Der Kern der J -Transformation

In diesem Abschnitt studieren wir den Kern der^J-Transformation. Das Ziel ist demnach, alle Folgen^fsn^gzu nden, fur die die Transformation den (Anti-)Limessexakt mit endlich vielen Operationen liefert.

46 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN

Beweis:

Fur eine Folge der Form (3.102) folgt aus Gl. (3.101) (s^(k)_n s)=!^(k)_n = Die Darstellung (3.99) impliziert in Verbindung mit (3.40), da der Ausdruck in den ge-schweiften Klammern verschwindet und demnach die Transformation fur die Folge (3.102) exakt ist:

s^(k)_n =^J(k)_n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g) = s : (3.104) Wenn umgekehrt Gl. (3.104) gilt, dann folgt aus Gl. (3.40)

^{r(k 2)}_n ^r(0)_n [sn=!n] =s^{r(k 2)}_n ^r(0)_n [1=!n]: (3.105) Dies ist gleichbedeutend mit

r(k 2)n ^r(0)n [sn=!n] =s^{r(k 2)}_n ^r(0)_n [1=!n] +ck 1 (3.106) mit irgendeiner Konstante ck 1. Verwendung der Denition von ^{r(k 2)}_n fuhrt auf

^{r(k 3)}_n ^r(0)_n [sn=!n] =s^{r(k 3)}_n ^r(0)_n [1=!n] +ck 1^{(k 2)}_n : (3.107) Summation uber n resultiert in

r

(k 3)

n ^r(0)n [sn=!n] =s^{r(k 3)}_n ^r(0)_n [1=!n] +ck 1 n 1^X

n^{k 1}=0^{(k 2)}_n^{k 1} +ck 2: (3.108)

Ahnlich konnen alle Operatoren^r(j)n nacheinander fur immer kleinerej eliminiert werden.

Dies fuhrt schlielich auf Gl. (3.102). ² Man betrachte Modellfolgen der Form

s^(k)_n =s+!^(k)_n ^{K k 1X}

j=0 c^(k)_j ^(k)_j;n; (3.109)

mit !^(k)_n ⁶= 0 und Hilfsfolgen ^(k)j;n mit ^(k)0;n = 1. Fur k = 0 hangen die Modellfolgen von K unabhangigen Koezienten c⁽⁰⁾j ab. Diese Modellfolgen werden jetzt in Beziehung zu fruheren Darstellungen fur den Kern gebracht.

Gleichung (3.34) hat zur Folge, da die Folgen (3.109) auch als N^(k)_n =sD^(k)_n +^{K k 1X}

j=0 c^(k)_j ^(k)_j;n (3.110) geschrieben werden konnen. Ein Iterationsschritt des Verfahren (3.38) ergibt

N^(k+1)_n =sD^(k+1)_n +^{K k 1X}

j=1 c^(k)j ^(k)j;n

^(k)n

=sD^(k+1)_n +^{K k 2X}

j=0 c^(k)j+1^(k)j+1;n

^(k)n : ^(3.111)

Dies hat wieder die Form (3.110), wenn man

c^(k+1)_j =c^(k)_j+1 (3.112)

und

^(k+1)_j;n = ^(k)_j+1;n

^(k)n =^r(k)_n ^(k)_j+1;n (3.113)

setzt. Hierbei mu man noch

^(k+1)_0;n = 1 = ^(k)_1;n

^(k)n (3.114)

verlangen. Gleichung (3.112) impliziertc^(k)_j =c⁽⁰⁾_j+k. Man vergleiche auch Gl. (3.39).

Wenn ⁽⁰⁾_j;n gegeben ist, kann man die Gln. (3.113) und (3.114) als Denition von ^(k)_n auassen. Explizit gilt dann

^(k)_n = ^(k)_1;n;

= ^{r(k 1)}_n ^{(k 1)}_2;n ;

= ^{r(k 1)}_n ^{r(k 2)}_n ^{(k 2)}_3;n ;

= ^r... ^{(k 1)}_n ^{r(k 2)}_n ^r(0)_n ⁽⁰⁾_k+1;n:

(3.115)

Wir bemerken, da ein Iterationsschritt den fuhrenden Koezienten c^(k)0 =c⁽⁰⁾_k in Gl.

(3.110) eliminiert. Folglich gilt

s=s^(K)_n (3.116)

fur Modellfolgen vom Typ (3.109) oder (3.110). Das bedeutet, da die^J-Transformation fur die Modellfolge

N⁽⁰⁾_n =sD⁽⁰⁾_n +^{K 1X}

j=0 c⁽⁰⁾_j ⁽⁰⁾_j;n (3.117)

48 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN exakt ist. Dies kann mit der Darstellung (3.102) fur den Kern in Verbindung gebracht werden. Setzt man

⁽⁰⁾0;n = 1; ⁽⁰⁾_1;n = ^{n 1X}

n¹=0⁽⁰⁾_n¹ ; ⁽⁰⁾_2;n = ^{n 1X}

n¹=0⁽⁰⁾_n^{1 nX1 1}

n²=0⁽¹⁾_n² ; ...

(3.118)

so erhalt man durch Dierenzenbildung und Anwendung der Operatoren (3.39) ⁽⁰⁾_1;n =⁽⁰⁾_n ;

^r(0)_n ⁽⁰⁾_2;n =⁽¹⁾_n ;

... (3.119)

und damit Gl. (3.115). Die Beziehungen (3.118) konnen zu ^(k)0;n = 1;

^(k)_1;n = ^{n 1X}

n^{k +1}=0^(k)_n^{k +1} ; ^(k)_2;n = ^{n 1X}

n^{k +1}=0^(k)_n^{k +1nk +1X1}

n^{k +2}=0^(k+1)_n^{k +2} ; ...

(3.120)

verallgemeinert werden, wie man unter Verwendung von (3.118) und (3.113) einsieht.

Wir bemerken, da die Modellfolgen (3.109) fur verschiedene Werte von k die Hier-archie fur die ^J-Transformation darstellen, wobei die zugrundeliegende einfache Folgen-transformation durch Gl. (3.11) gegeben ist. Hierbei treten renormierte Parameter !^(k)_n , c^(k)j und ^(k)j;n auf. Wenn die Beziehungen (3.113) und (3.114) gelten, ist nach den vorange-gangenen Uberlegungen die ^J-Transformation konsistent mit dieser Hierarchie im Sinne von Abschnitt 3.2.

3.3.5 Determinantendarstellungen

In diesem Abschnitt wird gezeigt, da man im Falle der ^J-Transformation explizite De-terminantendarstellungen angeben kann, was fur viele andere iterative Verfahren nicht moglich war. Diese Darstellungen sind fur theoretische Untersuchungen der ^J -Transfor-mation bedeutsam. Fur die Herleitung der Darstellungen werden nur elementare Aussagen

uber Determinanten verwendet.

Fur gegebene Groen ^(k)_n benutzen wir (3.120) als Denition der Groen ^(k)_n . Au-erdem benutzen wir die Tatsache, da die Folgen ^f(k)j;n^g und ^fc^(k)j = cj+k^g Losungen

der Gleichungen (3.112), (3.113) und (3.114) fur gegebene Folgen ^f(k)_n ^g und gegebene

fur 0k K herleiten. Der Spezialfall

s^(k)_n =

ergibt sich dann mit Gl. (3.38). Ferner sollen Determinantendarstellungen fur die ^(k)_j;n gefunden werden.

Wir betrachten die Determinante im Zahler der Darstellung (3.121). Durch Subtraktion von Spalten erhalt man die folgenden Ausdrucke:

50 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN nach der zweiten Zeile entwickeln. Mit Gln. (3.38) und (3.113) kann man den Faktor^(k)_n+j der j-ten Spalte (0 j K k 1) der entstehenden kleineren Determinante gema

Verwendet man Gl. (3.124) induktiv, so erhalt man die Darstellungen N^(K)_n = 1

= 1

Dies gilt auch fur die Nennerdeterminanten, wenn alleN^(k)_n durch D^(k)_n ersetzt werden.

Die Vorfaktoren dieser Darstellungen sollen umgeschrieben werden. Ferner sollen noch Determinantendarstellungen fur die^(k)_j;n gefunden werden, die auf dem Rekursionsschema (3.113) und (3.114) basieren. Da die Gleichungen (3.113) und das Rekursionsschema (3.38) fur die Berechnung von Zahlern und Nennern der ^J-Transformation sich sehr ahneln,

uberrascht es nicht, da es Determinantendarstellungen ^(K)_j;n = 1

52 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN der ^(k)j;n gibt, die den Darstellungen (3.125) strukturell verwandt sind. Auf den Spezialfall

^(k)_j;n= ( 1)^k

sei hingewiesen. Wegen^(k)_0;n = 1 impliziert Gl. (3.127) ( 1)^{k kY} und ^(k)j;n umschreiben:

N^(k)_n =

Aus Gl. (3.130) kann man eine vollig analoge Darstellung fur dieD^(k)_n gewinnen, indem man einfache alle N durch D ersetzt. Dies ist erlaubt, da die D die gleichen Rekursions-beziehungen wie die N erfullen. Man erhalt

D^(k)_n =

Dividiert man Gl. (3.130) durch die letzte Gleichung, so erhalt man Gl. (3.121).

In den Determinantendarstellungen (3.130) und (3.132) kann man auch Gl. (3.38) verwenden, um alleN⁽⁰⁾_n+j and D⁽⁰⁾_n+j durch sn+j und !n+j auszudrucken.

Dies zeigt, da die Darstellungen (3.121) und (3.122) von s^(k)_n als Quotient zweier Determinanten unter alleiniger Verwendung der Rekursionsbeziehungen (3.38) fur Zahler und Nenner hergeleitet werden konnen. Folglich sind die Gleichungen (3.121) und (3.122) auch ohne irgendwelche Annahmen uber Modellfolgen gultig.

Wir bemerken, da es ziemlich ahnliche Darstellungen fur den E-Algorithmus gibt.

[59, Abschn. 2.1]

Es sei betont, da die Determinantendarstellungen (3.121), (3.122), (3.130) und (3.132) der^J-Transformation vollkommen explizit sind, da man die Denitionen (3.120) verwen-den kann, um die ^(k)j;n durch die ^(k)_n auszudrucken.

Die Determinantendarstellungen kann man zu Satz 3.11 fur den Kern der ^J -Trans-formation in Verbindung bringen. Verwendet man die Darstellung (3.122), so erhalt man den Kern aufgrund der Beobachtung, da

s^(k)_n =s+

54 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN gilt. Die Zahlerdeterminante in Gl. (3.133) verschwindet, wenn die erste Zeile eine Line-arkombination der folgenden Zeilen ist. Dies ist fur Folgen der Form (3.102) aufgrund der Denition (3.120) der⁽⁰⁾_j;n.

Viele der oben untersuchten Eigenschaften der ^J-Transformation kann man ebenso unter Verwendung der Determinantendarstellungen ableiten.

Schlielich soll die Verbindung zu der Theorie von Brezinski und Walz [65] herausge-arbeitet werden. Diese Theorie gilt fur dreiecksformige Rekursionen der Form (3.51). Fur die^J-Transformation gilt

s^(k+1)_n = (!^(k)_n+1s^(k)_n !^(k)_n s^(k)_n+1)=(!^(k)_n+1 !^(k)_n ): (3.134) Also ist die^J-Transformation von der Form (3.51) mit

_kn=!^{(k 1)}n+1 =(!^{(k 1)}n+1 !^{(k 1)}_n ); _kn = !^{(k 1)}_n =(!^{(k 1)}n+1 !^{(k 1)}_n ): (3.135) Es gilt demnach

_kn+_kn= 1: (3.136)

Lemma 2.2 aus [65] impliziert daher, da Zahlen _ki; existieren, so da T_k=^+kX

i=_ki;T_i (3.137)

gilt. Dieses Lemma gibt auch Rekursionsbeziehungen fur die Koezienten _ki; an. In Verbindung mit Gl. (3.136) folgt ^Pn+k_{i=n ki;n} = 1 fur die ^J-Transformation. Die Deter-minantendarstellung (3.122) liefert durch Entwicklung der Zahlerdeterminante nach der ersten Zeile sofort explizite Ausdrucke fur die _ki;n. Die Groen _ki; sind wichtig, da sie

| fur den Raum aller Funktionen auf einer Untermenge Z = ^fzi^gi^2Zvon ^R | das lineare Funktional

T

k() =^+kX

i=^k_i;(z_i) (3.138)

denieren, das sogenannte Referenzfunktional [65]. Im Falle der ^J-Transformation folgt aus Gl. (3.122) da das Referenzfunktional die explizite Form

Tkn() =

hat. Hier wurde am Schlu 1=!n+j aus der (j+1)-ten Spalte furj = 0;1;:::;k als Faktor abgespalten, jeweils in der Zahler- und der Nennerdeterminante. Man deniere Funktionen ₀;₁;:::;_k uber

₀(z_j) = 1 ; (z_j) =!_j'⁽⁰⁾ 1;j; 0< k : (3.140) Gleichung (3.139) zeigt, da diese Funktionen einen charakteristischen Raum im Sinne von Lemma 3.1 aus [65] fur das charakteristische Funktional ^Tkn der ^J-Transformation aufspannen, wobei die Groen !_kn = 1 wie in [65] deniert sind und nicht mit unseren Groen!^(k)n verwechselt werden sollten. Es sei bemerkt, da mit dieser Wahl des charak-teristischen Raumes und fur !_k = 1 die Darstellung (3.139) genau von der Form ist, die in Theorem 3.2 aus [65] verlangt wird. Eine interessante Beobachtung ist das Ergebnis

T

kn(_k+1) = 1=D^(k)_n ; (3.141) das direkt aus der Denition (3.140) in Verbindung mit Gl. (3.120) und den Determinan-tendarstellungen (3.132) und (3.139) folgt.

Das Hauptproblem der Theorie von Brezinski und Walz, namlich die Koezienten _ki; und den charakteristischen Raum des Referenzfunktionales zu bestimmen, ist also im Falle der^J-Transformation vollstandig durch die Angabe der Determinantendarstellungen gelost.

3.3.6 Konvergenzeigenschaften

In diesem Abschnitt behandeln wir einige analytische Resultate zu den Konvergenzeigen-schaften der ^J-Transformation. Wenn nicht anders angegeben, betrachten wir beliebige, aber fest gewahlte^(k)_n .

Zunachst erinnern wir an die Satze 3.11 und 3.9, die Aussagen beinhalten, wann die

J-Transformation exakt ist.

Die folgenden beiden Satze geben Bedingungen an, unter denen lineare Konvergenz beschleunigt wird.

Satz 3.12

Man nehme an, da fur die Folgen^fsn^g and ^f!n^g nlim^!1sn=s ;

nlim^!1sn s

!n =c ; c⁶= 0;

nlim^!1!n+1

!n = ; 0<^jj <1: ^(3.142) gilt. Wenn (1;;²;:::;^k)²Yk, wobei Yk in Gl. (3.68) deniert ist, und falls die Grenz-werte j aus Gl. (3.63) fur allej k ^2N existieren, dann beschleunigt die^J(k)_n -Transfor-mation die Konvergenz der Folge^fsn^g. Die Bedingung (1;;²;:::;^k)²Yk kann ersetzt werden durch die Bedingung, da von allen j fur 0j k verschieden ist.

56 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN

Beweis:

Dies folgt aus Satz 3.5 und Lemma 3.7 in Verbindung mit [368, Theorem 12-14, S. 308]. Die Aquivalenz der beiden Bedingungen, die im letzten Satz behauptet wird, ergibt sich aus Lemma 3.6. ²

Ein einfaches Korollar ist der folgende Satz:

Satz 3.13

Man nehme folgendes fur die Folge ^fsn^gan:

nlim^!1sn =s ; _nlim!1

sn+1 s

sn s ⁼ ; 0<^jj<1: (3.143) Wenn (1;;²;:::;^k) ² Yk, wobei Yk in Gl. (3.68) deniert ist, und falls die Grenz-werte j aus Gl. (3.63) fur alle j k ^{2 N} existieren, dann beschleunigen die t-Variante

T(k)n (^fsn^g;^fr^(k)n ^g) aus Gl. (3.27) und dir ~t-Variante ~^T(k)_n (^fsn^g;^fr^(k)n ^g) aus Gl. (3.28) die Konvergenz linearkonvergenter Folgen ^fsn^g. Die Bedingung (1;;²;:::;^k) ² Yk kann ersetzt werden durch die Bedingung, da von allen j fur 0j k verschieden ist.

Beweis:

Angesichts von Satz 3.12 mu man nur zeigen, da

nlim^!1sn s

!n =c ; c⁶= 0;

nlim^!1!n+1

!n = ; 0<^jj<1 (3.144) erfullt ist. Die zweite Gleichung folgt aus [394, Theorem 1, S. 6]. Die erste ergibt sich aus [394, S. 6, Gl. (4)]

sn( 1)(sn s); n^!1; (3.145)

diec==( 1) im Fall dert-Variante undc= 1=( 1) im Fall der ~t-Variante impliziert.

2 Wir bemerken mit Bezug auf Satz 3.13, da die Bedingung, da von allen k ver-schieden ist, fur diet- und ~t-Varianten der p

J

-Transformation fallengelassen werden kann, da dann j = 1 gilt fur alle j.

Der folgende Satz gibt eine Konvergenzaussage fur alternierende Vorzeichen der!nund gleiche Vorzeichen der ^(k)_n . Diese Annahmen sind beispielsweise im Fall derp

T

-Transfor-mation aus Gl. (3.30) bei Anwendung auf die Folge der Partialsummen sn =^Xn

j=0( 1)^jaj; aj >0 (3.146) einer alternierenden Reihe erfullt. Wichtige Beispiele solcher Reihen sind die an anderer Stelle diskutierten Stieltjes-Reihen.

Satz 3.14

Man nehme an, da die folgenden Aussagen zutreen:

(A-0 ) Die Folge^fsn^g hat den (Anti)limess.

(A-1a) Fur jedes n haben die Elemente der Folge ^f!n^g strikt alternierende Vorzeichen und verschwinden nicht.

(A-1b) Fur allenundkhaben die Elemente der Folgen^f(k)_n ^g=^fr^(k)_n ^ggleiches Vorzeichen und verschwinden nicht.

(A-2 ) Fur alle n^2N0 kann der Quotient (sn s)=!n als Reihe der Form sn s

!n =c0+^X1

j=1cj ^X

n>n¹>n²>>n^j(0)_n¹⁽¹⁾_n^{2 (j 1)}_n^j (3.147) mitc0 ⁶= 0 dargestellt werden.

Dann gelten die folgenden Aussagen furs^(k)_n =^J(k)_n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g):

a) Der Fehler s^(k)_n s erfullt

s^(k)_n s= b^(k)_n

r

(k 1)

n ^r(k 2)n ^r(0)n [1=!n] (3.148) mit b^(k)_n =ck+ ^X1

j=k+1cj ^X

n>n^{k +1}>n^{k +2}>>n^j(k)_n^{k +1(k+1)}_n^{k +2 (j 1)}_n^j : (3.149) b) Der Betrag des Fehlers s^(k)_n s ist beschrankt gema

js^(k)_n s^jj!nb^(k)_n ⁽⁰⁾_n ⁽¹⁾_n ^{(k 1)}_n ^j: (3.150) c) Fur groe n gilt die Abschatzung

s^(k)_n s

sn s ⁼O(⁽⁰⁾_n ⁽¹⁾_n ^{(k 1)}_n ); (3.151) wenn b^(k)_n =O(1) und (sn s)=!n=O(1) fur n ^!1.

Beweis:

a) Dies folgt aus Lemma 3.10 und Gl. (3.41b).

b) Dies folgt aus Gl. (3.148) und der Beobachtung, da Annahmen (A-1a) und (A-1b) implizieren, da alle Terme dasselbe Vorzeichen haben, die durch Entwicklung von

=^{r(k 1)}_n ^{r(k 2)}_n ^r(0)_n [1=!n] (3.152) entstehen. Folglich ist der Betrag von groer gleich dem Betrag irgendeines der Terme. Nimmt man den Term, der !n enthalt, so folgt

j^j

!n⁽⁰⁾n ⁽¹⁾n1^{(k 1)}n

: (3.153)

58 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN c) Dies folgt direkt aus Punkt b).

2Dieser Satz erlaubt eine Abschatzung des Fehlers der Extrapolation fur den Fall alter-nierender Reihen. Der Rest dieses Abschnittes dient der Verallgemeinerung dieses Satzes.

Die Grundlage fur die folgenden Betrachtungen ist die Gleichung s^(k)_n s die in Lemma B.1 im Anhang B bewiesen wird. Es werden die Abkurzungen e^(k)_n = 1

!^(k)_n+1=!^(k)_n und b^(k)_n = (s^(k)_n s)=!^(k)_n verwendet.

Gleichung (3.154) ist eine wichtige Formel, die das Konvergenzverhalten der ^J -Trans-formation fur groenabzuschatzen erlaubt. In Lemma B.2 im Anhang B werden Aussagen daruber getroen, welche der in Gl. (3.154) auftretenden Groen Grenzwerte fur n ^!1 haben.

Man nehme an, da Annahme (A-2) aus Satz 3.14 gilt. Man beachte, da die Formel (3.102) fur den Kern als Partialsumme der unendlichen Reihe in (A-2) aufgefat werden kann. Lemma 3.10 impliziert nun

b^(k)_n =ck+ ^X1

j=k+1cj ^X

n>n^{k +1}>n^{k +2}>>n^j(k)_n^{k +1(k+1)}_n^{k +2 (j 1)}_n^j (3.155) Die Annahme (3.156) im folgenden Satz ist also sinnvoll.

Satz 3.15

Die Annahme (A-0) aus Satz 3.14 gelte. Die folgenden Bedingungen seien zusatzlich erfullt:

(B-1) Der Grenzwert

Dann gelten die folgenden Aussagen furs^(k)_n =^J(k)_n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g):

a) Ist 0 ^62f0 = 1;1;:::;k 1^g, dann gilt

nlim^!1s^(k)_n s sn s

(k 1^Y l=0^(l)_n

) 1

=Bk [0]^k

k 1^Y

l=0(l 0) (3.159) und demnach auch

s^(k)_n s

sn s ⁼O(⁽⁰⁾_n ⁽¹⁾_n ^{(k 1)}_n ) (3.160) furn ^!1.

b) Gilt l = 1 fur l ^2f0;1;2;:::;k^g, so folgt

nlim^!1s^(k)n s sn s

(k 1^Y l=0

^(l)n

e^(l)n

) 1

=Bk (3.161)

und demnach gilt

s^(k)n s

sn s ⁼O ^{k 1Y}

l=0

^(l)n

e^(l)n

!

(3.162) furn ^!1.

Beweis:

Die Behauptungen folgen aus Gl. (3.154). Zusatzlich mu man Lemma B.2 des Anhangs benutzen. Der Beweis wird vervollstandigt durch Anwendung von Gl. (B.8b) im Falle a) und von Gl. (B.10) im Falle b). ²

Dieser Satz ist das zentrale Resultat dieses Abschnittes. Er ergibt durch Spezialisierung auf den wichtigen Fall derp

J

-Transformation die beiden folgenden Satze als Korollare.

Satz 3.16

Die folgenden Annahmen seien erfullt:

(C-1) Sei > 0, p 1 und ^(k)_n = [(n++ (p 1)k) ¹]. Es handelt sich also um die

p

J

-Transformation. Folglich gelten die Gleichungen Fk = limn^!1(k)_n+1=^(k)_n = 1 und k = 1 fur allek (vgl. Gl. (3.63)).

(C-2) Die Annahmen (A-2) aus Satz 3.14 und (B-1) aus Satz 3.15 seien erfullt unter der Annahme (C-1) fur ^(k)_n .

(C-3) Der Grenzwert 0 = limn^!1!^(k)_n+1=!^(k)_n existiert und erfullt 0 ^{62 f}0;1^g. Aufgrund von Lemma B.2, Gl. (B.8b) existieren also alle Grenzwerte k fur k ^{2 N} erfullen k = 0.

60 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN Dann gilt fur die Transformation s^(k)_n =p

J

^(k)n (;^fsn^g;^f!n^g) die Gleichung

nlim^!1s^(k)_n s sn s

(k 1^Y l=0^(l)_n

) 1

=Bk

0

1 0

k

(3.163) und folglich auch

s^(k)_n s

sn s ⁼O(n+) ^2k (3.164)

in der Grenze n ^!1.

Satz 3.16 kann im Falle linearer Konvergenz angewandet werden. Denn dann gilt 0<

j0^j<1, wie man im Beweis von Satz 3.13 sah.

Satz 3.17

Die folgenden Annahmen seien erfullt:

(D-1) Sei > 0, p 1 und ^(k)_n = [(n++ (p 1)k) ¹]. Es handelt sich also um die

p

J

-Transformation. Folglich gelten die Gleichungen Fk = limn^!1(k)n+1=^(k)_n = 1 und k = 1 fur allek (vgl. Gl. (3.63)).

(D-2) Die Annahmen (A-2) aus Satz 3.14 und (B-1) aus Satz 3.15 seien erfullt unter der Annahme (C-1) fur ^(k)_n .

(D-3) Es gibt Konstanten a^(j)_l ,j = 1;2, so da e^(l)_n = 1 !^(l)_n+1=!^(l)_n = a⁽¹⁾_l

n+ ⁺ a⁽²⁾_l

(n+)² +O((n+) ³) (3.165) fur l = 0 gilt. Dann gilt diese Gleichung und damit l = 1 fur l ^{2 f}0;1;2;:::;k^g. Es gelte ferner a⁽¹⁾_l ⁶= 0 fur l ^2f0;1;2;:::;k 1^g.

Dann erfullt die Transformations^(k)_n =p

J

^(k)n (;^fsn^g;^f!n^g) die Gleichung

nlim^!1s^(k)_n s sn s

(k 1^Y l=0

^(l)_n e^(l)n

) 1

=Bk (3.166)

und folglich gilt

s^(k)_n s

sn s ⁼O(n+) ^k (3.167)

fur n^!1.

Beweis:

Die Gultigkeit von Gl. (3.165) fur l = 0 kann aufgrund von Lemma B.3 im Anhang auf l ^{2 f}0;1;2;:::;k^g ausgedehnt werden. Dann ergibt sich l = 1 aus den Denitionen. Also kann Aussage b) von Satz 3.15 angewandt werden. Damit folgt Gl.

(3.167) aus^(l)_n =O((n+) ²) (Aussage b) von Lemma B.3) unde^(l)_n =O((n+) ¹). ²

Die Satze 3.16 und 3.17 konnen leicht auf alle Varianten der ^J-Transformation mit ^(k)_n =O((n+) ²) furn ^!1 verallgemeinert werden.

Wenn Konstanten u0 ⁶= 0 und u1 existieren, so da

!n= (n+) u0+ u1

n+ ⁺O(n+) ²

!

; n^{! 1} (3.168)

gilt, dann folgt aus Aussage c) von Lemma B.3 im Anhang, da Gl. (3.165) fur l = 0 erfullt ist. Folglich ist Satz 3.17 wichtig fur den Fall, da Gl. (3.168) gilt, und damit fur den Fall logarithmischer Konvergenz. Vergleich der Satze 3.16 und 3.17 zeigt, da die Konvergenzordnung, also der negative Exponent von n+ in Gln. (3.30) und (3.167), von 2k aufk fallt. Lineare Konvergenz lat sich also ezienter beschleunigen als logarith-mische. Ahnliche Aussagen sind fur Levin-artige Extrapolationsmethoden bekannt [368, Satze 13.5, 13.9, 13.11, 13.12, 14.2].

Satz 3.16 zeigt, da im Falle linearer Konvergenz die p

J

-Transformation dem -Algo-rithmus von Wynn [399] uberlegen sein sollten. Man betrachte beispielsweise den Fall,

da sn s+ⁿn^X1

n=0cj=n^j ; c0 ⁶= 0; n^!1 (3.169) eine asymptotische Entwicklung der Folgenelemente sn ist. Unter den Annahmen ⁶= 1 und ^62f0;1;:::;k 1^g folgt ([394, S. 127]; [368, S. 333, Gl. (13.4-7)])

⁽ⁿ⁾_2k s

sn s ⁼On ^2k ; n ^!1: (3.170)

Auch hier erhalt man also Konververgenzordnung 2k. Allerdings werden zur Berechnung von⁽ⁿ⁾_2k die 2k+1 Folgenelemente^fsn;:::;sn+2k^gbenotigt. Fur die Berechnung vonp

J

^(k)n , das die gleiche Konvergenzordnung aufweist, werden jedoch nur diek+ 1 Folgenelemente

fsn;:::;sn+k^g benotigt, wenn man t- und u-Varianten verwendet, und zusatzlich noch das weitere Folgenelement sn+k+1 im Falle der ~t-Variante. Auch dies ist fur Levin-artige Verfahren typisch [368, S. 333].

Im Dokument Zahlen-, Vektor- und Matrizenfolgen und ihre Anwendung in der (Seite 57-73)