Abbildung 4.22: Die optische Hebung aus der eingebundenen Perspektive:
Ein Blick auf zwei Stäbe, die sich in einem Wasserbad befinden. Der linke Stab scheint geraden Verlauf zu nehmen, der rechte scheint abgeknickt. In
”Wahrheit” ist der rechte Stab geknickt, der linke gerade.
Aquariums markiert, wie auch der Tastweg. Verschiedene Winkel ergeben dann wieder einen annähernd konstanten Wert für das Verhältnis.
Über die Betrachtung einer schwarz-weiß gefärbten Kachel in einem Was-serbad lassen sich weitere Besonderheiten der Hebung beobachten (analog zum vorigen Unterabschnitt). An den Rändern der Übergänge zwischen den weißen und schwarzen Streifen sind die erwähnten Farbsäume zu erkennen.
Am Ende des Curriculums wird die optische Abbildung mit der so genann-ten Schusterkugel berührt. Als Einstieg in die Linsenoptik zeigt das Einfüllen von Wasser in eine beleuchtete Schusterkugel einen Effekt, mit dem die zer-treuende Wirkung einer Kugel auf überraschende Weise gezeigt werden kann (genaueres in: Erb und Schön, 1991).
4.2 Die Fermatoptik – Mittelstufe
Der in der Anfangsoptik über den Blickweg eingeführte Lichtweg ist in die-sem Unterrichtsabschnitt für die Mittelstufe von besonderer Bedeutung. Im Mittelpunkt steht das Betrachten von Lichtwegen von Sender zum Empfän-ger durch optische Anordnungen und darüber die Aufdeckung von Gesetz-mäßigkeiten, die begründen, warum sich bestimmte Lichtwege von anderen unterscheiden. Auch in dieser Phase ist die Einführung der Strahlen- bzw.
Wellenoptik nicht notwendig. Die Nutzung des Fermat-Prinzips ist vor die-sem Hintergrund besonders naheliegend, da es die optischen Phänomene zu beschreiben vermag, ohne sich auf quasimechanische Größen zu beziehen.
Da bereits in anderen Arbeiten (Erb, 1994; Weber, 2003) der theoretische
Hintergrund der Fermat-Optik dargestellt wurde, soll an dieser Stelle darauf verzichtet werden.
Unterrichtsgang
Reflexion
Zu Anfang des Unterrichtsganges wird das Problem der kürzesten Verbin-dungsstrecke zwischen zwei Ortspunkten aufgeworfen. Über eine simple Pei-lung über aufgestellte Pylone wird thematisiert, dass sich das Licht im homo-genen Medium geradlinig ausbreitet. Beim Bezug zur Anfangsoptik und dem ersten Spiegelgesetz wird festgestellt, dass dies eine Folgerung des Fermat-Prinzips ist. Aus Abbildung 4.9 wird deutlich, dass das Licht auch bei der Reflexion am Spiegel geraden Verlauf nimmt: Der Lichtweg lässt sich nach jener Herangehensweise in die Spiegelwelt verlängern und hat damit geraden Verlauf. Es wird zusammengefasst:
Der Lichtweg zwischen zwei Punkten ist derjenige mit der kürzesten geometrischen Weglänge
Es ist darüberhinaus möglich, sich bei der Reflexion am Spiegel mit den an-deren möglichen Lichtwegen auseinanderzusetzen, um festzustellen, dass sie alle länger sind. Eine Betrachtung des Hohlspiegels macht eine Umformulie-rung des Minimalprinzips notwendig, da dort der Lichtweg unter bestimmten Bedingungen maximal wird verglichen mit den Nachbarwegen. Es wird for-muliert:
Der Lichtweg zwischen zwei Punkten ist derjenige mit extremaler geometrischer Weglänge.
Hebung / Brechung
Beim zweiten Teil des Ganges wird Bezug genommen auf die bereits aus der Anfangsoptik bekannte optische Hebung (bzw. Brechung). Bei der seitlichen Darstellung der Lichtwege beispielsweise in einem Aquarium wird deutlich, dass diegeometrischeWeglänge nicht extremal ist. Dies wird auf unterschied-liche Laufzeiten in den verschiedenen Medien zurückgeführt und im Zuge dessen die optische Weglänge eingeführt. Im experimentellen Teil wird ein Instrument eingeführt, mit dem man die optische Weglänge messen kann.
Dabei handelt es sich um ein handelsübliches Laser-Entfernungsmessgerät.
Dieses Messinstrument misst die Laufzeit von Lichtpulsen und errechnet dar-aus die zurückgelegte Distanz. Dies führt dazu, dass die Messung der Länge eines Wasserbades bzw. eines Acrylstabes durch das Entfernungsmessgerät
4.2. Die Fermatoptik – Mittelstufe 83
”falsche” Ergebnisse liefert, da die Laufzeiten in diesen Medien um den Be-trag des jeweiligen Brechungsindexes n multiplizierten Wert abweichen und somit mit der optische Weglänge übereinstimmt. Dieser Unterrichtsteil wird mit der Erkenntnis geschlossen:
Der Lichtweg zwischen zwei Punkten ist derjenige mit extremaler optischer Weglänge.
Optische Abbildung
Im letzten Teil der Fermat-Optik wird die optische Abbildung behandelt. Es wird festgestellt, dass sehr viele Lichtwege durch eine abbildende optische Anordnung die gleiche optische Weglänge besitzen (Harreis und Schmitz, 1973). Dies kann mit dem erwähnten Laser-Entfernungsmessgerät und einer mit Wasser gefüllten Plexiglaslinse nachgewiesen werden.
Ein anderes abbildendes optisches Element kann über die Spiegelwelt ergründet werden. Es seien zwei Punkte A und B vorgegeben. Es wird nach einem Spiegel gesucht, der Punkt A in Punkt B abbildet. Da vorausgesetzt wird, dass alle Lichtwege gleich lang sind, müssen alle von B aus gesehenen Spiegelbilder von A auf einem Kreis um B liegen. Die für jedes Spiegelbild von A benötigten Spiegel liegen wegen des ersten Spiegelgesetzes auf der Mittelsenkrechten zwischen A und dem jeweiligen Spiegelbild (siehe dazu Abbildung 4.23).
Führt man dies für eine gewissen Menge an Punkten durch, so ergibt sich die Form einer Ellipse (Abbildung 4.24). Die gleiche Konstruktion wäre auch mit Faden und Nadel möglich (so genannte Gärtnerkonstruktion), indem man an den PunktenAund B die Enden des Fadens befestigt und mit der Spitze eines Stifts den gespannten Faden herumführt. Auch so ist gewährleistet, dass die optische Weglänge für alle Punkte identisch ist.3 Die Fermat-Optik wird mit folgender Erkenntnis geschlossen:
Bei einer optische Abbildung gibt es zwischen dem Gegenstandspunkt und dem Bildpunkt unendlich viele Lichwege mit der gleichen optischen
Weglänge.
3Guderian und Schön (2004) zeigen nach einer Idee von Feynman (beschrieben in Good-stein und GoodGood-stein, 1998), dass sich die Erkenntnisse aus dieser Herangehensweise auch bei der Behandlung der Planetenbewegungen als nützlich erweisen können. Dies übersteigt jedoch das Niveau der Mittelstufe und soll hier nur erwähnt bleiben.
A
Spiegel
Spiegel
Spiegel
B
A’’’
A’’
A’
Abbildung 4.23:Zur Begründung des Ellipsenspiegels. Es wurden drei Spie-gel gefunden, die A auf B abbilden.