F-E-Simulationen

In Anlehnung an die Arbeit von D. Benner [61] wurden auch hier Finite-Elemente-Simulationen erstellt, in denen die thermische Ausdehnung der ge-samten Probengeometrie durch Erw¨armung aufgrund des Laserlichts berechnet wird. In den Diagrammen aufgetragen ist immer die Verschiebung der

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Abbildung 6.3.:Mit einer Finite-Elemente-Simulation errechnete Verschiebung der Goldspitze aufgrund einer Erw¨armung des Goldes in einer Entfernung von 8.6 µm.

Die roten Kurven entstammen einem Fit, der als Summe zweier Exponentialfunk-tionen beschrieben wird (siehe Gleichung 6.2).

ze des Goldfilms du, die durch die Ausdehnung der gesamten Struktur ent-steht. Die genaueren Beschreibungen f¨ur die Rechnungen finden sich in Kapitel 2.5. Die verwendete Heizleistung betr¨agt f¨ur die hier vorgestellten Rechnungen 3 mW, da sich aber die Amplitude der errechneten Spitzenverschiebung pro-portional zur Heizleistung verh¨alt, k¨onnen Ergebnise beliebiger Heizleistungen durch Multiplikation mit dem entsprechenden Faktor aus einer einzigen Rech-nung gewonnen werden. Bei t = 0 µs wird die Heizquelle eingeschaltet und nach 50 µs wieder abgeschaltet. Am Ende des Heizpulses betr¨agt die Tempe-raturerh¨ohung am Heizort 10.3 K, die TempeTempe-raturerh¨ohung an der Goldspitze betr¨agt zum gleichen Zeitpunkt augrund der hohen W¨armeleitf¨ahigkeit des Goldfilms 10.0 K. In Abbildung 6.3 ist die berechnete Verschiebung der Gold-spitze in x-Richtung dargestellt, die durch die Ausdehnung der Materialien Gold und Polyimid verursacht wird. Die Erw¨armung findet in Anlehnung an die Messung in einer Entfernung von 10 µm zur Spitze statt.

Der zeitliche Verlauf dieser Verschiebung du kann mit Exponentialfunktionen

beschrieben werden, analog zur Gleichung 6.1, der Fitfunktion der experimen-tell ermittelten Daten. Der Anstieg und der Abfall der Verschiebung werden wieder getrennt voneinander betrachtet. F¨ur einen guten Fit wird die Summe aus zwei Exponentialfunktionen mit den Zeitkonstanten τ₁ und τ₂ ben¨otigt:

du(t) =u_i +A₁· expt−x₀

Zur Erkl¨arung dieser Funktionsform wurden zus¨atzliche Simulationen durch-gef¨uhrt. Daf¨ur wurde in einer Rechnung die W¨armeleitf¨ahigkeit des Polyimids gleich 0 gesetzt, alle restlichen Parameter blieben unver¨andert. Die W¨arme verteilt sich somit nur in dem 100 nm dicken Goldfilm. Die Verschiebung der Spitze wird also nur von der Ausdehnung des Goldfilms verursacht. Der zeit-liche Verlauf der Verschiebung der Goldspitze l¨asst sich dann mit nur einem Exponentialterm von Gleichung 6.2 perfekt beschreiben. In einer anderen Si-mulation wurde die W¨armeleitf¨ahigkeit des Goldes gleich 0 gesetzt. Damit

¨uberhaupt eine Erw¨armung des Polyimids erfolgen kann, wurde die W¨arme-quelle auf die Oberfl¨ache des Polyimids, also direkt unter das Gold, gesetzt.

Die Entfernung der W¨armequelle zur Spitze ist gleich geblieben, ebenso wie alle anderen Parameter. Das Gold erw¨armt sich nicht und die errechnete Ver-schiebung der Spitze wird nur durch die thermisch induzierte Ausdehnung des Polyimids verursacht. Die erhaltene zeitabh¨angige Verschiebung der Spit-ze l¨asst sich ebenfalls mit nur einem Exponentialterm der Gleichung 6.2 perfekt beschreiben, die Zeitkonstante ist allerdings gr¨oßer als in der ersten Rechnung.

Die Ergebnisse dieser beiden Rechnungen sind in Abbildung 6.4 zu sehen.

Wird die W¨armeleitf¨ahigkeit des Polyimids auf 0 gesetzt, kann die im Gold vor-handene W¨arme nicht mehr abfließen. Sobald also ein Zustand erreicht wird, bei dem sich das Gold gleichm¨aßig erw¨armt hat, f¨uhrt die weitere Erw¨armung bei konstanter Heizleistung zu einem linearen Temperaturanstieg und damit auch zu einer mit der Zeit linearen Verschiebung der Goldspitze. Die W¨arme-leitf¨ahigkeit des Goldfilms ist mit 173 W/(m · K) hoch, daher wird dieser Zu-stand in der Rechnung schon nach etwa 10 µs erreicht. Der Fit zur Bestimmung der Zeitkonstanten des exponentiellen Anstiegs erfolgte daher auch nur f¨ur den Bereich zwischen 0 und 10 µs. Die gleichm¨aßige Erw¨armung des Goldfilms ist am Grenzwert der abnehmenden Spitzenverschiebung zu erkennen, der nicht mehr bei 0 liegt, nachdem die Heizleistung entfernt wurde.

Die thermisch induzierte Verschiebung der Spitze bei Erw¨armung des Goldfilms in einer Entfernung von 10 µm zur Spitze wird also durch die thermischen

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(a) Rechnung f¨ur k^Gold= 0 (b) Rechnung f¨ur k^Polyimid= 0

Abbildung 6.4.:Berechnete Verschiebung der Goldspitze in Abh¨angigkeit der Zeit.

a) Die W¨armeleitf¨ahigkeit von Gold wurde gleich 0 gesetzt und die W¨armequelle auf die Oberfl¨ache des Polyimids gelegt. b) Die W¨armeleitf¨ahigkeit von Polyimid wurde gleich 0 gesetzt. F¨ur diese beiden F¨alle l¨asst sich die Verschiebung der Spitze ¨uber eine einzige Exponentialfunktion beschreiben.

dehnungen von Goldfilm und Polyimid verursacht. Die beiden Ausdehnungen addieren sich zu einer Gesamtausdehnung, wodurch die Summe zweier Expo-nentialfunktionen als Fitfunktion entsteht. Diese Betrachtung gilt jeweils f¨ur den Anstieg und den Abfall der Ausdehnung.

Die beiden in der Gesamtausdehnung vorkommenden Zeitkonstanten sind nicht die gleichen wie die einzelnen Zeitkonstanten der beiden F¨alle, in denen jeweils die W¨armeleitf¨ahigkeit eines Materials gleich 0 gesetzt wird, sondern sie sind kleiner. Das l¨asst sich erkl¨aren durch den dann zus¨atzlich vorhandenen W¨arme-transport vom einen in das andere Material. Diese zus¨atzlichen W¨armetrans-portkan¨ale f¨uhren zu einer besseren W¨armeausbreitung und somit zu k¨urzeren Zeitkonstanten bei der Betrachtung der Gesamtausdehnung im Vergleich zu dem Fall, in dem jeweils nur ein Material sich erw¨armt und ausdehnt. Die erhaltenen Zeitkonstanten f¨ur die verschiedenen Rechnungen mit den unter-schiedlichen W¨armeleitf¨ahigkeiten sind in Tabelle 6.2 aufgelistet.

Vergleicht man die hier in den F-E-Simulationen erhaltenen Zeitkonstanten mit den Zeitkonstanten, die im Experiment im vorigen Abschnitt gemessen wurden, so stellt man fest, dass die Zeitkonstanten in der Simulation um ca.

25 % h¨oher sind als die Zeitkonstanten im Experiment. Erkl¨aren l¨asst sich das aufgrund der nicht genau bekannten W¨armeleitf¨ahigkeiten des Goldes und des Polyimids in der verwendeten Probe. Der Goldfilm der Probe ist nur 80 nm

τ₁ [µs]Anstieg τ₂ [µs]Anstieg τ₁ [µs]Abfall τ₂ [µs]Abfall

k_Gold=0 - 26.8 - 26.2

k_Polyimid=0 7.2 - 6.0

-Standardparameter 3.5 19.7 3.4 19.0

Tabelle 6.2.: Charakteristische Anstiegs- und Abfallzeiten der in den F-E-Simulationen errechneten Verschiebung der Goldspitze. F¨ur die Berechnungen wur-de die W¨armeleitf¨ahigkeit k jeweils f¨ur Gold und Polyimid gleich 0 gesetzt. Unter Standardparameter sind die Zeitkonstanten aufgef¨uhrt, die bei einer Rechnung mit normalen Materialkonstanten erhalten werden.

dick, seine W¨armeleitf¨ahigkeit wird daher etwas von dem Wert abweichen, der f¨ur die Simulation verwendet wurde. Die genaue W¨armeleitf¨ahigkeit des Poly-imids ist noch schwerer zu bestimmen, der Hersteller macht dazu keine genauen Angaben. Da aber die Abweichungen in allen Zeitkonstanten ¨ahnlich und damit die Verh¨altnisse der Zeitkonstanten zueinander gleich sind, kann im Rahmen der hier unpr¨azise bekannten Materialkonstanten von einer ¨Ubereinstimmung zwischen Experiment und Simulation ausgegangen werden.

6.1.2.1. Erwartete Leitwert¨anderungen aufgrund der Simulationen

In F-E-Simulationen kann nun eine Verschiebung der Goldspitze aufgrund thermischer Ausdehnung errechnet werden. In den Simulationen ergibt sich nach 5 µs eine Verschiebung der Goldspitze von 0.36 nm, bei einer W¨arme-quelle mit einer Leistung von 3 mW, was in etwa den in den Experimenten verwendeten Laserleistungen entspricht¹.

Es ist zu beachten, dass die errechnete Ausdehnung von 0.36 nm gr¨oßer ist als der Durchmesser eines Goldatoms. Es m¨usste daher ber¨ucksichtigt wer-den, dass f¨ur eine Abstands¨anderung der Zuleitungen eine Kraft am atoma-ren Kontakt aufgewendet werden muss. ¨Uber diese ben¨otigte Kraft l¨asst sich eine effektive Federkonstante k_{ef f} eines atomaren Kontakts bestimmen, die in etwa k_{ef f}=25 nN/m betr¨agt [62]. Dieser Federeffekt f¨uhrt im Experiment

1In Ref. [38] ist eine Absch¨atzung der relativen Leitwert¨anderung pro Pikometer Verschie-bung der Goldspitze angegeben. Dazu wurde aus einer bekannten VerschieVerschie-bung des Stem-pels ¨uber ein Piezoelement mit Gleichung 4.1 eine Verschiebung der Goldspitze errechnet und die dazugeh¨orige Leitwert¨anderung gemessen. Es erg¨abe sich daraus f¨ur Abbildung 6.2 eine Leitwert¨anderung von 0.28 G⁰, gemessen wurden allerdings 0.018 G0. Die Un-sicherheiten sind jedoch sehr hoch aufgrund starken Schwankungen der Ergebnisse von Probe zu Probe und von Kontakt zu Kontakt. Die Unsicherheiten sind in Ref. [38] mit mit einem Faktor 5 abgesch¨atzt, h¨ohere Werte sind jedoch ebenfalls plausibel.

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Abbildung 6.5.: Abh¨angigkeit der Signalamplitude dG von der einfallenden La-serleistungP. In blau (rot) sind die Messungen f¨ur die p(s)-Polarisation dargestellt, beleuchtet werden die beiden Gitterstrukturen die ±20 µm von der Engstelle ent-fernt sind. Grating 1 befindet sich hinter dem Spalt im Gold, Grating 4 hat einen durchgehenden Goldfilm zur Engstelle hin. Der DC-Leitwert betr¨agt 2.2 G0.

zu einer reduzierten Spitzenverschiebung bei großen Verschiebungen, die nahe

der Verschiebung liegen, die eine atomare Umordnung ausl¨osen kann. Da eine genauere Analyse dieses Effekts aber aufw¨andigerer Berechnungen bedarf, soll hier nicht genauer darauf eingegangen werden.

Als Fazit aus diesem Vergleich kann gezogen werden, dass die thermische Aus-dehnung eine wesentliche Rolle f¨ur den in Abbildung 6.2 dargestellten Leit-wertverlauf spielt.