Für n ∈ N seien det,det0 : Kn×n → K zwei Abbildungen mit den Eigenschaften (D1)-(D3). Dann gilt detA = det0A für jede Matrix A ∈ Kn×n, d.h. es gibt höchstens eine Determinantenfunktion.
Beweis. Gilt Rang(A)< n, so auchdetA= 0 = det0Aund die Aussage ist richtig. Ist hingegenRang(A) =n, dann lässt sich die Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix 1n umformen und für diese gilt wegen (D3) immer det1n = 1 = det01n. Nun kann man die Zeilenumformungen wieder rückgängig machen und erhält dieselben Vorfaktoren bei Zeilenumformungen für det und det0, d.h. schließlich
detA= det0A.
9.2 Berechnung von Determinanten
Aus den Eigenschaften der Determinanten ergibt sich direkt ein praktisches Vorgehen zur Berechnung der Determinanten.
Satz 9.6 (Berechnung einer Determinanten)
Wird die Matrix A durch Zeilenvertauschungen und die Addition geeigneter Vielfacher von Zeilen zu anderen Zeilen (elementare Zeilenumformungen (I) und (III)) in eine Ma-trix Ae mit
A Ae =
λ1 ∗ . . . ∗ 0 λ2 ... ...
... ... ... ∗ 0 . . . 0 λn
in oberer Dreiecksgestalt umgeformt und werden dabei k Zeilenvertauschungen durch-geführt, dann gilt
detA= (−1)k·detAe = (−1)k·λ1·. . .·λn.
Beweis. Ergibt sich direkt aus den obigen Eigenschaften der Determinante.
Beispiel 9.7 Man findet
det
0 5 2 2 3 3 2 3 7
= (−1)·det
2 3 3 0 5 2 2 3 7
= (−1)·det
2 3 3 0 5 2 0 0 4
= (−1)1·2·5·4 = −40,
da man bei der Transformation auf Dreiecksgestalt eine Zeilenvertauschung benötigt.
Dieses Vorgehen ist in der Praxis ein sehr effizientes Vorgehen. Man kann aber auch für die Berechnung eine (deutlich aufwändigere) Formel angeben und durch diese Angabe einer expliziten Berechnungsformel wird die Existenz der Determinante gesichert.
Definition 9.8 (Untermatrix)
Für eine Matrix A ∈ Kn×n bezeichnet Aij ∈ K(n−1)×(n−1) diejenige Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte aus A entsteht.
Beispiel 9.9
Man findet für A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
:
A11=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a22 a23
a32 a33
!
A23=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a12
a31 a32
!
Satz 9.10 (Laplacescher Entwicklungssatz nach einer Spalte) Die Determinante einer Matrix A∈Kn×n lässt sich induktiv berechnen:
Für n= 1 und A = (a11)∈K1×1 setzt man detA:=a11.
Für n≥2 und A∈Kn×n berechnet man für eine beliebige Spalte j ∈ {1, . . . , n} detA =
Xn i=1
(−1)i+j·aij ·detAij (Entwicklung nach der j-ten Spalte).
Beweis. Der Beweis wird als Induktion über n geführt: Für n = 1 erfüllt die ange-gebene Formel detA := a11 die Eigenschaften (D1)-(D3) direkt. Sei also n ≥ 2 und angenommen, dass die obige Berechnungsformel für Matrizen K(n−1)×(n−1) eine Deter-minante mit den Eigenschaften (D1)-(D3) ist (Induktionsannahme). Nun folgert man, dass die Formel für MatrizenA ∈Kn×n eine Determinante ist:
(D1) Um die Linearität bzgl. einer Zeile zu zeigen, wähle man beliebig die k-te Zeile.
Dann findet man in jedem der Summanden
(−1)i+j·aij ·detAij
die Einträge derk-ten Zeile entweder nur in den aij (fallsk=i und daher diek-te Zeile inAij gestrichen ist) oder nur inAij (fallsk 6=i). Im ersten Fall ist der Summand damit linear in derk-ten Zeile, im zweiten Fall ebenfalls nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist für die Entwicklungsformel jeder Summand linear bzgl. der k-ten Zeile und daher auch die gesamte Summe.
9.2 Berechnung von Determinanten (D2) Seien in A die k-te und l-te Zeile gleich. Für i /∈ {k, l} sind dann in Aij ebenfalls zwei Zeilen gleich, da keine dieser beiden Zeilen gestrichen wird und nach Induktions-voraussetzung gilt somit detAij = 0 füri /∈ {k, l}. Die Formel vereinfacht sich zu
detA= Xn
i=1
(−1)i+j ·aij ·detAij
= (−1)k+j ·akj·detAkj+ (−1)l+j ·alj·detAlj
= (−1)j ·akj·((−1)k·detAkj+ (−1)l·detAlj)
denn wegen der Zeilengleichheit gilt zudemakj =alj für jedes1≤j ≤n. Nun betrachtet man die beiden Untermatrizen Akj und Alj genauer: Gilt|k−l|= 1 so sind die beiden identischen Zeilen direkt untereinander und es ist egal, welche der Zeilen man streicht, d.h.detAkj = detAlj. Liegen zwischen den beiden identischen Zeilen genau eine weitere Zeile,|l−k|= 2, so kann man durch eine ZeilenvertauschungdetAkj indetAlj überfüh-ren. Im Allgemeinen gilt: Liegen die identischen Zeilen den Abstand |l−k|auseinander, so benötigt man |l−k| −1 Zeilenvertauschungen, um detAkj in detAlj zu überfüh-ren. Nach Induktionsvoraussetzung gilt somit detAkj = (−1)|l−k|−1·detAlj. Man findet (ohne Einschräkung sei l > k)
detA = (−1)j·akj ·((−1)k·(−1)|l−k|−1·detAlj + (−1)l·detAlj)
= (−1)j·akj ·((−1)l−1+ (−1)l)
| {z }
= 0
·detAlj = 0.
(D3) Nach Induktionsvoraussetzung gilt det1n−1 = 1 und daher auch det (1n) = (−1)j+j·1·det ((1n)jj) = (−1)2j·1·det (1n−1) = 1.
Beispiel 9.11
Man berechnet somit die Determinante einer 3x3 Matrix nach der ersten Spalte zu
det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11·det
a22 a23
a32 a33
−a21·det
a12 a13
a32 a33
+a31·det
a12 a13
a22 a23
= a11a22a33−a11a23a32 −a21a12a33+a21a13a32 +a31a12a23−a31a13a22. Dies wird auch als Regel von Sarrus bezeichnet. Man merkt sich diese, indem man die ersten beiden Spalten noch einmal hinter die Matrix schreibt und dann die Diagonalen multipliziert, mit +1oder−1gewichtet und aufsummiert. Ebenso merkt man sich auch die Regel für 2×2 Matrizen graphisch wie folgt:
Für2×2:
a11 a12
a21 a22
+
− Für 3×3:
a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+ + +
− − −
Die Zeilen scheinen gegenüber den Spalten einer Matrix gemäß der Definition (D1)-(D3) eine ausgezeichnete Rolle zu spielen. Dies ist jedoch nicht der Fall, denn man könnte analog auch eine Determinante über die Spalten definieren. Dies sieht man an folgenden Aussagen, die man auch zur Definition der Determinante verwenden könnte.
Satz 9.12 (Spalteneigenschaften der Determinante) Für die Determinante einer Matrix A∈Kn×n gilt:
(D1)’ det istlinear in jeder Spalte.
(D2)’ Sind in einer MatrixA zwei Spalten identisch, so gilt detA= 0.
Beweis. (D1)’: Um zu sehen, dass die Determinante linear in derj-ten Spalte ist, schaut man sich die Entwicklung nach dieser Spalte an,
detA= Xn
i=1
(−1)i+j·aij ·detAij.
Da dieAij nicht von der gestrichenenj-ten Spalte abhängt, ist dies offensichtlich linear in dieser Zeile, denn es hängt bis auf Faktoren nur von aij ab.
(D2)’: Sind zwei Spalten einer Matrix identisch, dann gilt Rang(A) < n und somit
detA= 0.
Aus dieser Symmetrie lässen sich aber auch direkt zwei Folgerungen ableiten.
Satz 9.13 (Determinante der Transponierten) Für die Determinante jeder MatrixA ∈Kn×n gilt
detA= detAT.
Beweis. Man zeigt direkt, dass auch die Abbildungdet0 :A7→detAT die Eigenschaften einer Determinante hat:
(D1) detAT ist linear in den Spalten vonAT und somit linear in den Zeilen von A. (D2) Sind zwei Zeilen inAT identisch, dann ist Rang(AT)< n und somit detAT = 0.
(D3) Für die Einheitsmatrix gilt det1Tn = det1n = 1.
Aufgrund der Eindeutigkeit der Determinantenfunktion gilt daher die obige Gleichheit.
9.2 Berechnung von Determinanten Damit lässt sich eine Determinante auch nach einer Zeile entwickeln.
Satz 9.14 (Laplacescher Entwicklungssatz nach einer Zeile)
Für n ≥ 2 lässt sich die Determinante einer Matrix A ∈ Kn×n induktiv nach einer beliebigen Zeile i∈ {1, . . . , n} berechnen durch
detA= Xn
j=1
(−1)i+j·aij ·detAij (Entwicklung nach der i-ten Zeile).
Beweis. Man wendet die Entwicklung nach einer Spalte auf AT an und benennt die Indizes um:
detA= detAT = Xn
i=1
(−1)i+j·aTij ·detATij = Xn
i=1
(−1)i+j·aji·detAji
= Xn
j=1
(−1)i+j·aij ·detAij.
Die Zeilenentwicklungsformel ist von der Form her einer Matrixmultiplikation sehr ähn-lich. Daher definiert man die sogenannte komplementäre Matrix.
Definition 9.15 (Komplementäre Matrix)
Für eine Matrix A∈Kn×n ist die komplementäre Matrix A#∈Kn×n definiert durch a#ij := (−1)i+j ·detAji.
Damit lässt sich die inverse Matrix als Formel angeben.
Satz 9.16 (Darstellung der inversen Matrix) Für eine Matrix A∈Kn×n gilt
A·A#= (detA)·1n bzw. falls A invertierbar: A−1 = 1 detAA#. Beweis. Gemäß Entwicklung nach der k-ten Zeile gilt
(A·A#)ik = Xn j=1
aij ·a#jk = Xn
j=1
(−1)k+j ·aij ·detAkj = detA0,
wobei die Matrix A0 aus A entsteht, indem man die k-te Zeile durch die i-te ersetzt.
Somit folgt
(A·A#)ik =
(detA, i=k, (A0 =A)
0, i6=k, (A0 enthält zwei identische Zeilen).
Beispiel 9.17
Für A∈K2×2 mit detA6= 0 gilt A−1 =
a11 a12
a21 a22
−1
= 1
a11a22−a12a21 ·
a22 −a12
−a21 a11
= 1
detAA#. Satz 9.18 (Cramersche Regel)
Für A ∈ Kn×n mit detA 6= 0 und b ∈ Kn sind die eindeutigen Lösungen des Glei-chungssystems Ax=b gegeben durch
xi = 1
detA ·det
a11 . . . a1,i−1 b1 a1,i+1 . . . a1n
· · · ... ...
an1 . . . an,i−1 bn an,i+1 . . . ann
.
Beweis. Die Lösung linear kombiniert die Spaltenvektoren vonAzum Vektorb gemäß x1·aS,1+. . .+xi·aS,i+. . .+xn·aS,n =b
und somit gilt auch
x1·aS,1+. . .+ (xi·aS,i−b) +. . .+xn·aS,n=0.
Damit sind diese Vektoren linear abhängig und die Determinante der daraus gebildeten Matrix verschwindet. Es folgt
0 = det (aS,1, . . . , xi·aS,i−b, . . . ,aS,n)
=xi ·det (aS,1, . . . ,aS,i, . . . ,aS,n)−det (aS,1, . . . ,b, . . . ,aS,n).
Die Fälle der Cramerschen Regel für n = 1,2 sind bereits in der Einleitung des Ka-pitels aufgetreten. Hier findet sich also die gewünschte Verallgemeinerung für beliebige Dimensionen.
Es gibt noch eine weitere Möglichkeit die Determinante einer Matrix zu berechnen. Dabei verwendet man die Vertauschungen der Zahlen 1 bisn.
Definition 9.19 (Permutationen)
Für jede natürliche Zahl n∈N bezeichnet Sn die Menge aller bijektiven Abbildungen τ :{1, . . . , n} → {1, . . . , n}.
Die Elemente von Sn heißenPermutationen.
Eine Permutation, die zwei benachbarte Zahlen vertauscht und alle anderen fest lässt, heißt Nachbarnvertauschung und jede Permutation lässt sich als Hintereinanderausfüh-rung von Nachbarnvertauschungen auffassen.
Das Signum einer Permutation ist definiert durch sign(τ) :=
(+1, falls τ einer geraden Anzahl an Nachbarnvertauschungen entspricht,
−1, falls τ einer ungeraden Anzahl an Nachbarnvertauschungen entspricht.
9.3 Determinante eines Endomorphismus