Lösungen zu der Übung zum Thema:

Lösungen zu der Übung zum Thema: „Arbeit mit Baumdiagrammen“

Aufg. 1:

Ziehen mit Zurücklegen: In einer Urne sind drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln „blind“ gezogen, wobei die erste Kugel in die Urne zurückgelegt wird.

a) Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm und trage die Teilwahrscheinlichkeiten auf die Pfade ein!

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ergebnisse:

b) Ich ziehe zwei schwarze Kugeln.

c) Ich ziehe zuerst eine weiße und danach eine schwarze Kugel. --- 17.03.

B – Kurs:

d) Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe.

e) Ich ziehe mindestens ein weiße Kugel. --- 17.03.

a)

b) ^{P s / s}

( )

c) ^{P w / s}

( )

d) 1. Pfadregel: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit der Einzelergebnisse:

( )

P w / s =  = = =0, 24=24% ^{und P s / w}

( )

2. Pfadregel: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

( ) ( )

P w / s und P s / w = + = = =0, 48=48%

e) Das sind folgende Ergebnisse:

1. Lösungsweg:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

3 3 9 36

5 5 25 100

6 6 9

25 25

Die Ergebnisse P w / s und P s / w haben wir bereits berechnst.

Fehlt noch das Ergebnis : P w / w 0,36 36%

2. Pfadregel : Das Ereignis "min destens eine weiße Kugel" hat also genau 3 Ergebnisse : P w / s und P s / w und P w / w

=  = = = =

= + + ^{21 84}

25 = 25=100 =84%

2. Lösungsweg:

Das Gegenereignis zu „mindestens eine weiße Kugel“ lautet: „beide Kugeln sind schwarz“

( ) ( )

P min d. eine weiße Kugel = −1 P s / s = −1 = − = = =0,84=84%

Aufg. 2:

Ziehen ohne Zurücklegen: In einer Urne sind drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln „blind“ gezogen, wobei die erste Kugel nicht mehr in die Urne zurückgelegt wird.

a) Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm und trage die Teilwahrscheinlichkeiten auf die Pfade ein!

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ergebnisse:

b) Ich ziehe zwei schwarze Kugeln. --- 17.03.

c) Ich ziehe zuerst eine weiße und danach eine schwarze Kugel.

B – Kurs:

d) Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe. --- 17.03.

e) Ich ziehe mindestens ein weiße Kugel. --- 17.03.

a)

b) ^{P s / s}

( )

c) ^{P w / s}

( )

d) 1. Pfadregel: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit der Einzelergebnisse:

( )

P w / s =  = = =0,30=30% und ^{P s / w}

( )

2. Pfadregel: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

( ) ( )

P w / s und P s / w = + = = =0, 60=60%

e) Das sind folgende Ergebnisse:

1. Lösungsweg:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

3 2 6 30

5 4 20 100

6 6 6

20 20

Die Ergebnisse P w / s und P s / w haben wir bereits berechnst.

Fehlt noch das Ergebnis : P w / w 0,30 30%

2. Pfadregel : Das Ereignis "min destens eine weiße Kugel" hat also genau 3 Ergebnisse : P w / s und P s / w und P w / w

=  = = = =

= + + ₂₀= ¹⁸₂₀=₁₀₀⁹⁰ =90%

2. Lösungsweg:

Das Gegenereignis zu „mindestens eine weiße Kugel“ lautet: „beide Kugeln sind schwarz“

( ) ( )

P min d. eine weiße Kugel = −1 P s / s = −1 = − = = =0,90=90%

Aufg. 3: --- 17.03.

In einer Lostrommel sind 100 Lose, davon 16 Gewinne. Baumdiagramm 1:

Du ziehst nacheinander 2 Lose – natürlich legst du das erste Los nicht wieder zurück! (Ziehen ohne Zurücklegen)

a) Ergänze das 1. Baumdiagramm!

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinne!

Achte darauf, dass beim zweiten Ziehen KEINE 100 Lose mehr in der Trommel sind!

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mind. einen Gewinn!

--- b) ^{P G / G}

( )

c) Das Gegenereignis zu „mind. einen Gewinn“ ist „zwei Nieten“:

( ) (

)

P(min d. einen Gewinn) = −1 P N / N = −1  = −1 = − = =0, 296=29, 6%

--- 19.03. ---

d) Du hast beobachtet, dass vor dir 20 Lose gezogen wurden, Baumdiagramm 2:

aber niemand hatte einen Gewinn. Ergänze das 2. Baumdiagramm!

e) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinne!

Achte darauf, dass beim zweiten Ziehen KEINE 80 Lose mehr in der Trommel sind!

f) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mind. einen Gewinn!

g) Warum sind die Wahrscheinlichkeiten von b) und e) bzw. c) und f) unterschiedlich?

--- e) ^{P G / G}

( )

f) Das Gegenereignis zu „mind. einen Gewinn“ ist „zwei Nieten“:

( ) (

)

P(min d. einen Gewinn) = −1 P N / N = −1  = −1 = − = =0, 362=36, 2%

g) Die Anzahl der Gewinne (also die günstigen Ergebnisse) sind konstant geblieben, während die Anzahl der Lose sich um 20 vermindert hat.

Aufg. 4:

a) Erstelle ein Baumdiagramm für den Zufallsversuch: ich ziehe nacheinander zwei Kugeln, wobei ich nach dem 1. Ziehen die Kugel wieder zurücklege!

(Du kannst das unten angefügte Baumdiagramm nutzen oder eins selber erstellen!)

Weiter zur Aufg. 4:

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ergebnisse – nutze das erstellte BAUMDIAGRAMM!

b) Ich ziehe zwei rote Kugeln.

c) Ich zuerst eine blaue und danach eine grüne Kugel. --- 19.03.

d) Ich ziehe zwei grüne Kugeln? --- 19.03.

B – Kurs:

e) Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe. --- 19.03.

f) Ich ziehe mindestens eine rote Kugel.

b) ^{P r / r}

( )

c) ^{P b / g}

( )

d) ^{P g / g}

( )

e) Das Gegenereignis zu „zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe“ ist „zwei Kugeln gleicher Farbe“.

( )

( )

P r / r =  = = =0, 25=25% P b / b =  = = =0,111 11,1%=

( )

P g / g =  = =0, 0278=2, 78%

( ) (

)

P zwei Kugel untersch. Farbe = −1 + + = − = =0, 611=61,1%

Aufg. 5: --- 23.03.

Eintrittskarten für einen VIP-Bereich werden durch das Ziehen von zwei Zetteln nacheinander verlost.

In der Urne befinden sich 2 „O“ und 5 „K“.

Ergibt sich beim Ziehen das Wort „OK“, ist man VIP.

A – und B – Kurs:

a) Beschrifte die Äste / Pfade mit den Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen mit Zurücklegen.

B – Kurs:

b) Beschrifte die Äste / Pfade mit den Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen ohne Zurücklegen.

A – und B – Kurs:

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für den VIP-Eintritt beim Ziehen mit Zurücklegen!

B – Kurs:

d) Berechne die Wahrscheinlichkeit für den VIP-Eintritt beim Ziehen ohne Zurücklegen!

A – und B – Kurs:

e) Ermittle die Wahrscheinlichkeit für ein Wort mit Doppelbuchstaben beim Ziehen mit Zurücklegen!

B – Kurs:

f) Ermittle die Wahrscheinlichkeit für ein Wort mit Doppelbuchstaben beim Ziehen ohne Zurücklegen!

B – Kurs:

g) Erkläre, was die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller vier Pfade ergibt!

--- c) ^{P O / K}

( )

d) ^{P O / K}

( )

e)

( )

( )

25 29 4

49 49 49

1. Pfadregel :

P O / O 0, 0816 8,16 % ; P K / K 0, 510 51, 0 %

2. Pfadregel :

P (Doppelbuchstaben) 0, 592 59, 2 %

=  = = = =  = = =

= + = = =

f)

( )

( )

20

2 22

49 49 49

1. Pfadregel :

P O / O 0, 0408 4, 08 % ; P K / K 0, 408 40,8 %

2. Pfadregel :

P (Doppelbuchstaben) 0, 449 44, 9 %

=  = = = =  = = =

= + = = =

g) Die Summe aller Einzelergebnisse müssen bei jedem ZE genau 1 bzw. 100 5 betragen.

Aufg. 6:

a) Erstelle zum Baumdiagramm einen

Text für einen zweistufigen Zufallsversuch!

Hinweise:

✓ Wie viel Kugeln sind es insgesamt?

✓ Wie viel davon sind blau, grün bzw. rot?

✓ Ziehen ohne oder mit Zurücklegen?

Berechne jetzt folgende Wahrscheinlichkeiten:

b) Ich ziehe erst eine rote, dann eine blaue Kugel.

c) Ich ziehe genau eine blaue Kugel d) Ich ziehe zwei grüne Kugeln.

B – Kurs:

e) Ich ziehe höchstens eine rote Kugel.

f) Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe.

--- a) In einer Urne befinden sich 6 Kugeln. Davon sind 2 Kugeln blau, eine Kugel grün und 3 Kugeln rot.

Ich ziehe zwei Kugeln, wobei ich die erste Kugel NICHT wieder ZURÜCKLEGE.

b) ^{P r / b}

( )

c) P r / b und P g / b und P b / r und P b / g

( ) ( ) ( ) ( )

d) unmögliches Ereignis --- die Wahrscheinlichkeit ist 0%

e) Gegenereignis zu „höchstens eine rote Kugel“ ziehen ist „zwei rote Kugeln ziehen.

( ) ( )

P höchstens eine rote Kugel = −1 P r / r = −  = −1 1 = = =0,80=80%

f) Gegenereignis zu „zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe“ ist „zwei Kugeln gleicher Farbe“

(aufpassen: das Ergebnis „zweimal grüne Kugel“ gibt es nicht)

( ) ( )

( ) ( )

3 2 6 1 2 1 2 1

6 5 30 5 6 5 30 15

6 2 8 11

30 30 30 15

P r / r 0, 20 20% ; P b / b 0, 067 6, 7%

P zwei Kuge ln Farbe 1 1 0, 733 73,3%

=  = = = = =  = = = =

 = − + = − = = =

Aufg. 7:

Dirk Nowitzki, „The German Wunderkind“, hat eine Freiwurfquote von 98% / 96% - das bedeutet, dass er den 1. Freiwurf mit unglaublichen 98% versenkt und den 2. Freiwurf mit 96%iger Sicherheit.

a) Ergänze im beigefügten Baumdiagramm die Teilwahrscheinlichkeiten!

Verwende für Treffer den Buckstaben T, für einen Fehlwurf den Buchstaben F.

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er beide Freiwürfe? --- 23.03.

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mindestens einen Freiwurf? --- 25.03.

B – Kurs:

d) Ein Sportreporter behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Dirk Nowitzki beide Freiwürfe nicht trifft bei 1000 Versuchen (ein Versuch = zwei Würfe) max. einmal passieren kann – stimmt das?

Schätze zuerst und begründe danach rechnerisch! --- 23.03.

e) Bei SPORT 1 ist folgender Artikel zu lesen – denkst du auch, dass der Artikelschreiber keine Wahrscheinlichkeitsrechnung kann? Oder meinst du, dass das stimmt? --- 25.03.

„Am 29. Oktober 2010 gegen Memphis verwirft der 13-malige All-Star Dirk Nowitzki nach 82 Treffern in Folge wieder einen Freiwurf.“

--- a)

b) ^{P T / T}

( )

c) Das Gegenergebnis von „mind. einen Treffer“ ist „zwei Fehlwürfe“:

( )

P(min d. einen Freiwurf )= −1 P F / F = −1  = −1 = − 1 8 10⁻ =0,9992=99,9%

d) Wir haben bei c) ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „zwei Fehlwürfe“

( )

P F / F =  = = 8 10⁻ =0, 0008=0, 08%

0,08% von 1000 Versuchen = ⁸

10.0001000 Versuche=0,8

( )

P min d. ein Treffer 1 P(F / F) 1

Das bedeutet, dass Nowitzki auf 1250 Versuchen wahrscheinlich einmal beide Freiwürfe daneben wirft.

Da gilt : 1250 1000 fo lg t daraus, dass die Behauptung wah

= − = −  = − =

 r ist.

Es ist schon der reinste Wahnsinn, mit welcher Wurfgenauigkeit und Konstanz der beste deutsche Basketballer aller Zeiten in der NBA von 1998 bis 2019 dort zum „German Wunderkind“ wurde --- übrigens bei genau einem einzigen Verein, den Dallas Mavericks auf der Position des Power Forward.

e) Diese Serie hat es tatsächlich gegeben und an dieser Stelle ist anzumerken, dass unsere Betrachtungen eben ausschließlich theoretischer Natur sind. Dazu muss der Sportreporter keine

Wahrscheinlichkeitsberechnung beherrschen.

Aufg. 8: ---- 25.03.

Die zwei Glücksräder drehen sich gleichzeitig. Trage die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse ungekürzt in das Baumdiagramm ein.

Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ergebnisse:

a) Ich drehe zweimal grün.

b) Ich drehe erst gelb und dann grün.

c) Ich drehe nicht grün.

d) Ich drehe zwei unterschiedliche Farben.

a) ^{P gr / gr}

( )

b) ^{P ge / gr}

( )

c) Ich drehe nicht grün ist gleichbedeutend mit dem Ergebnis, dass ich zweimal gelb drehe.

( )

P ge / ge =  = =0, 2666=26, 7 %

d)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

8

1 1 1 2 4

3 5 15 3 5 15

8 9 3

1

15 15 15 5

Vorbemerkung : In der Mathematik verwen det man für "und" das Symbol " "

1. Pfadregel :

P ge / gr 0,133 13, 3% und P gr / ge 0, 5333 53, 3%

2. Pfadregel :

P unterschiedliche Farbe P ge / gr P gr / ge 0, 60

=  = = = =  = = =

= = + = = = =60%

Aufg. 9: - Ein Spiel

In einem Behälter befinden sich genau drei Kugeln, zwei davon sind schwarz, eine ist weiß.

Der Spielleiter entnimmt mit einem Griff zwei der drei Kugeln.

Die Kugeln können jetzt entweder beide die gleiche Farbe haben (wir nennen dies „Ereignis A“) oder unterschiedliche Farben haben (Ereignis B).

✓ Es können beliebig viele Spieler mitspielen.

✓ Jeder Mitspieler muss vor dem Ziehen raten, welches Ereignis wohl eintreten wird.

✓ Jeder Mitspieler, der richtig geraten hat, erhält einen Punkt.

✓ Das Ziel ist, möglichst viele Punkte zu erhalten.

a) Erstelle zum gegebenen Zufallsexperiment ein Baumdiagramm!

Beschrifte die Pfade mit den Einzelwahrscheinlichkeiten!

Notiere am Ende der Pfade alle möglichen Ergebnisse! z. Bsp.: (s / s)

b) Auf welches Ereignis würdest du setzen, um möglichst viele Punkte zu erhalten?

Notiere zuerst dein „Bauchgefühl“! Versuche deine Vermutung zu begründen!

Begründe anschließend mit Hilfe des Baumdiagramms! (Eine Rechnung ist beizufügen!)

c) Welche Farbe muss eine vierte Kugel haben, die man den bereits vorhandenen Kugeln hinzufügt, so dass die Ereignisse A und B dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen?

d) Was denkst du über den Spielausgang, wenn zwei Kugeln scharz, zwei Kugeln weiß und zwei Kugeln grau sind?

--- Vorbemerkungen:

1. Ob ich mit einem Griff zwei Kugeln auf einmal entnehme oder zweimal nacheinander eine Kugel entnehme ohne die erste Kugel wieder zurückzulegen, ist das gleiche ZE.

2. Wichtig: Hier wird nicht das einzlne Ziehen der Kugeln in den Mittelpunkt gestellt, sondern die Ereignisse „gleiche Farbe“ bzw. „unterschiedliche Farbe“.

--- b) Da es zwei schwarze und eine weiße Kugeln sind, würde ich auf Ereignis B setzen.

( ) ( ) ( )

P B =P s / w P w / s = + = =0, 666=66, 7%

Dagegen gilt: ^{P A}

( )

( )

c) Ich würde eine weiße Kugel hinzufügen, sodass die Anzahl der weißen und schwarzen Kugeln und somit auch der jeweiligen Ereignisse A und B gleich sind.

d) Das Ereignis A tritt genau dreimal auf: (s/s) --- (g/g) --- (w/w)

Das Ereignis B tritt sechsmal auf: (s/w) --- (s/g) --- (w/s) --- (w/g) --- (g/s) --- (g/w)