zMHGHυcirc
A.5. Mehr über Abstände
Der Lichtweg entspricht der Zeit, welche das Licht braucht, um zum irdischen Beobachter zu gelangen. Der Lichtweg lässt sich durch Integration von cdtausrechnen. Die entsprechende Zeit heißt auch „light travel time“ oder wenn man von der Gegenwart zurück rechnet auch
„look back time“. Dazu schreiben wir das Differential der Zeit dt etwas um
a
Die Integration und Übergang zur Rotverschiebung z mit da a=−dz z ergibt
∫
Den Beitrag der Raumkrümmung können wir auch schreiben
R
M +Ω − =Ω
Ω ,0 Λ 1 (A.5.7)
Der Ausdruck oben wird dann
[
,0 2]
12⎥⎦⎤
Wir plotten die Funktion f(z) = in Einheiten der Hubble-Zeit 1/H0 . Die Ordinate gibt die Zeit an, um von dem Ereignis bei „z“ zum irdischen Beobachter zu gelangen.
Hubble-Zeit
Fig. 5.1. look-back-time als Funktion von z in Bruchteilen von tH .
Der mitbewegte Abstand (comoving distance) oder Koordinatenabstand r eines Objekts der Rotverschiebung z entspricht der konformen Zeit. Die Zeitdehnung wird durch a(t) im Nenner gerade kompensiert.
∫ ( )
′′Diesen Ausdruck formen wir um und benutzen dabei die Beziehungen (z ist Rotverschiebung) dz
Wir erhalten schließlich
∫
mit 2
Leider lässt sich die Integration von (A.5.15) nur numerisch ausführen. Berechnet man den mitbewegten Abstand für κ =0 zum Horizont (a = 1 bis a = 0) und berücksichtigt nur die Massendichte so erhält man
D Gpc
E M ergibt sich (numerisch) Gpc
rH =3,35 . (A.5.17)
Liegt ein transversaler mitbewegter Abstand l vor, so dass gilt
l=rH ⋅dθ (A.5.18)
Für κ ≠0geht man von Robertson-Walker-Metrik aus
2
Nachdem man die Wurzel gezogen hat, kann man die rechte Seite von (5.19) und die rechte von (5.18) geleichsetzen.
Man erhält dann c
∫
1 a2Hda(a) =rH( =±1)=R0⎢⎣⎡(r/R0) 61(r/R0)3⎥⎦⎤Für negative Krümmung steht anstatt „sin“ dann „sinh“. Wenn die Krümmung klein ist, kann man für r näherungsweise r =rH(κ =0) siehe oben setzen.
Als Nächstes wollen wir den Eigenabstand DP (proper distance) definieren, wobei die Raumpunkte, welche den Abstand DP definieren, gleichzeitig gemessen werden müssen, d.h.
=0
In nichteuklidischen Fällen kann χ(z)wieder durch eine Reihenentwicklung entsprechend Gl.
(5.20) ersetzt werden.
∫
Wir waren bei den Beobachtungen zum Hubble-Gesetz noch auf ein anderes Entfernungsmaß gestoßen: die scheinbare Helligkeit. Von der Abstrahlung einer Quelle mit der Leuchtkraft L im Abstand r1a(t0) messen wir die ankommende Intensität I. Die Leuchtkraft L wird in Watt gemessen. Mit der Definition des Leuchtkraft-Abstands DL, tun wir so, als ob wir die Messung in einem statischen euklidischen Raum vornehmen würden
2
Rotverschiebung ab. Außerdem kommen um 1/z+1 weniger Photonen pro Zeiteinheit beim Beobachter an. Dies zusammen ergibt (A.5.14) und durch Vergleich mit r1 =DC
C
L z D
D =(1+ ) (A.5.25)
Die übliche Diskussion des Winkelabstands DA (angular distance) wollen wir hier für ein Objekt führen, dass sich in konstantem Abstand r1 (dr = 0, dt = 0) bei der Rotverschiebung z senkrecht zur Sichtlinie befindet und die Ausdehnung ds besitzt (proper distance). Für die beobachtete Winkelausdehnung dθ gilt dann nach Gl. (A.4.8)
2
Gl. (A.5.26) beschreibt die gleich Situation wie (A.5.18) mit dem Unterschied, dass wir das transversale Streckenelement bei der Rotverschiebung z betrachten. Dann ist der
Zusammenhang mit dem Winkelelement durch DA gegeben, was man aber leicht aus DC
gewinnt.
Vergleichen wir noch mit Gl. (A.5.25) dann ergibt sich )2
1 ( z D
DL = A + (A.5.22)
Welches Entfernungsmaß ist am Ende das richtige? Jedes steht für eine bestimmte Messmethode. So ist der Lichtweg mit DC(1+z)verknüpft, die Entfernung aus Helligkeitsmessungen mit DL, Winkelabstände und Gravitationslinsen-Effekte mit DA .
A.6. Horizonte
Selbst wenn unser Kosmos unendlich ausgedehnt wäre (was nur für κ =0,−1 zuträfe), könnten wir nur den Teil beobachten, von welchem uns Lichtsignale erreichen. In diesem Sinne definiert man den Teilchenhorizont als den geometrischen Ort aller Ereignisse, von welchem Lichtsignale beim Beobachter gerade noch eintreffen können. Wenn die Lichtsignale zur Zeit t1 =0 emittiert wurden und zur Zeit t2 =t bei r= rHdetektiert werden, dann ist der Weg in mitbewegten Koordinaten
( ) ∫
Im euklidischen Kosmosκ=0ist dominiert die Materie mit ΩMa−3 die Expansion, wenn gilt
>>0
>>z
zeq (s. dazu P.Schneider: Extragalactic Astronomy and Cosmology.Springer Verl.
2006 Ch. 4.5) . In diesem Fall ist
Wir berechnen nach (A.6.1) den (Koordinaten-)Abstand des Horizonts (z.B. bei Rekombination), dem der Skalenparameter a=(z+1)−1 zugeordnet ist
Für den Horizont der Hintergrundstrahlung ergibt sich mit z=1089
Lj
Fig. A.6.1. Ausbreitung eines Signals auf dem Lichtkegel bis zum Horizont, der realistisch mit Rekombination zusammenfällt.
Um Verwechslungen vorzubeugen, definieren wir noch den Ereignishorizont. Er ist der geometrische Ort aller Ereignisse, von welchen ein Lichtsignal eine unendliche Zeit benötigt, um zum Beobachter zu gelangen
Der Teilchenhorizont ist die Fläche, die alle Punkte enthält, von welchen uns Lichtsignale gerade noch erreichen
t
r t0
rH
Fig. A.6.2. Der Ereignishorizont in der Skizze liegt außerhalb des Lichtkegels des Beobachters.
Sowohl für den Strahlungskosmos wie auch für den Materiekosmos divergiert das Integral, d.h. alle Signale erreichen noch in endlicher Zeit den Beobachter.
Wenn die Dunkle Energie, wie wir später sehen werden, den überwiegenden Anteil zur Dichte beiträgt, dann gilt
ΩΛ
was integriert ergibt
)
Der Ereignishorizont enthält alle Ereignisse, von welchen das Licht zu bis zu uns eine unendlich lange Zeit benötigt
( )
C EHIntegral divergiert für Materie- und Strahlungskosmos, d.h. alle Signale erreichen in endlicher Zeit den Beobachter. Für jedoch ist rEH endlich, d.h.
Signale von Ereignissen, welche im Endlichen liegen erreichen uns nicht mehr.
ΩΛ
r
A.7. Konforme Zeit, Friedmann-Gl für κ ≠0.
Die konforme Zeit (conformal time) wird in der Kosmologie häufig benutzt
( )
t adη = dt (A.7.1)
Wie man aus Gl. 3.24 sieht, hängt η mit dem Lichtweg bzw. der mitbewegten Koordinaten zusammen
Im Allgemeinen ist η nur bis auf eine Konstante bestimmt. Mit der Einführung von dη lässt sich die Robertson-Walker-Metrik für κ=0 besonders einfach schreiben
( ) [
2 2 2 2(
2 2 2) ]
2
2 a t c dη dr r dθ sin ϑdφ
ds = ⋅ − − + (A.7.3)
wobei wir noch c=1 gesetzt haben.
Wir werden jetzt die 2. Friedmann-Gl. (2.14) für κ ≠0mit Hilfe der konformen Zeit lösen, indem wir setzen dt =a(η)dη. Das ergibt
, differenzieren noch einmal nach ηund erhalten zunächst
[
4 2 3]
Das Ergebnis ist folgende Dgl.
3
2
Die Lösungen sind
1
Hier ist ameine Integrationskonstante; außerdem wurde für alle 3 Lösungen die Anfangsbedingung 0a(η =0)= gewählt. Wir können jetzt die Zeit berechnen aus dt =a(η)dη
2) Lösungen für ein Materie (Staub) gefülltes Universum mit p=0. Wegen
=
⋅a3
ρM konstant ist die rechte Seite von (2.51) eine Konstante. In diesem Fall sind die Lösungen
Im letzten Ausdruck ist
0 1