Elektronisches System unter stationärer Anregung

Im Folgenden soll der Fall eines Systems bestehend aus drei Komponenten, einem Kristallgitter, einem Gas freier elektronischer Zustände im Leitungsband und ei-nem Gas freier Loch-Zustände im Valenzband eines Halbleiters betrachtet werden.

Ziel dieser Betrachtung ist die Ableitung einer Aussage über die Wechselwirkung dieses Systems mit Licht, oder genauer, eine Aussage über die spontane Emission dieses Systems bei einer bekannten stationären Anregung. Dazu werden (analog zur Vorgehensweise in [31]) zunächst folgende Annahmen gemacht:

1. Das freie Elektronengas sowie das freie Löchergas benden sich im chemi-schen Gleichgewicht bezüglich der Übergänge zwichemi-schen erlaubten Zuständen innerhalb ihres jeweiligen Bandes. Dies ist gleichbedeutend mit der Annah-me einer instantanen thermischen Relaxation angeregter Zustände hin zur Bandkante. Diese Annahme ist auf einer Zeitskala von typischen Ladungsträ-gerlebensdauern sehr gut erfüllt, da diese typischerweise weit mehr als sechs Gröÿenordnungen länger sind als thermische Relaxationszeiten.

2. Beide Gase benden sich im thermischen Gleichgewicht mit dem Kristallgit-ter.

3. Aufgrund des vergleichsweise unwahrscheinlichen Rekombinationsprozesses von Elektronen vom Leitungs- ins Valenzband ist hier ein chemisches Un-gleichgewicht zwischen Valenz- und Leitungsband ausdrücklich vorgesehen.

3.2.1. Nichtgleichgewicht und Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung

Das Nichtgleichgewicht in letzter obiger Annahme ist gleichbedeutend mit unter-schiedlichen chemischen Potentialen für Elektronen und Löcher. Es wird in der Halbleiterphysik üblicherweise mit dem Begri der Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung in Verbindung gebracht. Die Fermi-Statistik, die das freie Elektronengas im Gleich-gewichtszustand erklären kann, muss im Fall einer externen Anregung (durch eine an einem pn-Übergang anliegende Spannung oder durch optische Anregung) da-hingehend modiziert werden, dass das Ferminiveauε_f für Elektronen und Löcher nicht mehr identisch ist, sondern sich in zwei Quasi-Ferminiveaus η_e und η_h auf-spaltet, die dann über

mit dem Modell der Gleichgewichts-Fermiverteilung zu korrekten Elektronendich-tenn_e und Löcherdichtenn_h führen (D(E)ist hier die elektronische Zustandsdich-te,E_c und E_v sind die Energien von Leitungs- und Valenzbandkante).

Abbildung 8: Die Fermi-Statistik beschreibt das Elektronensystem eines Halblei-ters im Gleichgewicht mit einem FerminiveauE_f. Wenn das Elektro-nensystem etwa durch externe Energiezufuhr aus dem chemischen Gleichgewicht gerät, kann der erhöhten Ladungsträgerdichte durch Aufspaltung des Ferminiveaus in zwei Quasi-Ferminiveaus E_{f v} und E_{f c} Rechnung getragen werden. Bandkanten sind mit E_c und E_v für Valenz- und Leitungsband, die elektronische Zustandsdichte ist mit D(E), die eektive Zustandsdichte (Integrand in Gl. 28) mit N(E) bezeichnet.

Die Dierenz der Quasi-Ferminiveaus

∆η=η_e−η_h (29)

ist ein energetisches Maÿ für die Abweichung des elektronischen Systems aus dem durch die Fermi-Statistik beschriebenen Gleichgewichtszustand. Sie ist auch eine sehr gute Näherung für die unter Beleuchtung an einer Solarzelle anliegende oene Klemmspannung eU ≈ ∆η. Im Zusammenhang mit Lumineszenz halbleitender Strukturen ist sie eine essentielle Gröÿe. Dies wird im nun folgenden Abschnitt herausgearbeitet.

3.2.2. Das verallgemeinerte Planck'sche Strahlungsgesetz

In dem auf Max Planck [32] zurückgehenden Strahlungsgesetz zur Beschreibung der Energiedichte eines Strahlungshohlraums wird Photonen ein verschwindendes chemisches Potential zugeschrieben, um Energieerhaltung zu gewährleisten (da die Photonenzahl nicht erhalten ist). Zur Beschreibung der spontanen Emission nicht-schwarzer speziell halbleitender Körper wurde in [31] ein chemisches Potential für ein Photonengas eingeführt, das mit zwei Fermi-Gasen wechselwirkt, die un-tereinander nicht im chemischen Gleichgewicht stehen, den freien Elektronen im Leitungsband sowie den freien Löchern im Valenzband. Dieses chemische Potential entspricht der Aufspaltung der Quasi-Ferminiveaus ∆η.

Hier soll zunächst die Lumineszenz eines direkten Halbleiters beschrieben wer-den. Die Verallgemeinerung auf indirekte Halbleiter erfordert keine zusätzlichen Rechenschritte, es muss lediglich die Erzeugung bzw. Vernichtung von Phononen in der Energiebilanz berücksichtigt werden [33]. Die Elektronen- bzw. Löcherdich-ten pro Energie in einem betrachteLöcherdich-ten VolumenelementN_eundN_h entsprechen den Integranden in Gl.28 mit den Fermi-Verteilungsfunktionenf_e(E)undf_h(E)bei den Quasi-Ferminiveaus von Elektronen und Löchern sowie der elektronischen Zustandsdichte D(E). Bei der Betrachtung der Wechselwirkung des Elektronensystems mit Licht muss zu jeder PhotonenenergieE_γfolgende Bilanz der Raten für spontane Emissionr_sp(E_γ), stimulierte Emission r_st(E_γ) und Absorptionr_a(E_γ) gelten:

r_a(E_γ) =r_st(E_γ) +r_sp(E_γ) . (31) Würde dies nicht gelten, so wäre die zweite eingangs formulierte Gleichgewichts-bedingung verletzt, was eine Verletzung des zweiten Hauptsatzes implizierte [26].

Mit dem Matrixelement für einen optischen Übergang zwischen Valenz- und Lei-tungsband M(ε, Eγ) zwischen den Energieniveausε und ε+Eγ und mit der Pho-tonendichten_γ(E_γ) und der Zustandsdichte für PhotonenD_γ(E_γ)können die drei Raten zur Beschreibung der Wechselwirkung von Licht und Materie geschrieben werden als:

r_a(E_γ) = n_γ(E_γ) Z ∞

0

dε· M(ε, E_γ)N_e(ε)N_h(ε+E_γ) (32) Die Absorptionsrate für Photonen durch das Elektronensystem muss proportional zum Produkt der Dichten vakanter elektronischer Zustände im Leitungsband so-wie vakanter weil von Elektronen besetzter Lochzustände im Valenzband sein.

Dieses Produkt kann nach Gl. 30 zweckmäÿigerweise auch umgeschrieben werden als N_e(ε)N_h(ε+E_γ). Zudem muss die Absorptionsrate proportional zur Die Rate für stimulierte Emission von Photonen durch das Elektronensystem muss einerseits proportional sein zum Produkt der Dichten besetzter elektronischer Zu-stände im Leitungsband sowie besetzter LochzuZu-stände im Valenzband, andererseits muss diese Rate ebenfalls zur Photonendichte proportional sein.

r_sp(E_γ) = D_γ(E_γ) Z ∞

0

dε· M(ε, E_γ)N_e(ε+E_γ)N_h(ε) (34)

Die Rate für spontane Emission von Photonen ist die letztlich hier zu bestimmen-de Gröÿe. Sie muss einerseits proportional sein zum Produkt bestimmen-der Dichten besetzter elektronischer Zustände im Leitungsband sowie besetzter Lochzustände im Valenz-band, andererseits muss sie proportional sein zur Zustandsdichte des Photonenga-ses.Ohne Kenntnis der MatrixelementeM(ε, E_γ)ist nun zunächst eine Bestimmung der Photonendichten_γ(E_γ)durch Gl.31möglich. Dabei ist die Anzahl der Zustän-de pro Volumen- und EnergieinkrementD_γ(E_γ) gegeben als

D_γ(E_γ) = E_γ²

π²~³c⁰³ (35)

wobei c⁰ die Lichtgeschwindigkeit in Silicium ist. Auösung von Gl. 31 nach der Photonendichte n_γ(E_γ) liefert

n_γ(E_γ) = E_γ² ist unabhängig von ε und deshalb vereinfacht sich Gl. 36 zu

n_γ(E_γ) = E_γ²

Die Photonendichte ist also das Produkt einer Zustandsdichte und eines Bose-Faktors, ergänzt um ein chemisches Potential der Photonen, das der Quasi-Fermi-niveau-Aufspaltung entspricht.

Um von der Photonendichte im betrachteten Volumenelement auf die spontane Emissionsrate im selben Volumenelement zu schlieÿen, muss auf das Kirchho'sche Strahlungsgesetz zurückgegrien werden. Kirchho [34] entdeckte 1860, dass die Emissionsrate eines nicht-schwarzen Strahlers im thermischen Gleichgewicht mit ei-nem schwarzen Strahler identisch mit seiner Absorptionsrate sein muss. Die Überle-gungen von Kirchho wurden später dahingehend verallgemeinert, dass ein thermi-sches Gleichgewicht zwischen Strahlungsquelle und nicht-schwarzem Strahler nicht zwingend ist [35, 36]. Dieses Gleichgewicht von Emissionsrate und Absorptions-rate kann mit dem Absorptionskoezient α(E_γ) und einer Photonenstromdichte jγ(Eγ) folgendermaÿen formuliert werden:

r_sp(E_γ) =α(E_γ)j_γ(E_γ) (39) Mit der Strahlungsdichte n_γ(E_γ) im betrachteten Volumenelement gilt¹³

jγ(Eγ) =nγ(Eγ)c⁰ , (40)

13Dieser Ausdruck gilt streng nur bei gerichteter Strahlung, denn bei isotroper Strahlung wäre die Netto-Stromdichte jγ = 0. Für die Verwendung in Gl. 39 ist die Netto-Stromdichte je-doch nicht von Belang, dennj_γ kann hier als Superposition aller gerichteten mikroskopischen Photonenströme (in verschiedene Richtungen) an einem Ort aufgefasst werden.

womit über Gl.38 ein Ausdruck für die spontane Emissionsrate im direkten Halb-leiter gegeben ist:¹⁴

rsp(Eγ) = α(E_γ)E_γ² π²~³c⁰²

1 exp

Eγ−∆η kBT

−1

. (41)

Dies entspricht einer pro Volumen-, Energie- und Zeiteinheit spontan emittierten Photonenzahl in einem Medium mit der Absorptionα(E_γ)und einem Nichtgleich-gewicht des Elektronensystems, welches in der Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung∆η seinen Ausdruck ndet. Um dies auf indirekte Halbleiter zu erweitern, bedarf es lediglich einer Ergänzung der Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung im Bose-Faktor [33]

∆η → ∆η±~Ω .

Dieser zusätzliche Energieterm, die Phononenenergie ~Ω, ist allerdings sehr klein gegen typische Werte für ∆ηoder E_γ. Der wesentliche Unterschied zwischen spon-taner Emission in direktem und indirektem Halbleiter oenbart sich im Absorpti-onskoezient, der linear in rsp(Eγ) eingeht.

Abbildung 9: Absorptionskoezient α von Silicium (vgl. [37, 38]) bei T = 295K (links) sowie die (relative) spontane Emissionsrater_sp eines Volumen-elements bei einer Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung von ∆η = 0.6eV in Abhängigkeit von der Photonenenergie.

3.2.3. Quasi-Ferminiveaus und Überschussladungsträgerdichte

In Gl. 28 sind Ausdrücke für die Elektronendichte ne bzw. die Löcherdichte nh

eines elektronisch angeregten Halbleiters gegeben. Diese Ausdrücke können im hier

14Spontane Emission ist ein statistischer Prozess. Demzufolge ist das Ergebnis in Gl.41lediglich als Aussage über den wahrscheinlichsten Wert spontan emittierter Photonenzahl zu verste-hen. Wie aus ortsaufgelösten Lumineszenzmessungen sehr gut hervorgeht, ist die tatsächlich spontan emittierte Photonenzahl niemals exakt vorhersehbar (vgl. Anhang B).

vorliegenden Fall E_c−η_ek_BT sowieη_h−E_v k_BT vereinfacht werden zu mit der Fermienergie ε_f im nicht-angeregten intrinsischen Halbleiter folgt

n_e = exp das verbleibende Integral entspricht in beiden Fällen einfach der intrinsischen Gleich-gewichts-Elektronendichte ni, sodass gilt:

n_en_h =n²_i exp ∆η

k_BT

(44) Die Elektronen- und Löcherdichten setzen sich aus Gleichgewichts-Ladungsträ-gerdichten und einer Überschussladungsträgerdichte ∆n zusammen, die aufgrund einer (in 3.2.4 genauer betrachteten) Ladungsneutralitätsbedingung für Elektro-nen wie Löcher lokal gleich sein muss. In einem p-dotierten Halbleiter mit einer Gleichgewichts-Löcherkonzentration n_p0 =N_A und einer Gleichgewichts-Minoritä-tenkonzentration ne0 =n²_i/NA (es muss ne0np0 =n²_i erfüllt sein) gilt dann

Damit ist die Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung ∆η als Funktion der Überschussla-dungsträgerdichte ∆n gegeben zu

Mit dem Zusammenhang zwischen der durch eine externe Anregung bedingten Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung und der Überschussladungsträgerdichte ist nun die entscheidende Messgröÿe von Lumineszenzmessungen in Silicium oenbart. Eine Lumineszenzmessung an der Oberäche eines Silicium-Substrats ist demgemäÿ eine integrale Messung der Überschussladungsgrägerdichte.

3.2.4. Tiefenverteilung der Überschussladungsträgerdichte

Im Folgenden soll die Verteilung∆n(z)der Überschussladungsträgerdichte über die Tiefe z in einem Silicium-Substrat im Zustand eines stationären chemischen Un-gleichgewichts zwischen Elektronen und Löchern hervorgerufen entweder durch eine externe Diodenspannung in Durchlassrichtung (EL) oder durch optische Anre-gung (PL) begründet werden. Dazu ist es zunächst notwendig zu erörtern, welcher physikalischen Gesetzmäÿigkeit (und folglich welchen Dierentialgleichungen) die Dynamik von Minoritätsladungsträgern unterliegt, oder anders ausgedrückt, welche Wechselwirkungen auf einer für die Dynamik der Minoritäten relevanten Zeitskala eine Rolle spielen.

Hier soll der für Standard-Silicium-Solarzellen relevante Fall einer p-dotierten Basis mit Elektronen als Minoritäten zum Ausgangspunkt genommen werden. Ei-ne Ableitung für n-dotiertes Material mit Löchern als Minoritäten vollzieht sich analog.¹⁵

Diusionsgesetz

Die dielektrische Relaxationszeit lokaler Ladungsuktuationen kann aus den Max-well-Gleichungen (Ladungserhaltung) abgeleitet werden zu

τ_diel= ₀

σ (48)

mit der elektrischen Leitfähigkeitσund der materialabhängigen Dielektrizitätszahl . Wie in [26] dargelegt, ist diese Zeit bei für Standard-Solarzellen realistischen Do-tierungen und Beweglichkeiten der Majoritäten mit 10⁻¹⁴s . τ_diel . 10⁻¹²s um viele Gröÿenordnungen kleiner als typische Ladungsträger-Lebensdauern (10⁻⁷s. τ . 10⁻³s). Mit diesem Befund ist auch die oft verwendete Annahme lokaler La-dungsneutralität begründet. Man kann daraus schlussfolgern, dass auf einer für die Dynamik der Minoritäten relevanten Zeitskalaτ lokale Ladungsneutralität eine sehr gut erfüllte Annahme darstellt und damit die Minoritäten in der Regel keinem elektrischen Feld verursacht durch lokale Raumladungen ausgesetzt sein kön-nen. Dies legt die Vermutung nahe, dass die Dynamik der Minoritätsladungträger nicht feldgesteuert, sondern thermisch gesteuert ist, diese also einmal angeregt eine statistische Bewegung durch das Trägermedium vollführen. Sie unterliegen damit dem 1. Fick'schen Diusionsgesetz

j~_e(~r) = −D_e∇∆n(~r) (49) mit der Stromdichte der Elektronenj~_e(~r)sowie der Überschussladungsträgerdichte

∆n(~r) am Raumpunkt~r und deren Diusionskonstante D_e.

15Sowohl die strahlende Rekombination von Ladungsträgern aufgrund von Überschussladungsträ-gerdichte in der Basis wie im Emitter einer Solarzelle tragen zur Lumineszenz bei. Allerdings ist das Verhältnis der Dicken von Emitter zu Basis mit einer Gröÿe vondb/de≈1000derart groÿ, dass man die im Emitter emittierte Lumineszenz bei der Interpretation von Lumines-zenzmessungen vernachlässigen kann wie hier geschehen.

Im Folgenden soll lediglich eine eindimensionale Behandlung dieser Dierential-gleichung erfolgen. Die damit einhergehende Vernachlässigung lateraler Diusions-prozesse (senkrecht zur Tiefe z) sogenannter Querdiusion ist innerhalb von Bereichen lateral homogener Materialqualität unproblematisch, da sich laterale Dif-fusionsprozesse in ein Flächenelement hinein mit solchen aus einem Flächenelement heraus kompensieren. Für Bereiche lateral inhomogener Materialqualität bleibt die-se Vereinfachung unproblematisch, solange die charakteristischen Abmessungen in sich homogener Probenächen sehr viel gröÿer sind als die Diusionslänge der Elek-tronen. Gl. 49wird demnach zu

j_e,z(z) =−D_e∂∆n(z)

∂z . (50)

Kontinuitätsgleichung

Die mathematische Formulierung der Teilchenzahlerhaltung ist gegeben durch die Kontinuitätsgleichung

∂ρ(~r)

∂t +∇~j(~r) = 0 (51)

wonach sich die zeitliche Änderung einer Teilchendichte im Volumeninkrement [~r, ~r+d~r] kompensiert mit der Divergenz der Teilchenströme~j(~r) aus diesem Vo-lumeninkrement. Bei Minoritätsladungsträgern hat man es allerdings mit zeitlich begrenzten Anregungen zu tun, deren Erhaltung nur unter Einschränkung ihrer Er-zeugung durch elektrische Injektion (EL) oder optische Anregung (PL) bzw. ihrer Vernichtung durch Rekombination gilt. In diesem Fall muss die Kontinuitätsglei-chung also ergänzt werden um eine Bilanz aus einer Generationsrate G und einer Rekombinationsrate R

∂∆n(~r)

∂t +∇j~_e(~r) = G(~r)− R(~r). (52) Weiter kann über die Rekombinationsrate R angenommen werden, dass sie pro-portional zur Überschussladungsträgerdichte ∆n ist und gemäÿ Denition der La-dungsträger-Lebensdauer τ charakteristisch mit dieser ins Gleichgewicht relaxiert, alsoR= ∆n/τ gilt. Im Fall der hier stets vorliegenden zeitunabhängigen Anregung wird sich ein stationärer Nichtgleichgewichtszustand einstellen womit jegliche Zeit-abhängigkeit aus der zugrundeliegenden Dierentialgleichung entfällt. Reduziert auf ein eindimensionales Problem unter Vernachlässigung lateraler Ströme gilt also für Elektronen in einer p-dotierten Basis

∂j_e,z(z)

∂z =G(z)− ∆n(z)

τ . (53)

Kombination dieser Dierentialgleichung mit Gl. 50 liefert das nun zu lösende Randwertproblem zweiter Ordnung

Hier gehen über

L=p Deτ

Lebensdauer τ und Diusionskonstante D_e in die Minoritätsladungsträger-Diusi-onslänge L ein. Dieses Randwertproblem ist für jedes beliebige Generationsprol G(z) geschlossen analytisch lösbar, sofern man annimmt dass die Lebensdauer τ und damit die Diusionslänge L unabhängig von ∆n ist. In 3.2.5 wird näher auf den Fall einer ∆n-Abhängigkeit der Diusionslänge L eingegangen. Die Struktur der Randbedingungen ist nun von der Art der Anregung abhängig, weshalb im Folgenden zwischen EL und PL unterschieden werden soll.

Elektrolumineszenz an Solarzellen

Bei EL erfolgt die Anregung des elektronischen Systems über eine in Durchlass-Richtung angelegte externe Diodenspannung. Dies ist gleichbedeutend mit der In-jektion von Elektronen vom pn-Übergang in die p-dotierte Basis sowie mit der Injektion von Löchern vom pn-Übergang in den n-dotierten Emitter einer Solarzel-le. Die GenerationsrateGverschwindet in diesem Fall, sodass das Randwertproblem homogen wird. Aufgrund der vernachlässigbaren Emitterdicke soll hier nur die In-jektion von Elektronen in die Basis erörtert werden:

Die vordere Randbedingung ist dann bestimmt durch eine aufgrund der anlie-genden Spannung bestehende Überschusselektronendichte am pn-Übergang (z = 0)

∆n mit der intrinsischen Dichte thermisch angeregter Ladungsträger in Siliciumn_i, der Dotierkonzentration N_A sowie der lokal anliegnden Diodenspannung U.¹⁶

Die hintere Randbedingung ist bestimmt durch die Oberächenrekombination von Elektronen an der Rückseite der Solarzelle z =d (folgt aus Gl. 50)

je,z mit der Rückseitenrekombinationsgeschwindigkeit S_b.

Die allgemeine Lösung des homogenen Randwertproblems hat die Gestalt

∆n(z) =Aexpz

16Damit ist für EL die Lumineszenzintensität zwar weitgehend unbeeinusst von der emittersei-tigen Oberächenrekombination S_f, dafür aber umso mehr von der lokalen Diodenspannung U, was die Lumineszenzintensität sensitiv auf lokale Serienwiderstandseekte macht.

Mit den in Gl.55und56gegebenen Randbedingungen sind damit die Koezienten A und B einer speziellen Lösung bestimmbar zu

A = n²_i

Abbildung 10: Tiefenverteilung der Überschussladungsträgerdichte in einer Silici-um-Solarzelle in Abhängigkeit von der Rückseitenrekombinations-geschwindigkeit S_b und der Diusionslänge der Minoritätsladungs-träger L. Links ist zu festem S_b eine Schar von Tiefenprolen zu verschiedenen L gezeigt, rechts ist zu festem L eine Schar von Tiefenprolen zu verschiedenen S_b zu sehen. Die Probendicke ist d= 200µm, die Diodenspannung beträgtU = 600mV.

Photolumineszenz an Wafern

Bei optischer Anregung eines p-dotierten Silicium-Wafers sind die beiden Randbe-dingungen von analoger Struktur, wobei bei der vorderen Randbedingung ein Vor-zeichenwechsel bedingt durch die Richtung der Oberächenrekombinationsstrom-dichte in Bezug auf die z-Richtung zu beachten ist.

j_e,z Sf und Sb bezeichnen die Oberächenrekombinationsgeschwindigkeiten von Vor-der- bzw. Rückseite.

Der zweite formale Unterschied zur elektronischen Anregung besteht in einer end-lichen Generationsrate G(z). Die Gestalt der FunktionG(z) hängt wesentlich von der spektralen Verteilung der Anregungsstrahlung ab. Im allgemeinen Fall der An-regung durch ein Kontinuum von Lichtenergien lässt sich die Generationsrate be-schreiben als Hierbei ist α(E_γ) der Absorptionskoezient in Silicium bei der Anregungsenergie E_γunddj_γ/dE_γ ist die pro EnergieinkrementdE_γ auf die Probe auftreende Photo-nenstromdichte. Eine Lösung ∆n(z)zu beliebiger InhomogenitätG(z)/D_e ist mit der Green'schen Funktion zum Dierentialoperator∂_z²−_L¹2 exakt berechenbar (z.B.

relevant bei Anregung mit einem LED-Array). Hier soll allerdings nur der für diese Arbeit ausschlieÿlich relevante Spezialfall einer monochromatischen Laser-Genera-tion diskutiert werden. Mit einer Photonenstromdichtej_γ0 bei der Photonenenergie E_γ0 und mit einem Absorptionskoezient α(E_γ0) = α_γ0 vereinfacht sich Gl. 60zu G(z) = α_γ0j_γ0exp (−α_γ0z) . (61) Die spezielle Lösung zu Gl. 54 mit den Randbedingungen aus Gl. 59ist dann von der Gestalt wobei sich bei Auswertung der Randbedingungen folgendes Gleichungssystem er-gibt:

die Koezienten A^? und B^? gegeben zu:

A^? = b₁a₂₂−b₂a₁₂ a₁₁a₂₂−a₂₁a₁₂ B^? = b₁a₂₁−b₂a₁₁

a₂₁a₁₂−a₁₁a₂₂ . (63) Damit ist auch für PL eine geschlossene Lösung der Kontinuitätsgleichung zu spe-ziellen Randbedingungen gegeben.

Abbildung 11: Tiefenverteilung der Überschussladungsträgerdichte in einem 1Ωcm Silicium-Wafer abhängig von der Oberächenrekombination auf der bestrahlten Vorderseite Sf, der Rückseite Sb sowie von der Diusi-onslänge der MinoritätsladungsträgerL. Links ist zu fester Oberä-chenrekombination eine Schar von Tiefenprolen zu verschiedenen L zu sehen, rechts ist zu festem L eine Schar von Tiefenprolen zu verschiedenenS_f und S_b zu sehen. Die Probendicke ist d= 200µm, die Photonenstromdichte der Anregungsstrahlung (λ = 790nm) be-trägt jγ0 = 2.5·10²¹m⁻²s⁻¹.

3.2.5. Injektionsabhängigkeit der Tiefenverteilung der Überschussladungsträgerdichte

In der bisherigen Ableitung wurde davon ausgegangen, die eektive Ladungsträger-Lebensdauer τ_eff (und damit auch die Diusionslänge der Minoritätsladungsträger und die Oberächenrekombinationsgeschwindigkeit) sei eine von der Überschuss-ladungsträgerdichte ∆n unabhängige Gröÿe. Tatsächlich weist τ_eff aber eine Ab-hängigkeit τ_eff(∆n) auf, wie in 2.3 bereits angedeutet. Gemäÿ der SRH -Theorie [24, 25] steigt die Lebensdauer mit steigender Überschussladungsträgerdichte an (sogenannter SRH -Anstieg). Bei sehr hohen Überschussladungsträgerdichten fällt sie dann aufgrund von Auger- und strahlender Rekombination wieder ab.

Im Fall von PL an gut passivierten Wafern ist es bei Anregung mit Photonen-stromdichten von j_γ0 ≈ 2.5·10²¹m⁻²s^{−1 17} durchaus gewöhnlich, dass die Über-schussladungsträgerdichte im SRH -Anstieg liegt. Dies legen auch QSSPC -Messun-gen nahe [39].

Dieser Umstand beeinusst das Tiefenprol ∆n(z) insofern, als dadurch die Struktur des zugrundeliegenden, vormals linearen Randwertproblems (Gl.54)

ver-17Vergleichbar mit dem Äquivalent des Photonenstroms von der Sonne auf die Erdoberäche, der Elektron-Lochpaare in Silicium anzuregen vermag.

Abbildung 12: Abhängigkeit der Lebensdauer τ angeregter Ladungsträger von der Überschussladungsträgerdichte ∆n gemäÿ einer QSSPC -Messung an einem SiN-passivierten Wafer. Bei Ladungsträger-Lebensdauern von τ ≈ 80µs muss die Abhängigkeit τ(∆n) schon berücksichtigt werden. Hieraus wurde mitL=√

D_eτ ein Modellt für die Abhän-gigkeit der Diusionslänge von ∆n bei beliebiger Niederinjektions-DiusionslängeL(∆n →0)abgeleitet.

ändert wird¹⁸

∂²∆n(z)

∂z² − ∆n(z)

(L(∆n))² =−G(z)

D_e . (64)

Da im Allgemeinen L(∆n) nicht wie L ∝√

∆n skaliert, muss davon ausgegangen werden, dass das Randwertproblem nichtlinear wird. Damit ist es nur noch nähe-rungsweise numerisch lösbar und setzt gleichzeitig die Kenntnis der Abhängigkeit L(∆n) voraus.

Abbildung 13: Vergleich der Tiefenprole ∆n(z) einer geschlossenen Lösung der Kontinuitätsgleichung, die die Abhängigkeit der Diusionslänge von

∆n vernachlässigt, und einer numerischen Lösung, die eine an eine QSSPC -Messung genäherte Abhängigkeit L(z) annimmt. ∆n ist hier auf das jeweilige Maximum normiert, um die Kurvenverläufe besser vergleichen zu können.

18Streng genommen ändern sich auch die Randbedingungen durch eine Injektionsabhängigkeit der ObeächenrekombinationsgeschwindigkeitS(∆n)(vgl. [40,41,42]).

Im Dokument Messung von Minoritätsladungsträger-Diffusionslängen in Silicium-Solarzellen mit Lumineszenzmethoden (Seite 28-41)