Wir betrachten Teilchen unterschiedlicher Impulse p,, p2, die von einer ausgedehnten Quelle der Breite AX = 2xQ unter einer Winkeldivergenz AG = 20 ausgesandt wurden (Fig. 11.14).
Quelle (t=0)
Detektor -ebene
Fig. 11.14: Teilchenbahnen zweier Impulse p,, p,, (schematisch) Mit den auf den Zentralbahnimpuls p bezogenen Impulsdifferenzen
_ P! - P
61 p~~
„ P2 - P
(11.38)
gilt in der Detektorebene für die x-Koordinaten der Linienschwerpunkte
(XQ = G0 = 0)
_ D X2 " 16 Ö2
(11.39)
In erster Ordnung ist die Linienbreite in der Detektorebene für jeden der beiden Impulse p,, p2 gegeben durch die quadratische Summe
Ax = (11.40)
Um die Teilchen aufgrund ihres Energieunterschieds trennen zu können, muß gelten
|X2 - AX
oder mit (11.39), (11.40)
R
16(ö
2-
(R12A0Q) (11.41)Wegen 69 - 6, auflösung R_ = —pr :
P - AP
ergibt sich aus (11.41) für die
Energie-RE ~ P_AP
l
7 2 l 1/2 (11.42)
Für ein System mit Punkt-zu-Punkt-Abbildung (R,2 = 0) folgt aus (11.42) das früher abgeleitete Ergebnis (11.17):
RE
16 l
"Äx" (11.43)
Aus (11.43) können weitere nützliche Ausdrücke für die Auflösung abgeleitet werden:
Bei Punkt-zu-Punkt-Abbildung wird die Dispersion zu
'16 = -Rn (t) / R12(T)h(T)dT , (11.44)
und (11.43) geht über in
RE = / R1 2(T)h(T)dT (11.46)
Für ein..Teilchen mit x = 0 und Zentralbahnimpuls (d. h. 6 = 0) gilt
X(T) = R19(r)
A0.
(11.47) und (11.46) läßt sich schreiben als
D = •*•._. w_r
E AX. * A0. x(T)h(T)dt
l - l
AX • A0 (11.48)
d. h", die Energieauflösung ist proportional zur Weglängendifferenz l - l zwischen Zentralbahn und dem Randstrahl (11.47).
Ferner folgt aus (II.48) mit dem Flächenelement dA = X(T)C!T der Mittelebene und h(x) H l/p :
(11.49)
1
t AX0A00
t
f B ' X(T) A
J Bp dT
0
1 1 ,AX0A00 Bp
t / BdA
0
o
+' Die räumliche Impulsdispersion besitzt folgende Integraldarstellung (Br 67):
t t
R16 W = R12 (*) / Rll (T>h(T)dT - «n (t) / R12 (T)h(T)dT (11.45) o o
Dabei ist h(t) = —JL die Krümmung der Zentralbahn und nur in einem Dipolfeld von Null verschieden.
h(-r)dT = da ist der differentialle Ablenkwinkel der Zentralbahn1.
el, h. die Auflösung ist proportional zum magnetischen Fluß / BdA durch die zwischen Zentralstrahl und Randstrahl eingeschlossene Fläche und umgekehrt proportional zur magnetischen Steifigkeit des Teilchens.
II.3.2 Raumwinkel
Der Raumwinkel n wird durch die Apertur der Eintrittsblende des Spektrographen definiert (Fig. 11.15). Da ein kleinerer Raumwinkel geringere Intensitäten und damit längere Meßzeiten bedeutet, ist ein genügend großer Raumwinkel besonders bei Untersuchung von Reaktionen mit kleinem Wirkungsquerschnitt da/da von besonderem Interesse. Aufgrund kinematischer Effekte (vgl. II.3.3) kommt dabei hauptsächlich nur die Vergrößerung der Apertur in der nichtdispersiven y-Richtung in Frage, was wiederum Fokussierungseigenschaften des Systems in
vertikaler Richtung erfordert. Dies läßt sich durch Vorschalten eines Quadrupols oder durch eine bestimmte Formgebung der Dipolkanten (vgl. II.3.4) erreichen.
Blende
Quelle
Fig. 11.15: Raumwinkel
II.3.3 Kinematische Linienverbreiterung
Die nichtrelativistische Reaktionskinematik (Ma 69) für eine Kernreaktion
A(a,b)B (11.50)
liefert für den Impuls des unter dem Reaktionswinkel e auslaufenden Teilchens b (Fig. II. 16):
m.
Pi cos + /R2 - sis n (11.51) mit
m
IT = A m,
mA+ ma
m« (11.52)
wobei p, den Impuls des Projektils a, E, die Einschußenergie und Q den Q-Wert der Reaktion (11.50) bezeichnet.
In Gl. (11.51) gilt das positive Vorzeichen solange R > 1. Für R < l gibt2 2
es zwei Werte für o und der Reaktionswinkel ist beschränkt durch sin §^ R.
Projektil
Restkern Pi
Targetkern
Fig. 11.16: Reaktionskinematik (Labor-System)
zum
Spektrographen
Wegen der Abhängigkeit des Impulses p2 vom Reaktionswinkel 9 (Fig. 11.17) ergibt sich bei einer horizontalen Apertur von
zwischen Zentralstrahl und Randstrahl.
eine Impulsdifferenz
(11.53) 'LAB
wobei a. AR der mit dem Spektrographen eingestellte Laborwinkel ist. Das negative Vorzeichen in (11.53) ist notwendig, weil der Reaktionswinkel $ im Uhrzeigersinn und die Winkeldivergenz 0 im Gegenuhrzeigersinn gemessen wird (Fig. 11.18). Als auf die Zentralbahn bezogene ImpulsdTfferenz 6 erhält man aus (11.53):
2Ap.
Fig. 11.17: Impulsdifferenz verursacht durch einen Öffnungswinkel 20 Target
Pi
•&LAB Eintrittsblende
Fig. 11.18: Reaktionswinkel Ö| A R und Öffnungswinkel 20
<5 =
'LAB
Mit der Definition
(11.54)
K<\AB> =- V~2
wird aus (11.54)
'LAB
(11.55)
6 = K - G (11.56)
Die Impulsunschärfe s bewirkt über die Dispersion R,6 des Spektrographen die Abweichung x = R,g • <$, so daß sich die Energieauflösung (11.42) ver-schlechtert zu
+ ( R 2 e )1 2 0 z + (R ' K16
(11.57)
Der kinematische Faktor ergibt sich durch Differentiation von (11.51):
K (ft) = sin /R2 - sin2
(11.58)
K ist maximal bei s = 90° und hängt über R hauptsächlich vom Massenverhältnis (m« • niß)/(m • m.) ab. Während also bei schweren Targetkernen (A ^ 200) und leichten Projektilen (a ^ 4) die kinematische Verbreiterung klein ist, muß sie bei leichten Targetkernen unbedingt berücksichtigt werden, da hier eine Auf-lösungsverschlechterung über mehrere Größenordnungen möglich ist.
Auf die Korrektur der kinematischen Verbreiterung wird in Abschnitt IV.2 ein-gegangen.
II.3.4 Polkantenkonturen
Sind an einem Ablenkmagneten der Ein- oder Austrittswinkel zwischen Polschuh und Zentralstrahl von 90° verschieden, so wirken die Polkanten wie Quadrupole und besitzen Fokussierungs- bzw. Defokussierungseigenschaften. Die entsprechenden Matrizen erster Ordnung in x- und y-Richtung sind:
1
1 0 } , — tan ß, 1 j
R =y
i
- — tan ß.
\ po 1 / \ po ' 1
0 1
1 , /
(11.59)
wobei der "Kantenwinkel" ß, den Winkel zwischen x-Achse und Polkante bezeichnet und als positiv definiert ist, wenn die Normale auf die Polkante in Bezug auf den Krümmungsmittelpunkt der Zentralbahn außerhalb der Zentralbahn liegt.
Quelle
Fig. 11.19: Kantenwinkel ß, am Eintritt e-ines Ablenkmagneten
In Fig. 11.19 ist die Wirkung eines positiven Kantenwinkels am Eintritt des Magneten illustriert: Gemäß (11.59) wirkt er in x-Richtung defokussierend
(Rp-, > 0), was ein Hinausschieben des Fokus zur Folge hat und in y-Richtung fokussierend (R34 < 0). Gleichzeitig wird nach (11.49) das Auflösungsvermögen verbessert, da sich für ß, > 0 der magnetische Fluß zwischen Zentral- und Randstrahl vergrößert.
Außerdem lassen sich durch gekrümmte Polschuhkanten höhere Multipolkomponenten erzeugen. So bewirkt z. B. eine konvexe kreisförmige Kante eine Sextupol-stärke (s. Abschnitt II.3.5)
h sec3
ß-(11.60)
(R = Krümmungsradius), die zur Korrektur von Abbildungsfehlern ("Aberrationen") zweiter Ordnung verwendet werden kann.
II.3.5 Aberrationen zweiter und höherer Ordnung
Die Aberrationen zweiter und höherer Ordnung stehen in engem Zusammenhang mit den-verschiedenen Multipolstärken im Magnetfeld eines i.onenoptischen Systems.
Für das Magnetfeld entlang der Mittelebene (y = 0) wird geschrieben:
ßy(x,0,t) = (ßp) Kn(t)xr (11.61)
n=0
(ßp) ist die Steifigkeit des Zentralstrahls, wobei p = p ( t ) . Die Koeffizienten K (t) beschreiben die im Feld enthaltenen Multipolanteile:
n = 0: Dipol n = 1: Quadrupol n = 2: Sextupol usw.
Es gilt:
x=y=0
(11.62)
Als Multipol stärke S entlang einer Strecke L wird definiert:
n = /Kn(t)dt
0
(11.63)
Die Taylor-Entwicklungen (11.19) für die Koordinaten x und y um die Anfangs-werte XQ, yQ, 0Q, $o, 6 lauten:
o o o (11.64)
(.11.65) wobei die Summationen über alle ganzzahligen Werte von K, A, y, v,x durchzu-führen sind.
Die Koeffizienten (x x* y 0JJ <J>^öx) und (y|x^ y 0P <f>vsx) werden als Aberrationen der Ordnung n,
n = K + x + p + v + x (11.66) in x- bzw. y-Richtung bezeichnet. Für n = l und n = 2 sind sie mit den Koeffizienten R - . bzw. T . . . von (11.19) identisch.
l J l JK
Die Aberrationen n-ter Ordnung lassen sich bei Mittelebenensymmetrie der Magnetfelder mit Hilfe Green'scher Integralformeln durch die Koeffizienten erster Ordnung (11.20) ausdrücken (ßr 67)
+ entsprechende Terme für K ,, , K
Die Koordinaten x. sind x, = x(t),-x2 = 0(t), x3 = y(t), x- = 4.(t) und die zugehörigen Green'schen Funktionen G. sind
G^t.x) = Sx(t)Cx(T) - Cx(t)Sx(T) (II.68a) G2(t,T) = Sxl (t)Cx(T) - Cx' (t)Sx(T) (II.68b) G3(t,T) = Sy{t)Cy(.T) - Cy(t)Sy(T) (II.68c) 64(t,T) = Sy' {t)Cy(r) - Cy' (t)Sy(T) (II.68d) Somit sind alle Koeffizienten höherer Ordnung durch die Koeffizienten erster Ordnung und ihrer Ableitungen nach t darstellbar.
Aus Gleichung (11.67) wird ersichtlich, daß eine Aberration n-ter Ordnung nur durch Multipolstärken bis zur Ordnung n beeinflußt werden kann, d. h.
ein Multipol der Ordnung n beeinflußt nur Aberrationen der Ordnung ^ n. Die Mittelebenensymmetrie des Magnetfeldes erlaubt nur Aberrationen, in denen y
und/oder 0 in geradzahliger Anzahl vorkommen, d. h. für A + y + n = gerade, wobei n = 0 für i = 1,2 und n = l für i = 3,4.
Beispiele erlaubter Aberrationen sind
Beispiele unerlaubter Aberrationen sind (x|y), ( x x0 2e ) , (y|yo2)
In Gleichung (11.67) gilt folgende Vorzeichenregel Minuszeichen für \ + u + n = 0, 4, 8, 12 Pluszeichen für X + p + n = 2, 6, 10, 14
Wenn K (T) im Integrationsintervall L (= Länge des Multipols K ) konstant ist, erhält man als Kopplungskoeffizient zwischen dem Multipol n-ter Ordnung und der Aberration n-ter Ordnung:
Sind andererseits die Funktionen erster Ordnung C , C , S , S , d im be-x y x y x trachteten Integrationsintervall annähernd konstant (z. B. für einen kurzen Multipolmagneten), so läßt sich der Kopplungskoeffizient als partielle Ableitung von (11.67) nach der Multipolstärke S definieren:
K ^ y v x x y x y x
"n
II.4 DAS IONENOPTISCHE DESIGN VON BIG KARL