Lies die Zusammenfassung der Themen in der letzten Woche

Lies die Zusammenfassung der Themen in der letzten Woche gründlich durch!

Ziel: Du kannst die 3 Begriffe erkären und an einem eigenen Beispiel anwenden!

➢ Wir wissen, dass ein zweistufiges Zufallsexperiment vorliegt, wenn gilt:

Ein Zufallsexperiment kann aus mehreren zufälligen Teilvorgängen bestehen. Man spricht in diesem Fall von einem mehrstufigen Zufallsversuch. Sind es zwei Teilvorgänge, dann spricht man auch von einem zweistufigen Zufallsversuch.

➢ Wir wissen, dass ein Baumdiagramm unseren zweistufigen Zufallsversuch sehr gut veranschaulicht.

Wieso Baumdiagramm?

Stelle dir das Baumdiagramm umgedreht vor, dann sieht’s schon eher aus wie ein Baum.

✓ Der Ursprung, oft als Start bezeichnet, entspricht der Baumwurzel.

✓ Die Äste heißen im Diagramm Pfade.

✓ Ein Pfad eines Baumdiagramms entspricht einem möglichen Ergebnis des Zufallsexperiments.

➢ Wir kennen die 1. Pfadregel (Produktregel), die uns bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten hilft:

Bei einem zweistufigen Zufallsexperiment berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis der Ergebnismenge, indem du die Einzelwahrscheinlichkeiten an einem Pfad multiplizierst.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.

Wir ziehen nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ergebnisse:

a) ich ziehe zweimal eine schwarze Kugel

b) ich ziehe erst eine weiße und danach eine schwarze Kugel.

( )

( )

P s;s =  = 19,8% oder P w ;s =  = 24, 7%

………

Notiere das Thema in dein Heft:

Zweistufige Zufallsexperimente: 1. Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen

2. Anwendung beim Baumdiagramm: 2. Pfadregel (Summenregel) Wir bleiben bei unserem Beispiel – notiere dir die gesamten folgenden

Aufzeichnungen in dein Heft!

(Du kannst das Baumdiagramm ggf. auch ausschneiden.) In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.

Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

(Bemerkung: Beim Ziehen der Lottozahlen kommt schließlich auch niemand auf die Idee, die gezogenen Kugeln wieder zurück zu legen.) Was ändert sich – schaue das neue Baumdiagramm dir an!

Richtig: die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen beim 2. Teilversuch haben sich verändert!!!

☺ Es sind nur noch 8 Kugeln – der Nenner ist somit 8.

☺ In der oberen Hälfte ist eine schwarze Kugel weniger – der Zähler ist somit 3.

☺ In der unteren Hälfte ist eine weiße Kugel weniger – der Zähler ist somit 4.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ergebnisse:

a) ich ziehe zweimal eine schwarze Kugel

b) ich ziehe erst eine weiße und danach eine schwarze Kugel.

( )

( )

P s;s =  = 16, 7% oder P w ;s =  = 27,8%

2. – 3. Std.

22. – 26.02.2021

2. Std.

………

Jetzt wollen wir nach einem anderen Ergebnis fragen, welches uns zu einer neuen Pfadregel führen wird.

Notiere dir die gesamten folgenden Aufzeichnungen in dein Heft!

c) ich habe nach zweimal Ziehen ohne Zurücklegen zwei Kugel unterschiedlicher Farbe in der Hand Dafür gibt es jetzt aber zwei Möglichkeiten: ^{P s; w}

( )

Also habe ich auch zwei Lösungspfade, die es zu berechnen gilt:

( )

( )

P s; w =  = 16, 7% und P w ;s =  = 27,8%

Um jetzt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe zu erhalten, muss ich jetzt die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren!

( ) ( )

P s; w und P w ;s = + = = 44, 4%

MERKSATZ:

Wir haben die 2. Pfadregel (Summenregel) angewendet:

Bei einem zweistufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines (zusammengesetzten) Ereignisses gleich der Summen der Einzelwahrscheinlichkeiten der Lösungspfade.

Beachte: mehrere Ergebnisse werden zu einem Ereignis zusammengefasst!

☺ Zum Üben wollen wir Zufallsexperimente verwenden, die bereits kennen.

☺ Das soll uns das Anwenden der neuen Sachverhalte erleichtern.

Aufg 1.: Zeichne zu den folgenden Zufallsversuchen

✓ ein Baumdiagramm

✓ die Wahrscheinlichkeiten (gemeine Brüche) der Versuche auf die Äste ein

✓ die „günstigen Pfade“ für das Ereignis farblich ein und berechne die Wahrscheinlichkeiten!

Wende danach die 2. Pfadregel (Summenregel) an!

Aufg 1.1 In der Urne befinden sich eine grüne, drei rote und zwei lila Kugeln.

Ich ziehe zweimal nacheinander und lege die 1. Kugel nicht zurück.

a) Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe.

b) Ich ziehe zwei grüne Kugeln.

B–Kurs: c) Ich ziehe mindestens eine rote Kugel.

Aufg 1.2 In der Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln.

a) Ich ziehe zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe.

b) Ich ziehe keine zwei blauen Kugeln.

B–Kurs: c) Ich ziehe höchstens zwei rote Kugeln.

3. Std.