Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt I vom 13. Oktober 2011
(Abgabe bis Freitag, 21. Oktober, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)
Aufgabe I.1 (4 Punkte)
Sei Ω ={(x, y)∈R2 :x∈R, y >0} die obere Halbebene inR2.
Betrachtet werde die Funktion u:R×[0,∞)→R,u(x, y) = sin(x)f(y), wobei f : [0,∞)→R. Bestimmen Sie (ein nichttriviales) f derart, dass ueine L¨osung von
(∆u= 0 auf Ω, u(x,0) = 0 f¨urx∈R ist.
Aufgabe I.2 (2+2+2 Punkte)
Seien Ω = (a, b)⊂Rein Intervall undv, w, y, z∈R. Geben Sie die L¨osungen u: Ω→R der folgenden Randwertprobleme an.
a) ∆u= 0 in Ω, u(a) =v,u(b) =w b) ∆u= 0 in Ω, u(a) =v,u0(b) =z c) ∆u= 0 in Ω, u0(a) =y,u0(b) =z.
Pr¨ufen Sie die obigen Probleme auf Eindeutigkeit.
Aufgabe I.3 (1+4 Punkte) F¨ur Ω⊂Rd sei wie ¨ublich
L1loc(Ω) ={u: Ω→R ∪ {±∞} |u1K ∈L1(Ω) f¨ur jede kompakte MengeK ⊂Ω}.
Wir formulieren folgendes wichtiges Hilfsresultat:
Lemma. Seien Ω⊂Rd offen und u∈L1loc(Ω)mit der Eigenschaft Z
Ω
u(x)ϕ(x)dx≥0 f¨ur jedes ϕ∈Cc∞(Ω)mit ϕ≥0.
Dann gilt u≥0 f.¨u. in Ω.
a) Zeigen Sie, dass obiges Lemma folgende Aussage impliziert:
∀ϕ∈Cc∞(Ω) : Z
Ω
u(x)ϕ(x)dx= 0
⇒
u= 0 f.¨u. in Ω .
b) Beweisen Sie obiges Lemma.
Anleitung: Sei u zun¨achst als stetig angenommen. Als Widerspruchsannahme gehen Sie von einem Punktx0∈Ω mitu(x0)<0 aus. Wegen der Stetigkeit vonu existiert eine Umgebung Bε(x0) von x0, auf der u negativ ist. Mit einer gegl¨atteten Version der Funktionϕ(x) =1{x0}(x) (vgl. Abschnitt 2.4 des Skriptes zur VorlesungFunktio- nalanalysis auf der Vorlesungshomepage) k¨onnen Sie den gew¨unschten Widerspruch erzeugen. Schließlich beweisen Sie den allgemeinen Fallu∈L1loc(Ω).
Aufgabe I.4 (5 Punkte)
Seien Ω⊂Rd offen und beschr¨ankt mit ∂Ω∈C1 und g:∂Ω→Reine stetige Funktion.
Zeigen Sie, dassu∈C2(Ω) das Problem
(∆u= 0 auf Ω,
u=g auf ∂Ω (1)
genau dann l¨ost, wennu Minimierer des Funktionals
A(v) = Z
Ω
|∇v(x)|2 dx
auf der MengeM ={v∈C2(Ω)|v=g auf ∂Ω} ist.
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