Ruckfuhrung auf andere Reihentypen

Wie im Falle von Fourier-Reihen kann man Orthogonalentwicklungen auf komplexe Po-tenzreihen zuruckfuhren. Bei Fourier-Reihen wurden dazu die trigonometrischen Funktio-nen durch komplexe ExpoFunktio-nentialfunktioFunktio-nen dargestellt, wodurch nach Ausmultiplizieren die Fourier-Reihe als Summe komplexer Potenzreihen geschrieben konnte, die dann ande-ren Verfahande-ren zur Konvergenzbeschleunigung zuganglich waande-ren.

170 KAPITEL 5. ORTHOGONALENTWICKLUNGEN Tabelle 5.39: Beschleunigung der Entwicklung (5.151) fur x= 0:9 mit Frequenzvervielfa-chung = 3.

m n sm s⁰_n lg^j1 sm=s^j lg^j1 s⁰_n=s^j

18 6 1.72956738 1.699200064417397 1.75 3.56

24 8 1.68299191 1.699692606169673 2.01 4.86

30 10 1.70722867 1.699667944571655 2.35 6.20

36 12 1.69847571 1.699669019029939 3.15 8.41

42 14 1.69670035 1.699669032387828 2.76 8.40

48 16 1.70493856 1.699669024755232 2.51 9.31

54 18 1.69363821 1.699669025656950 2.45 10.40

60 20 1.70527158 1.699669025585073 2.48 11.63

66 22 1.69530790 1.699669025589124 2.59 13.18

72 24 1.70235381 1.699669025589018 2.80 14.47

1 1.69966903 1.699669025589012

s⁰_n =^K([[n=2]])_{n 2[[n=2]]}(^f(n+1=2) ^1g;^f_n⁽⁰⁾ =n+2;⁽¹⁾_n = (2n+5)x;_n⁽²⁾ =n+3^g;^fs n^g;^f( n+ 1) ^1g)^g

Auf Sidi [323] geht die Idee zuruck, dies auf Entwicklungen der Form F(x) = ^X1

n=0[ann(x) +bn n(x)] (5.154) zu verallgemeinern, wobei die Funktionen n(x) und n(x) sich durch

_n(x) =n(x) i n(x) = exp(inx)g_n(x) (5.155) fur ^2R mit

g_n(x)n ^X1

j=0_j(x)n ^j ( ^2C; n^!1) (5.156) darstellen lassen. Fur Fourier-Reihen gilt n(x) = cos(nx), n(x) = sin(nx), _n = exp(inx) und g_n(x) = 1. Fur Entwicklungen nach Legendre-Polynomen Pn(x) oder den zugeordneten Legendre-Funktionen zweiter Art Qn(x) der Ordnung Null kann man n() = Pn(x) und n() = (2=)Qn(x) mit x = cos setzen, entsprechend = 1 und = 1=2.

Sidi hat folgendes Verfahren vorgeschlagen [323]:

Schritt 1

Deniere unendliche Reihen A(x) und B(x) durch A(x) = ^X1

n=0an(x); B(x) = ^X1

n=0bn(x) (5.157)

Tabelle 5.40: Beschleunigung der Entwicklung (5.151) fur x= 0:95.

n sn s⁰_n lg^j1 sn=s^j lg^j1 s⁰_n=s^j

10 2.06521047 1.986952242722736 1.43 2.67

12 2.00096358 1.991597424640241 2.31 3.74

14 1.95499868 1.991452227256958 1.74 3.96

16 1.93652358 1.991114507836142 1.56 4.23

18 1.94333723 1.991260477172072 1.62 4.85

20 1.96599696 1.991230748045800 1.90 6.07

22 1.99255944 1.991224003588190 3.18 5.37

24 2.01279672 1.991180321708399 1.97 4.58

26 2.02095725 1.990863195431544 1.83 3.73

28 2.01661234 1.988301605367751 1.89 2.83

30 2.00370421 1.965065395109215 2.20 1.88

1 1.99123245 1.991232445939118

s⁰_n=^K([[n=2]])_{n 2[[n=2]]}(^f(n+ 1=2) ^1g;^f(j)_n ^g;^fsn^g;^f(n+ 1) ^1g)^g und beachte

F(x) = ^X1

n=0an(x_{) = 12[}A⁺(x) +A (x)]; F (x) = ^X1

n=0bn (x_{) = 12i[}B⁺(x) B (x)]; F(x) =F(x) +F (x):

(5.158)

Schritt 2

Wende die d^(m)-Transformation mit geeignetem m an, um die Grenzwerte der ReihenA(x) und B(x) naherungsweise zu berechnen.

Schritt 3

Verwende diese Naherungswerte in Verbindung mit Gl. (5.158), um ein Nahe-rungswert vonF(x) zu berechnen.

Diese Methode setzt voraus, da die Koezienten an und bn unabhangig voneinander bekannt sind, also nicht nurann(x) +bn (x) als kombinierter Zahlenwert vorliegt.

Fur \glatte", nichtoszillierende Koezienten an und bn empehlt Sidi fur Schritt 2 died⁽¹⁾-Transformation, fur Koezienten dagegen, die selbst wieder oszillieren, die d^(m) -Transformationen mitm >1. In der Nahe von Singularitaten wird dabei die Verwendung von Rl =l empfohlen, was ja der Methode der Frequenzvervielfachung entspricht.

Im Falle von Fourier-Reihen entspricht der Vorschlag von Sidi dem Verfahren der zugeordneten Potenzreihen. Wir haben oben gezeigt, da dieses verallgemeinert werden kann, falls die Fourier-Koezienten selbst Produkte von trigonometrischen Funktionen mit nichtoszillierenden Termen sind.

172 KAPITEL 5. ORTHOGONALENTWICKLUNGEN Tabelle 5.41: Beschleunigung der Entwicklung (5.151) fur x = 0:95 mit Frequenzverviel-fachung = 4.

m n sm s⁰_n lg^j1 sm=s^j lg^j1 s⁰_n=s^j

40 10 1.98394066 1.991229380519015 2.44 5.81

48 12 2.00230611 1.991232598679281 2.25 7.12

56 14 1.98092858 1.991232444088088 2.29 9.03

64 16 1.99804299 1.991232445174612 2.47 9.42

72 18 1.98886705 1.991232446064134 2.93 10.20

80 20 1.98967116 1.991232445925916 3.11 11.18

88 22 1.99524744 1.991232445940219 2.70 12.26

96 24 1.98657823 1.991232445939061 2.63 13.55

104 26 1.99493548 1.991232445939134 2.73 14.07

112 28 1.98945221 1.991232445939121 3.05 14.78

120 30 1.99089148 1.991232445939101 3.77 14.09

1 1.99123245 1.991232445939118

s⁰_n =^K([[n=2]])_{n 2[[n=2]]}(^f(n+1=2) ^1g;^f_n⁽⁰⁾ =n+2;⁽¹⁾_n = (2n+5)x;_n⁽²⁾ =n+3^g;^fs n^g;^f( n+ 1) ^1g)^g

Es stellt sich die Frage, ob man auch diese Verallgemeinerung auf den Fall von Ent-wicklungen nach Orthogonalpolynomen ubertragen kann. Dies kann in der Tat geschehen, wenn die Koezienten selbst wieder Produkte von oszillierenden Funktionen sind, wenn also Reihen von dem Typ

s= ^X1

n=0 K

Y

j=1[a^(j)_n ^(j)_n (x^(j)) +b^(j)_{n n}^(j)(x^(j))] (5.159) vorliegen, wobei die Funktionen ^(j)_n (x^(j)) und _n^(j)(x^(j)) die oben an n(x) und n(x) gestellten Bedingungen erfullen, so da Funktionen ^(j;_n ⁾(x^(j)) = ^(j)_n (x^(j)) i ^(j)_n (x^(j)) existieren. Dazu ersetzt man mittels

^(j)_n (x^(j)_{) = 12[}^(j;+)_n (x^(j))+^{(j; )}_n (x^(j))]; _n^(j)(x^(j)_{) = 12i[}^(j;+)_n (x^(j)) ^{(j; )}_n (x^(j))] (5.160) alle Funktionen ^(j)_n (x^(j)) und ^(j)_n (x^(j)), und erhalt

s= ^X1

n=0 K

Y

j=1

1

2^fa^(j)_n ib^(j)_n ^g(j;+)_n (x^(j)_{) + 12}^fa^(j)_n + ib^(j)_n ^{g(j; )}_n (x^(j)) : (5.161) Ausmultiplizieren zeigt dann, da man die Reihe s als Linearkombination von 2^K Reihen darstellen kann, deren Terme jeweils Produkte von Ausdrucken (a^(j)_n ib^(j)_n )=2^(j;_n⁾(x^(j)

sind. Diese 2^KReihen kann man nun einzeln extrapolieren, wobei einfachere Verfahren aus-reichen. Der numerische Aufwand fur das neue Extrapolationsverfahren ist relativ gering.

Er betragt das 2^K-fache des Aufwandes fur diese einfacheren Verfahren. Falls insbesondere die Koezientena^(j) undb^(j) glatt sind, bieten sich hier alle Verfahren an, mit denen man lineare oder logarithmische Konvergenz beschleunigen kann, so da man auf die algorith-misch komplizierteren Verfahren wie died^(m)-Transformation mit m >1 verzichten kann.

Das Endergebnis ergibt sich dann durch Linearkombination der so gewonnenen Naherun-gen. Auch im Falle von Orthogonalentwicklungen bezeichnen wir diese Vorgehensweise als die verallgemeinerte Methode der zugeordneten Reihen.

Dies sei an einem Beispiel erlautert. Wir betrachten s=G(;) = ^X1

j=0cos((j+ 1=2))Pj(cos )

=

8

<

:

[2(cos cos)] ¹⁼² fur 0 < <

0 fur 0< <

(5.162) mit einer Singularitat bei=. Die Partialsummen sind

sn =^Xn

j=0cos((j + 1=2)):Pj(cos ) (5.163) Direkte Beschleunigung der rellen Reihe kann mit d⁽⁴⁾ erfolgen, wohingegen im oben beschriebenen Verfahren von Sidi einerseits die Moglichkeit besteht, die Reihe als Fourier-Reihe

G() =^X1

j=0fjcos((j + 1=2)) (5.164) mit Koezientenfj =Pj(cos ) aufzufassen und die zugeordneten Reihen

F=^X1

j=0fjexp(i(j+ 1=2)) (5.165) mit derd⁽²⁾-Transformation zu beschleunigen, oder andererseits, die Reihe als Entwicklung nach Legendre-Polynomen

G() =^X1

j=0ajPj(cos ) (5.166)

aufzufassen mit den Koezienten aj = cos((j + 1=2)) und die zugeordneten Reihen A() undB() zu extrapolieren, wozu wieder died⁽²⁾-Transformation benotigt wird. In beiden Fallen kann man im Vergleich zur Verwendung derd⁽⁴⁾-Transformation die Zahl der fur eine bestimmte Genauigkeit benotigten Koezienten der ursprunglichen Reihe etwa halbieren. [323]

174 KAPITEL 5. ORTHOGONALENTWICKLUNGEN Das hier neu eingefuhrte, verallgemeinerte Verfahren stellt die Reihe (5.162) als Summe s=p1+p2+p3+p4 der vier Reihen

p1 =^X1

j=0

14 exp(i(j + 1=2))_+j(); p2 =^X1

j=0

14 exp( i(j + 1=2))_j(); p3 =^X1

j=0

14 exp(i(j + 1=2))_j(); p4 =^X1

j=0

14 exp( i(j+ 1=2))_+j();

(5.167)

mit _j () = Pj(cos)i(2=)Qj(cos) (5.168) dar. Die vier Reihen kann man zum Beispiel mit der Levin-Transformation beschleunigen.

Hierbei kann man in der Nahe der Singularitat Frequenzvervielfachung einsetzen. Als Naherung ergibt sich so bei Frequenzvervielfachung mit

G⁽⁾_n =^X4

j=1^L

(0)n (1;[pj;n]^jn=0;[(n+ 1)(pj;n pj;(n) 1)]^jn=0) (5.169) mit den n-ten Partialsummen pj;n, wobei die angegebenen Varianten der Levin-Transfor-mation gleichbedeutend mit der Anwendung der d⁽¹⁾-Transformation mit Rl = l sind.

Der Wert = 1 entspricht dem Verfahren ohne Frequenzvervielfachung.

Wie schneidet das neue Verfahren numerisch ab? Um den Vergleich mit den Verfahren von Sidi zu erleichtern, behandeln wir zwei Wertepaare (;), fur die Sidi Ergebnisse angegeben hat [323, Tabellen 6,7], die mit einer Maschinengenauigkeit von etwa 33 Stellen erzielt wurden. Wir verwenden hier Maple mit Digits=32, was einen direkten Vergleich der Resultate erlaubt.

Im ersten Fall setzen wir = =6 und = 2=3. Dies bedeutet einen relativ groen Abstand zur Singularitat bei =. Die entsprechenden Ergebnisse des neuen Verfahrens sind in Tabelle 5.42 dargestellt. Man sieht, da die nicht extrapolierte Reihe langsam konvergiert. Verwendung des neuen Verfahrens liefert eine starke Konvergenzverbesserung:

Um eine zusatzliche Stelle Genauigkeit zu gewinnen, mu man einen weiteren Koezienten der ursprunglich Reihe verwenden. Der Quotient Stellenzahl/(Zahl der Koezienten) ist also etwa Eins. Das von Sidi vorgeschlagene Verfahren unter Verwendung derd⁽²⁾ -Transfor-mation liefert [323, Tab. 6] nur etwa eine neue Stelle fur je zwei weitere Koezienten, der entsprechende Quotient ist also nur etwa 1/2. Fur vorgegebene Genauigkeit benotigt das neue Verfahren also nur etwa die Halfte der Koezienten wie das von Sidi vorgeschlagene Verfahren.

Im zweiten Fall setzen wir = 0:6 und = 2=3. Dies ist schon ziemlich nahe an der Singularitat bei = . Deshalb wird = 10 gewahlt, was auch den Vergleich zu den Ergebnissen von Sidi mit Rl = 10l erlaubt [323, Tab. 7]. Die entsprechenden

Tabelle 5.42: Beschleunigung der Reihe (5.162) durch Ruckfuhrung auf vier komplexe Reihen fur==6 und = 2=3

n lg^j(sn s)=s^j lg(G⁽¹⁾_n s)=s

6 0.8 6.4

8 1.8 9.1

10 1.3 10.5

12 0.9 12.3

14 1.9 14.5

16 1.4 17.2

18 1.0 18.4

20 1.9 20.3

22 1.5 22.6

24 1.1 24.7

26 2.0 26.3

28 1.5 28.3

30 1.1 30.2

Ergebnisse des neuen Verfahrens sind in Tabelle 5.43 dargestellt. Man sieht, da die nicht extrapolierte Reihe noch langsamer konvergiert als im vorigen Fall. Der Wert zu n = 30 entspricht s300, und die Genauigkeit ist geringer als zwei Stellen. Verwendung des neuen Verfahrens liefert wieder eine starke Konvergenzverbesserung: Um eine zusatzliche Stelle Genauigkeit zu gewinnen, mu man im Mittel etwas weniger als einen weiteren Term der frequenzvervielfachten Reihe verwenden. Man erhalt beispielsweise etwa 21 Stellen fur 1019+1 = 191 Koezienten sowie etwa 27 Stellen fur 241 Koezienten der ursprunglichen Reihe. Der Quotient Stellenzahl/(Zahl der Koezienten der ursprunglichen Reihe) ist also etwa 0.11. Das von Sidi vorgeschlagene Verfahren unter Verwendung derd⁽²⁾ -Transforma-tion liefert laut Tab. 7 aus [323] nur etwa eine neue Stelle fur je zwei weitere Koezienten der frequenzvervielfachten Reihe. Man erhalt beispielsweise durch die Anwendung derd⁽² -Transformation auf die komplexe Legendre-Reihe nach dem Vorschlag von Sidi 21 Stellen aus 482 Koezienten sowie 27 Stellen aus 642 Koezienten der ursprunglichen Reihe [323, Tab. 7], der Quotient Stellenzahl/(Zahl der Koezienten der ursprunglichen Reihe) ist also nur etwa 0.04. Fur vorgegebene Genauigkeit benotigt das neue Verfahren also in diesem Fall nur etwa 35-40% der Koezienten, die in dem von Sidi vorgeschlagenen Verfahren auf der Basis derd⁽²⁾-Transformation berechnet werden mussen.

Zusammenfassend kann man fur dieses Beispiel sagen, da fur vorgegebene Genauigkeit das neue Verfahren etwa die Halfte der Koezienten benotigt wie das d⁽²⁾-Verfahren auf der Grundlage der komplexen Legendre-Reihen, und etwa ein Viertel der Koezienten wie dasd⁽⁴⁾-Verfahren auf der Grundlage der reellen Reihe selbst. Der numerische Aufwand fur

176 KAPITEL 5. ORTHOGONALENTWICKLUNGEN Tabelle 5.43: Beschleunigung der Reihe (5.162) durch Ruckfuhrung auf vier komplexe Reihen fur = 0:6 und = 2=3 mit Frequenzvervielfachung auf = 10

n lg^j(s n s)=s^j lg(G⁽⁾_n s)=s

6 1.0 6.4

8 1.3 7.7

10 0.9 11.4

12 1.2 14.0

14 1.4 15.8

16 1.0 18.1

18 1.3 20.3

20 1.5 22.6

22 1.1 24.9

24 1.3 27.3

26 1.6 29.7

28 1.2 31.2

30 1.4 29.9

das neue Verfahren ist in diesem Fall das Vierfache des Aufwandes fur eine entsprechende Levin-Transformation einer komplexen Reihe.

Wir bemerken nochmals, da man bei der verallgemeinerten Methode der zugeord-neten Reihen statt der Levin-Transformation auch andere Transformationen wie den -Algorithmus oder die^J-Transformation verwenden kann.

Zusammenfassend lat sich sagen, da die (neu eingefuhrte) verallgemeinerte Methode der zugeordneten Reihen, gegebenenfalls in Kombination mit Frequenzvervielfachung, ein sehr leistungsfahiges Verfahren zur Extrapolation von Orthogonalentwicklungen darstellt.

Kapitel 6

Im Dokument Zahlen-, Vektor- und Matrizenfolgen und ihre Anwendung in der (Seite 181-189)