4. Bose-Einstein-Kondensation
4.1. Theorie der Bose-Einstein-Kondensation
4.1.2. Die kritische Temperatur
µ−
q3 j=1 1
2mω2j(0)rj2/λ2j(t)
gλ1(t)λ2(t)λ3(t) wenn µ > q3
j=1 1
2mωj2(0)rj2/λ2j(t)
0 sonst
(4.16)
und entsprechend der Thomas-Fermi-Radius RT F,j(t)des Kondensats.
4.1.2. Die kritische Temperatur
Zur Herleitung der kritischen Temperatur ist es unerlässlich, die Besetzungs-zahl n(E) eines Zustands der Energie E bei der absoluten Temperatur T im thermodynamischen Gleichgewicht für identische Bosonen zu betrachten. Diese Bose-Einstein-Statistik ist gegeben durch
n(E) = 1
e(E−µ)/kBT −1. (4.17)
4.1. Theorie der Bose-Einstein-Kondensation
Das chemische Potential µ beschreibt hierbei die Verteilung der Teilchen auf die jeweiligen Energieniveaus bei gegebener Temperatur und Atomzahl und ist stets kleiner als die Energie des Grundzustands E0. Für sehr kleine Tempera-turen T strebt das chemische Potential immer weiter gegen E0. Hieraus resul-tiert eine makroskopische Besetzung des Grundzustandes und die Bose-Einstein-Kondensation setzt ein. Die höchste Temperatur, bei welcher noch eine ma-kroskopische Besetzung dieses Grundzustandes vorliegen kann ist die kritische TemperaturTc.
Durch die Besetzungszahl n(E) und die Zustandsdichte ρ(E) im Potential des harmonischen Oszillators [80]
ρ(E) = E2 2~3ω1ω2ω3
(4.18) kann die Anzahl an Atomen, die sich nicht im Grundzustand befinden, über das Integral
N −N0 =
Ú ∞
0 dE ρ(E)n(E) (4.19)
errechnet werden. Hierbei ist N die Gesamtteilchenzahl und N0 die Anzahl an Teilchen im Kondensat. Mit verschwindendem chemischen Potential µ na-he des Kondensationspunkts und unter Annahme des harmoniscna-hen Oszillator-Potentials, führt die Integration zur Lösung
N −N0 =ζ(3) geo-metrischen Mittel der Fallenfrequenzen entspricht. Da beiTc für die Anzahl an kondensierten TeilchenN0 = 0 gelten soll, folgt für die kritische Temperatur Tc
Tc = ~ωå
Kombiniert man Gleichungen 4.20 und 4.21 so erhält man für den Anteil an kondensierten Atomen bei der Temperatur T
N0
4.2. Experimentelle Ergebnisse zur Bose-Einstein-Kondensation
Der Nachweis eines Bose-Einstein-Kondensats gelingt über die einzigartigen Ei-genschaften dieses Materiezustands. Wie in Gleichung 4.16 hergeleitet, unter-scheidet sich die Dichteverteilung eines BECs deutlich von der einer wechselwir-kungsfreien, thermischen und somit Gauß-förmigen Wolke. In den hier verwen-deten harmonischen Fallen wird das BEC nach einer freien Expansion eine Dich-teverteilung aufweisen, die einer invertierten Parabel folgt. Abbildung 4.1 zeigt den Übergang von einem thermischen Ensemble zu einem BEC. Hierbei wurde die letzte RF-Rampe zur Evaporation bis zu einer Endfrequenz von 0,875 MHz (Abb. 4.1a), 0,852 MHz (Abb. 4.1b) und 0,839 MHz (Abb. 4.1c) durchgeführt.
Deutlich ist in den integrierten, eindimensionalen Dichteverläufen der Übergang von einer Gauß-förmigen Wolke (rot) zur invertierten Parabel des BECs (grün) zu sehen.
a Thermische Wolke b Therm. Wolke + BEC c Reines BEC
Abbildung 4.1.:Absorptionsaufnahmen des Übergangs vom thermischen Ensemble zum BEC. Die Graphen zeigen den Verlauf der Dichte nach zusätzlicher Integrati-on über die x’- bzw. y’-Richtung. Die rot eingezeichneten Linien beschreiben eine Gauß-Funktion, während die grünen einer invertierten Parabel folgen.
Trägt man den Anteil an kondensierten Atomen im Verhältnis zur Gesamt-teilchenzahl über die mit einer Expansionsmessung bestimmte Temperatur der thermischen Wolke auf, so erhält man den in Abbildung 4.2a gezeigten Verlauf.
Ab der Temperatur Tc=313 nK steigt die Anzahl an kondensierten Atomen und folgt dem theoretischen Verlauf (rote Linie, vgl. Gl. 4.22). Da bei den sehr klei-nen verbleibenden thermischen Restwolken die Anpassungsroutiklei-nen zur Bestim-mung der Temperatur und Teilchenzahl nicht weiter zuverlässig funktionieren, konnte dem theoretischen Verlauf in der Messung lediglich bis zu einem Ver-hältnis von 0,7 an kondensierten Atomen zur Gesamtteilchenzahl gefolgt wer-den. Variiert man die Endfrequenz der letzten Frequenzrampe und misst die Temperatur der so erzeugten thermischen Wolke, so kann über den Knick des Temperaturverlaufs das Einsetzen des Phasenübergangs und somit die kritische
4.2. Experimentelle Ergebnisse zur Bose-Einstein-Kondensation
a Anteil an kondensierten Atomen
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Temperatur des thermischen Anteils in nK
b Temperatur des therm. Ensembles
0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88
0,20
Abbildung 4.2.:Anteil an kondensierten Atomen und Temperatur des thermischen Ensem-bles. Der Anteil an kondensierten Atomen im Verhältnis zur Gesamtteilchen-zahl (a) folgt der theoretischen Kurve (rot, vgl. Gl. 4.22) mit einer angenom-menen kritischen Temperatur vonTc=313 nK. Durch den Knick im Tempera-turverlauf kann auf den Wert der kritische Temperatur Tczurückgeschlossen werden (b).
Abbildung 4.3.:Messungen zum Wechsel des Aspektverhältnisses. Links wurde das Konden-sat aus einer Falle mit den Fallenfrequenzenν(x,y,z)= (12, 63, 73) Hz entlas-sen. Das Aspektverhältnis wechselt bei etwa 8,5 ms. Relaxiert man die Falle vor dem entlassen des Kondensats bis auf Fallenfrequenzen vonν(x,y,z)= (11, 34, 47) Hz, so reduziert sich die Expansionsrate des BECs und das Drehen des Aspektverhältnisses tritt erst nach etwa 14,5 ms der freien Expansion ein (rechts). Die gestrichelten Linien geben das Ergebnis der Simulation wieder.
Temperatur bestimmt werden. Abbildung 4.2b zeigt eine Messung, bei welcher ein Frequenzbereich der Endfrequenz zwischen 0,88 MHz und 0,836 MHz ver-messen wurde. Der Knick im Temperaturverlauf liegt bei etwa 0,86 MHz, was zu einer kritischen Temperatur von Tc=313 nK führt.
Eine weitere charakteristische Eigenschaft von Bose-Einstein-Kondensaten liegt in ihrem Expansionsverhalten. Während wechselwirkungsfreie, thermische En-sembles in alle Raumrichtungen die selben Expansionsraten aufweisen und somit nach einer freien Expansion asymptotisch genähert isotrop und Gauß-förmig im Raum verteilt sind, weisen BECs unterschiedliche Expansionsraten in den un-terschiedlichen Raumrichtungen auf. Diese Expansionsraten stehen direkt mit den Fallenfrequenzen des Potentials in Verbindung, aus welchem das BEC frei-gelassen worden ist (vgl. Gl. 4.16). Hierdurch kommt es im Laufe der freien Expansion zu einem Wechsel des Aspektverhältnisses in der Dichteverteilung des BEC. Abbildung 4.3 zeigt zwei Messreihen, bei denen dieser Wechsel des Aspektverhältnisses gemessen wurde. In Abbildung 4.3a wurde das Konden-sat aus einer Falle frei gelassen, welche Fallenfrequenzen von ν(x,y,z) = (12, 63, 73) Hz aufwies. Das Aspektverhältnis wechselt bei etwa 8,5 ms. Für die zweite Messung (s. Abb. 4.3b) wurde die Falle vor dem Ausschalten weiter relaxiert, was zu Fallenfrequenzen von ν(x,y,z) = (11, 34, 47) Hz führte. Es ist deutlich zu erkennen, wie sich die Expansionsraten im Vergleich zur steileren Falle redu-ziert haben. Der Wechsel des Aspektverhältnisses tritt bei dieser Messung erst nach 14,5 ms auf. Die gestrichelten Linien geben das Ergebnis der Simulation wieder (s. Kap. 5). Es ist deutlich zu erkennen, wie die Thomas-Fermi-Radien bei sehr kleinen Ensembles durch die Messung überschätzt werden. Dies könnte ein Hinweis auf das minimale Auflösungsvermögen der Abbildung geben.