8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild
Gleichungssysteme entstehen an vielen Stellen und für ihre Lösung ist ein verlässliches Verfahren wünschenswert.
Zum Beispiel führt die Berechnung von Schnittpunkten zwischen Ebenen im R3 auf solche Gleichungssysteme. Eine Ebene im R3 lässt sich über eine lineare Gleichung be-schreiben
{x∈R3 | a1x1 +a2x2+a3x3 =b},
mit Koeffizienten ai ∈ R, i = 1,2,3 und rechter Seite b ∈ R. Um den Schnittpunkt dreier Ebenen im R3 zu berechnen, muss dementsprechend einx∈R3 gefunden werden, so dass simultan die Ebenengleichung für alle drei erfüllt ist, d.h. es gilt
a11x1+a12x2+a13x3 =b1
a21x1+a22x2+a23x3 =b2
a31x1+a32x2+a33x3 =b3
oder kurz
A·x=b,
mit A= (aij)∈R3×3 und x= (xi)∈R3, b= (bi)∈R3. Eliminationsverfahren von Gauß
Es stellt sich nun die Frage, ob eine solche Matrixgleichung überhaupt eine Lösung besitzt und falls ja, ob die gefundene Lösung die einzige ist. Ein Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Lösungen eines solchen Gleichungssystem ist das Verfahren von Gauß.
Dabei formt man Matrix und rechte Seite geeignet um, so dass sich bei gleichbleibender Lösung eine Zeilenstufenform der Matrix ergibt, aus der man die Lösung durch einfaches Einsetzen ablesen kann.
Dies erklärt sich am besten durch ein Beispiel. Seien {x∈R3 | 2x1+x2+ 3x3 = 8}, {x∈R3 | 2x1+ 2x2+ 4x3 = 12}, {x∈R3 | −4x1+ 4x2+ 6x3 = 14}
Ebenen im Raum, deren Schnittpunkt gesucht ist. Ausgehend von den drei Gleichungen 2x1 + x2 + 3x3 = 8 (i)
2x1 + 2x2 + 4x3 = 12 (ii)
−4x1 + 4x2 + 6x3 = 14 (iii)
erhält man durch Addition des Vielfachen einer Gleichung zu den anderen zunächst 2x1 + x2 + 3x3 = 8 (i)
x2 + x3 = 4 (ii :=ii+ (−1)·i) 6x2 + 12x3 = 30 (iii :=iii+ 2·i) und schließlich die sogenannte Zeilenstufenform
2x1 + x2 + 3x3 = 8 (i) x2 + x3 = 4 (ii)
6x3 = 6 (iii :=iii+ (−6)·ii)
Nun lässt sich die Lösung direkt von unten nach oben ablesen. Denn durch einfaches Dividieren findet man aus (iii) nun zunächst x3 = 1. Einsetzen von x3 in (ii) und Umformen ergibt x2 = 3 und schließlich Einsetzen von x2 und x3 in (i) und Umformen x1 = 1.
Man rechnet zudem leicht nach, dass die Lösung xT = (1,3,1) des so umgeformten Gleichungssystem auch die Lösung des ursprünglichen Gleichungssystem
A·x=
ist. Dieses Vorgehen lässt sich auf beliebige MatrizenA ∈Km×n anwenden und soll nun im Folgenden systematisch untersucht werden.
Definition 8.10 (Lösungsmenge)
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax=b ist gegeben durch L(A,b) :={x∈Kn|Ax=b}.
Ist dieses Menge leer, so ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Enthält sie genau einen Vektor, so ist dies eine eindeutige Lösung. Gibt es mehr als ein Element in der Lösungs-menge, so hat das Gleichungssystem mehr als einen Lösung.
Das Ziel des Algorithmus von Gauß ist es, diese Menge zu bestimmen. Dazu schreibt man das zu lösende Gleichungssystem oftmals der Einfachheit halber alserweiterte Ko-effizientenmatrix
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild Nun stellt man zunächst direkt fest, dass es Gleichungssysteme gibt, die sich besonders einfach lösen lassen. Diese haben die folgende Gestalt, bei der das untere Dreieck der Matrix nur aus Nullen besteht.
Definition 8.11 (Zeilenstufenform)
Eine Matrix A ∈ Km×n besitzt Zeilenstufenform, wenn es einen Zahl r (0 ≤ r ≤ m) gibt, so dass die Zeilen folgende Form haben:
(i) In den Zeilen r+ 1, . . . , m sind alle Einträge Null.
(ii) In den Zeilen1, . . . , r sind nicht alle Einträge Null und die von Null verschiedenen Einträge mit kleinstem Spaltenindex ji := min{j|aij 6= 0} (sogenannte Pivots) erfüllen die Bedingung j1 < j2 < . . . < jr.
Die Matrix hat somit die Gestalt
A= sowohl von Null verschiedenen Einträge als auch Nullen stehen dürfen und unterhalb der eingezeichneten Linie nur Nullen stehen. Nun stellt man fest, dass sich die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in einer Zeilenstufenform direkt ermitteln lässt.
Satz 8.12 (Lösungen einer Matrix in Zeilenstufenform) Sei eine lineares Gleichungssystem in Zeilenstufenform gegeben mit
(A|b) = und man benötigt dazu n−r freie Parameter.
Beweis. (i) Ist bi 6= 0 mit i≥r+ 1, so lautet die i-te Gleichung 0·x1 + 0·x2+. . .+ 0·xn=bi 6= 0 und keine Wahl von xkann diese Gleichung lösen.
(ii) Man löst das System von unten nach oben auf. Ausgehend von der r-ten Gleichung ar,jrxjr +ar,jr+1xjr+1+ar,jr+2xjr+2+. . .+ar,nxn =br
wählt man zunächst die Variablen xjr+1, xjr+2, . . . , xn als freie Parameter, die einen be-liebigen Wert annehmen können: xn := λ1, . . . , xjr+2 := λn−jr−1, xjr+1 := λn−jr. Damit verbleibt nur noch xjr als Variable in der Gleichung und nach dieser kann aufgelöst werden
ar,jrxjr +ar,jr+1λn−jr +ar,jr+2λn−jr−1+. . .+ar,nλ1 =br
⇒xjr = 1 ar,jr
(br−ar,jr+1λn−jr −ar,jr+2λn−jr−1−. . .−ar,nλ1).
Somit sind nun diexjr, . . . , xnbekannt. Mit derr−1-te Gleichung fährt man analog fort:
Zunächst wählt man für die Variablenxjr−1+1, xjr−1+2, . . . , xjr−1 freie Parameter und löst danach die Gleichung
ar−1,jr−1xjr−1 +ar−1,jr−1+1xjr−1+1+ar−1,jr−1+1xjr−1+1+. . .+ar−1,nxn =br−1
nach xjr−1 auf. Dies ist stets möglich, da die Variablen xjr−1+1, . . . , xn bekannt bzw.
bereits paramterisiert sind. Diese Verfahren führt man bis zur ersten Zeile durch und erhält somit eine Parametrisierung der Lösung.
Die Anzahl der benötigten freien Parameter bestimmt sich dadurch, dass für jede Spalte außer den Spalten mit Pivots ein freier Parameter eingeführt werden muss. Man hat n Unbekannte, r Pivots und dementsprechend n−r freie Parameter.
Man sieht folglich, dass sich Matrizen in Zeilenstufenform direkt lösen lassen. Die Idee des Verfahrens von Gauß ist es nun ein beliebiges Gleichungssystem durch Umformun-gen in ein Gleichungssystem in Zeilenstufenform zu überführen, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge ändert. Wesentlich sind dabei die sogenanten elementaren Zeilenumfor-mungen.
Definition 8.13 (elementare Zeilenumformungen)
Eine elementare Zeilenumformung ist eine der folgenden drei Operationen (I) Vertauschung von zwei Zeilen,
(II) Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ6= 0, (III) Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen.
Führt man diese Operationen auf einem Gleichungssystem aus, so bleibt die Lösungs-menge gleich.
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild Satz 8.14 (Elementare Zeilenumformungen ändern die Lösungsmenge nicht) Ist das Gleichungssystem (Ae|b)e durch endlich viele elementare Zeilenumformungen aus dem Gleichungssystem (A|b) hervorgegangen, dann haben beiden Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge, d.h.
L(A,b) = L(A,e b).e
Beweis. Es genügt zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge bei jeder elementaren Zeile-numformung nicht ändert. Dann ist auch die mehrfache Hintereinanderausführung pro-blemlos möglich.
Die Umformung (I) ändert die Lösungsmenge sicher nicht, denn die Reihenfolge in der die Gleichungen notiert werden ist für die Lösung irrelevant.
Die Umformung (II) ändert die Lösungsmenge nicht, denn durch Multiplikation mit λ bzw. λ−1 findet man zunächst die Äquivalenz
ai1x1+. . .+ainxn =bi ⇔ λai1x1+. . .+λainxn=λbi.
Erfüllt nun eine Lösung x = (x1, . . . , xn) die linke Gleichung, so auch die rechte und umgekehrt. Daher sind die Lösungsmengen identisch.
Die Umformung (III) ändert die Lösungsmenge ebenfalls nicht, denn die beiden Glei-chungssysteme
ai1x1+. . .+ainxn =bi
ak1x1+. . .+aknxn =bk ⇔ ai1x1+. . .+ainxn =bi
(ak1+λai1)x1+. . .+ (akn+λain)xn =bk+λbi
sind zueinander äquivalent, wie man durch Addition bzw. Subtraktion sieht. Daher kann man Lösungen des einen Gleichungssystems in Lösungen des zweiten überführen und
umgekehrt.
Es lässt sich nun aber jedes Gleichungssystem mittels den elementaren Zeilenumformun-gen in ein äquivalentes Gleichungssystem in Zeilenstufenform überführen.
Satz 8.15 (Umformungssatz von Gauß)
Jede Matrix A lässt sich durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix Ae in Zeilenstufenform umformen.
Beweis. Sind alle Einträge der Matrix A ∈ Km×n gleich Null, so liegt per Definition schon eine Zeilenstufenform mitr= 0 vor und der Satz ist direkt gezeigt. Sei daher min-destens ein Eintrag der Matrix von Null verscheiden und somit gibt es auch minmin-destens einen Spalte, in der nicht alle Einträge Null sind. Damit kann man sich diejenige solche Spalte mit kleinstem Index suchen, d.h. j1 = min{j|für mindestens ein i gilt aij 6= 0}.
A =
In der j1-ten Spalte ist somit mindestens ein Eintrag ungleich Null. Falls dies nicht bereits der Eintraga1,j1 der ersten Zeile ist, so findet man eine Zeile i1 bei der ai1,j1 6= 0 gilt und durch Vertauschung der i1-ten Zeile mit der ersten Zeile erhält man einen von Null verschiedenen Pivot ea1,j1 = ai1,j1. Durch diese elementare Zeilenumformung vom Typ (I) erhält man somit die erste Zeile der MatrixAe.
Ae =
Nun kann man die unterhalb vonea1,j1 stehenden Einträge zu Null machen, indem man die elementare Zeilenumformung vom Typ (III) auf jede der Zeilen anwendet und jeweils ein Vielfaches der ersten Zeile hinzuaddiert. Dabei wählt man für den Eintrag der k-ten Zeile den Faktorλ so, dass gilt
ak,j1 +λea1,j1 = 0 ⇒ λ=−ak,j1
ea1,j1
. Damit erhält man eine Matrix der Form
Ae1 =
Nun kann man die UntermatrixA2 ∈Km−1×n−j1 betrachten und dasselbe Verfahren auf diese anwenden. Damit ergibt sich die zweite Zeile der gesuchten Matrix und man erhält
Ae2 =
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild Nach diesem Muster fährt man fort bis entweder eine Untermatrix vorliegt, die nur Null Einträge besitzt, oder bis keine Untermatrix mehr übrig bleibt, da die Anzahl der
Zeilen/Spalten mit jedem Schritt abnehmen.
Somit kann nun das gesamte Vorgehen angeben werden.
Definition 8.16 (Eliminationsverfahren von Gauß)
Sei das lineare Gleichungssystem Ax=bmit A∈Km×n,x∈Kn,b∈Km gegeben. Das Eliminationsverfahren von Gauß bestimmt die Lösungsmenge L(A,b) durch folgendes Vorgehen:
(a) Notiere die Koeffizientenmatrix (A|b).
(b) Überführe diese durch elementare Zeilenumformungen in (Ae|b)e mit einer Matrix Ae in Zeilenstufenform und bestimme die Anzahl der nicht-Null Zeilen r.
(c) Bestimme anhand der ebr+1, . . . ,ebm, ob einen Lösung exisiert und berechne diese gegebenenfalls als Parametrisierung.
Beispiel 8.17 (i) Das Gleichungssystem 1 1 5
besitzt keine Lösung, wie man sofort an der letzten Zeile nach der Umformung sehen kann,
L(A,b) =∅.
(ii) Das Beispiel vom Anfang des Kapitels liest sich als folgendes Vorgehen
und rekursives Auflösen liefert die eindeutige Lösung L(A,b) ={
Da für eb3 = 0 gilt, lässt sich dieses Gleichungssystem lösen. Setzt man x3 = λ1
und x4 =λ2 mit den freien Parametern λ1, λ2 ∈R, so erhält man zunächst durch Einsetzen in die zweite Gleichung
0x1+ 1x2+ 4λ1+ 2λ2 = 4 ⇒ x2 = 4−4λ1−2λ2. Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man schließlich
1x1+ 2 (4−4λ1−2λ2) + 2λ1+ 3λ2 = 1 ⇒ x1 =−7 + 6λ1+λ2. Die Lösungsmenge sieht dementsprechend folgendermaßen aus
L(A,b) = {
Dies kann man auch so auffassen, dass die Lösungen durch die Ebene
L(A,b) = {
beschrieben werden. Oder anders ausgedrückt: Jede Lösung wird dargestellt mit Hilfe der Vektoren
Durch direktes Nachrechnen stellt man dabei fest, dass sogar schon alleine v0 eine Lösung ist. Zudem gilt Av1 =0 und Av2 =0.
Bild, Kern und Rang einer Matrix
Dass die Ergebnisse dieser drei Beispiele kein Zufall sind, sondern sehr repräsentative Beispiele von Lösungsarten wiedergeben, zeigt die folgende Betrachtung. Um die Begriff-lichkeiten etwas zu präzisieren, verwendet man die folgenden Definitionen.
Definition 8.18 (Bild und Kern einer Matrix) Für eine MatrixA ∈Km×n bezeichnet
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild Im(A) ={Ax | x∈Kn} ⊂Km das Bild von A,
Kern(A) ={x∈Kn | Ax=0} ⊂Kn den Kern von A.
Der Kern sind also alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Das Bild einer Matrix sind alle möglichen Ergebnisse der Matrixabbildung.
Satz 8.19 (Bild und Kern sind Untervektorräume)
Für eine Matrix A ∈ Km×n sind das Bild Im(A) ⊂ Km und Kern(A) ⊂ Kn Untervek-torräume.
Beweis. WegenA·0=0ist immer0∈Kern(A)6=∅ und0∈Im(A)6=∅. Die anderen Unterraumaxiome sieht man durch elementares Nachrechnen.
Mit Hilfe von Bild und Kern einer Matrix lässt sich die Lösungsmenge elegant beschrei-ben.
Satz 8.20 (Möglichkeiten der Lösungen eines linearen Gleichungssystems) Sei zub∈Kmdie Lösungx∈Kndes linearen GleichungssystemAx=bmitA ∈Km×n gesucht. Dann gilt
(i) Ax=b nicht lösbar ⇔ b∈/Im(A),
(ii) Ax=b eindeutig lösbar ⇔ b∈Im(A) und Kern(A) = {0}, (iii) Ax=b mehrdeutig lösbar ⇔ b∈Im(A) und Kern(A)6={0}, und genau einer dieser drei Fälle trifft zu.
Existiert eine Lösung, so lässt sich diese schreiben als Summe einerspeziellen Lösung des inhomogenen Systems (Ax=b) und jederallgemeinen Lösung des homogenen Systems (Ax=0), d.h. ist x∈ L(A,b) eine beliebige Lösung, dann gilt
L(A,b) =x+ Kern(A) :={x+x0 | x0 ∈Kern(A)}. Beweis. (i) Dies ist die Definition von Im(A).
(ii) + (iii) Da b∈Im(A)in beiden Fällen gilt, gibt es mindestens eine Lösung. Es bleibt die Äquivalenz zwischen Eindeutigkeit und Kern(A) ={0} zu zeigen.
“Eindeutigkeit ⇒ Kern(A) = {0}”: Sei x ∈ Kn die eindeutige Lösung von Ax = b, und angenommen es existiert y ∈ Kern(A),y 6= 0, d.h. Ay = 0. Dann ist wegen A(x+y) =Ax+Ay =Ax=bauchx+yeine Lösung im Widerspruch zur Annahme.
“Kern(A) ={0} ⇒ Eindeutigkeit”: Seix∈Kn eine Lösung vonAx=b, und angenom-men es existiert noch eine weitere Lösung y ∈ Kn,y 6= x mit Ay = b. Dann folgt für z:=y−xzum einen z6= 0 und zum anderen
Ay=b ⇒ A(x+z) =b ⇒ Ax+Az=b ⇒ Az=0
und damit z∈Kern(A), aber z6=0. Widerspruch zur Annahme.
Vom Bild einer Matrix bekommt man eine bessere Vorstellung, wenn man sich das Bild eines Vektors in die Bilder der Einheitsvektoren zerlegt. Für einen beliebigen Vektor xT = (x1, x2, . . . , xn)erhält man die Darstellung
Ax=A(x1e1+x2e2+. . .+xnen)
=x1Ae1+x2Ae2+. . .+xnAen
=x1aS,1 +x2aS,2+. . .+xnaS,n,
wobei diei-te Spalte der MatrixAalsSpaltenvektor aS,iaufgefasst wird. Die Anwendung der Matrix auf einen Einheitsbektor liefert also eine Spalte der Matrix gemäßaS,j =Aej (1≤j ≤ n). Möchte man daher wissen, wie die Koordinatenachsen abgebildet werden, so muss man sich nur die Spalten der Matrix ansehen. Für einen beliebigen Vektor im Bild gilt zudem, dass er immer eine Linearkombination der Spaltenvektoren ist. Oder anders formuliert: das Bild einer Matrix wird von den Spaltenvektoren aufgespannt.
Definition 8.21 (Zeilen- und Spaltenvektoren) Zu einer Matrix A∈Km×n nennt man die j-te Spalte
aS,j :=Aej =
a1j
a2j
...
amj
, 1≤j ≤n,
einen Spaltenvektor und diei-te Zeile
aTZ,i := (ai1, ai2, . . . , ain), 1≤i≤m, einen Zeilenvektor und die Matrix lässt sich somit schreiben als
A = (aS,1aS,2 . . . aS,n) =
aTZ,1 aTZ,2 ...
aTZ,m
.
Die obige Diskussion hat gezeigt:
Satz 8.22 (Bild einer Matrix wird von den Spaltenvektoren aufgespannt) Das Bild einer Matrix A∈Km×n wird von den Spaltenvektoren aufgespannt, d.h.
Im(A) = span(aS,1,aS,2, . . . ,aS,n) = span(Ae1,Ae2, . . . ,Aen).
Unter den Spaltenvektoren können natürlich gewisse Vektoren von den anderen linear abhängig sein. Daher ist die Dimension des Bildes maximalnund dies genau dann, wenn alle Spaltenvektoren linear unabhängig sind und somit eine Basis vom Bild bilden.
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild Definition 8.23 (Rang)
Der Rang einer MatrixA∈Km×n ist die Dimension des Bildes, d.h.
Rang(A) := dim Im(A).
Der Spaltenrang ist die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spalten, d.h.
Spaltenrang(A) := dim span(aS,1,aS,2, . . . ,aS,n).
Der Zeilenrang ist die maximale Anzahl an linear unabhängigen Zeilen, d.h.
Zeilenrang(A) := dim span(aZ,1,aZ,2, . . . ,aZ,m).
Etwas überraschend zeigt sich, dass diese drei Definitionen für jede Matrix diesselbe Zahl beschreiben.
Satz 8.24 (Spaltenrang = Zeilenrang = Rang) Für jede Matrix A ∈Km×n gilt
Rang(A) = Spaltenrang(A) =Zeilenrang(A).
Beweis. Per Definition ist der Rang die Dimension des von den Spalten von A aufge-spannten Raum. Dieser hat natürlich genau die Dimension, wie es linear unabhängige Spalten gibt.
Um zu zeigen, dass Zeilen- und Spaltenrang identisch sind, muss man mehr Überlegungen anstellen. Zunächst überlegt man sich, dass sich der Zeilen- und Spaltenrang nicht ändert, wenn man in der Matrix eine linear abhängige Zeile entfernt. Dies sieht man wie folgt:
Sei angenommen, dass die i-te Zeile von den anderen linear unabhängig ist, d.h. man kann Koeffizienten µ1, . . . , µm ∈K finden, so dass gilt
aZ,i = Xm
k=1k6=i
µkaZ,k
und dies gilt näturlich auch für jede Komponente aij =
Xm k=1k6=i
µkakj, für alle 1≤j ≤m.
Entfernt man diese Zeile aus dem Span der Zeilenvektoren, so ändert sich offensichtlich der Zeilenrang nicht. Für den Spaltenrang ist dies nicht so offensichtlich, gilt jedoch auch: Wenn die i-te Zeile aus der Matrix streicht, so sei die so verkleinerte Matrix mit A bezeichnet. Gemäß des Basisauswahlsatzes kann man zunächst aus den Spalten der Matrix A eine Basis des Bildes auswählen. Sei daher (ggf. nach Umnummerierung der Spalten) (a1, . . . ,ar) eine Basis des Bildes. Nun kann man in jedem dieser Vektoren die
i-te Komponente streichen und erhält zunächst ein Erzeugenensystem des Bildes der MatrixAbezeichnet mit(a1, . . . ,ar). Dies stellt aber auch eine Basis dar, denn für eine Linearkombination λ1a1+. . .+λrar = 0 folgt für die gestrichenen Komponenten mit
λ1ai1+. . .+λnair = Xr
j=1
λjaij = Xr
j=1
λj
Xm k=1k6=i
µkakj = Xm k=1k6=i
µk
Xr j=1
λjakj = Xm
k=1k6=i
µk·0 = 0 dass auch die Linearkombination der gestrichenen Zeile Null wäre. Somit kann diese wieder hinzugefügt werden und es ist somit auch λ1a1+. . .+λrar= 0 und da dies eine Basis ist, folgt λ1 =. . .=λr = 0. Damit gilt: Streicht man eine linear abhängige Zeile, so ändert sich der Spaltenrang nicht. Analog kann man folgern: Streicht man eine linear abhängige Spalte, so ändert sich der Zeilenrang nicht.
Nun kann man wie folgt vorgehen: So lange es noch linear abhängige Zeilen oder Spalten gibt, entfernt man diese aus der Matrix, ohne dass sich dabei der Zeilen- und Spaltenrang ändert. Man endet schließlich mit einer MatrixAe, die nur noch linear unabhängige Zeilen und Spalten hat. Diese Matrix ist nun aber zwingend quadratisch: gäbe es mehr Spalten als Zeilen, so hätte man Tupel mit so viel Einträgen, wie es Zeilen gibt, davon jedoch so viele wie es Spalten gibt. Aber für ein d-Tupel gibt es maximald linear unabhängige Vektoren. Analog sieht man dass es nicht mehr Zeilen als Spalten geben kann. Somit sieht man: Zeilenrang = Zeilenanzahl = Spaltenanzahl = Spaltenrang.
Man muss folglich bei einer Matrix nicht zwischen Zeilen- oder Spaltenrang unterschei-den und kann einfach vom Rang sprechen. Der Rang einer Matrix ist dabei eindeutig bestimmt und lässt sich durch das Verfahren von Gauß bestimmen, indem man nach einer Umformung auf Zeilenstufenform die nicht-null Zeilen zählt.
Satz 8.25 (Bestimmung des Rangs einer Matrix) Es gilt:
(i) Die elementaren Zeilenumformungen (I), (II) und (III) ändern den Zeilenrang nicht.
(ii) In einer Matrix in Zeilenstufenform sind die nicht-null Zeilen linear unabhängig.
Beweis. (i) Die Operation (I) vertauscht nur die Zeilen und somit bleibt der Span der Zeilenvektoren gleich. Für die Darstellungsmöglichkeit eines beliebigen Vektorsvändert sich durch Multiplikation der i-ten Zeile mit λ, d.h.eaZ,i :=λaZ,i gemäß
v=λ1aZ,1+. . .+λiaZ,i+. . .+λmaZ,m
⇔v=λ1aZ,1+. . .+λi
λ(λaZ,i) +. . .+λmaZ,m
auch nichts bei der Operation (II). Analog sieht man, dass die Addition des λ-fachen der k-ten Zeile zur i-ten, d.h. eaZ,i:=aZ,i+λaZ,k, gemäß
v=λ1aZ,1+. . .+λkaZ,k+. . .+λiaZ,i+. . .+λmaZ,m
⇔v=λ1aZ,1+..+ (λk−λiλ)aZ,k+. . .+λi(aZ,i+λaZ,k) +. . .+λmaZ,m
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild auch der Zeilenrang nicht durch Operation (III) ändert.
(ii) Betrachtet man eine Linearkombination λ1aZ,1+λ2aZ,2+. . .+λraZ,r, so kann man sukzessive ausrechnen: Da in Zeilenstufenform nur a1,j1 6= 0 in der ersten Spalte ist, so folgt λ1a1,j1 = 0 und daher λ1 = 0. Für die zweite Zeile folgt dann mit a2,j2 6= 0 auch
λ2 = 0. Somit sieht man λ1 =. . .=λr= 0.
Damit kann man eine Matrix zunächst in Zeilenstufenform überführen. Die Anzahl der verbleibenden nicht-null Zeilen sind dann genau der Rang der Matrix. Somit lässt sich auch ein praktisches Verfahren angeben, ob ein Vektor b ∈ Im(A) enthalten ist oder nicht.
Satz 8.26 (Lösbarkeitskriterium nach Fontené, Rouché und Frobenius) Für ein lineares Gleichungssystem A ∈Km×n und b∈Kn gilt
L(A,b)6=∅ ⇔ Rang(A) = Rang(A,b),
d.h. die Lösungsmenge ist genau dann nicht leer, wenn die um den Vektor b erweiterte Matrix denselben Rang wie die Matrix A besitzt.
Beweis. Ist das System lösbar, so giltb ∈Im(A)und somit fügt man durch den Vektor b nur einen von den Spalten der Matrix A linear abhängigen Vektor hinzu. Dies ändert den Spaltenrang nicht und es gilt somit Rang(A) = Rang(A,b).
Umgekehrt gilt sicherlich immer Im(A) ⊂Im(A,b). Gilt nun zudem noch Rang(A) = Rang(A,b), dann muss auch Im(A) = Im(A,b) und damit im Speziellen auch b ∈
Im(A) gelten. Damit ist das System lösbar.
Berechnung einer Basis von Bild und Kern
Durch die Charakterisierung der Lösbarkeit eines Gleichungssystems über das Bild und den Kern einer Matrix ist es sehr interessant diese beiden Räume besser zu kennen.
Speziell lässt sich fragen, wie man eine Basis dieser Untervektorräume berechnen kann und welche Dimension diese besitzen.
Ein praktisches Verfahren, um den Kern einer Matrix zu bestimmen, besteht darin, diese in eine sogenannte reduzierte Zeilenstufenform zu überführen. Diese ist sogar eindeutig bestimmt und aus ihr lässt sich der Kern als auch eine spezielle Lösung (es gibt natürlich beliebig viele spezielle Lösungen, sobald der Kern nicht nur die Null enthält) ablesen.
Definition 8.27 (Reduzierte Zeilenstufenform)
Eine Matrix A∈Km×n besitzt reduzierte Zeilenstufenform, falls sie in Zeilenstufenform ist und zusätzlich gilt:
(i) Alle Pivots haben den Wert 1, d.h. a1,j1 =. . .=ar,jr = 1.
(ii) Alle weiteren Einträge in den Pivotspalten sind Null, d.h. ai,ji = 0 für i 6=ji und alle Spaltenj1, . . . , jr.
Eine Matrix in reduzierter Zeilenstufenform hat somit die Gestalt
Satz 8.28 (Überführung in reduzierte Zeilenstufenform)
Jede Matrix A ∈ Km×n lässt sich durch elementare Zeilenumformungen in reduzierte Zeilenstufenform überführen.
Beweis. Jede Matrix lässt sich zunächst in Zeilenstufenform überführen. Danach mul-tipliziert man jede Zeile mit dem Inversen des Pivots und erhält somit die Pivots als 1. Nun kann man alle überhalb der Pivots liegenden Einträge durch Addition geeigneter Vielfache der Zeilen zu Null machen, ohne dadurch die Zeilenstufenform zu verlieren.
Ist eine lineares Gleichungssystem in die reduzierte Zeilenstufenform umgeformt, so las-sen sich nun tatsächlich die Lösungen direkt ablelas-sen.
Satz 8.29 (Lösungen bei reduzierter Zeilenstufenform)
Sei ein lineares Gleichungssystem in reduzierter Zeilenstufenform gegeben mit einem 1≤r≤n und den Pivotspalten 1≤j1 < j2 < . . . < jr ≤n
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild (ii) Der Vektor xmit
xk:=
ist eine spezielle Lösung des Gleichungssystems Ax=b.
(iii) Für jede der Nichtpivotspalten j = 1, . . . , n, j /∈ {j1, . . . , jr} ist der aus den Ein-trägen der Spalte gebildete Vektor xj mit
(xj)k :=
eine Lösung des GleichungssystemsAx=0. Zudem sind die so definierten Vektoren xj, j = 1, . . . , n, j /∈ {j1, . . . , jr} eine Basis von Kern(A).
Beweis. (i) Gilt bereits schon für Zeilenstufenform.
(ii) Dass xeine Lösung des Systems ist, sieht man durch direktes Nachrechnen. Betrach-tet man nämlich das Ergebnis der Multiplikation dieses Vektors mit der i-ten Zeile, so
ergibt sich Pivotspalten eine Null steht.
(iii) Dass die so definierten xj eine Lösung von Ax = 0 ist, sieht man ebenfalls durch direktes Nachrechnen. Betrachtet man nämlich das Ergebnis der Multiplikation dieses Vektors mit deri-ten Zeile, so ergibt sich
X
Um zu zeigen, dass die so definiertenxj linear unabhängig sind, sei X
k=1,...,n k /∈{j1,...,jr}
λkxk =0
eine Linearkombination des Nullvektors. Seil ≤n der höchste Index in der Summe mit l /∈ {j1, . . . , jr}. Dann gilt für den l-ten Eintrag (xk)l = −1 für k =l, jedoch (xk)j = 0 für j < l. Damit folgt λl = 0. Analog fährt man mit dem nächst größten Index in der Summe fort und schließt analog. Nach und nach sind somit alle λk = 0.
Um zu zeigen, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt, sei v ∈ Kern(A) ein beliebiger Vektor aus dem Kern, d.h. es gilt
X
und jeder Vektor aus dem Kern lässt sich kombinieren.
8.2 Lösungsmengen, Kern und Bild
kann auf reduzierte Zeilenstufenform gebracht werden. Die Lösungen der Gleichung liest man am Einfachsten durch eine Hilfskonstruktion ab: Zunächst fügt man an den Stufen-stellen so viele Nullzeilen ein, bis alle Pivots auf der Diagonalen stehen. Danach werden nach dem letzten Pivot Nullzeilen hinzugefügt oder entfernt, bis eine quadratische
kann auf reduzierte Zeilenstufenform gebracht werden. Die Lösungen der Gleichung liest man am Einfachsten durch eine Hilfskonstruktion ab: Zunächst fügt man an den Stufen-stellen so viele Nullzeilen ein, bis alle Pivots auf der Diagonalen stehen. Danach werden nach dem letzten Pivot Nullzeilen hinzugefügt oder entfernt, bis eine quadratische