atzung

ver-wenden wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung: Es existiert ein x_ε ∈ ^∂Bε(0), so dass

Mit Hilfe von Satz 3.21 aus dem vorigen Abschnitt k ¨onnen wir eine L ¨osung der Poisson-Gleichung bestimmen.

Satz 4.2. SeienΩ⊂^Rn ein beschr¨anktes Gebiet und f ∈ D(^Ω). DasNewton-Potential N(x) = (U∗ ^f)(x) =

Z

ΩU(|^x−^y|)f(y)dy (4.2) ist eine klassische L¨osung von∆u= f inΩ.

Beweis. Aus Satz 3.21 folgt, dass U∗ ^f eine distributionelle L ¨osung der Poisson-Glei-chung ist. Mit den Resultaten aus Abschnitt 3.2 folgt f ¨ur alleφ∈ D(^Ω):

h^U∗ ^f,φi =h^U,φ∗^{R f}i = Z

ΩU(|^y|)(φ∗^{R f})(y)dy = Z

Ω

Z

RnU(|^y|)f(x−^y)φ(x)dx dy, wobei(R f)(x) = f(−^x)und die zweite Gleichheit wegenU ∈ ^L1_loc(^Ω)folgt. Daher ist

(U∗ ^f)(x) = Z

ΩU(|^y|)f(x−^y)dy = Z

ΩU(|^x−^z|)f(z)dz.

Weil f ∈ D(^Ω), k ¨onnen wirU∗ ^f differenzieren, und es giltU∗ ^f ∈ ^C∞(^Ω). Daher ist

U∗ ^f eine klassische L ¨osung.

Das Newtonsche Potential l ¨ost die Poisson-Gleichung, erf ¨ullt aber nicht unbedingt vorgegebene Dirichlet-Randbedingungen. Um dies zu erreichen, ben ¨otigen wir den Be-griff der Greenschen Funktion.

Definition 4.3. DieGreensche Funktion(erster Art) G ist definiert durch G(x,y) =U(|^x−^y|)−^hx(y), x,y ∈ ^{Ω, x} 6=y,

wobei U die in Satz 4.1 definierte Fundamentall¨osung des Laplace-Operators und h_xdie (ste-tige) L¨osung von

∆h_x =0 inΩ, h_x(y) =U(|^x−^y|) f ¨ur y ∈^{∂Ω, (4.3)} sind.

Die Greensche Funktion G ist f ¨ur festes x ∈ ^Ω also eine Fundamentall ¨osung des Laplace-Operators, die zus¨atzlich homogene Dirichlet-Randbedingungen erf ¨ullt:

∆G(x,·) =δ_x inΩ, G(x,·) =0 auf∂Ω. (4.4) Kennt man eine solche Funktion, dann kann man eine explizite Formel f ¨ur C²(^Ω) -L ¨osungen des Dirichletproblems der Poisson-Gleichung angeben. Dies f ¨uhrt auf die folgendeRepr¨asentationsformel.

4.1 Fundamentall ¨osung und Greensche Funktion 47

B

_e

(x) Ω

e

x Ω

Abbildung 4.3:Zur Definition vonΩ_ε.

Satz 4.4 (Repr¨asentationsformel f¨ur das Dirichlet-Problem). SeienΩ ⊂ ^{Rn ein} be-schr¨anktes Gebiet mit∂Ω ∈ ^{C1, f} ∈ ^C0(^Ω), g ∈ ^C0(∂Ω), und sei u∈ ^C2(^Ω)eine L¨osung ¨auße-re Normalenvektor an y ∈ ^∂Ω ist. Wir bemerken, dass im Allgemeinen f ¨ur beliebige Funktionen f ∈ ^C0(^Ω)und g ∈ ^C0(∂Ω)durch (4.5) nichteine L ¨osung des klassischen Dirichletproblems gegeben sein muss.

Beweis. Wegen der Singularit¨at vonU(|^x−^y|)anx=yk ¨onnen wir nicht ohne weiteres in Integralen ¨uberRⁿ partiell integrieren. Daher definieren wir ¨ahnlich wie im Beweis von Satz 4.1 f ¨ur ein beliebigesx∈ ^{Ωdie MengeΩ}ε =^Ω\^Bε(x). Integrieren wir zweimal behandelt werden, und wir erhalten im Grenzwertε→^{0 den Wertu}(x). Daher folgt

u(x) = − Da die Funktion h_x, definiert in (4.3), harmonisch ist, erhalten wir durch zweimalige partielle Integration

Abbildung 4.4: L ¨osung des Randwertproblems

∆u=2 inΩ= [−^{1.5, 1.5}]×[−^{1, 1}],u= x²+y² auf∂Ω.

Addieren wir (4.6) und (4.7), so folgt u(x) =−

Z

∂Ω

(U| {z }−^hx

=0

)^∂u

∂ν −^{u ∂}

∂ν(U| {z }−^hx

=G(x,·)

)

ds+ Z

Ω U(|^x−^y|)−^hx

| {z }

=G(x,·)

∆udy

= Z

∂Ωg ∂

∂νG(x,·)ds+ Z

ΩG(x,·)f dy

und damit die Behauptung.

Im Allgemeinen ist es schwierig, die Greensche Funktion explizit zu bestimmen, und man ben ¨otigt numerische Verfahren. In Abbildung 4.4 stellen wir die L ¨osung des Randwertproblems∆u = f inΩ,u =gauf∂ΩmitΩ = [−^{1.5, 1.5}]×[−^{1, 1}], f(x,y) = 2 und g(x,y) = x²+y² dar. Die rechte Seite f kann als eine Kraft interpretiert werden, die auf den Graphen vonu wirkt, im Beispiel als eine konstante Kraft in Richtung der positivenz-Achse. Der Graph w ¨olbt sich daher in der N¨ahe des Ursprungs leicht nach oben.

Bei Problemen mit sehr einfacher Geometrie kann die Greensche Funktion explizit berechnet werden. Wir betrachten im folgenden Abschnitt zwei einfache Beispiele.

Im Dokument Partielle Differentialgleichungen (Seite 39-48)