Mächtigkeit von Mengen und Abzählbarkeit

2.4 Mächtigkeit von Mengen und Abzählbarkeit Da dies eine Cauchy-Folge ist, lässt sich für jedes Folgenglied a

n

eine Schranke k

n

wählen, ab der die Approximation durch die Folge rationaler Zahlen so gut ist, dass gilt

| a

_n

a

_n,kn

| < 1

Die Folge (a

_n,kn

)

_n2N

ist nun wiederum eine Cauchy-Folge (mit Folgengliedern in Q ) und hat denselben Grenzwert wie die Folge (a

_n

)

_n2N

. Dies sieht man folgendermaßen: Sei ✏ > 0 beliebig vorgegeben, so findet man ein n

✏

2 N , so dass für alle n, m n

✏

gilt

| a

n

a

m

| < 1

3 ✏, | a

n

a

n,kn

| < 1 3 ✏, und somit gilt auch

| a

n,kn

a

m,km

|  | a

n,kn

a

n

| + | a

n

a

m

| + | a

m

a

m,km

|

der Grenzwert dieser Folge von rationalen Zahlen - der gemäß Definition in R liegt.

Dieser Grenzwert stimmt nun aber auch mit dem Grenzwert der Folge (a

_n

)

_n2N

überein, denn es gilt

| a

n

a |  | a

n

a

n,kn

| + | a

n,kn

a |  1

n + | a

n,kn

a | ! 0 (n ! 1 ).

Dies zeigt: der Grenzwert der Cauchy-Folge (a

_n

)

_n2N

ist durch die Cauchy-Folge (a

_n,kn

)

_n2N

von rationalen Zahlen approximierbar und somit auch in R . ⇤

2.4 Mächtigkeit von Mengen und Abzählbarkeit

Es lässt sich die Frage stellen, welche der Mengen Q und R mehr Elemente besitzt oder ob sie gleich viele Elemente haben. Dazu benötigt man zunächst eine Definition, die die Anzahl an Elementen in einer Menge greifbar macht.

Die Folge (an,kn)n∈N ist nun wiederum eine Cauchy-Folge (mit Folgengliedern in Q) und hat denselben Grenzwert wie die Folge(an)n∈N. Dies sieht man folgendermaßen: Sei >0 beliebig vorgegeben, so findet man ein n ∈N, so dass für alle n, m≥n gilt

|an−am|< 1

3, |an−an,kn|< 1 3, und somit gilt auch

|an,kn−am,km| ≤ |an,kn−an|+|an−am|+|am−am,km|

der Grenzwert dieser Folge von rationalen Zahlen. Dieser Grenzwert stimmt nun aber auch mit dem Grenzwert der Folge (an)n∈N überein, denn es gilt

|an−a| ≤ |an−an,kn|+|an,kn−a| ≤ 1

n +|an,kn −a| →0 (n→ ∞).

Dies zeigt: der Grenzwert der Cauchy-Folge(an)n∈Nist durch die Cauchy-Folge(an,kn)n∈N

von rationalen Zahlen approximierbar und somit auch in R.

2.4 Mächtigkeit von Mengen und Abzählbarkeit

Es lässt sich die Frage stellen, welche der Mengen Q und Rmehr Elemente besitzt oder ob siegleich viele Elemente haben. Dazu benötigt man zunächst eine Definition, die die Anzahl an Elementen in einer Menge greifbar macht und speziell die Anzahl bei Mengen mit unendlich vielen Elementen (z.B. N,Z,Q,R) differenzierter auffassen lässt.

Definition 2.22 (Mächtigkeit von Mengen)

Die Mächtigkeit einer Menge gibt die Anzahl der Elemente in einer Menge an.

Seien A und B zwei Mengen. Die Mengen heißen gleichmächtig, falls es eine bijektive Abbildung A→B gibt.

Eine Menge A heißt

(i) endlich, falls es für einn∈Neine bijektive Abbildung{1,2, . . . , n} →Agibt. Man schreibt in diesem Fall |A|=n.

(ii) abzählbar, wenn sie die gleiche Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen hat, d.h. falls es eine bijektive Abbildung N→A gibt.

(iii) überabzählbar, fallsA weder endlich noch abzählbar ist.

Beispiel 2.23

Für die Menge A:={4,7,8,−5,−7} ist|A|= 5.

Satz 2.24 (Z ist abzählbar) Die Menge Z ist abzählbar.

Beweis. Gesucht ist eine bijektive Abbildungf :N→Z, die eine Zuordnung der natür-lichen Zahlen zu den ganzen Zahlen darstellt. Dies wird durch die folgende Abbildung geleistet

f(n) :=

(−ⁿ₂, für n gerade,

n+1

2 , für n ungerade, oder anschaulich durch die Zuordnung

N: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ . . .

Z: 0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 . . .

Somit ist Z abzählbar.

Satz 2.25

Der KörperQ ist abzählbar.

Beweis. Jede rationale Zahl kann als Bruch _n^z mitz ∈Zundn∈N⁺dargestellt werden.

Dies lässt sich als ein kartesisches Produkt zeichnen und durch eine raumfüllende Kurve lässt sich jeder Punkt(z, n)ablaufen. Die gesuchte Nummerierung vonQist nun gegeben dadurch, dass man die Elemente von Q gemäß dieser Kurve listet und dabei diejenigen Paare überspringt, die nicht teilfremd sind.

2.4 Mächtigkeit von Mengen und Abzählbarkeit 2.4 Mächtigkeit von Mengen und Abzählbarkeit

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Für die reellen Zahlen ist gilt nun aber folgender Satz.

Satz 2.26

Die Körper R ist überabzählbar.

Beweis. Der Beweis wird über einen Widerspruch geführt. Es reicht dazu sogar aus sich nur auf eine Teilmenge der reellen Zahlen zu beschränken. Angenommen, es gäbe eine Abzählung der reellen Zahlen im Interval [0,1) und diese Zahlen seien durch eine bijektive Abbildung f : N ! R darstellbar. Dann lässt sich jede dieser Zahlen f(n) als eine Dezimalzahl f(n) = 0, dn,0dn,1dn,2. . . mit dn,i 2 {0,1,2, . . . ,9} darstellen. Da die Zahlen nummerierbar sind, lassen sie sich alle in einer unendlich langen Liste schreiben:

f(0) = 0, d0,0d0,1d0,2d0,3. . . f(1) = 0, d1,0d1,1d1,2d1,3. . . f(2) = 0, d2,0d2,1d2,2d2,3. . . f(3) = 0, d3,0d3,1d3,2d3,3. . .

...

Nun kann diese Liste aber noch immer nicht alle Dezimalzahlen enthalten. Denn man kann stets eine weitere Zahl finden, die noch nicht in der aktuellen Nummerierung vor-handen ist. Dazu wählt man diese Zahl wie folgt: Für die erste Dezimalstelle d0 2 {0,1,2, . . . ,9} wählt man eine Zahl, die von der Dezimalstelle der ersten Zahl d0,0 ver-schieden ist. Für die zweite Dezimalstelle d2 wählt man eine Zahl verschieden von der zweiten Dezimalstelle der zweiten Zahl d1,1 auf der Liste. So fährt man fort und wählt für die Dezimalstelle dn eine Zahl aus {0, . . . ,9}, die verschieden von der Dezimalstelle dn,n in der Liste ist. Die so entstehende Zahl kann also mit keiner der Zahlen auf der Liste übereinstimmen. Dies steht jedoch im Widerspruch zu der Annahme, dass in der Liste bereits alle (abzählbaren) Zahlen aus R auftauchen. ⇤

N

⁺

Z

Für die reellen Zahlen ist gilt nun aber folgender Satz.

Satz 2.26

Die Körper R ist überabzählbar.

Beweis. Der Beweis wird über einen Widerspruch geführt. Es reicht dazu sogar aus sich nur auf eine Teilmenge der reellen Zahlen zu beschränken. Angenommen, es gäbe eine Abzählung der reellen Zahlen im Interval [0,1) und diese Zahlen seien durch eine bijektive Abbildung f :N → R darstellbar. Dann lässt sich jede dieser Zahlen f(n) als eine Dezimalzahl f(n) = 0, dn,0dn,1dn,2. . . mit dn,i ∈ {0,1,2, . . . ,9} darstellen. Da die Zahlen nummerierbar sind, lassen sie sich alle in einer unendlich langen Liste schreiben:

f(0) = 0,d0,0 d0,1 d0,2 d0,3 . . . f(1) = 0, d_1,0 d_1,1 d_1,2 d_1,3 . . . f(2) = 0, d2,0 d2,1 d2,2 d2,3 . . . f(3) = 0, d3,0 d3,1 d3,2 d3,3 . . .

...

Nun kann diese Liste aber noch immer nicht alle Dezimalzahlen enthalten. Denn man kann stets eine weitere Zahl finden, die noch nicht in der aktuellen Nummerierung vor-handen ist. Dazu wählt man diese Zahl wie folgt: Für die erste Dezimalstelle d0 ∈ {0,1,2, . . . ,9} wählt man eine Zahl, die von der Dezimalstelle der ersten Zahl d_0,0 ver-schieden ist. Für die zweite Dezimalstelle d2 wählt man eine Zahl verschieden von der zweiten Dezimalstelle der zweiten Zahl d1,1 auf der Liste. So fährt man fort und wählt für die Dezimalstelle d_n eine Zahl aus {0, . . . ,9}, die verschieden von der Dezimalstelle dn,n in der Liste ist. Die so entstehende Zahl kann also mit keiner der Zahlen auf der Liste übereinstimmen. Dies steht jedoch im Widerspruch zu der Annahme, dass in der

Liste bereits alle Zahlen auftauchen.

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Im Dokument 1.1 Mathematische Sprache (Seite 37-40)