Für eine quadratische Matrix A ∈Kn×n und einen beliebigen Vektor b∈Kn gilt:
Ax=b ist eindeutig lösbar ⇔ Rang(A) =n.
Beweis. Da Rang(A) = n gilt, ist die Abbildung surjektiv und damit sogar bijektiv.
Durch die inverse Abbildung A−1 erhält man stets die eindeutige Lösung x=A−1b.
8.3 Elementarmatrizen und inverse Matrizen
Der Ablauf das Gauß-Verfahrens lässt sich formal auch als eine Multiplikation durch geeignete Matrizen beschreiben, d.h. wird eine Matrix A → Ae durch einen elementare Zeilenumformung überführt, dann lässt sich dies auch schreiben als Ae =E·Amit einer geeigneten Matrix E, die diese Transformation bewirkt. Die dazu geeigneten Matrizen werden entsprechend als Elementarmatrizen bezeichnet.
Definition 8.34 (Elementarmatrizen)
Sei m ∈ N und zwei Zeilenindizes i, j mit 1 ≤ i, j ≤ m beliebig gewählt. Als Element-armatrizen bezeichnet man eine der folgenden drei quadratischen Matrizen aus Km×m, die durch Anwendung von elementaren Zeilenumformungen aus 1m hervorgehen:
(I) EIij durch Vertauchung der i-ten Zeile mit derj-ten Zeile von 1m
EIij :=
1 ...
1
. . . 0 . . . 1 . . . ←i-te Zeile
1 ...
1
. . . 1 . . . 0 . . . ←j-te Zeile
1 ...
1
(II) EIIi (λ) durch Multiplikation deri-ten Zeile von 1m mit einer Zahl λ6= 0
In analoger Weise lassen sich dies Matrizen auch als elementare Spaltenoperationen auffassen. Diese Elementarmatrizen sind nun sehr hilfreich zur Darstellung von Matri-xumformungen.
Satz 8.35 (Elementarmatrizen bewirken elementare Zeilen- und Spaltenope-rationen)
Aus der seien MatrixAseien die folgenden Matrizen durch elementare Zeilenoperationen hervorgegangen:
(I) AI durch Vertauchung der i-ten Zeile mit derj-ten Zeile, (II) AII durch Multiplikation deri-ten Zeile mit einer Zahl λ6= 0, (III) AIII durch Addition des λ-fachen derj-ten Zeile zur i-ten Zeile,
8.3 Elementarmatrizen und inverse Matrizen dann lässt sich dies Darstellen als Multiplikation von links mit einer Elementarmatrix
(I) AI=EIij ·A, (II) AII=EIIi (λ)·A, (III)AIII =EIIIij (λ)·A.
Analog seien die folgenden Matrizen durch elementare Spaltenoperationen aus A her-vorgegangen:
(I) AI durch Vertauchung deri-ten Spalte mit der j-ten Spalte, (II) AII durch Multiplikation der i-ten Spalte mit einer Zahl λ6= 0, (III) AIII durch Addition des λ-fachen der i-ten Spalte zur j-ten Spalte,
dann lässt sich dies Darstellen als Multiplikation von rechts mit einer Elementarmatrix (I) AI=A·EIij, (II) AII=A·EIIi (λ), (III)AIII =A·EIIIij (λ).
Bei der Multiplikation mit einer Elementarmatrix ändert sich der Rang der Matrix nicht.
Beweis. Elementares Nachrechnen.
Damit lässt sich das Verfahren von Gauß dadurch kennzeichnen, dass man eine Multi-plikation mit Elementarmatrizen durchführt.
Satz 8.36 (Gauß-Elimination durch Elementarmatrizen)
Zu jeder Matrix A∈ Km×n gibt es Elementarmatrizen E1, . . . ,Es ∈Km×m, so dass die Matrix
Ae =Es·. . .·E2·E1 ·A eine Zeilenstufenform besitzt.
Analog gibt es Elementarmatrizen E01, . . . ,E0t∈Km×m, so dass die Matrix Ae =A·E01·E02·. . .·E0t
eine Spaltenstufenform besitzt.
Beweis. Dies ist die äquivalente Formulierung des bereits bewiesenen mit Elementar-matrizen.
Damit lässt sich auch noch ein anderer Blick auf den Rang der Matrix werfen. Es gilt nämlich der folgende Satz.
Satz 8.37 (Transformation auf Diagonalgestalt)
Zu jeder Matrix A ∈ Km×n mit r := Rang(A) gibt es zwei Matrizen E ∈ Km×m und E0 ∈Kn×n, so dass man die Matrix auf die folgende Gestalt umformen kann:
E·A·E0 =
1r 0 0 0
und diese Matrizen sind Produkte von Elementarmatrizen
E=Es·. . .·E2·E1, E0 =E01·E02·. . .·E0t.
Beweis. Nach dem Verfahren von Gauß lässt sich durch Multiplikation mit Element-armatrizen von links - d.h. durch elementare Zeilenumformungen - die Matrix zunächst auf reduzierte Zeilenstufenform bringen:
Ae =
Die bis hierher durchgeführten Zeilenumformungen bilden die Matrix E = Es ·. . . · E1. Nun beginnt man mit den Spaltenumformungen und bringt durch Vertauschen der Spalten die Pivots nach links auf die Diagonale:
Ae =
Nun kann man durch Addition eines Vielfachen der Pivot-Spalten zu den rechts stehen-den Spalten stehen-den Rest der Matrix zu Null machen:
Ae =
Dieses Vorgehen zeigt wieder, dass Spaltenrang gleich Zeilenrang ist, denn: Der Zeilen-und Spaltenrang ändert sich nicht bei den elementare Zeilen- Zeilen-und Spaltenumformungen.
Daher haben die ursprüngliche MatrixAund die transformierteAe =E·A·E0 denselben Zeilen- und Spaltenrang. Es bildet sich jedoch stets eine quadratische Teilmatrix, an der man den Rang direkt ablesen kann.
8.3 Elementarmatrizen und inverse Matrizen Möchte man die Matrizen E und E0 explizit berechnen, so bietet sich das folgenden Vorgehen an: Man schreibt sich drei Matrizen 1m, A, 1n nebeneinander. Nun formt man zunächst die Matrix A durch Zeilenumformungen in reduzierte Zeilenstufenform um und nimmt dabei dieselben Umformungen an der Matrix 1m vor. Dann formt man die Matrix Adurch Spaltenumformungen weiter in die gesuchte Gestalt um und nimmt dabei gleichzeitig dieselben Spaltenumformungen an der Matrix 1n vor. Man hat also das Schema und kann somit die Matrizen E und E0 direkt ablesen.
Beispiel 8.38
Durch die simultanen Umformungen
12 A 13
und es gilt
E·A·E0 =
4 −32
−1 12
·
1 3 1
2 8 6
·
1 0 5 0 1 −2
0 0 1
=
1 0 0
0 1 0
Besonders interessant wird dieses Vorgehen für quadratische Matrizen, die zusätzlich vollen Rang besitzen. Für diese Matrizen existiert eine inverse Abbildung, wie aus der Theorie über die Lösbarkeit vom Gleichungssystem bereits bekannt ist. Dies motiviert die folgende Definition.
Definition 8.39 (Invertierbare Matrix)
Eine MatrixA∈Kn×n heißt invertierbar, falls es eine MatrixA−1 ∈Kn×n gibt, so dass gilt
A·A−1 =A−1·A=1n. Sofort findet man damit die folgenden Äquivalenzen.
Satz 8.40 (Äquivalenzen zur Invertierbarkeit) Für eine quadratische Matrix A∈Kn×n sind äquivalent:
(i) A ist invertierbar, (ii) Rang(A) =n,
(iii) die durch A beschriebene Abbildung Kn →Kn ist bijektiv.
Die Menge der invertierbaren Matrizen bildet eine Gruppe mit1nals neutralem Element.
Im Speziellen gilt daher:
Satz 8.41 (Eindeutigkeit der Inverse)
Die inverse MatrixA−1 (sofern sie existiert) ist eindeutig bestimmt.
Beweis. Seien B,Czwei Matrizen mit A·B =B·A =1n bzw. A·C=C·A=1n. Dann folgt B=B·1n=B·(A·C) = (B·A)·C=1n·C=C. Als Rechenregeln für inverse Matrizen findet man zudem:
Satz 8.42 (Eigenschaften der Inversen Matrix) Sei A,B ∈Kn×n invertierbar. Dann gilt
(i) (A−1)−1 =A,
(ii) (A·B)−1 =B−1·A−1, (iii) (AT)−1 = (A−1)T :=A−T.
Beweis. Direktes Nachrechnen.
8.3 Elementarmatrizen und inverse Matrizen Es stellt sich nun die Frage, wie man zu einer gegeben Matrix die dazu die inverse Matrix praktisch berechnen kann. Dazu stellt man zunächst fest, dass alle Elementarmatrizen invertierbar sind.
Satz 8.43 (Inverse der Elementarmatrizen) Alle Elementarmatrizen sind invertierbar und es gilt
EIij−1
=EIij, EIIi (λ)−1
=EIIi (λ1), EIIIij (λ)−1
=EIIIij (−λ).
Beweis. Direktes Nachrechnen.
Eine Zeilenvertauschung wird also durch dieselbe Zeilenvertauschung rückgängig ge-macht, die Multiplikation einer Zeile mit λ wird durch Multiplikation derselben Zeile mit 1λ invertiert und die Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen wird umge-kehrt durch die Addition des Negativen.
Von großer Bedeutung ist nun, dass sich jede inverse Matrix als ein Produkt von Ele-mentarmatrizen schreiben lässt.
Satz 8.44 (Darstellung inverser Matrizen)
Jede invertierbare Matrix A ∈ Kn×n und dessen Inverse A−1 ∈ Kn×n lässt sich als ein Produkt von Elementarmatrizen schreiben.
Beweis. Man überführe die Matrix mittels ElementarmatrizenE1, . . . ,Esauf reduzierte Zeilenstufenform, die die Form
Es·. . .·E1·A =
1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... 0
0 . . . 0 1
haben muss, denn für invertierbare Matrizen gilt stets Rang(A) =n und es bleiben nur Pivotzeilen- und Spalten. Aus dieser Darstellung Es·. . .·E1·A=1n findet man direkt
A−1 =Es·. . .·E1, A=E−11 ·. . .·E−1s .
Formt man also eine invertierbare Matrix mittels elementaren Zeilenumformungen zur Einheitsmatrix um, so kann man gleichzeitig dieselben Umformungen an einer Einheits-matrix vornehmen, denn so kann man mittels
1n A
E1 ·1n E1·A
... ...
Es·. . .·E1 ·1n Es·. . .·E1·A =1n
die inverse Matrix A−1 =Es·. . .·E1·1n direkt ablesen.
Beispiel 8.45
Durch die simultanen Umformungen
12 A
findet man als inverse Matrix
A−1 =EIII12(−2)·EII2(−12)·EIII21(−3), sowie für die Darstellung von A selbst
A= EIII12(−2)·EII2(−12)·EIII21(−3)−1