Regularit¨at

DaaundFstetig sind, k ¨onnen wir das Lemma von Lax-Milgram anwenden und erhal-ten eine eindeutig bestimmte schwache L ¨osung von (5.17). Die A-priori-Absch¨atzung ergibt sich aus

k^uk_H¹₍Ω) ≤^min{^α,c0}⁻¹k^Fk_H−1(^Ω)

und der Stetigkeitsabsch¨atzung vonF.

Was geschieht, fallsc(x)nicht durch eine positive Konstante nach unten beschr¨ankt ist, z.B. wennc = 0? In diesem Fall k ¨onnen wir die Koerzivit¨at von a nicht beweisen.

Tats¨achlich existiert eine L ¨osung nur unter einer zus¨atzlichen Bedingung. Ist n¨amlichu eine klassische L ¨osung von

−^div(A(x)∇^u) = f inΩ, (A(x)∇^u)·^ν =g auf∂Ω, (5.18) und integrieren wir die Differentialgleichung, so ergibt sich nach dem Satz von Gauß:

Z

Diese Bedingung ist notwendig f ¨ur die L ¨osbarkeit von (5.18). ¨Ubrigens geht in diesem Fall auch die Eindeutigkeit verloren: Mit u ist auch u+c f ¨ur eine beliebige Konstante c ∈ ^Reine L ¨osung. Um Eindeutigkeit zu gew¨ahrleisten, ist eine zus¨atzliche Bedingung notwendig, etwa die Forderung _Z

Ωudx=0.

Unter diesen beiden Bedingungen folgt die eindeutige L ¨osbarkeit von (5.18).

5.4 Regularit¨ at

Unter welchen Bedingungen ist die schwache L ¨osung einer elliptischen Differentialglei-chung regul¨ar oder sogar eine klassische L ¨osung? Betrachte zur Motivation zun¨achst das Modellproblem

−^∆u= f inRⁿ

mit f ∈ ^L2(^Rn). Dann existiert ∆u in L²(^Rn) und kann durch die L²-Norm von f ab-gesch¨atzt werden. Wir begr ¨unden wie in Evans [7] heuristisch, dass die L²-Normaller zweiten partiellen Ableitungen von u durch die L²-Norm von f abgesch¨atzt werden kann. Sei u also eine klassische L ¨osung der Poisson-Gleichung. Wir quadrieren diese Gleichung, integrieren ¨uberRⁿ und integrieren partiell:

Z

Da wir angenommen haben, dassueine klassische L ¨osung ist, stellt dies keinen Beweis dar. Es ist allerdings m ¨oglich, die Regularit¨at schwacher L ¨osungen rigoros zu bewei-sen, indem die partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten approximiert wer-den. Die entsprechenden Beweise sind technisch und lang, so dass wir auf die Literatur verweisen, z.B. Evans, Kapitel 6.3 [7] oder Gilbarg und Trudinger [8].

Das erste Resultat sagt aus, dass eine (schwache) L ¨osung der elliptischen Differenti-algleichung

L(u) = −^div(A(x)∇^u) +b(x)· ∇^u+c(x)u= f(x) inΩ (5.19) bei regul¨aren Daten imInnern des Gebietsauch regul¨ar ist.

Satz 5.24 (Regularit¨at im Innern). Seien a_ij ∈^Ck+1(^Ω), b_i, c∈ ^Ck(^Ω)und f ∈ ^Hk(^Ω) f ¨ur ein k ∈ ^N0 (i, j = 1, . . . ,n). Ferner sei u ∈ ^H1(^Ω) eine schwache L¨osung von(5.19) undωein Gebiet mitω ⊂^Ω. Dann gilt u ∈ ^Hk+2(ω)und, mit einer Konstante C >_{0, die} nur vonω,Ωund den Koeffizienten von L abh¨angt,

k^uk_H^k+2_(ω) ≤^C(k^fk_H^k₍Ω)+k^uk_L²(^Ω)).

Die L ¨osung ist also immer zwei Differentiationsordnungen regul¨arer als die rechte Seite. Dies ist eine wesentliche Eigenschaft elliptischer Differentialgleichungen: Der Dif-ferentialoperator “gl¨attet” die L ¨osungen. Bemerkenswerterweise haben die Randdaten keinen Einfluss auf die Regularit¨at der L ¨osung im Innern. Regularit¨at ist also hier eine lokale Eigenschaft.

Sind die Randdaten und der Rand regul¨ar, so ist die L ¨osung auch regul¨ar bis zum Rand.

Satz 5.25 (Regularit¨at bis zum Rand). Es gelten die Voraussetzungen des vorigen Satzes.

Zus¨atzlich sei∂Ω ∈ ^{Ck+2 und g} ∈ ^Hk+2(^Ω), und es sei u ∈ ^H1(^Ω)die schwache L¨osung des Dirichlet-Randwertproblems (5.19) und u = g auf ∂Ω. Dann gilt u ∈ ^Hk+2(^Ω) und, mit einer Konstante C >0, die nur vonΩund den Koeffizienten von L abh¨angt,

k^uk_H^k+2₍Ω) ≤^C(k^fk_H^k₍Ω)+k^gk_H^k+2₍Ω)).

Die beiden obigen S¨atze beantworten die Frage, unter welchen Bedingungen klassi-sche L ¨osungen existieren. Sei n¨amlichk ∈ ^Nmitk > n/2. Unter den Voraussetzungen von Satz 5.25 gilt u ∈ ^Hk+2(^Ω). Der Sobolevsche Einbettungssatz 5.9 impliziert dann u ∈^C2(^Ω), d.h.,uist eine klassische L ¨osung von (5.19),u=gauf∂Ω.

Sind die Daten des Dirichlet-Randwertproblems ausC^∞(^Ω), so ist auch die L ¨osung eineC^∞(^Ω)-Funktion, denn sie ist ein Element inH^k+2(^Ω)f ¨ur allek∈ ^N. Beispielswei-se ist die L ¨osung der Laplace-Gleichung ∆u = 0 im Innern des L ¨osungsgebiets immer unendlich oft differenzierbar. Ist der Rand des GebietsC^∞, so istu ¨uberall unendlich oft differenzierbar.

5.5 Maximumprinzip 79

Abbildung 5.6: L ¨osung des Problems

−^∆u = 1 in einem L-f ¨ormigen Gebiet Ω und u = 0 auf ∂Ω. Die Farbe gibt die St¨arke des Gradienten an.

Wenn die Glattheitsbedingung des Gebiets nicht erf ¨ullt ist, gilt die Regularit¨atsaus-sage von Satz 5.25 im Allgemeinen nicht mehr. Ein Beispiel ist durch das L-f ¨ormige Gebiet Ω = (−^{1, 1})²\([0, 1]×[0, 1]) gegeben, das keinen C¹-Rand besitzt. Abbildung 5.6 stellt die L ¨osung der Poisson-Gleichung −^∆u = 1 in Ω mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen dar. An der einspringenden Ecke(0, 0) verliert die L ¨osunguan Re-gularit¨at. Man kann zeigen, dass u in der N¨ahe des Ursprungs durch r^2/3sin((2φ+ π)/3) approximiert werden kann, wobei (r,φ) sph¨arische Koordinaten sind. Die Ab-leitung dieser Funktion in Radialrichtung ist unbeschr¨ankt, d.h.,u ist keine klassische L ¨osung (aber weiterhin eine schwache L ¨osung).

Ahnliche Resultate wie oben gelten auch f ¨ur L ¨osungen von Neumann-Randwert-¨ problemen, siehe Troianiello [13].

5.5 Maximumprinzip

Wir haben in Abschnitt 4.3 gezeigt, dass f ¨ur L ¨osungen der Poisson-Gleichung unter bestimmten Bedingungen ein Maximumprinzip gilt. In diesem Abschnitt zeigen wir analoge Resultate f ¨ur allgemeine elliptische Differentialoperatoren der Form

L(u) =− Beachte, dass die Differentialgleichung im vorigen Abschnitt in Divergenzform formu-liert wurde:

L^′(u) = −^div(A^′(x)∇^u) +b^′(x)· ∇^u+c(x)u,

wobei A^′ = (a^′_ij)undb^′ = (b^′_i). Gen ¨ugend Regularit¨at vorausgesetzt, k ¨onnen wir solche Operatoren stets in die Form (5.20) bringen, denn durch Differentiation folgt

L^′(u) = −

Wir setzen in diesem Abschnitt folgendes voraus:Ω ⊂^Rnist eine offene, beschr¨ank-te Menge,(a_ij)ist symmetrisch,a_ij,b_i,c ∈ ^L∞(^Ω), und List gleichm¨aßig elliptisch, d.h., es gilt (5.6). Wir verallgemeinern zuerst das schwache Maximumprinzip.

Satz 5.26 (Schwaches Maximumprinzip f¨urc =0). Sei c=0. F ¨ur u∈ ^C2(^Ω)∩^C0(^Ω) gelte

L(u) ≤^{0 bzw. L}(u) ≥^{0 inΩ.} Dann folgt

sup

x∈^Ω

u(x) = sup

x∈^∂Ω

u(x) bzw. inf

x∈^Ωu(x) = inf

x∈^∂Ωu(x).

Beweis. 1. Schritt: Wir nehmen zun¨achst an, dass L(u) < _{0 in Ω}gilt. Wir nehmen wei-terhin an, es g¨abe ein x₀ ∈ ^{Ωmit u}(x₀) = sup_Ωu. Dann ist ∇^u(x₀) = 0, und D²u(x₀) ist negativ semidefinit. Wir behaupten, dass daraus (L(u))(x₀) ≥ 0 im Widerspruch zur Annahme folgt. Um dies zu zeigen, bringen wir die Matrix A = (a_ij(x₀)) auf Diagonalgestalt. Da n¨amlich A symmetrisch und positiv definit ist, existiert eine or-thogonale Transformationsmatrix S = (s_ij) ∈ ^{Rn×n, so dass SAS−1} gleich der Dia-gonalmatrix mit Elementen λ₁, . . . ,λ_n ist und λ_i > 0 f ¨ur alle i = 1, . . . ,n. Wir setzen (b_ij) = B=D²u(x₀) = B^T und erhalten

(L(u))(x₀) = −

∑

n i,j=1

a_ij(x₀) ^∂

2u

∂x_i∂x_j(x₀) = −

∑

n i,j=1

a_ijb_ij =−

∑

n i=1

(AB^T)_ii

=−^sp(AB^T) = −^sp(AB),

wobei sp(AB) die Spur der Matrix ABist. Die Matrix Bist negativ semidefinit; daher sind alle Diagonalelementeβ_i vonSBS⁻¹nichtpositiv:β_i ≤^0,i =1, . . . ,n. Da die Spur einer Matrix invariant bez ¨uglich ¨Ahnlichkeitstransformationen ist, folgt wegenλ_i >₀

(L(u))(x₀) = −^sp(SABS⁻¹) = −^sp(SAS⁻¹SBS⁻¹) = −

∑

n i=1

λ_iβ_i ≥^0.

Dies widerspricht der Annahme. Folglich kann das Maximum nicht im Innern des Ge-biets angenommen werden.

2. Schritt:F ¨ur den allgemeinen Fall betrachten wir die Funktionu_ε(x) = u(x) +εe^λx1, wobeiε>_0,λ >0. Die Elliptizit¨at vonLbedeutet, dassz^TA(x)z≥^α|^z|^{2f ¨ur allez} ∈^Rn und x ∈ ^{Ω gilt. Ist z} der erste Einheitsvektor des Rⁿ, so folgt a₁₁(x) ≥ ^{α f ¨ur x} ∈ ^Ω. Außerdem haben wir vorausgesetzt, dass b beschr¨ankt ist; es existiert also ein b₀ > _0, so dass|^b1(x)| ≤^b0f ¨urx ∈ ^Ω. Damit erhalten wir

L(u_ε) = L(u) +L(εe^λx1) ≤^εL(e^λx1) =ε(−^λ2a11+λb₁)e^λx1 ≤^λε(−^λα+b₀)e^λx1 <_0,

5.5 Maximumprinzip 81

wenn wirλ>_b0/α w¨ahlen. Der erste Schritt impliziert sup

x∈^Ω

(u(x) +εe^λx1) = sup

x∈∂Ω

(u(x) +εe^λx1), und der Grenz ¨ubergangε →0 liefert die Behauptung des Satzes.

3. Schritt:Das Minimumprinzip folgt, wenn wir das Maximumprinzip auf die

Funk-tion−^uanwenden.

Auch im Fallc≥0 kann ein schwaches Maximumprinzip bewiesen werden.

Satz 5.27 (Schwaches Maximumprinzip f¨ur c ≥^{0). Sei c}≥^{0inΩ. F ¨ur u}∈ ^C2(^Ω)∩ C⁰(^Ω)gelte

L(u) ≤^{0 bzw. L}(u) ≥^{0 inΩ.} Dann folgt

sup

x∈^Ω

u(x) ≤^{maxn0, sup}

x∈∂Ω

u(x)^o bzw. inf

x∈^Ωu(x) ≥^{minn0, inf}

x∈∂Ωu(x)^o.

Beweis. Wir beweisen nur den Fall L(u) ≤ ^{0. Sei Ω}+ = {^x ∈ ^{Ω : u}(x) > ₀}^{. FallsΩ}+

die leere Menge ist, folgt sofortu(x) ≤0 f ¨ur allex ∈ ^Ω. Anderenfalls folgt inΩ₊

−

n

∑

i,j=1

a_ij ∂²u

∂x_i∂x_j +

n

∑

i=1

b_i∂u

∂x_i ≤ −^cu≤^0.

Aus dem vorigen Satz folgt, da Ω₊ offen ist, dass die Funktion u ihr Maximum an x₀ ∈ ^∂Ω+ annimmt. Der Rand∂Ω₊setzt sich zusammen aus Randpunkten vonΩund Punkten, an denenuverschwindet. Im ersteren Fall istu(x₀) =sup_x∈Ωu(x), im

letzte-ren Fallu(x₀) =0. Dies zeigt die Behauptung.

Das starke Maximumprinzip kann ebenfalls auf allgemeinere elliptische Differen-tialoperatoren ¨ubertragen werden. Hierf ¨ur ben ¨otigen wir zuerst ein Hilfsresultat ¨uber die Normalenableitung an einem Randpunkt. F ¨ur dieses Resultat muss der Rand eine gewisse Regularit¨atsforderung erf ¨ullen, n¨amlich die innere Kugelbedingung.

Definition 5.28. Eine offene MengeΩ ⊂ ^Rn erf ¨ullt an x₀ ∈ ^∂Ωdieinnere Kugelbedin-gung, wenn es eine offene Kugel B ⊂^Ωgibt, so dass x₀ ∈ ^∂B.

Gebiete mit einem Rand∂Ω∈ ^C2erf ¨ullen die innere Kugelbedingung. F ¨ur Eckpunk-te von RechEckpunk-tecken imR² oder Quader imR³ existiert keine Kugel, die vollst¨andig im Gebiet liegt und den Eckpunkt enth¨alt, so dass diese Gebiete die innere Kugelbedin-gung nicht erf ¨ullen (siehe auch Abbildung 5.7).

Abbildung 5.7: Das linke Gebiet erf ¨ullt die innere Kugelbedingung anx0, das rechte Gebiet nicht.

Lemma 5.29 (Hopf). Wir setzen voraus:

(i)Es gelte L(u) ≤^0inΩf ¨ur ein u ∈^C2(^Ω).

(ii)Seien x₀ ∈ ^∂Ω, u stetig differenzierbar an x₀und u(x₀) >_u(x)f ¨ur alle x ∈ ^Ω. (iii)Es sei entweder c=0oder c≥^{0inΩ(mit c} ∈ ^L∞(^Ω)) und u(x₀) ≥^0.

(iv) Die MengeΩ erf ¨ulle an x₀ die innere Kugelbedingung und der ¨außere Normalenein-heitsvektorνexistiere an x₀.

Dann folgt

∂u

∂ν(x₀) >_0.

Die entscheidende Behauptung des Lemmas ist die strikte Ungleichung. Dauan x₀ maximal wird, ist∂u/∂ν(x₀) ≥^{0 klar.}

Abbildung 5.8: Illustration f ¨ur den Beweis des Lemmas von Hopf.

∂Ω

∂Ω ν

B_R(y) x₀ y

Beweis. Die innere Kugelbedingung impliziert die Existenz einer KugelB_R(y) ⊂ ^Ωmit RadiusR > 0 und Mittelpunkty ∈ ^{Ω, so dass x}0 ∈ ^∂BR(y)(siehe Abbildung 5.8). Wir definieren ferner f ¨ur beliebigeλ >₀

v(x) = e^−λr2 −^{e−λR2, x} ∈ ^BR(y), r =|^x−^y|^.

Das Ziel ist die Anwendung des schwachen Maximumprinzips aufvin einem geeigne-ten Gebiet. Es gilt

∂v

∂x_i(x) =−^2λ(x_i−^yi)e^−λr2, ∂²v

∂x_i∂x_j(x) = 4λ²(x_i−^yi)(x_j−^yj)−^2λδij

e^−λr2,

5.5 Maximumprinzip 83 λ hinreichend groß, k ¨onnen wir erreichen, dass L(v) ≤ ^{0 in K} gilt. Nach Vorausset-zung istu(x)−^u(x₀) < 0 f ¨ur alle x ∈ ^∂Bρ(y), so dass es einε > 0 mit der Eigenschaft u−^u(x₀) +εv ≤^{0 auf∂B}ρ(y)gibt. Dies gilt auch auf∂B_R(y), weilvdort verschwindet.

Insgesamt haben wir also L(u−^u(x₀) +εv) = L(u)−^L(u(x₀)) +εL(v)≤ −^cu(x₀) ≤⁰ in K und u−^u(x₀) +εv ≤ ^{0 auf ∂K} = ∂B_R(y)∪^∂Bρ(y) bewiesen. Aus dem schwa-chen Maximumprinzip (Satz 5.27) folgt u −^u(x₀) +εv ≤ ^{0 in} K. Da die Funktion u−^u(x₀) +εv an der Stelle x₀ verschwindet, muss die Normalenableitung an dieser Stelle nichtnegativ sein:

Aus dem Lemma von Hopf folgt nun das starke Maximumprinzip.

Satz 5.30 (Starkes Maximumprinzip). Sei Ω ⊂ ^Rn offen, beschr¨ankt und zusammen-h¨angend. Seien c=0und u∈ ^C2(^Ω)∩^C0(^Ω)mit L(u) ≤^{0(bzw. L}(u) ≥^{0inΩ). Wenn} u den maximalen (bzw. minimalen) Wert in Ω annimmt, dann ist u konstant. Die Aussa-ge bleibt g ¨ultig f ¨ur c ≥ ^{0 in Ω}, wenn u ein nichtnegatives Maximum (bzw. nichtpositives

Abbildung 5.10: Illustration f ¨ur den Beweis des starken Maximumprin-zips.

x₀ B_r(x₀)

u < M

u = M y

Minimum) inΩannimmt.

Beweis. Wir machen die Widerspruchsannahme, dassunicht konstant ist und das Ma-ximum M in Ω annimmt. Definiere U = {^x ∈ ^{Ω : u}(x) = M} ^{und V} = {^x ∈ ^{Ω :} u(x) < _M}^{. Sei x}0 ∈ ^{V mit dist}(x₀,U) < _dist(x₀,∂Ω) und sei B_r(x₀)die gr ¨oßte Kugel mit Mittelpunktx₀, deren Inneres noch inV liegt (siehe Abbildung 5.10). Dann existiert ein Punkt y ∈ ^{U mit y} ∈ ^∂Br(x₀). Außerdem gilt u < _{M in Br}(x₀). Damit sind die Voraussetzungen des Lemmas von Hopf erf ¨ullt, und wir erhalten∂u/∂ν(y) >_0. Ande-rerseits nimmtudas Maximum iny∈ ^{Ωan, also}∇^u(y) = 0; Widerspruch.

85

Abbildung 6.1: Zerle-gung eines Signals (rot) in seine harmo-nischen Bestandteile (blau).

6 Parabolische Gleichungen

6.1 Fourier-Transformation und W¨ armeleitungsgleichung

Die Fourier-Transformation ist ein n ¨utzliches Hilfsmittel zur L ¨osung linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im Rⁿ. Wir werden sie auf die W¨armeleitungsgleichung

u_t −^∆u=0 inRⁿ ×(0,∞), u(·^{, 0}) = u₀ inRⁿ (6.1) anwenden. Die Transformation kann als eine Verallgemeinerung einer Fourier-Reihe f ¨ur nichtperiodische Funktionen interpretiert werden. Mit ihrer Hilfe kann ein Signal in seine Frequenzen zerlegt werden; siehe Abbildung 6.1.

Definition 6.1. Sei f ∈ ^L1(^Rn) = L¹(^Rn;C). Dann ist dieFourier-Transformationvon f definiert durch

bf(k) = F[f](k) = Z

Rn f(x)e^−ik·xdx, k ∈ ^Rn.

Wir nennen die folgende Funktion dieinverse Fourier-Transformationvon f : fˇ(x) = (2π)⁻ⁿ

Z

Rn f(k)e^ik·xdk, x ∈^Rn.

Die Integrale sind wohldefiniert, da|^e±ik·x| =1 und f ∈ ^L1(^Rn). Wegen k^bfkL^∞(^Rn) ≤ ^sup

k∈^Rn Z

Rn|^e−ik·x| |^f(x)|^dx=k^fk_L¹(^Rn)

folgt, dassFden RaumL¹(^Rn)nachL^∞(^Rn)abbildet.

Beispiel 6.2. Betrachte die Gauß-Funktion φ(x) = e^−|x|2/2, x ∈ ^{Rn. Dann ist φ} ∈ L¹(^Rn), und φb ist definiert. Unser Ziel ist die Berechnung von φ. Dazu bemerkenb wir, dassφdie eindeutig bestimmte L ¨osung der Differentialgleichung

∇^φ+xφ=0, x ∈ ^{Rn, φ}(0) =1,

ist. Wir wenden auf diese Gleichung die Fourier-Transformation an. Mit partieller Integration folgt

F[φ_xj](k) = − Z

Rnφ(x) ^∂

∂x_j(e^−ik·x)dx=ik_jF[φ](k), (6.2) F[x_jφ](k) = i

Z

Rⁿφ(x) ^∂

∂k_j(e^−ik·x)dx=i ∂

∂k_jF[φ](k). Daher ist

0=F[∇^φ+xφ] = ikbφ+i∇kφ.b

Die Fourier-Transformierte φbl ¨ost also dieselbe Differentialgleichung wieφ. Außer-dem gilt

φb(0) = Z

Rⁿe^−|x|2/2dx= Z

Re^−x21/2dx₁· · · Z

Re^−x2n/2dx_n = Z

Re^−y2/2dyn

= (2π)^n/2. Da die L ¨osung der Differentialgleichung mit Anfangswert eindeutig bestimmt ist, muss alsoφbdas(2π)^n/2-Vielfache vonφsein. Wir erhalten

e\^−|x|2/2 =φb(k) = (2π)^n/2e^−|k|2/2, k ∈^{Rn. (6.3)} Die Fourier-Transformierte der Gauß-Funktion ist also wieder ein Vielfaches der

Gauß-Funktion.

Wir wollen beweisen, dass die inverse Fourier-Transformation gleich der Inversen F⁻¹ist. Dazu beweisen wir zun¨achst einige Eigenschaften f ¨ur folgende Approximation der Delta-Distribution.

Lemma 6.3. Seien G_ε(x) = (2πε²)^−n/2e^−|x|2/2ε2 und f ∈ ^L1(^Rn). Dann gelten folgende Eigenschaften:

(1) Gb_ε(k) = e^−ε2|k|2/2, (2) G_ε(x) = (2π)⁻ⁿ

Z

RnGb_ε(k)e^ik·xdk, (3) lim

ε→⁰(G_ε∗ ^f) = f inRⁿ.

Die Funktion G_ε kann als eine Approximation der Delta-Distribution interpretiert

6.1 Fourier-Transformation und W¨armeleitungsgleichung 87

werden (siehe Abbildung 6.2), da f ¨ur Testfunktionen φ ∈ D(^Rn) nach einer Transfor-mationy=x/ε(alsody =ε⁻ⁿdx) folgt

F ¨ur den Grenzwertε→0 haben wir den Satz von der dominierten Konvergenz benutzt.

−1

Beweis. Die erste Behauptung wird durch Rechnung nachgewiesen:

Gb_ε(k) = (2πε²)^−n/2

wobei wir (6.3) verwendet haben. Die zweite Behauptung folgt nach einer ¨ahnlichen Rechnung. Wir weisen die dritte Aussage zun¨achst f ¨ur Funktionen f ∈ D(^Rn)nach:

(G_ε∗ ^f)(x) = (2πε²)^−n/2 Z

Rne^{−|x−y|2/2ε2}f(y)dy = (2π)^−n/2 Z

Rne^−|z|2/2f(x−^εz)dz.

Nach dem Satz von der dominierten Konvergenz k ¨onnen wir den Grenzwertε→^{0 mit} dem Integralzeichen vertauschen und erhalten

limε→⁰(G_ε∗ ^f)(x) = (2π)^−n/2 Z

Rne^−|z|2/2lim

ε→⁰f(x−^εz)dz = f(x).

Da L¹(^Rn)-Funktionen durch Testfunktionen approximiert werden, folgt die Aussage

auch f ¨ur solche Funktionen.

Satz 6.4 (Inversionsformel). Sei bf ∈ ^L1(^Rn) die Fourier-Transformierte einer Funktion

Beweis. Nach der Definition der Fourier-Transformation und wegen lim_ε→0Gb_ε(k) = 1, dem Satz von der dominierten Konvergenz und dem Satz von Fubini k ¨onnen wir die rechte Seite der obigen Gleichung umformulieren:

(2π)⁻ⁿ

wobei die letzte Gleichheit aus Lemma 6.3 (3) folgt.

Wir ben ¨otigen noch folgendes Resultat.

Lemma 6.5. Seien f , g ∈ ^L1(^Rn)mit bf ,gb∈ ^L1(^Rn). Dann gilt

Also ist die Fourier-Transformation von f ∗^{ggleich bf}g.b Wir kehren zum Anfangswertproblem der W¨armeleitungsgleichung (6.1) zur ¨uck.

Dazu nehmen wir an, dass dieses Problem eine L ¨osungubesitzt, so dass f ¨ur allet ≥ ⁰ u(·^,t), u_t(·^,t) ∈ ^L1(^Rn) gilt. Dann k ¨onnen wir die W¨armeleitungsgleichung Fourier-transformieren. Wir haben bereits in (6.2) gezeigt, dass die Fourier-Transformation Ab-leitungen in Produkte transformiert: F[∇^u](k) = ikF[u](k). Daraus folgt∆cu = −|^k|²ub und

0= F[u_t−^∆u](k) = u_bt+|^k|²u,b k ∈ ^Rn.

6.1 Fourier-Transformation und W¨armeleitungsgleichung 89

Dies ist eine gew ¨ohnliche Differentialgleichung f ¨ur ub(k,·), die der Anfangsbedingung b

u(k, 0) =u_b0gen ¨ugt. Eine Integration ergibt b

u(k,t) =u_b0e^−|k|2t. Wenden wir die Inversionsformel an, so erhalten wir:

u(x,t) = (2π)⁻ⁿ Z

Rne^−|k|2tub₀(k)e^ik·xdk.

Wir k ¨onnen diese Formel vereinfachen. Sei daf ¨urw= F⁻¹[e^−|k|2t]. Dann impliziert (6.4) u(x,t) = (2π)⁻ⁿ

Z

Rnwb(k,t)u_b0(k)e^ik·xdk = (2π)⁻ⁿ Z

Rnw\∗^u0(k,t)e^ik·xdk = (w∗^u0)(x,t). (6.5) Es bleibtwauszurechnen. Wir transformiereny=√

2tk und verwenden (6.3):

w(x,t) = (2π)⁻ⁿ Z

Rne^−|k|2te^ik·xdk = (2π)⁻ⁿ(2t)^−n/2 Z

Rne^−|y|2/2e^iy·x/

√2tdy

= (4πt)^−n/2(2π)⁻ⁿ Z

Rn(2π)^n/2e^−|y|2/2e^iy·x/√2tdy

= (4πt)^−n/2e^−|k|2/2

k=x/√

2t = (4πt)^−n/2e^−|x|2/4t.

Setzen wir diese Beziehung in (6.5) ein, so erhalten wir das folgende Resultat.

Proposition 6.6. Sei u eine L¨osung der W¨armeleitungsgleichung mit u(·^,t), u_t(·^,t)∈ ^L1(^Rn) f ¨ur alle t≥0. Dann gilt:

u(x,t) = (4πt)^−n/2 Z

Rne^{−|x−y|2/4t}u₀(y)dy. (6.6) Es ist nicht schwer zu zeigen, dass durch (6.6) eine L ¨osung der W¨armeleitungsglei-chung gegeben ist. Etwas schwieriger ist der (direkte) Nachweis, dass (6.6) f ¨ur t → ⁰ die Anfangsbedingung ergibt (siehe Evans, Seite 49 [7]). Da die sogenannte Fundamen-tall¨osung F(x,t) = (4πt)^−n/2e^−|x|2/4t f ¨ur t ≥ ^{0 und F}(x,t) = 0 f ¨ur t ≤ 0 (außer an (0, 0)) beliebig oft differenzierbar ist und die L ¨osung u eine Konvolution der Funda-mentall ¨osung und der Anfangsbedingung ist, k ¨onnen wiru(·^,t)f ¨urt >0 unendlich oft ableiten. Dies deutet auf eine erstaunliche Regularit¨atseigenschaft hin: Selbst bei nicht differenzierbaren Anfangsdaten ist die L ¨osung f ¨ur alle positiven Zeiten unendlich oft differenzierbar.

Außerdem besitzt die L ¨osung eineunendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Darunter verstehen wir die folgende Tatsache. Sei u₀ ≥ 0 (aber nicht identisch gleich null). Die Formel (6.6) zeigt, dassu(x,t)strikt positiv f ¨ur allex ∈ ^{Rn und}f ¨ur alle t > 0 ist. Selbst f ¨ur kleine Zeiten ist die L ¨osung ¨uberall positiv, obwohl sie zur Zeit t = 0 nur nichtne-gativ ist.

Im Dokument Partielle Differentialgleichungen (Seite 77-90)