Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne r¨aumliche Ausdehnung.
Sie haben einen Spin von 1/2 und geh¨oren deshalb zur Klasse der Fermionen.
Die elektrische Ladung eines Elektrons ist eine fundamentale Naturkonstante: e = 1,60217653·10−19 C. Da die Elektronen im Festk¨orper aber nicht f¨ur sich alleine existieren, muss man zur Beschreibung ihres Verhaltens auch deren Wechselwirkung mit der Umgebung und untereinander ber¨ucksichtigen. Diese Wechselwirkungen sind aufgrund der extrem großen Zahl von beteiligten Teilchen in Festk¨orpern nicht di-rekt zu erfassen. Deshalb werden h¨aufig Modelle verwendet, welche die Wechsel-wirkung der Elektronen untereinander und mit den Atomr¨umpfen des Festk¨orpers
5
auf effektive Felder und Quasiteilchen abbilden. Als Atomrumpf bezeichnet man die Atomkerne mit den fest gebundenen H¨ullenelektronen aus denen der Festk¨orper auf-gebaut ist. Entscheidend f¨ur die Transporteigenschaften ist n¨amlich nur ein relativ kleiner Teil der Elektronen. Es bildet sich ein System, dessen Elektronen r¨ aum-lich nicht mehr einem einzelnen Atom zuzuordnen sind. Die Elektronen verteilen sich vielmehr auf ausgedehnte Zust¨ande deren Beschreibung nur im Rahmen der Quantenmechanik m¨oglich ist. Die Zust¨ande weisen den Elektronen in einem Kri-stall bestimmte Energiewerte zu und es bilden sich so genannte Energieb¨ander aus.
Diese Bandstruktur ber¨ucksichtigt den Einfluss des Kristallgitters der Rumpfatome, so dass das Verhalten der f¨ur den Transport im Festk¨orper verantwortlichen Elek-tronen durch die Bandstruktur des jeweiligen Materials vollst¨andig erfasst ist. Aus dieser ergibt sich unter anderem eine effektive Masse m∗ f¨ur die Elektronen, welche zur korrekten Beschreibung ihres dynamischen Verhaltens beim Anlegen externer Felder verwendet werden muss.
Ein wesentlicher Bestandteil der Beschreibungen dieser Elektronensysteme ist die zugrundeliegende Fermistatistik. Sie bestimmt die von der Temperatur abh¨angige Verteilung der Elektronen auf die im System zur Verf¨ugung stehenden Zust¨ande.
Am absoluten Nullpunkt der Temperatur sind alle Zust¨ande bis zu einer maximalen Energie, der so genannten Fermienergie Ef, besetzt. F¨ur endliche Temperaturen liefert die Fermiverteilung die entsprechenden Besetzungswahrscheinlichkeiten f¨ur die jeweiligen Zust¨ande.
Je nachdem auf welcher Energie- und L¨angenskala (siehe n¨achster Abschnitt) man den Ladungstransport untersucht, spielt die Quantenmechanik eine weitere wichtige Rolle, in der sich der Welle-Teilchen-Dualismus widerspiegelt. F¨ur hohe Energien und große Systemabmessungen verhalten sich die Transportelektronen wie Teilchen, die sich in der Potenziallandschaft der Rumpfatome bewegen und man be-obachtet ballistischen oder diffusiven Transport. Im anderen Grenzfall kleiner Pro-benabmessungen und niedriger Elektronenenergien bestimmt der Wellencharakter ganz wesentlich das Transportverhalten im Festk¨orper, was Interferenzerscheinun-gen f¨ur die Elektronen genauso zur Folge hat wie Wellenleitereffekte oder nichtlokale Transportph¨anomene. Die genannten Erscheinungen weisen den Abmessungen und der Geometrie der Probe eine zentrale Rolle bei Transportuntersuchungen zu. Außer-dem gestaltet es sich bei kleiner werdenden Proben zunehmend schwieriger den un-tersuchten Effekt von probenspezifischem Verhalten oder Umgebungseinfl¨ussen zu unterscheiden und von Rauscheffekten zu trennen.
Es existiert eine Vielzahl unterschiedlicher Ans¨atze zur Berechnung des Trans-ports von Elektronen, die wichtigsten Modelle f¨ur zweidimensionale Elektronengase werden in Abschnitt2.3.3kurz vorgestellt. In dieser Arbeit wird stets die vereinfachte Darstellung der Bewegung einzelner, nicht miteinander wechselwirkender Transport-elektronen verwendet. Der Erfolg dieser Vorgehensweise bei der Beschreibung vie-ler Transportph¨anomene rechtfertigt die vorgenommenen Vereinfachungen f¨ur diese F¨alle. Dennoch sind auch zahlreiche Effekte bekannt, bei denen diese Herangehens-weise nicht mehr den erw¨unschten Erfolg bringt. Dazu geh¨oren Mechanismen mit
2.1 Charakterisierung von Elektronen in Festk¨orpern 7
einer Korrelation der Transportelektronen wie z. B. in Luttingerfl¨ussigkeiten oder dem Coulomb-drag-Effekt [1, 2,3] genauso wie die makroskopische Korrelation der Ladungstr¨ager bei der Supraleitung [4,5] oder dem fraktionalen Quanten-Hall-Effekt [6, 7].
Neben den drei Freiheitsgraden f¨ur die Bewegung im Raum besitzen Elektronen mit dem Spin S noch einen weiteren Freiheitsgrad. Die Existenz des Spins l¨asst sich wiederum nur quantenmechanisch erkl¨aren. Es handelt sich um einen inneren Drehimpuls, der anschaulich betrachtet dadurch gekennzeichnet ist, dass er entlang der Quantisierungsachse nur die Werte±~/2 (
”Spin up“ oder
”Spin down“) anneh-men kann. Diese Quantisierungsachse kann dabei beliebig im Raum orientiert sein.
Mit dem Spin geht ein magnetisches Moment einher, weshalb der Spin in einem Magnetfeld pr¨azediert:
S˙ =γ S×B (2.1)
Die Proportionalit¨atskonstante γ ist der Quotient aus magnetischem Moment und Gesamtdrehimpuls, sie wird als gyromagnetisches Verh¨altnis bezeichnet. Die Fre-quenz der Pr¨azession, die LarmorfrequenzωL, ist damit proportional zur St¨arke des MagnetfeldesB =|B| und zuγ:
ωL =γ B . (2.2)
In der quantenmechanischen Betrachtung beschreibt diese Gleichung die Zeitent-wicklung des Erwartungswertes des Spinoperators in Gegenwart eines Magnetfel-des B. Bei freien Elektronen ist der Spin von den r¨aumlichen Freiheitsgraden v¨ollig losgel¨ost. In Atomen und Festk¨orpern hingegen gibt es eine Spin-Bahn-Wechselwirkung, die den Spin an die r¨aumliche Bewegung koppeln kann (siehe z. B.
[8]). Die Spin-Bahn-Wechselwirkung ergibt sich aus der relativistischen Schr¨ odinger-Gleichung (Dirac-odinger-Gleichung) f¨ur die Bewegung der Spin-behafteten Elektronen im Coulombfeld der Atomkerne. Entsprechend ist die Spin-Bahn-Wechselwirkung in Atomen und Festk¨orpern meist umso st¨arker, je gr¨oßer die Ordnungszahl der be-teiligten Atome ist. Die Spin-Bahn-Wechselwirkung entspricht anschaulich einem effektiven Magnetfeld, in dem der Spin pr¨azediert. Neben der reinen Spin-Bahn-Wechselwirkung k¨onnen die effektiven Felder in Festk¨orpern viele m¨ogliche Ursa-chen haben, da der atomare Aufbau der Festk¨orper in Verbindungshalbleitern und Halbleiterheterostrukturen sehr komplex sein kann. Einerseits k¨onnen die effektiven Felder eine zus¨atzliche Aufspaltung der elektronischen Bandstruktur hervorrufen.
Andererseits beeinflussen sie auch die Zeeman-Aufspaltung der Spin-Niveaus in ei-nem ¨außeren Magnetfeld, die durch den so genannten Land´e- oder gs-Faktor cha-rakterisiert wird. In Festk¨orpern treten deshalb h¨aufiggs-Faktoren auf, deren Werte sich deutlich vom Wert 2 f¨ur freie Elektronen unterscheiden.