Goldhammer-Feenberg- und Feenberg-Reihe

Goldhammer und Feenberg [111, 132] haben¹ vorgeschlagen, den Hamilton-Operator H dadurch neu zu zerlegen, da man den ungestorten Hamilton-Operator H0 mit einem konstanten Faktor gema

H0() = (1 )H0 (6.4)

renormiert. Dies nennen wir im folgenden die Feenberg-Skalierung. Kennt man das Spek-trum von H0, so ist naturlich auch das Spektrum von H0() vollstandig bekannt, so da man problemlos eine Storungstheorie auf H0() aufbauen kann. Fur den gesamten Hamilton-Operator erhalt man die Zerlegung

H =H0() +V(); V() =V +H0: (6.5) Diese Zerlegung fuhrt zu einer renormierten Storungsreihe

E() =E0() +E1() +E2() +E3() +E4() +E5() +::: (6.6)

1Sie verwendeten ursprunglich die Brillouin-Wigner-Storungstheorie. Der Vorschlag lat sich selbst-verstandlich auch fur die Rayleigh-Schrodinger-Storungstheorie verwenden.

mit Partialsummen | also renormierten Gesamtenergienn-ter Ordnung | E⁽ⁿ⁾() = ^Xn

j=0Ej(): (6.7)

Diese hangen von renormierten Beitragen j-ter Ordnung Ej() ab, die durch [111, Eq.

(12)]

E0() = (1 )E0; E1() = E1+E0; En() = 1

(1 )^{n 1}

n

X

j=2

n 2 j 2

!

( )^{n j}Ej ; (n2) (6.8) gegeben sind. Fur die Berechnung dieser renormierten Beitrage bis zurn-ten Ordnung sind bei bekanntem demnach nur die energetischen Beitrage Ej mit 0 j n erforderlich.

Es sei auerdem bemerkt, da furn >2 der energetische BeitragEn() bis auf den Faktor (1 )^{1 n} ein Polynom (n 2)-ten Grades ist.

In erster Ordnung ist die Gesamtenergie invariant unter der Feenberg-Skalierung, weil E⁽¹⁾() =E⁽¹⁾ gilt. In zweiter Ordnung gilt

E⁽²⁾() =E⁽¹⁾+E2=(1 ): (6.9) Die FunktionE⁽²⁾() hat also einen Pol bei= 1 und nimmt alle reellen Werte an, wenn die reellen Zahlen durchlauft. Die ursprungliche Zerlegung entspricht = 0 und ist fur E⁽²⁾() in keiner Weise ausgezeichnet.

Es stellt sich die Frage, wie der Parameter zu wahlen ist, um fur gegebene Ordnung n > 2 der Storungsreihe eine moglichst gute Approximation E⁽ⁿ⁾() der Gesamtenergie zu erhalten. Die entscheidende Beobachtung dazu ist, da der exakte Wert der Gesamt-energie selbstverstandlich nur vonH abhangt, nicht aber von der gewahlten Zerlegung in gestorten und ungestorten Anteil. Dies legt nahe, den Wert von so zu bestimmen, da die Approximation E⁽ⁿ⁾() moglichst wenig von abhangt, also stationar ist bezuglich einer Variation von. Furn= 2 versagt diese Vorgehensweise ubrigens, daE⁽²⁾() keinen stationaren Punkt fur endliche hat. Die Stationaritat kann man durch die Forderung

0 = dE⁽ⁿ⁾

d ⁽⁽ⁿ⁾); dE⁽ⁿ⁾

d ⁽) = (n 1)En()=(1 ); (n >2) (6.10) an den optimalen Wert = ⁽ⁿ⁾ bezuglich der Gesamtenergie n-ter Ordnung erreichen.

Der angegebene Zusammenhang zwischen der Ableitung der Gesamtenergien-ter Ordnung nach und dem energetischen Beitrag En ergibt sich dabei durch explizite Rechnung.

Ist der optimale Wert bekannt, so erhalt man die entsprechende Goldhammer-Feenberg-Energie n-ter Ordnung gema

GFn =E⁽ⁿ⁾(⁽ⁿ⁾): (6.11)

Wir halten fest, da sich fur n > 2 der optimale Wert ⁽ⁿ⁾ in n-ter Ordnung als Nullstelle eines Polynoms (n 2)-ten Grades mit reellen Koezienten bestimmen lat.

Folglich gibt es furn >3 mehr als eine Losung fur⁽ⁿ⁾, namlich (n 2) optimale-Werte,

180 KAPITEL 6. ST ORUNGSTHEORETISCHE METHODEN und demnach auch ebensoviele Goldhammer-Feenberg-Energien. Ist n > 2 ungerade, so ist der Polynomgrad ungerade und damit die Existenz mindestens einer reellen Losung fur garantiert. Die entsprechende Goldhammer-Feenberg-Energie ist dann auch reell. Unter den anderen Losungen konnen Paare von komplex-konjugierten Losungen auftreten, zu denen im allgemeinen Paare von komplex-konjugierten Goldhammer-Feenberg-Energien gehoren. Diese sind nicht sinnvoll, wenn man gebundene Zustande betrachtet, konnen aber fur die Beschreibung von ungebundenen Zustanden (z.B. Resonanzen beim Stark-Eekt) eine Rolle spielen.

Die Stationaritat der Gesamtenergie n-ter Ordnung ist verwandt mit dem Konzept der ordnungsabhangigen Abbildung (order-dependent mapping) [12, Sec. 18].

Keine Probleme mit Vieldeutigkeit und/oder komplexen Losungen gibt es fur n = 3.

In diesem Fall gilt

⁽³⁾ =E3=E2: (6.12)

Wenn man approximativ annimmt, da sich die energetischen Beitrage wie in einer geometrischen Progression verhalten, da also Ej =E0q^j gilt, dann folgt fur n >1

En() =E0q²(1 )^{1 n}(q )^{n 2}; (6.13) und die GesamtenergieE⁽ⁿ⁾() ist stationar fur=qfur allen >2. In diesem Falle konnte man also in jeder Ordnung denselben Wert von benutzen, den man auch als Quotient E3=E2 berechnen konnte. Fur diesen Fall erhalt man uber die Stationaritatbedingung

ubrigens das exakte Resultat E⁽ⁿ⁾(q) = E0=(1 q) fur allen 2.

Daher ist die sogenannte Feenberg-Reihe [307], deren Partialsummen uber

Fn=E⁽ⁿ⁾(⁽³⁾) = E⁽ⁿ⁾(E3=E2) (6.14) deniert sind, ein Spezialfall der sogenannten Geometrischen Approximation [6, 31, 308, 393]. Ahnlich wie der ursprungliche Zugang von Goldhammer and Feenberg [132, 111] er-fordert die Berechnung der Feenberg-Reihe nur die TermeEj der ursprunglichen Storungs-reihe. Explizit gilt

F3 =E0 +E1+E₂₂=(E2 E3); (6.15) was mit der Pade-Approximation [2/1] ubereinstimmt, sowie

F4 =E0+E1+ E2

Auerdem giltF3 =GF3.

Fur n= 4 ergeben sich zwei Goldhammer-Feenberg-Energien. Diese sind allerdings in allen von uns betrachteten Anwendungen komplex-konjugiert. Ihr Mittelwert ist reell und wird im folgenden als GF4b bezeichnet.

Fur n= 5 gibt es stets eine reelle Goldhammer-Feenberg-Energie GF5 =E0+E1 1

(als Nullstelle eines reellen, kubischen Polynoms).

Den Mittelwert der anderen beiden, in den betrachteten Anwendungen stets komplex-konjugierten Energien nennen wir GF5b. Dies ist stets eine reelle Groe.

Wir betrachten als einfaches Beispiel den Hamilton-Operator

H =p²+ (1 +)x² (6.19)

eines eindimensionalen, harmonischen Oszillators mit Grundzustandsenergie E =^p1 +=^X1

j=0

( 1=2)j

j! ( )^j (6.20)

fur^jj<1. Aus der angegebenen Taylor-Reihe in liest man fur die Zerlegung

H0 =p²+x² V =x² (6.21)

die energetischen Beitrage

Ej = ( 1=2)j

j! ( )^j (6.22)

182 KAPITEL 6. ST ORUNGSTHEORETISCHE METHODEN ab.Dann ergibt sich F4 =F5 =GF5, da E3=E2 auch Nullstelle von E5() ist. Auerdem gilt

E⁽⁴⁾ E = 7

256⁵+ 211024⁶ ₂₀₄₈^{33 7}+O⁸

GF4b E = 5

2048⁶ ₄₀₉₆^{25 7}+O⁸

E⁽⁵⁾ E = 21

1024⁶ ₂₀₄₈^{33 7}+O⁸

GF5 E = 1

1024⁶ ₂₀₄₈^{5 7}+O⁸

GF5b E = 7

2048⁶+ 354096⁷+O⁸

(6.23)

Man sieht also, da fur dieses Beispiel die fuhrende Ordnung des Fehlers beim Ubergang von E⁽⁴⁾ zu F4 bzw. GF4b ganz eliminiert wird und der Fehler in der folgenden Ordnung ⁶ um den Faktor 21 bzw. 8.4 reduziert wird. Vergleicht man E⁽⁵⁾ mit GF5 bzw. GF5b, so wird der Fehler in fuhrender Ordnung jeweils deutlich reduziert.

Abschlieend soll noch der Einu eines konstanten Faktors cuntersucht werden, mit dem alle Terme der ursprunglichen Storungsreihe multipliziert werden, gema Ej ^!cEj

fur allej. Aus der Denition sieht man sofort, da dann auch Ej()^!cEj() fur alle j und folglich auchE⁽ⁿ⁾()^!cE⁽ⁿ⁾() fur jeden festen Wert von gilt. Damit bleiben alle Extrema von E⁽ⁿ⁾() bzw. Nullstellen von En() invariant, also ^{(n) !(n)}. Damit folgt Fn ^! cFn und GFn ^! cGFn fur alle Feenberg- und Goldhammer-Feenberg-Energien.

Fat man diese als Funktion der Terme Ej der ursprunglichen Storungsreihe auf, so kann man also

Fn(cE0;:::;cEn) =cFn(E0;:::;En) (6.24) und GFn(cE0;:::;cEn) =cGFn(E0;:::;En) (6.25) schreiben, wobei man im Falle der Goldhammer-Feenberg-Energien dieselbe Nullstelle⁽ⁿ⁾ verwendet.

Im Dokument Zahlen-, Vektor- und Matrizenfolgen und ihre Anwendung in der (Seite 190-194)