eisbedeckte Klasse einzeln berechnet. Die Gesamt°Äusse werden daher folgen-derma¼en anteilsgewichtet aufaddiert:
Qgesamta =A1¢Qa(Tm) + (A2+A3+A4)¢Qa(Ts) Qgesamtcond =A2¢Qcond(Ts; Hlead) + (A3+A4)¢Qcond(Ts; Hlevel):
Dies ist Äaquivalent zur Gleichung
@
@tlnA= 1 2
@
@tln ¹h= @
@tln ¹h1=2; falls @¹h
@t <0;
was wiederum bedeutet, dass im Falle eines Schmelzprozesses A /¹h1=2
ist. Der Eisbedeckungsgrad Äandert sich durch laterales Schmelzen also wie die Wurzel aus der Eisdicke.
Abbildung 27: Lateralschmelze nach Hibler
Um diesen Sachverhalt verstÄandlich zu machen, wird in Abbildung 27 das VerhÄaltnis von Eisdicke und Bedeckungsgrad in mehreren diskreten Zeitschrit-ten dargestellt. Es wird angenommen, dass ein gleichmÄa¼iger Schmelzprozess statt¯ndet, die Eisdicke verringert sich in jeder Zeiteinheit um den gleichen Betrag. (Dies ist zwar nicht realistisch, da Eis ein Isolator ist, und dÄunnes Eis daher - bei gleichem ErwÄarmungsgrad - schneller schmilzt, als dickes.
FÄur ein Beispiel jedoch - schlie¼lich geht es hier nur um das VerstÄandnis der
Gleichung 5.59 - ist diese Annahme Äubersichtlicher). Auch wenn im Bild der Eindruck einer schmelzenden Eisscholle entsteht, sei daran erinnert, dass die Eisdicke ¹h bei Hibler die mittlere Eisdicke bedeutet, also Eisvolumen pro FlÄache.
In dem hier vorliegenden Modell werden einige Ideen Hiblers bzgl. der Lateralschmelze Äubernommen, andere abgeÄandert. GrundsÄatzlich wird die Anderung des Bedeckungsgrades an die reelle Eisdicke (also anÄ Hlead oder Hlevel), nicht an eine mittlere Eisdicke gekoppelt. Ist kein o®enes Was-ser vorhanden, also der Bedeckungsgrad A2 + A3 + A4 = 1, so entfÄallt dieser Prozess. Davon ausgehend, dass sich Gebiete o®enen Wassers vor allem in der dÄunnen Eisdecke oder in Brucheisfeldern bilden, werden weitere EinschrÄankungen an das laterale Schmelzen gemacht. Laterales Schmelzen soll danach bei Brucheis vorkommen oder bei undeformiertem Eis mit einer Dicke unterhalb einer kritischen Grenze H0. Eine Darstellung des lateralen Schmelzverhaltens wird in Abbildung 28 gegeben.
Abbildung 28: Modi¯zierte Lateralschmelze
Dies fÄuhrt zu den folgenden Evolutionsgleichungen der Eisklassen
Falls das Gebiet vollstÄandig eisbedeckt ist (A2+A3+A4 = 1), ist
@A1
@t = @A2
@t = @A3
@t = @A4
@t = 0;
und falls o®enes Wasser vorhanden ist (A2+A3+A4 <1), gilt
@A2
@t =
( 0 falls Hlead¸H0 A2
2Hlead
@Hlead
@t sonst
@A3
@t = A3
2Hlevel
@Hlevel
@t
@A4
@t =
( 0 falls Hlevel ¸H0 A4
2Hlevel
@Hlevel
@t sonst
@A1
@t = ¡@A2
@t ¡ @A3
@t ¡ @A4
@t :
Auf den ersten Blick scheint es nur einen geringen E®ekt zu haben, bei di-ckem ebenen Eis darauf zu verzichten, die Betrachtung horizontalen Schmel-zens einzubeziehen. Sie verhindert jedoch im Modell, dass sich im langsam schmelzenden KÄusteneis zu Beginn der Tauwetterzeit zu schnell Spalten und eisfreie Gebiete durch thermodynamische Ein°Äusse bilden, die ein Wegdriften des Eises ermÄoglichen wÄurden.
Gefrierprozesse
Komplizierter wird die Berechnung, wenn Eis gefriert. Die Eisdicke von dÄunnem Eis, Brucheis oder dickem ebenen Eis wÄachst, und auf dem o®e-nen Wasser entsteht Neueis, welches sich je nach Äau¼eren Gegebenheiten als gleichmÄa¼ige Eisdecke oder als Eisbruch, Eismatsch o.Äa. formiert.
In dem Hibler¶schen Eismodell fÄuhrt Eisbildung zu einer ÄAnderung des Be-deckungsgrades nach der Formel
@A
@t = 1¡A
¹h0
@¹h
@t; falls @¹h
@t ¸0:
h0 ist der so genannte Rinnenschlie¼ungsparameter, der beim Gefrierprozess die Geschwindigkeit angibt, mit der sich der Anteil des o®enen Wassers ver-ringert. Das bedeutet, dass sich in diesem Modell keine homogene Neueis-decke ausbildet, sondern ein Teil o®enes Wasser vorhanden bleibt. FÄur die gro¼skaligen Modelle, die das Eis der Arktis oder Antarktis beschreiben, ist
dies ein sinnvoller Ansatz, da eine starke DÄunung und raue atmosphÄarische Bedingungen ein Zusammenwachsen der neu gebildeten Eiskristalle nicht zu-lassen und sie statt dessen an die vorhandenen Eisschollen verdriften.
Auf den vergleichsweise kleinen Skalen auf der Ostsee ist es bei ruhigen Wind-verhÄaltnissen jedoch nicht unÄublich, dass innerhalb geringer Zeit eine glatte, wenn auch dÄunne Eisschicht entsteht. Ist der Wind stÄarker (oder wird das Zusammenwachsen des Eises durch andere Ein°Äusse, wie z.B. Schi®sverkehr gestÄort), so werden je nach StÄarke der StÄorung Eiskristalle, Eismatsch, Pfann-kucheneis oder EisbruchstÄucke an die RÄander der schon bestehenden Eisschol-len getrieben.
In diesem Fall wird das entsprechende Eisvolumen berechnet und der Klasse des Brucheises zugeordnet, so dass
@A1
@t =¡ A1
Hlevel
@Hneueis
@t und (5.60)
@A3
@t =¡@A1
@t :
Abbildung 29: Gefrieren des Eises bei starkem Wind
Bei ruhigen atmosphÄarischen Bedingungen entsteht auf dem o®enen Wasser eine Neueisdecke, fÄur die aus StetigkeitsgrÄunden eine minimale Dicke Hmin
angenommen wird. Das hei¼t, dem Neueisvolumen auf der FlÄache des bis dato o®enen Wassers entspricht das Volumen einer Eisdecke der Dicke Hmin
auf der neu mit Eis bedeckten FlÄache (die kleiner oder gleich der FlÄache des ehemals o®enen Wassers ist):
@A1
@t =¡ A1
Hmin
@Hneueis
@t :
Das Neueis entspricht der De¯nition nach dem dÄunnen Eis. Um die De¯nition einer weiteren Eisklasse zu vermeiden, mÄussen die Klassen neu eingeteilt wer-den. Dabei ist die Massenerhaltung ebenso zu beachten wie die Beibehaltung der Materialeigenschaften, das bedeutet, dass sich durch die Umordnung der Klassen die Festigkeit des Materialgemisches nicht Äandern darf. Die Mate-rialkoe±zienten sind proportional zum Quadrat der jeweiligen Eisdicke (s.
De¯nition der ViskositÄaten, Gleichungen 3.26 bis 3.28). Es wird davon aus-gegangen, dass das Brucheis bei der Umverteilung keine Rolle spielt. Die entsprechende Eisdicke Hlevel bleibt ebenfalls erhalten. Die Materialbedin-gung fÄuhrt daher zur Gleichung
@
@t
³XAi¢Hi2´= @A1
@t Hmin2 + @
@t
³A2 ¢Hlead2 ´+@A4
@t Hlevel2 = 0:
Zusammen mit der Massenerhaltung
@
@t
³XAi¢Hi
´= @A1
@t Hmin+ @
@t(A2¢Hlead) +@A4
@t Hlevel = 0 und der FlÄachenerhaltung
@
@t
³XAi
´= @A1
@t +@A2
@t + @A4
@t = 0 folgt daraus
@A1
@t = ¡ A1
Hmin
@Hneueis
@t (5.61)
@A2
@t = Hmin2 ¡Hlevel2 ¡2Hlead(Hmin¡Hlevel) (Hmin¡Hlevel)2
@A1
@t
@A3
@t = 0
@A4
@t = ¡@A1
@t ¡@A2
@t
fÄur die Evolution der Bedeckungsgrade und
@Hlead
@t =¡ 1 A2
Ã@A1
@t Hmin+@A2
@t Hlead+@A4
@t Hlevel
!
fÄur die Entwicklung der Leadeisdicke.
Hmin ist eine Konstante ungleich Null und die Di®erenz Hlevel¡Hlead ver-schwindet nur, falls kein Eis vorhanden ist, was der Annahme eines Gefrier-prozesses widersprÄache. A2 ist nur dann Null, wenn bisher kein dÄunnes Eis existierte und sich auch keines durch Neueis gebildet hat. Dann jedoch ver-schwindet auch @Hlead=@t.
Alle Parameter sind in der Abbildung 30 zusammengefasst.
Abbildung 30: Gefrieren des Eises bei wenig Wind
Da keine Schi®fahrtsdaten zur VerfÄugung stehen, wird in dem Mehrklassen-modell vom Wind abhÄangig gemacht, ob das Neueis dem Brucheis zugeord-net wird, oder dem ebenen dicken und dÄunnen Eis. Es wird ein Faktor wb eingefÄuhrt, der zwischen Null (fÄur keinen Wind) und Eins (fÄur starken Wind) liegt und eine Linearkombination der Modelle 5.60 und 5.61 erlaubt.