HUMOR ist ein wichtiger Begleiter in unserem Leben – egal wie es uns geht …

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HUMOR ist ein wichtiger Begleiter in unserem Leben – egal wie es uns geht …

Zusammenfassung unserer Wiederholung der letzten Woche

Wir wissen, dass ein Zufallsexperiment vorliegt, wenn gilt:

✓ Das Experiment ist beliebig oft unter gleichen Bedingungen durchführbar.

✓ Die möglichen Ergebnisse können eindeutig angegeben werden.

✓ Es ist nicht voraussagbar, welche der möglichen Ergebnisse des Experiments eintreten.

Wir wissen, ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind. Das Besondere an diesen Versuchen ist, dass sie uns das Rechnen mit

Wahrscheinlichkeiten vereinfachen.

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Unser neues Thema „Zweistufige Zufallsexperimente“ geht der Frage nach, wie ich Wahrscheinlichkeiten berechnen kann, wenn unser Zufallsversuch zweimal (oder noch öfter) nacheinander ausgeführt wird …

Folgende Beispiele aus der Praxis können das Verstehen erleichtern …:

Aufgabe: Wähle dir aus deiner Sicht die interessantesten drei Beispiele aus und notiere diese in dein Heft!

☺ Ich ziehe nacheinander Lose aus einem Lostopf – mit welcher W-keit genau einen Gewinn?

☺ Ein Biathlet schießt erst liegend, dann stehend und kennt seine Treffersicherheit – mit welcher W-keit trifft er mindestens 9 von 10 Scheiben?

☺ Bei einer Lottoziehung werden nacheinander die Loskugeln mit den Gewinnzahlen ermittelt.

Wie wahrscheinlich ist es einen Fünfer ohne Zusatzzahl zu haben?

☺ Bei der Auslosung zur WM werden die Mannschaften aus verschiedenen Lostöpfen gezogen – mit welcher Wahrscheinlichkeit spielt Deutschland mit Portugal und Frankreich in einer Gruppe?

☺ Ich ziehe aus einer Celebration – Packung nacheinander 5 Süßigkeiten – mit welcher W-keit habe ich höchstens drei Bountys dabei?

☺ Jede Buchung in einem Robinson-Club wird erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 14 % storniert.− Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 3 unabhängig voneinander durchgeführten Buchungen höchstens eine storniert wird.

☺ Aus 8 Männern und 4 Frauen sollen für die Chefetage einer großen Autofirma 4 verschiedene Führungsjobs vergeben werden. Jede Person wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit zufällig ausgewählt.− Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Frau gewählt wird.

☺ In einer Box liegen 4 blaue und 7 rosafarbene Schnuller. Das Baby zieht nacheinander drei Schnuller heraus.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Schnuller rosa ist.

☺ Eine Frau hat zwei Kinder, deren Geschlecht (J ... Junge, M ... Mädchen) du nicht kennst. Ω ist durch {BB, BM, MB, MM} gegeben, eine Gleichverteilung wird angenommen.

Du besuchst diese Frau und siehst ein Mädchen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind auch ein Mädchen ist.

☺ Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich beim Kauf von 8 Ü – Eiern mind. eine Figur?

☺ Die Wahrscheinlichkeit für ein Sonntagskind (Geburt am Sonntag) liege bei 12 %. Niklas hat noch drei Geschwister. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle an einem Sonntag geboren wurden?

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Ihr merkt schon beim Lesen, dass die Anwendungen sehr viele Bereiche unseres Lebens betreffen und wir müssen an dieser Stelle auch gleich sagen, dass unsere mathematischen Kenntnisse noch nicht ausreichen, um alle interessanten Probleme zu berechnen - leider.

In den berühmtesten Spielcasinos der Welt (z.B. in Las Vegas) sind Nerds von Mathematikern beschäftigt, um die Wahrscheinlichkeiten von neuen Spielen zu bestimmen, die mehrheitlich der Bank den Gewinn sichern.

Also brauchen wir an dieser Stelle nicht so enttäuscht sein…, wir werden eben kleine Nerds sein!!!

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1. – 3. Std.

15. – 19.02.2021

1. Std.

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Notiere das Thema in dein Heft:

Zweistufige Zufallsexperimente

So wie bei der Wiederholung zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden wir zu Beginn die wichtigsten Begriffe in einer Tabelle zusammenfassen und (!!! Wichtig !!!) an einem Beispiel erläutern – los geht’s:

Schaue dir bitte das Video an – BEACHTE: 1. Ignoriere die PAUSE zum Lösen der Aufg. 1 auf einem AB ! 2. Stoppe das Video nach 4:20 min !!!

https://www.youtube.com/watch?v=yBaHrVZDl5M

Wenn möglich, dann klebe dir diese Tabelle unter der Überschrift in dein Heft!

Begriff Erklärung Beispiel

zweistufiges Zufallsexperiment

Zufallsversuch wird zweimal nacheinander ausgeführt.

Eine Münze wird zweimal nacheinander geworfen.

Aufgabe: Ergänze das Baumdiagramm!

Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm veranschaulicht die möglichen zweistufigen Ergebnisse.

Mithilfe des Baumdiagramms lässt sich die W- keit jedes zweistufigen Ergebnisses bestimmen.

1. Aufg.: Beschrifte das Baumdiagramm* mit den Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen!

Hinweis 1: Du kannst deine Aufzeichnungen und Lösungen der Wiederholung hier sehr gut nutzen!

Hinweis 2: Entweder du schneidest dir die Tabelle aus, klebst diese in deinHeft und beschriftest dann oder du erstellst dir deine eigene Tabelle, zeichnest das Baumdiagramm und beschriftest danach!

Baumdiagramm zur Veranschaulichung des zweistufigen Zufallsversuchs:

Eine Münze wird zweimal nacheinander geworfen.

W entspricht Wappen und Z entspricht Zahl. Angabe der möglichen Ergebnisse

1. Versuch 2.Versuch

(*) --- du siehst, dass es zwei mögliche Richtungen zum Zeichnen von Baumdiagrammen gibt:

Entweder von oben nach unten oder von links nach rechts – entscheide für dich, welche Richtung du besser findest!

Münze

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Achte auf die Signalwörter !

✓ beschreiben

✓ erklären

✓ markieren

✓ anwenden

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Wie du im Video gesehen hast, berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses,

also zum Beispiel das Werfen von zweimal Wappen: ^{P W; W}

( )

^{=  = =}¹₂ ¹₂ ¹₄ ^25%

indem du das Produkt der Wahrscheinlichkeit der beiden Versuche bildest.

2. Aufgabe: Schaue dir im Lb S. 142 die Zusammenfassung gründlich an, indem du

➢ dir vorstellst, das Zufallsexperiment jemanden (Eltern, Freund am Telefon, …) laut zu beschreiben

➢ die Begriffe Baumdiagramm, Ast und Pfad mit eigenen Worten laut erklärst

➢ in Gedanken den „günstigen Pfad“ für die Ereignisse:

☺ P Kiste 1; Fahrrad

( )

☺ P Kiste 2;Gutschein

( )

☺ P Kiste 3; Kamera

( )

farbig zu markieren

➢ die Pfadregel bei den vorgegebenen Beispielen anwendest.

3. Aufgabe: Übernimm die folgende Zusammenfassung schriftlich in dein HEFT!

Zusammenfassung:

(1) Die Baumdiagramme enthalten alle Möglichkeiten und Ergebnisse, welche im Zufallsexperiment auftreten können.

(2) Die „Äste“ des Baumdiagramms nennt man auch Pfade.

(3) Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten schreibt man an die Pfade.

(4) Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen müssen die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade multipliziert werden.

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Besonders gut kann man das Zeichnen und Verstehen von Baumdiagrammen bei dem Zufallsversuch

„Ziehen von Kugeln aus einem Gefäß / Urne“

Vereinbarung: wir legen jede gezogene Kugel nach dem ersten Versuch immer wieder zurück !!!

Bemerkung: Oft wird dieses Experiment in der Mathematik auch Urnenmodell genannt.

☺ Bevor die folgenden Aufgaben löst, schaue dir das Beispiel im Lb S. 143 Nr. 1 an!

Lösung für b) P schwarze Kugel;schwarze Kugel

( )

=  =²₅ ²₅ ₂₅⁴ =₁₀₀¹⁶ =16%

Lösung für: ich ziehe erst eine weiße und dann eine schwarze Kugel:

( )

³₅ ²₅ ₂₅⁶ ₁₀₀²⁴

P weiße Kugel;schwarze Kugel =  = = =24%

4. Aufgabe: Zeichne zu den folgenden Zufallsversuchen

✓ ein Baumdiagramm

✓ die Wahrscheinlichkeiten (gemeine Brüche) der Versuche auf die Äste ein

✓ den „günstigen Pfade“ für das Ereignis farblich ein und berechne die Wahrscheinlichkeit!

4.1 In der Urne befinden sich eine orangene, eine rote und eine türkise Kugel.

a) Ich ziehe nacheinander zwei rote Kugeln.

b) Ich ziehe erst die türkise und dann die orangene Kugel

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2. Std.

(4)

4.2 In der Urne befinden sich eine grüne, drei rote und zwei lila Kugeln.

a) Ich ziehe nacheinander zwei rote Kugeln.

b) Ich ziehe erst eine lila, danach die grüne Kugel.

4.3 In der Urne befinden sich drei rote und drei blaue Kugeln.

a) Ich ziehe nacheinander zwei blaue Kugeln.

b) Ich ziehe erst eine rote und dann eine blaue Kugel.

B – Kurs: Aufgaben c), d) und e)!

Fasse das Besondere beim folgenden Zufallsexperiment mit eigenen Worten zusammen (anders gesagt: was ist hier anders?)

!!! Es ist KEINE Berechnung verlangt !!!

Hinweis: markiere dir die jeweiligen „günstigen Pfade“ farbig!

c) Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe.

d) Übertrage diese Frage auf die Aufgabe 4.1 !

e) Beantworte diesen Sachverhalt für 4.2 unter der Voraussetzung, dass ich nacheinander dreimal eine Kugel ziehe:

Ich ziehe drei Kugeln unterschiedliche Farbe.

4.2 In der Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln.

a) Ich ziehe nacheinander zwei blaue Kugeln.

b) Ich ziehe erst eine rote und dann eine blaue Kugel.

c) Ich ziehe keine rote Kugel.

B – Kurs: c) Markiere dir alle „günstigen Pfade“ für das folgende Ereignis farbig:

!!! Es ist KEINE Berechnung verlangt !!!

Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe.

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Quellennachweis:

https://www.gut-erklaert.de/mathematik/baumdiagramm-pfadregeln.html

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Wahrscheinlichkeitsrechnung/Block6/Aufgaben.htm http://arthur.hpt.at/php/online_links/links/LP_23476.pdf

3. Std.