(U| {z }−hx
=0
)∂u
∂ν −u ∂
∂ν(U| {z }−hx
=G(x,·)
)
ds+ Z
Ω U(|x−y|)−hx
| {z }
=G(x,·)
∆udy
= Z
∂Ωg ∂
∂νG(x,·)ds+ Z
ΩG(x,·)f dy
und damit die Behauptung.
Im Allgemeinen ist es schwierig, die Greensche Funktion explizit zu bestimmen, und man ben ¨otigt numerische Verfahren. In Abbildung 4.4 stellen wir die L ¨osung des Randwertproblems∆u = f inΩ,u =gauf∂ΩmitΩ = [−1.5, 1.5]×[−1, 1], f(x,y) = 2 und g(x,y) = x2+y2 dar. Die rechte Seite f kann als eine Kraft interpretiert werden, die auf den Graphen vonu wirkt, im Beispiel als eine konstante Kraft in Richtung der positivenz-Achse. Der Graph w ¨olbt sich daher in der N¨ahe des Ursprungs leicht nach oben.
Bei Problemen mit sehr einfacher Geometrie kann die Greensche Funktion explizit berechnet werden. Wir betrachten im folgenden Abschnitt zwei einfache Beispiele.
4.2 Greensche Funktionen f¨ ur die Halbebene und f¨ ur Kugeln
Wir wollen die Greensche Funktion f ¨ur die zweidimensionale Halbebene Ω = R× (0,∞) und die n-dimensionale Kugel bestimmen. Die Hauptschwierigkeit ist die Be-rechnung der Funktion hx. Hierf ¨ur verwenden wir die sogenannte Spiegelungsmethode.
Diese Technik wird insbesondere in der Elektrotechnik angewendet, um das elektrische Potential f ¨ur Punktladungen innerhalb eines Gebiets mit geeigneten “Scheinladungen”
außerhalb des Gebiets zu konstruieren.
4.2 Greensche Funktionen f ¨ur die Halbebene und f ¨ur Kugeln 49
Ω (ξ,η)
(ξ,–η) ν
Abbildung 4.5: Zur Konstruktion der Greenschen Funktion f ¨ur die Halbebene.
• Greensche Funktion f¨ur die Halbebene.Wir verwenden die Fundamentall ¨osung im R2,
U(x,y) = 1 2πln
q
x2+y2, (x,y)∈ R2, (x,y)6= (0, 0).
Die Idee der Spiegelungsmethode lautet, f ¨ur h(x,y) die Fundamentall ¨osung mit einem Pol außerhalb des betrachteten Gebiets zu verwenden, n¨amlich durch Spiegelung am Rand des Gebiets. Wir ziehen also von der Fundamentall ¨osung mit Pol in (ξ,η) (mit η >0) den an der x-Achse gespiegelten Pol(ξ,−η)ab (siehe Abbildung 4.5): ei-ne Fundamentall ¨osung in R×(0,∞). Ferner erf ¨ullt G homogene Randbedingungen, G(x,y,ξ, 0) = 0. Der ¨außere Normalenvektor an y > 0 weist in negativer y- bzw. η
und aus der Repr¨asentationsformel (4.5) folgt f ¨ur f =0 u(x,y) =
Wir zeigen, dass diese Funktion tats¨achlich das Dirichletproblem des Laplaceoperators l ¨ost:
Satz 4.5. Sei g ∈ C0(R)∩L∞(R). Die Funktion u(x,y) = 1
π Z
R
yg(ξ)
(x−ξ)2+y2dξ, x ∈R, y>0, (4.8) l¨ost das Dirichlet-Randwertproblem
∆u =0 inR×(0,∞), u =g aufR× {0}.
Die Beziehung (4.8) wird die Poissonsche Integralformel f ¨ur die Halbebene genannt.
Die Funktion K(x,y,ξ) = y/(π((x−ξ)2+y2)) heißt der Poisson-Kern f ¨ur die Halb-ebene. Man kann zeigen, dassuauf der Halbebene beliebig oft differenzierbar und be-schr¨ankt ist (siehe Evans, Seite 38 [7]). Letzteres folgt f ¨urx∈ R, y>0 aus
|u(x,y)| ≤ 1
πkgkL∞(R) Z
R
y
ξ2+y2dξ =kgkL∞(R).
Wir bemerken außerdem, dass (4.8)nichteindeutig ist; auchu(x,y) +cymitc ∈Rsind L ¨osungen. Um Eindeutigkeit der L ¨osung zu erhalten, ist es notwendig, das Verhalten f ¨ury→∞vorzugeben.
Beweis. Wir gehen wie in Evans, Seite 38 [7] vor. DaG(x,y,·,·)eine Fundamentall ¨osung ist, ist (ξ,η) 7→ G(x,y,ξ,η) harmonisch f ¨ur (x,y) 6= (ξ,η). Die explizite Darstellung von Gzeigt, dassG symmetrisch ist,G(x,y,ξ,η) = G(ξ,η,x,y). Also ist auch(x,y) 7→
G(x,y,ξ,η)harmonisch f ¨ur(x,y) 6= (ξ,η). Dann ist auchK(x,y,ξ) = −∂G(x,y,ξ, 0)/∂η harmonisch in(x,y) ∈R×(0,∞)und
∆u(x,y) = Z
Rg(ξ)∆(x,y)K(x,y,ξ)dξ =0, x∈ R, y>0.
Es bleibt zu zeigen, dassu die Dirichlet-Randwerte erf ¨ullt, d.h.u(x,y) → g(x0) f ¨ur x→ x0, y→0. Hierf ¨ur w¨ahlen wirx0 ∈ Rundε>0. Dagstetig ist, existiert einδ >0, so dass f ¨ur alleξ ∈Rmit|x0−ξ| <δ
|g(x0)−g(ξ)| < ε
2 (4.9)
erf ¨ullt ist. Eine direkte Rechnung zeigt, dass R
RK(x,y,ξ)dξ = 1 gilt. Dann folgt f ¨ur x∈ R,y >0 mit|x−x0| <δ/2
|u(x,y)−g(x0)| = Z
RK(x,y,ξ) g(ξ)−g(x0)dξ
≤ Z
|ξ−x0|<δ
K(x,y,ξ)|g(ξ)−g(x0)|dξ +
Z
|ξ−x0|≥δK(x,y,ξ)|g(ξ)−g(x0)|dξ. (4.10)
4.2 Greensche Funktionen f ¨ur die Halbebene und f ¨ur Kugeln 51
Das erste Integral auf der rechten Seite k ¨onnen wir wegen (4.9) wie folgt absch¨atzen:
Z
Abbildung 4.6:Illustration f ¨ur den Beweis der Poissonschen Integralformel.
Da das Integral auf der rechten Seite beschr¨ankt ist, konvergiert die rechte Seite f ¨ur y →0 gegen null. F ¨ur hinreichend kleinesy >0 ist die rechte Seite also kleiner alsε/2, so dass sich aus (4.10) ergibt:
|u(x,y)−g(x0)| ≤ ε 2+ ε
2 =ε.
Dies zeigt die Behauptung.
• Greensche Funktion f¨ur Kugeln. Um die Greensche Funktion zu konstruieren, ver-wenden wir wieder die Spiegelungsmethode. Wir spiegeln durch den Rand der Kugel BR(0) ⊂ Rn mit Radius R > 0. Genauer definieren wir f ¨ur x ∈ BR(0) den an ∂BR(0) gespiegelten Punkt
x = R
2
|x|2x.
Punkte auf dem Rand ∂BR(0) werden wieder auf den Rand abgebildet und das Bild des Ursprungs ist unbeschr¨ankt (siehe Abbildung 4.7). Wir definieren die Greensche Funktion wie folgt:
G(x,y) = (
U(|x−y|)−U(|Ry||x−y|) : y6=0 U(|x−y|)−U(R) : y=0,
Abbildung 4.7: Zur Konstruktion der Greenschen Funktion f ¨ur eine Kugel mit RadiusR. Bemerkung 4.6. Die Greensche Funktion kann mit Hilfe des elektrischen Potentials im
drei-dimensionalen Raum motiviert werden. Wir machen f ¨ury∈R3den Ansatz φy(x) = q
|x−y|+ q¯
|x−y¯|,
wobei φdas elektrische Potential, qeine Punktladung an der Stelle y und ¯qeine “Schein-ladung” an der Stelle ¯y (ohne physikalische Einheiten) seien. Wir wollen ¯y und ¯q aus der Forderungφy(x) = 0 f ¨ur alle|x| = Rbestimmen. Physikalisch bedeutet dies, dass wir die
“Scheinladung” so platzieren, dass das elektrische Potential am Kugelrand verschwindet.
Ausφy(x) =0 folgt
q2
|x−y|2 = q¯
2
|x−y¯|2. Formen wir diesen Bruch um, erhalten wir
q2(|x|2+|y¯|2−2x·y¯) =q¯2(|x|2+|y|2−2x·y) oder
q2(|y¯|2+R2)−q¯2(|y|2+R2) =−2(q¯2y−q2y¯)·x. (4.12)
4.2 Greensche Funktionen f ¨ur die Halbebene und f ¨ur Kugeln 53
Diese Gleichung soll f ¨ur allex ∈∂BR(0)gelten, aber die linke Seite h¨angt nicht vonxab. Es ist daher sinnvoll, beide Seiten gleich null zu setzen:
q2
q¯2 = |y|2+R2
|y¯|2+R2 und q2 q¯2 = |y|
|y¯|. (4.13)
Wir k ¨onnenqund ¯qeliminieren, indem wir beide Gleichungen gleichsetzen:
|y|
|y¯| = |y|2+R2
|y¯|2+R2, also |y|(|y¯|2+R2) =|y¯|(|y|2+R2) bzw. nach Umformulierung
(|y| − |y¯|)(R2− |y| |y¯|) =0.
Eine L ¨osung ist|y|=|y¯|, aber dies ergibt wegen (4.12)y=y,¯ q= −q¯und damit die triviale L ¨osung φy(x) = 0 oder y = y,¯ q = q¯ und folglichφy(x) = 2q/|x−y| 6= 0 f ¨ur|x| = R, was der Forderungφx(y) = 0 f ¨ur |x| = R widerspricht. Daher muss die andere L ¨osung R2=|y| |y¯|gelten. Geometrisch liegen wegen (4.12)yund ¯yauf einer Linie, also ist
¯ y= R
2
|y|2y.
Setzen wir diese Beziehung in die zweite Gleichung von (4.13) ein, so erhalten wirq2/ ¯q2 =
|y|2/R2und folglich ¯q=−qR/|y|. Wir fassen zusammen:
φy(x) = q
|x−y|− |y| q
R|x−y¯|.
Dies entspricht gerade (f ¨urq=1) der Greenschen FunktionG(x,y)imR3. Es gelten die folgenden Eigenschaften.
Lemma 4.7. F ¨ur die Greensche Funktion(4.11)gilt f ¨ur alle x, y ∈ BR(0) G(x,y) = G(y,x) und G(x,y) ≤0.
Beweis. Die Symmetrie vonGfolgt aus der Symmetrie des Skalarprodukts und der Dar-stellung (4.11). Die zweite Eigenschaft folgt aus der Ungleichung
|x|2+|y|2 = |x|2|y|2
R2 +|{z}|x|2
≤R2
1−|y|2 R2
+|y|2≤ |x|2|y|2
R2 +R2 f ¨ur alle|x|, |y| ≤ R und der Tatsache, dass die Fundamentall ¨osungU, definiert in Satz 4.1, monoton
wach-send ist.
Wir k ¨onnen die Eigenschaften vonGaus Lemma 4.7 physikalisch interpretieren. Da-zu erinnern wir, dassG(x,·)die Differentialgleichung∆G(x,·) = δxinBR(0)erf ¨ullt und homogene Dirichlet-Randwerte hat (siehe (4.4)). Wir k ¨onnenG(x,y)als die Temperatur an der Stelle y interpretieren, wenn sich an der Stelle x eine Temperatursenke befin-det. Die durch die Senke verursachte Temperatur liegt unter der Randtemperatur, die gleich null ist:G(x,y) ≤ 0 f ¨urx, y ∈ BR(0). Die Symmetrie vonGbedeutet dann, dass die durch eine an der Stelle xbefindliche W¨armesenke verursachte Temperatur an der Stelley gleich ist der Temperatur an der Stelle x, die durch eine Senke an yverursacht wird.
Bevor wir das Dirichletproblem l ¨osen, zeigen wir einige Eigenschaften f ¨ur harmoni-sche Funktionen, also f ¨ur die L ¨osungen der Laplace-Gleichung.
Satz 4.8. (i) Sei u ∈ C2(BR(0)) eine harmonische Funktion. Dann gilt die Poissonsche Integralformelf ¨ur Kugeln
u(x) = R2− |x|2 RSn
Z
∂BR(0)
u(y)
|x−y|nds(y), x∈ BR(0). (4.14) (ii)Eine in einer offenen MengeΩharmonische Funktion liegt in C∞(Ω).
Dieser Satz zeigt zwei erstaunliche Eigenschaften harmonischer Funktionen. Teil (i) sagt aus, dass die Werte einer harmonischen Funktion in einer Kugel vollst¨andig durch die Werte auf dem Kugelrand bestimmt sind. Teil (ii) dr ¨uckt eine Regularisierungs-eigenschaft des Laplace-Operators aus: Erf ¨ullt eine klassische L ¨osung u die Laplace-Gleichung, so ist sie automatisch unendlich oft differenzierbar. Beachte allerdings, dass unicht notwendigerweise glatt bis zum Rand ist, d.h., dassu ∈ C∞(Ω)nichtunbedingt gelten muss. ¨Ahnlich wie bei der Halbebene wird die Funktion
K(x,y) = R2− |x|2 RSn|x−y|n derPoisson-Kernf ¨ur die Kugel genannt.
Beweis. Eine Rechnung zeigt, dass f ¨ury∈ ∂BR(0)
∂G
∂νy =∇yG· y R = R
2− |x|2 RSn
1
|x−y|n
gilt. Damit folgt Teil (i) aus der Repr¨asentationsformel (4.5). Um Teil (ii) zu beweisen, bemerken wir, dass der Poisson-Kern beliebig oft differenzierbar in x ∈ BR(0) ist (f ¨ur y ∈ ∂BR(0)), also gilt die Aussage f ¨ur Kugeln. Bei einer beliebigen offenen Menge Ω w¨ahlen wir x ∈ Ω. Dann existiert eine Kugel mit Mittelpunkt x, die vollst¨andig inΩ liegt. Wir k ¨onnen die Aussage auf diese Kugel anwenden und erhalten die
Differenzier-barkeit anx.
4.2 Greensche Funktionen f ¨ur die Halbebene und f ¨ur Kugeln 55
Abbildung 4.8: L ¨osung der Poisson-schen Integralformel im Einheitskreis mitg(x,y) =x+y2.
Wie bei der Halbebene liefert die Poissonsche Integralformel eine klassische L ¨osung des Dirichlet-Problems.
Satz 4.9. Sei g ∈ C0(∂BR(0)). Dann ist u(x) = R
2− |x|2 RSn
Z
∂BR(0)
g(y)
|x−y|nds(y) eine L¨osung von
∆u =0 in BR(0), u =g auf∂BR(0).
Wir illustrieren die L ¨osunguin Abbildung 4.8, wobei wirR=1 undg(x,y) = x+y2 gew¨ahlt haben.
Beweis. Der Beweis ist ¨ahnlich wie der Beweis von Satz 4.5. Es ist die Stetigkeit an den Randpunkten zu zeigen. Dazu bemerken wir, dass die Poissonsche Integralformel (4.14), angewendet aufu=1, die Beziehung
Z
∂BR(0)K(x,y)ds(y) =1 (4.15)
ergibt. Seien nun x0 ∈ ∂BR(0)undε > 0. Wegen der Stetigkeit vong existiertδ > 0, so dass aus |y−x0| < δfolgt|g(y)−g(x0)| < ε/2. F ¨ur alle x ∈ BR(0)mit|x−x0| < δ/2
folgt dann wegen (4.15) x| ≥ δ/2 (siehe Abbildung 4.9), so dass das Integral auf der rechten Seite beschr¨ankt ist:
Z
Abbildung 4.9: Illustration f ¨ur den Beweis der Poissonschen Integralformel.
In diesem Abschnitt beweisen wir weitere Eigenschaften f ¨ur die L ¨osung der Laplace-oder Poisson-Gleichung. Zuerst zeigen wir, dass die L ¨osung der Laplace-Gleichung, ausgewertet an einem Punktx, gleich dem Mittelwert der Funktion ¨uber die Oberfl¨ache einer Kugel mit Mittelpunktxist. Es gilt sogar mehr:
Satz 4.10 (Mittelwerteigenschaft). SeiΩ ⊂Rn ein Gebiet. F ¨ur u ∈ C2(Ω)gelte∆u =