Wie bereits erw¨ahnt ist das Wechselspiel von verschiedenen L¨angen und Abmessun-gen f¨ur die Auspr¨agung bestimmter Transportmechanismen von wesentlicher Bedeu-tung. Dieser Abschnitt gibt einen ¨Uberblick ¨uber die wichtigsten L¨angen, die beim Transport in Nanostrukturen eine besondere Rolle spielen:
• Fermiwellenl¨ange
Das Transportverhalten der Elektronen im Festk¨orper l¨asst sich in einem zweckm¨aßigen Bild auf das Verhalten der Elektronen in unmittelbarer N¨ahe des Ferminiveaus reduzieren. F¨ur die Zust¨ande dieser Transportelektronen gibt es ein Analogon zur de-Broglie-Wellenl¨ange von freien Teilchen in der Quan-tenmechanik: Die Fermiwellenl¨ange λf. Sie entspricht der von der kinetischen Energie abh¨angigen Wellenl¨ange der Orts-Wellenfunktionen, welche die Ein-Elektronen-Zust¨ande am Ferminiveau im Festk¨orper beschreiben. F¨ur die in dieser Arbeit verwendeten zweidimensionalen Elektronensysteme ist die Be-schreibung der Zust¨ande durch einfache ebene Wellen eine sehr gute N¨aherung (siehe Abschnitt 2.3). Im allgemeineren Fall werden die Zust¨ande als L¨ osun-gen der Schr¨odinger-Gleichung im periodischen Potenzial des Rumpfatomgit-ters durch Blochwellen beschrieben. Diese sind ebene Wellen, die durch eine zum Kristallgitter periodische Funktion moduliert sind. Die Gesamtheit der L¨osungen der Schr¨odinger-Gleichung resultiert in der oben bereits erw¨ahnten Bandstruktur des jeweiligen Materials. H¨aufig wird statt λf auch die Fermi-wellenzahl kf = 2π/λf verwendet. Der Vektor k kann infolge der endlichen Ausdehnung der Probe nur diskrete Werte annehmen. Dieser Wellenvektor beschreibt die Ausbreitung der ebenen Welle, die einer entsprechenden Bloch-welle zugrunde liegt. Die EnergiedispersionE(k) eines Bandes gibt die Energie der Kristallelektronen in Abh¨angigkeit des Wellenvektors k an.
• Phasenkoh¨arenzl¨ange
Die Phaseninformation der Wellenfunktion bleibt beim Transport nur ¨uber ei-ne endliche Distanz erhalten, bevor Streuprozesse sie ausl¨oschen. Die Phasen-koh¨arenzl¨angelϕ beschreibt die mittlere L¨ange, welche die Elektronen zur¨ uck-legen, bevor ihre Phase zerst¨ort wird. Interessant ist, dass z. B. ortsfeste Streuzentren die Phasenkoh¨arenz nicht beeinflussen, wenn sie keinen internen Freiheitsgrad aufweisen, da sie immer in gleicher Weise wirken und deshalb lediglich eine feste Phasenverschiebung verursachen. Die Elektron-Elektron-Streuung und die Elektron-Elektron-Streuung an Phononen dagegen zerst¨oren die Phaseninfor-mation, da die Streuer ihre Eigenschaften z. B. den Ort mit der Zeit ¨andern.
Auch magnetische Verunreinigungen mit ihrer zeitabh¨angigen Spineinstellung verursachen eine Verk¨urzung von lϕ. Die Phasenkoh¨arenzl¨ange bestimmt die
2.2 L¨angenskalen, relevante L¨angen und Transportregimes 9
maximale L¨ange auf der es m¨oglich ist, Quanteninterferenzeffekte zu beobach-ten.
• Mittlere freie Wegl¨ange
Die mittlere freie Wegl¨angel ist die durchschnittliche Wegl¨ange, die ein Elek-tron ohne Wechselwirkung zur¨ucklegt. Unter einer Wechselwirkung wird da-bei jede Art von Energie- bzw. Impuls¨anderung des Elektrons verstanden, also jedes Streuereignis. l wird deshalb oft auch als Streul¨ange bezeichnet und dementsprechend ist die mittlere StreuzeitτS als die Zeit definiert, die im Mit-tel zwischen zwei Streuereignissen vergeht1 F¨ur die freie Wegl¨ange gilt deshalb:
l =τSvf, (2.3)
wobeivf f¨ur die Fermigeschwindigkeit steht. Diese ergibt sich f¨ur den einfachen Fall einer parabolischen Energiedispersion E(k) aus der kinetischen Energie der Elektronen an der Fermikante Ef und deren effektiver Massem∗ gem¨aß:
vf =
r2Ef
m∗ . (2.4)
Wenn die ¨uberwiegende Zahl der Streuereignisse bei tiefen Temperaturen und geringer Wechselwirkung zwischen den Elektronen nicht phasenzerst¨orend ist, dann kann die Phasenkoh¨arenzl¨ange lϕ deutlich gr¨oßer werden als die freie Wegl¨ange l.
• Zyklotronradius
Ein geladenes Teilchen wird im Magnetfeld infolge der Lorentzkraft auf eine Kreisbahn gezwungen, deren Radius von der Geschwindigkeit des Teilchens abh¨angt. Der Zyklotronradius RC gibt klassisch den Radius dieser Kreisbahn im homogenen Magnetfeld B an. F¨ur Elektronen in zweidimensionalen Elek-tronengasen an der Fermikante ergibt sich der Radius der Zyklotronbahn zu:
RC = ~kf
eB . (2.5)
Dieser Wert korrespondiert mit dem Maximum der Aufenthaltswahrscheinlich-keit der Wellenfunktion f¨ur die Elektronen am Ferminiveau im Magnetfeld [10].
Wie sich der Zyklotronradius, die Fermiwellenl¨ange und die Streuereignisse, welche sowohl die Phasenkoh¨arenzl¨ange als auch die mittlere freie Wegl¨ange bestimmen, bei Transportexperimenten bemerkbar machen, h¨angt vor allem auch von den Ab-messungen der zu untersuchenden Probe ab.
1In manchen F¨allen ist es g¨unstig diese Definition etwas abzu¨andern und die freie Wegl¨ange mit der Impulsrelaxationszeitτm zu verkn¨upfen. Dann gibt die mittlere freie Wegl¨ange l an, wie weit sich ein Elektron bewegt, bevor es nach der Zeit τm seinen Anfangsimpuls abgebaut hat.
Nach dieser Definition entsprichtl nicht der Streul¨ange, da z. B. bei kleinen Streuwinkeln nur ein kleiner Teil des Anfangsimpulses abgebaut wird, oder bei elastischer Elektron-Elektron-Streuung
¨
uberhaupt kein Gesamtimpuls der ununterscheidbaren Elektronen verloren geht (nach [9]).
Abbildung 2.1: Vergleich der drei Trans-portregimes mit ihren typischen Elektro-nentrajektorien f¨ur a) diffusiven Transport (freie Wegl¨ange deutlich k¨urzer als die Brei-te und die L¨ange des Leiters: l < W, L), b) quasi-ballistischen Transport (W < l < L) und c) ballistischen Transport (W, L < l).
Die Sternchen in a) und b) symbolisieren Streuereignisse. An den Begrenzungen der Struktur werden die Elektronen spiegelnd reflektiert (nach [11]).
In den Naturwissenschaften werden zu untersuchende Objekte bzw. Systeme tra-ditionell der makroskopischen oder der mikroskopischen Welt zugeordnet, je nach-dem in welcher Gr¨oßenordnung die Abmessungen der Objekte bzw. Systeme liegen.
Eine modernere Einteilung weist zus¨atzlich noch einen mesoskopischen Gr¨ oßenbe-reich aus. Dieser liegt zwischen dem makroskopischen und dem mikroskopischen Be-reich (griech.meso= mitten, zwischen). Haben die Systemabmessungen die Gr¨ oßen-ordnung LG, dann spricht man nach [12] von einem:
• makroskopischen System, wenn 1µm < LG,
• mesoskopischen System, wenn 1nm < LG <1µm,
• mikroskopischen System, wenn LG <1nm.
Gerade der Transport in mesoskopischen Systemen wird h¨aufig vom Zusammenspiel der unterschiedlichen L¨angenskalen gepr¨agt. Durch die Verwendung geeigneter Ma-terialien und die Messung bei hinreichend tiefen Temperaturen erreicht man, dass die Fermiwellenl¨ange und/oder die Streul¨angen in diesen Systemen die Transport-eigenschaften dominieren. H¨aufig wird der Transport in mesoskopischen Systemen aber auch durch die Konkurrenz unterschiedlicher Transportmechanismen und die N¨ahe zu den ¨Uberg¨angen zwischen verschiedenen Transportregimes gepr¨agt, diese werden im Folgenden kurz dargestellt (nach: [11]).
• Diffusiver Transport
F¨ur Proben deren Abmessungen viel gr¨oßer als die genannten L¨angen sind, f¨uhren Mittelungseffekte dazu, dass die Leitf¨ahigkeit der Probe dem Ohm-schen Gesetz folgt. Die Leitf¨ahigkeitGeines rechteckigen ohmschen Leiters ist
2.2 L¨angenskalen, relevante L¨angen und Transportregimes 11
proportional zu seiner BreiteW und umgekehrt proportional zu seiner L¨angeL (f¨url < W, L, siehe Abbildung 2.1 a)):
G=σW
L , (2.6)
wobei σ die spezifische Leitf¨ahigkeit bezeichnet. Die meisten makroskopischen Leiter zeigen ohmsches Verhalten.
• Ballistischer Transport
L¨asst man zun¨achst Phaseneffekte außer Acht und betrachtet Proben mit Ab-messungen, die kleiner als die mittlere freie Wegl¨ange sind, so befindet man sich im Bereich des ballistischen Transports (siehe Abbildung 2.1 c)). In die-sem Regime kann die Streuung an Verunreinigungen und Kristallfehlern ver-nachl¨assigt werden. In zweidimensionalen Elektronengasen, wie sie in dieser Arbeit verwendet wurden, (siehe Abschnitt 2.3) ist die verbleibende Streu-ung an den Probenr¨andern ¨uberwiegend spiegelnd. Dies f¨uhrt dazu, dass bei diesen Proben nicht der spezifische Widerstand sondern vielmehr der geome-trieabh¨angige (absolute) Widerstand die entscheidende Rolle spielt und sich in einer Reihe so genannter klassischer Geometrieeffekte niederschl¨agt. Als Bei-spiele seien hier nur das letzte Hallplateau und das Quenching des Halleffektes genannt, die auch f¨ur die Hallkreuze der vorliegenden Arbeit eine wichtige Rolle spielen (siehe Abschnitt 3.2.2).
• Quasi-ballistischer Transport
Im ¨Ubergangsbereich von diffusivem zu ballistischem Transport spricht man von quasi-ballistischem Transport (siehe Abbildung 2.1 b)). Magnetotrans-portmessungen in diesem Regime, bei denen der Leiter in zwei Raumrichtun-gen (Wy, Wz) stark eingeschr¨ankt ist und entlang der Stromrichtung l¨anger als die mittlere freie Wegl¨ange ist (Wy, Wz < l < L), offenbaren viele interessante Ph¨anomene. Einerseits sind in abgeschw¨achter Form auch die beim ballisti-schen Transport bereits erw¨ahnten klassischen Geometrieeffekte zu beobach-ten. Andererseits bieten die Systeme im quasi-ballistischen Transportregime die M¨oglichkeit durch die Variation ¨außerer Parameter wie Temperatur und Magnetfeld das Zusammenspiel der Transportl¨angen zu steuern. F¨ur Unter-suchungen zur schwachen Lokalisierung und zu den universellen Leitwertfluk-tuationen (UCF) sind dies besonders g¨unstige experimentelle Voraussetzungen [11].
Quanteninterferenz- und Quantum-Confinement-Effekte im Transport Bei der Quanteninterferenz handelt es sich nicht um ein Transportregime, sondern um die Auswirkungen des mehr oder weniger stark ausgepr¨agten Wellencharak-ters der Elektronen im Festk¨orper auf den Transport. Dabei l¨asst sich der Einfluss
der Welleneigenschaften keinem bestimmten Transpotregime zuordnen, sonder er kann, abh¨angig von der Wellenl¨ange der Elektronen, in jedem der drei vorab ge-nannten Regimes das Transportverhalten modifizieren oder sogar dominieren. Wie groß die Auswirkungen der Interferenzeffekte auf die Transporteigenschaften einer Probe tats¨achlich sind, h¨angt maßgeblich auch von deren Abmessungen und ihrer genauen Form ab. Deshalb spricht man in diesem Zusammenhang h¨aufig auch von quantenmechanischen Geometrieeffekten. Im diffusiven Regime sind Phaseneffek-te nur dann zu beobachPhaseneffek-ten, wenn haupts¨achlich elastische Streuprozesse auftreten, da diese die Phasenkoh¨arenzl¨ange nicht verk¨urzen. In diesem Regime resultieren die quantenmechanischen Korrekturen ¨uberwiegend aus der Interferenz der Wahr-scheinlichkeitsamplituden f¨ur verschiedene Elektronentrajektorien (Feynmanpfade) zwischen zwei Punkten. Vor allem im ballistischen Regime, in dem Streuung nur an den Probenr¨andern auftritt, zeigt die Welleneigenschaft der Elektronen noch eine an-dere Auswirkung auf an-deren Transportverhalten. Werden die Abmessungen entlang einer oder mehrerer Raumrichtungen so weit eingeschr¨ankt, dass nur noch weni-ge Wellenz¨uge der Wellenfunktion Platz finden, so bilden sich einem Grundprinzip der Quantenmechanik zufolge (siehe z. B. [13]) diskrete Energieniveaus aus, deren Wellenfunktionen den Randbedingungen der r¨aumlichen Einschr¨ankung (Einschluss-potenzial,Quantum-Confinement) gen¨ugen m¨ussen. Dieses Grundprinzip ist f¨ur die vorliegende Arbeit von entscheidender Bedeutung, da es einerseits f¨ur die Ausbil-dung der 2DEGs verantwortlich ist (siehe Abschnitt: 2.3). Andererseits verursacht es auch die Entstehung von Transportkan¨alen (transversale Moden) in den d¨unnen langgestreckten Leiterbahnen der aus dem 2DEG-Material strukturierten Bauteile.
Die Entstehung dieser Moden erfolgt in Analogie zu den transversalen Moden von Wellenleitern f¨ur elektromagnetische Wellen, deshalb werden diese Bauteile oft als Elektronenwellenleiter bezeichnet [9]. Die Transporteigenschaften k¨onnen wie bei ei-nem elektromagnetischen Wellenleiter durch eine geeignete Geometrie des Leiters gezielt eingestellt werden, weshalb man bei entsprechenden Transportexperimenten im ballistischen Regime gelegentlich auch von Elektronenoptik im Festk¨orper spricht [11]. Beispielsweise die Leitf¨ahigkeitsquantisierung in einem Quantenpunktkontakt kann mit Hilfe der verschiedenen diskreten Moden eines Wellenleiters erkl¨art wer-den. Die Experimente zur Untersuchung des Aharonov-Bohm-Effekts [14] in 2DEGs, wie sie auch in dieser Arbeit vorgestellt werden, z¨ahlen ebenfalls zu dieser Kategorie von Experimenten (siehe Abschnitt 3.3).
Magnetotransport und Quanten-Hall-Regime
Bei Magnetotransport-Experimenten wird das Transportverhalten unter dem Ein-fluss von (ver¨anderlichen) externen Magnetfeldern untersucht. Dabei gibt es ver-schiedene Mechanismen wie sich ein Magnetfeld auf das Transportverhalten aus-wirken kann. Bei kleinen Magnetfeldern werden die Elektronen-Trajektorien infolge der Lorentzkraft gekr¨ummt. Dies schl¨agt sich, wie in dieser Arbeit gezeigt wird, auf sehr unterschiedliche Weise im Ladungstransport nieder (siehe Abschnitt 3.2).