Denksportaufgaben eignen sich vortrefflich für das Intelligenztraining.
[1] Ein Wägeproblem: Unter zwölf Kugeln gibt es eine Kugel, die schwerer oder leichter als die anderen ist. Diese Kugel ist durch höchstens drei Wägungen zu ermitteln und außerdem ist dabei zu bestimmen, ob sie schwerer oder leichter ist. Zur Verfügung steht eine zweiarmige Balkenwaage, mit deren Hilfe zwei Gewichte nur direkt miteinander verglichen werden können.
Lösungsweg: Zuerst erfolgt eine Nummerierung der Kugeln und Teilung in drei Vierergruppen {1,2,3,4}, {5,6,7,8}, {9,10,11,12}. Man beginnt mit der Vergleichswägung von den beiden ersten Gruppen {1,2,3,4} & {5,6,7,8}, während die Gruppe {9,10,11,12} beiseite gelegt wird.
Ein Vergleich (&) kann zu drei Ergebnissen führen: < (leichter), = (gleich) und > (schwerer).
Das Symbol +X kennzeichnet, dass die gesuchte Kugel schwerer ist. -X bedeutet jedoch, dass die gesuchte Kugel leichter ist. Die Lösung erfolgt nun durch systematische Fallunterscheidung, wobei nicht zielführende (widerspruchsvolle) Fälle ausgeschlossen werden.
Vergleich von {1,2,3,4} & {5,6,7,8}:
Fall 1: {1,2,3,4} = {5,6,7,8} X in {9,10,11,12}
Vergleich von {1,2,3} & {9,10,11}:
Fall 1a: {1,2,3} = {9,10,11} X ist {12}
Vergleich von {1} & {12} führt direkt zur Lösung ! Fall 1b: {1,2,3} < {9,10,11} +X in {9,10,11}
Vergleich von {9} & {10} führt direkt zur Lösung ! Fall 1c: {1,2,3} > {9,10,11} ist symmetrisch zu Fall 1b.
Fall 2: {1,2,3,4}< {5,6,7,8} X nicht in {9,10,11,12}
Vergleich von {1,2,5} & {3,6,9}:
Fall 2a: {1,2,5} = {3,6,9} -X in {4} oder +X in {7,8}
Vergleich von {7} & {8} führt direkt zur Lösung ! Fall 2b: {1,2,5} < {3,6,9} -X in {1,2} oder +X in {6}
Vergleich von {1} & {2} führt direkt zur Lösung ! Fall 2c: {1,2,5} > {3,6,9} ist symmetrisch zu Fall 2b.
Fall 3: (1,2,3,4) > (5,6,7,8) ist symmetrisch zu Fall 2.
[2] Die Geschichte vom Gefangenen
Diese Geschichte beschreibt die allgemeine Situation des Menschen auf sehr treffliche Weise, denn von Geburt an erscheint der Mensch als ein Gefangener, der immer danach strebt, die Grenzen seines Lebensraumes auszuweiten und mehr Freiheit zu erlangen. Stellen wir uns diesen Menschen als einen Gefangenen vor, der von zwei Wächtern in einem Raum festgehalten wird, welcher über zwei Ausgänge verfügt. Beide Türen sind geschlossen, aber nur eine ist versperrt.
Der Gefangene weiß, dass einer der beiden Wächter stets die Wahrheit sagt, der andere dagegen immer lügt. Welcher Wächter lügt und welche Türe versperrt ist, weiß er aber nicht. Die Gefängnisdirektion bestimmt nun, dass der Gefangene nur dann freigelassen wird, wenn er durch eine einzige Frage an nur einen der beiden Wächter herausfindet, welche Türe offen (unver-sperrt) ist. Die so begrenzte Situation des Menschen fordert seine Intelligenz heraus. Nach längerer Überlegung findet er die richtige Fragestellung und gewinnt seine Freiheit. Die richtige Lösung besteht darin, dass der Gefangene auf eine der beiden Türen deutet und einem der beiden Wächter folgende Frage stellt: „Wenn ich Ihren Kollegen fragen würde, ob diese Türe offen ist, was würde er sagen ?“
Der Leser möge an dieser Stelle nicht sofort weiterlesen, sondern selbstständig versuchen nach-zuweisen, dass die schlaue Fragestellung es dem Gefangenen in jedem Fall ermöglicht, die unversperrte Türe herauszufinden.
Lösung des Gefangenen-Problems:
Der Gefangene deutet auf eine der beiden Türen und stellt einem der beiden Wächter die Frage:
„Wenn ich Ihren Kollegen fragen würde, ob diese Türe offen ist, was würde er sagen ?“
Lautet die Antwort des gefragten Wächters „NEIN“, so ist die Türe offen. Lautet die Antwort hingegen „JA“, dann ist sie versperrt. Dies ist in allen Fällen die richtige Lösung, und zwar unabhängig davon, welcher Wächter gefragt wird und auf welche Türe gezeigt wird. Folgende Überlegungen sollen hierfür den Beweis erbringen. Dazu werden die Türe, auf welche der Gefangene zeigt, mit dem Symbol T und die andere Türe mit S, der vom Gefangenen gefragte Wächter mit A und sein Kollege mit B bezeichnet.
Im ersten Fall nehmen wir an, dass die Türe T in Wirklichkeit offen sei. Ist nun A der wahrheits-liebende Wächter und B der Lügner, dann wird dieser auf die Frage, ob die offene Türe T offen ist, mit „NEIN“ antworten. A hingegen gibt dieses „NEIN“ unverändert wieder, sodass seine Antwort ebenfalls „NEIN“ lautet. Ist aber A der Lügner und B der wahrheitsliebende Wächter, dann wird dieser auf die Frage, ob die offene Türe T offen ist, wahrheitsgetreu mit „JA“ ant-worten. Der Lügner A hingegen ändert das „JA“ in ein „NEIN“ um, sodass seine Antwort
„NEIN“ lautet. In jedem Fall bedeutet die Antwort „NEIN“, dass die Türe T offen ist.
Im zweiten Fall nehmen wir an, dass die Türe T in Wirklichkeit versperrt sei. Ist nun A der wahrheitsliebende Wächter und B der Lügner, dann wird dieser auf die Frage, ob die versperrte Türe T offen ist, mit „JA“ antworten. A hingegen gibt dieses „JA“ unverändert wieder, sodass seine Antwort ebenfalls „JA“ lautet. Ist aber A der Lügner und B der wahrheitsliebende Wächter, dann wird dieser auf die Frage, ob die versperrte Türe T offen ist, wahrheitsgetreu mit „NEIN“
antworten. Der Lügner A hingegen ändert das „NEIN“ in ein „JA“ um, sodass seine Antwort
„JA“ lautet. In jedem Fall bedeutet die Antwort „JA“, dass die Türe T versperrt ist.
Durch die scharfsinnige Fragestellung des Gefangenen lässt sich somit das gestellte Problem eindeutig lösen. Diese Geschichte erscheint in zweifacher Hinsicht äußerst interessant:
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Der lebensphilosophische Aspekt stellt den Menschen als Gefangenen dar, welcher kraft seiner Kreativität und Intelligenz seine Beschränkungen sprengen und zu Freiheit gelangen kann.•
Der erkenntnistheoretische Aspekt verdeutlicht, dass Problemlösungen immer auch Fragen der Kommunikation sind. Die Lösung wird aber erst dadurch ermöglicht, dass die Ebene der Objektsprache (offene und versperrte Türen) und die Ebene der Metasprache (Wahrheit und Falschheit der Aussagen) scharfsinnig miteinander verknüpft werden. Der Gefangene leitet also den objektiven Zustand der Türen aus der Information über die spezifische Beziehungsform zwischen sich und den beiden Wächtern her.Verallgemeinert man das Lösungsverhalten des Gefangenen, so erkennt man daran einerseits die Intensionalität (Objektbezogenheit) und andererseits die Reflexivität (Rückbezüglichkeit) des menschlichen Bewusstseins. Einmal mehr ist an dieser Geschichte ersichtlich, dass die Ver-zahnung von Objektbewusstsein und Selbstwahrnehmung eine wesentliche Funktionseigenschaft der Psyche darstellt. Erst dadurch, dass die Kommunikationsbeziehungen des eigenen ICHs reflektiert werden können, wird die Leistungsvielfalt des menschlichen Bewusstseins ermöglicht.
[3] Die Hängebrücke
Indiana Jones ist mit seinen drei Freunden auf der Flucht. Sie kommen zu einer Hängebrücke über eine tiefe Schlucht. Die Brücke trägt das Gewicht von maximal zwei Personen. Es ist dunkle Nacht und es ist nur eine Taschenlampe vorhanden, so dass eine Person immer zurück-gehen muss. Die vier Freunde haben genau eine Stunde Zeit zur Überquerung der Hängebrücke, denn dann werden sie von ihren Verfolgern eingeholt.
Folgende Informationen sind bekannt: Indiana Jones braucht zur Überquerung der Brücke nur 5 Minuten. Mr Green braucht 10 Minuten, Mr Red braucht 20 Minuten und Mr Blue braucht sogar 25 Minuten. In welchen Paarungen müssen die vier Personen über die Brücke gehen, damit sie es genau in einer Stunde schaffen?
Lösung:
Die vier Personen Indiana Jones (IJ), Mr Green (G), Mr Red (R) und Mr Blue (B) überqueren die Hängebrücke in drei Paarungen:
(1) IJ + G (= 10 Min.) … Hinweg IJ (= 5 Min.) … Rückweg (2) R + B (= 25 Min.) … Hinweg G (= 10 Min.) … Rückweg (3) G + IJ (= 10 Min.) … Hinweg
Als Gesamtzeit ergibt sich sodann 15 + 35 + 10 = 60 Minuten.
[4] Das unbekannte Alter (eine Textgleichung)
Adam und Eva sind Geschwister. Adam war vor fünf Jahren doppelt so alt wie Eva. In vier Jahren werden beide zusammen 27 Jahre alt sein. Wie alt sind sie heute?
Lösungstabelle:
Adam | Eva Alter vor 5 Jahren: x-5 | y-5 Alter heute : x | y Alter in 4 Jahren : x+4 | y+4
Eine wesentliche Hilfe bei der Lösung solcher Aufgaben ist die übersichtliche Anordnung der gegebenen Daten in Tabellenform und die Aufstellung passender mathematischer Gleichungen.
Gleichungen: (I) x–5 = 2*(y–5) (II) (x+4) + (y+4) = 27
Die Gleichungen werden äquivalent umgeformt und dann gelöst:
(I) x–5 = 2*(y–5) (II) (x+4) + (y+4) = 27 x–5 = 2*y–10 x + y + 8 = 27 x = 2*y–5 x + y = 19
Das x aus Gleichung I wird nun in Gleichung II eingesetzt:
2*y–5 + y = 19 3*y = 24
y = 8 und x = 2*8 - 5 = 11 Lösung: x = 11 Jahre, y = 8 Jahre.