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Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra A20: Bestimmen Sie hMi und ordhMi in folgenden Fällen: (i) G= (C,+,0)und M ={1, i}, (ii) G= (C\ {0},·,1)und M ={e2πi/m}für m∈N, (iii) G= (Q+,·,1)und M =P

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Academic year: 2021

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J. Müller WS 2017/2018 22.11.2017 5. Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra

A20: Bestimmen Sie hMi und ordhMi in folgenden Fällen:

(i) G= (C,+,0)und M ={1, i},

(ii) G= (C\ {0},·,1)und M ={e2πi/m}für m∈N, (iii) G= (Q+,·,1)und M =P.

A21: Es seien G= (S4,◦,id)und (mit (i;j)∈S4 Vertauschung voni und j) V4 :=

id,(1; 2)◦(3; 4),(1; 3)◦(2; 4),(1; 4)◦(2; 3) .

a) Überlegen Sie sich, dassV4 eine Untergruppe vonGist, und bestimmen Siehxi für alle x∈V4.

b) Ist V4 zyklisch? Gibt es ein Erzeugendensystem aus 2 Elementen?

A22: Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen von (Zp,+,[0]) fürp∈P und von Z4.

A23: Beweisen Sie:

a) Sindp∈P und a∈ {1, . . . , p−1} mit [a]p = [a]−1p inZ∗p, so ist a∈ {1, p−1}.

b) (Satz von Wilson) Für n∈N\ {1} gilt

(n−1)!≡ −1 mod n ⇔ n ∈P.

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