Allgemeine Eigenschaften der J -Transformation

Man sieht leicht ein, das die^J-Transformation invariant unter Translation und homogen in sn ist. Sie ist demnach quasilinear [55],[59, Abschn. 1.4]. Die folgenden Satze gelten [160]:

Satz 3.1

Die ^J-Transformation ist quasilinear, das heit, es gilt

J

(k)n (^fAsn+B^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g) = A^J(k)_n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g) +B (3.52) fur beliebige Konstanten A und B.

Satz 3.2

Die ^J-Transformation ist multiplikativ invariant in !n, das heit, es gilt

J

(k)n (^fsn^g;^fC!n^g;^fr^(k)_n ^g) =^J(k)_n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g) (3.53)

fur jede KonstanteC ⁶= 0.

Beweis:

Diese Satze folgen direkt aus der Denition (3.24), da die zugrundeliegende Fol-gentransformation (3.13) diese Eigenschaften hat. ²

Ein einfaches Korollar ist

Satz 3.3

Die^T-, ~^T- und ^U-Transformationen sind quasi-linear, das heit, es gilt

T

(k)n (^fAsn+B^g;^fr^(k)_n ^g) =A^T(k)_n (^fsn^g;^fr^(k)_n ^g) +B ;

~

T

(k)n (^fAsn+B^g;^fr^(k)_n ^g) =A^T~(k)_n (^fsn^g;^fr^(k)_n ^g) +B ;

U

(k)n (;^fAsn+B^g;^fr^(k)_n ^g) =A^U(k)_n (;^fsn^g;^fr^(k)_n ^g) +B ^(3.54) fur alle Konstanten A⁶= 0 und B.

Schlielich bemerken wir, dan-unabhangige Faktoren der Hilfsfolge^fr^(k)_n ^gkeinen Einu haben:

Satz 3.4

Die^J-Transformation ist multiplikativ invariant inr^(k)_n , das heit, es gilt

J

(k)n (^fsn^g;^f!n^g;^fkr^(k)_n ^g) =^J(k)_n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g); (3.55) fur alle Konstanten k ⁶= 0.

Beweis:

Dies folgt unmittelbar aus der Tatsache, da die ^J-Transformation uber den Algorithmus (3.49) berechnet werden kann, der nur von den Groen f^(k)_n aus Gl. (3.47) abhangt. Denn diese Quotienten sind invariant unter der Skalierungr^(k)_n ^!kr^(k)_n . ²

Fur die folgenden Betrachtungen nehmen wir an, da die Hilfsfolgen^fr^(k)_n ^gfest vorge-geben sind. Uns interessieren Bedingungen an die Wahl der Restabschatzungen ^f!n^g, die garantieren, da die^J-Transformation wohldeniert ist.

Unter diesen Voraussetzungen hangt die Transformation ^J(k)n nur von den (2k + 2) Zahlen^fsn+j^gkj=0 und ^f!n+j^gkj=0 ab. Man kann also schreiben

J

(k)n = ^(k)_n (sn;sn+1;:::;sn+k

!n;!n+1;:::;!n+k) (3.56) und die Transformation als Abbildung

(k)n : ^Ck+1 Y^(k)_n ^!C ;

((x1;:::;xk+1);(y1;:::;yk+1)) ^{! (k)}_n x1;:::;xk+1

y1;:::;yk+1

(3.57)

auassen. Hier ist Y^(k)_n eine geeignete Untermenge von ^Ck+1: Da die ^J-Transformation von den Inversen der Restabschatzungen!n abhangt, ist eine notwendige Bedingung, da keine Komponente irgendeines Vektors in Y^(k)_n verschwindet. Unter dieser Voraussetzung folgt aus der Darstellung (3.40), da^J(k)_n eine stetige Funktion von ^f!n+j^gkj=0 ist, wenn

r

(k 1)

n ^r(k 2)n :::^r(0)_n [1=!n]⁶= 0 (3.58)

38 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN gilt, das heit, wenn der Nenner in Gl. (3.40) nicht verschwindet. Das ist aquivalent zu der Aussage, da ^(k)_n eine stetige Funktion von (y1;:::;yk+1) ist, wenn

r

(k 1)

n ^r(k 2)n :::^r(0)_n [1=!n]_(!

n;:::;!^n+k)=(y¹;:::;y^{k +1}) ⁶= 0 (3.59) erfullt ist. Wir denieren also

Y^(k)_n =

8

<

:~y^2Ck+1

k+1^Y

j=1yj ⁶= 0 und (3:59) gilt:

9

=

; (3.60)

Dann ist ^(k)_n deniert und stetig auf^Ck+1Y^(k)_n . Anstelle von Gl. (3.59) kann man auch die aquivalenten Bedingungen

⁽⁰⁾_n ⁽¹⁾_n ^{(k 1)}_n ^{r(k 1)}_n ^{r(k 2)}_n :::^r(0)_n [1=!n]_(!

n;:::;!^n+k)=(y¹;:::;y^{k +1}) ⁶= 0 (3.61) oder

Dc^(k)_{n (!}

n;:::;!^n+k)=(y¹;:::;y^{k +1}) ⁶= 0 (3.62) verwenden. Wir bemerken, da D^c(k)_n = ⁽⁰⁾_n ⁽¹⁾_n ^{(k 1)}_n D^(k)_n die Nenner in Algorithmus (3.46) sind. Demnach sind die erlaubten Werte von ^f!n^g so einzuschranken, da diese Nenner nicht verschwinden.

Wir erinnern daran, da die ^J-Transformation uber die Rekursionsbeziehung (3.49) berechnet werden kann, die von den Groen ^(k)n abhangt, die in Gl. (3.48) deniert sind.

Wenn wir annehmen, da fur allek ^2N die Grenzwerte

nlim^!1(k)_n = lim_n!1

⁽⁰⁾_n ⁽¹⁾_n ^{(k 1)}_n

⁽⁰⁾n+1⁽¹⁾n+1^{(k 1)}n+1 = k (3.63) existieren (es gilt stets 0 = 1), dann kann man eine Transformation^Jals Grenzwert fur groe n durch das Rekursionsschema

D⁽⁰⁾n = 1=!n; N⁽⁰⁾n =sn=!n; D^(k+1)n = kD^(k)n+1 D^(k)n ; k ^2N0 ; N^(k+1)n = kN^(k)n+1 N^(k)n ; k ^2N0 ;

J

(k)n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g) = N^(k)n

D^(k)n

(3.64)

denieren. Diese wird im folgenden als Grenztransformation bezeichnet. Da die Koezi-enten der Rekursionsbeziehungen nicht mehr von n abhangen, sieht man, da ^N(k)n , ^D(k)_n

und ^J(k)_n von n nur implizit via sn und !n abhangen, aber nicht explizit. Demnach kann

oder auch als eine Funktion

k: ^Ck+1 Yk ^!C ;

Hier ist Y^k eine geeignete Teilmenge von ^Ck+1: Man mu D^(k)n

Zahler und Nenner der Grenztransformation (3.64) erfullen die gleichen Rekursionsbezie-hungen, die man auch als verallgemeinerte Dierenzengleichung auassen kann. Zusatzlich sind sie lineare Funktionen der Anfangswerte fur k = 0. Folglich kann man sie durch die gleiche Linearform

Lk(~v) = ^k+1X

j=1l^(k)_j vj; ~v = (v1;:::;vk+1)^2Ck+1 (3.69) darstellen. Diese Linearform wird angewandt auf den Vektor (1=!n;:::;1=!n+k) im Falle der Nenner und auf den Vektor (sn=!n;:::;sn+k=!n+k) im Falle der Zahler. Es gilt

40 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN Gleichung (3.64) impliziert, da die Koezienten l^(k)j nur von den Limiten 0;:::;k 1

aus Gl. (3.63) abhangen. Mit der Darstellung (3.70) ergibt sich sofort, da die Grenztrans-formation k fur konstante Vektoren exakt ist,

k(c;c;:::;c y1;:::;yk+1) = c ; (3.72) und da k eine lineare Funktion und damit eine homogene Funktion ersten Grades der ersten (k + 1) Argumente ist. Ferner folgt, da k multiplikativ invariant in den letzten (k + 1) Variablen ist und demnach eine homogene Funktion nullten Grades in diesen Variablen.

Verfahrt man vollig analog fur ^(k)_n , wobei man von dem Rekursionsschema (3.50) ausgeht, so erhalt man die Darstellung

(k)n = L^(k)_n (x1=y1;:::;xk+1=yk+1) L^(k)n

(1=y1;:::;1=yk+1) (3.73) von ^(k)_n uber die Linearform

L^(k)_n (~v) =^k+1X

j=1l^(k)_n;jvj; ~v^2Ck+1 ; (3.74) deren Koezienten l^(k)_n;j jetzt von n abhangen und stetige Funktionen der Groen ^(k)n

aus Gl. (3.48) sind. Folglich ist ^(k)_n linear in den ersten (k+ 1) Variablen. Ferner ist die Transformation exakt fur konstante Folgen, das heit, es gilt

(k)n

c;c;:::;c y1;:::;yk+1

=c : (3.75)

Die Koezienten der verschiedenen Linearformen sind uber

nlim^!1l^(k)_n;j =l^(k)_j (3.76) verknupft, falls die Grenzwerte (3.63) fur alle k ^{2 N} existieren. Ferner kann man die Bedingungen (3.62) und (3.67) als

L^(k)_n (1=y1;:::;1=yk+1)⁶= 0 (3.77) im Falle von ^(k)_n und Y^(k)_n beziehungsweise als

Lk

(1=y1;:::;1=yk+1)⁶= 0 (3.78) im Falle von k und Y^k formulieren. Unter Verwendung von Gl. (3.76) ergibt sich auer-dem, da die Bedingungen ~y²_Yk und ~y= limn^!1~yn die Relation~yn²Yk fur genugend groe n implizieren. Wir bemerken, da Yk und Y^(k)_n oene Mengen sind.

Insgesamt haben wir damit den folgenden Satz bewiesen:

Satz 3.5

(J-0) ^J(k)_n aus Gl. (3.24) kann als stetige Abbildung ^(k)_n auf^Ck+1Y^(k)_n angesehen werden, wobei Y^(k)_n in (3.60) deniert ist.

(J-1) Aufgrund der Satze 3.1 und 3.2 ist ^(k)n eine homogene Funktion vom ersten Grade in den ersten (k+ 1) Variablen und eine homogene Funktion vom nullten Grade in den letzten (k+ 1) Variablen. Fur alle Vektoren ~x^2Ck+1 und~y ²Y^(k)_n und fur alle komplexen Konstanten und ⁶= 0 gilt demnach

(k)n (~x^j~y) = ^(k)_n (~x^j~y);

(k)n (~x^j~y) = ^(k)_n (~x^j~y): ^(3.79) (J-2) ^(k)_n ist linear in den ersten (k+1) Variablen. Fur alle Vektoren~x^2Ck+1,~x^{0 2Ck+1},

und~y ²Y^(k)_n gilt also

(k)n (~x+~x^0j~y) = ^(k)_n (~x^j~y) + ^(k)_n (~x^0j~y): (3.80) (J-3) Fur alle konstanten Vektoren~c= (c;c;:::;c)^2Ck+1 und alle Vektoren~y ²Y^(k)_n gilt

(k)n (~c^j~y) = c : (3.81) (J-4) Wenn die Grenzwerte (3.63) fur allek ^2N existieren, dann gibt es eine

Grenztrans-formation k gema

k(~x^j~y) = lim_n!1

(k)n (~x^j~y); ~x^2Ck+1 ;~y²_Yk (3.82) die stetig auf^Ck+1 Yk ist, wobei Yk in Gl. (3.68) deniert ist. Auerdem ist die Grenztransformation kebenfalls homogen und linear gema (J-1) und (J-2). Ferner ist sie exakt auf konstanten Vektoren gema Gl. (3.73).

Im folgenden soll die LinearformLkgenauer charakterisiert werden. Fur jede Konstante ⁶= 0 kann man

D⁽⁰⁾n = ⁿ (3.83)

setzen. Dann ergibt die direkte Anwendung des Algorithmus (3.64) D^(l)n = ^{n l lY1}

j=0(j ); (3.84)

was man durch vollstandige Induktion nach l zeigt. Gleichung (3.71) impliziert Lk

(1;1=;:::; ^k)= ^{k k 1Y}

j=0(j ): (3.85)

42 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN Durch Koezientenvergleich von

k 1^Y

j=0(j ) =^Xk

j=0p^(k)_j ^j (3.86)

und

^kLk

(1;1=;:::; ^k)=^Xk

j=0l^(k)_{k j+1}^j : (3.87)

kann man jetzt die Koezienten l^(k)_j der LinearformLk bestimmen. Damit ergibt sich das folgende Lemma:

Lemma 3.6

(i) Das Polynom^kLk

(1;1=;:::; ^k) in hat die Nullstellen 0 = 1, 1, ..., k. (ii) Sei⁶= 0. Dann ist die Bedingung (1;;²;:::;^k)²Yk aquivalent zu ^{62 f}0;1,

..., k^g.

(iii) Wenn die Koezienten p^(k)_j durch Gl. (3.86) und die Koezienten l^(k)_j durch Gl.

(3.69) deniert sind, dann gilt

l^(k)j =p^(k)_{k j+1} (3.88)

fur k0 und 1 j k+ 1.

Im folgenden Lemma wird eine Eigenschaft der Grenztransformation k bewiesen, die spater fur den Fall linearer Konvergenz benotigt wird.

Lemma 3.7

Die Grenztransformation k erfullt fur q⁶= 1 und (1;q;:::;q^k)²Yk die Gleichung

k

0

@0;a;:::;a^{k 1X}

j=0q^j

1;q;:::;q^k

1

A= a

1 q : ^(3.89)

Beweis:

Gleichungen (3.69) und (3.70) implizieren gilt als Folge von Lemma 3.6, folgt Gl. (3.88). ²

Mit Levin-artigen Transformationen teilt die ^J-Transformation die folgende Eigen-schaft [328, Lemma 1, S. 227]:

Lemma 3.8

Wenn fur eine gegebene Folge sn mit Grenzwert s die Restabschatzungen !n bis auf eine Konstante c ⁶= 0 exakt sind, was gleichbedeutend mit !n = c(sn s) ist, dann gilt

J(k)n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)_n ^g) = s fur allen und k > 0.

Beweis:

Satz 3.1 ergibt

J

(k)n (^fsn^g;^f!n^g;^fr^(k)n ^g) =s+^J(k)_n (^fsn s^g;^f!n^g;^fr^(k)n ^g): (3.92) Der zweite Term auf der rechten Seite verschwindet als Folge von Gl. (3.40) undsn s=

!n=c. ²

Als einfache Folgerung kann man zeigen, da die verschiedene Varianten der ^J -Trans-formation fur die geometrische Reihe exakt sind. Bekanntermaen ist diese Tatsache be-deutsam in der formalen Theorie von Germain-Bonne [131, 368].

Satz 3.9

Die ^J-Transformation ist exakt fur die geometrische Reihe, wenn man die Folge^f!n^g so wahlt, da sn = s+c!n mit c ⁶= 0 gilt. Dies ist erfullt fur !n = sn 1, fur !n = sn

oder fur !n = snsn 1=²sn 1. Dies impliziert, da die t-, ~t- und v-Varianten der

J-Transformation fur die geometrische Reihe exakt sind.

44 KAPITEL 3. ITERATIVE FOLGENTRANSFORMATIONEN

Beweis:

^{Wenn s}n = s +c!n gilt, folgt die Aussage aufgrund von Lemma 3.8. Diese Gleichung gilt jedoch fur die die t-, ~t- und v-Varianten. Dies folgt aus den Beziehungen

sn=qⁿ⁺¹; ²sn =qⁿ⁺¹=(q 1); (3.93) fur die Partialsummen

sn=^Xn

j=0q^j = 1 qⁿ⁺¹

1 q ⁼s qⁿ⁺¹s=s ssn =s sqsn 1 =s snsn 1

²sn 1 (3.94) der geometrischen Reihe

s=^X1

j=0q^j = 11 q; ^jq^j<1: (3.95) In allen betrachteten Fallen ist (sn s)=!n demnach gleich einer Konstanten c. ²

Wir bemerken, da dieser Satz in Anbetracht von Satz 3.11, Gl. (3.102) fur beliebige r^(k)_n gilt.

Ab jetzt wird die Notation

X

n>n^l>n^l+1>>n^{l+k 1} = ^{n 1X}

n^l=0 nX^l 1 n^l+1=0

n^l+kX² 1

n^{l+k 1}=0 (3.96)

fur positive k und l benutzt. Leere Summen werden als Null angenommen.

Lemma 3.10

Man nehme an, da fur allen ^2N0 der Quotient (sn s)=!n als eine Reihe der Form sn s

!n =c0+^X1

j=1cj

X

n>n¹>n²>>n^j(0)_n¹⁽¹⁾_n^{2 (j 1)}_n^j (3.97) mitc0 ⁶= 0 ausgedruckt werden kann. Dann gilt

s^(k)_n s

!^(k)n =ck+ ^X1

j=k+1cj ^X

n>n^{k +1}>n^{k +2}>>n^j(k)n^{k +1(k+1)}n^{k +2 (j 1)}n^j : (3.98)

Beweis:

Dies ergibt sich bei Anwendung des Operators ^{r(k 1)}_n ^{r(k 2)}_n ^r(0)_n auf (sn

Im Dokument Zahlen-, Vektor- und Matrizenfolgen und ihre Anwendung in der (Seite 48-57)