Zillertalam15.12.2012 BernhardPfirsch ExistenzhöhererAbleitungen

Existenz höherer Ableitungen

Bernhard Pfirsch

LMU München

Zillertal am 15.12.2012

Bernhard Pfirsch Existenz höherer Ableitungen 1/16

Definitionen:

Sei der Operator L von der Form Lu=∇ ·(A∇u),A: Ω→R^n×n, u ∈W^1,2(Ω),v ∈C₀¹(Ω)

⇒ L(u,v) :=

Z

Ω

(A∇u∇v)dx =“ − Z

Ω

∇ ·(A∇u)vdx” Man nennt u∈W^1,2(Ω)schwache Lösung von Lu=f, falls

L(u,v) =− Z

Ω

fvdx ∀v ∈C₀¹(Ω);

Ziel:

u ∈W^1,2(Ω)schwache Lösung der Operatorgleichung Lu=f

Vorauss. an A,f

=⇒ u ∈W^2,2(Ω⁰) ∀Ω⁰ ⊂⊂Ωund Lu=f f.ü..

Satz

Voraussetzungen:

• u ∈W^1,2(Ω)schwache Lösung vonLu =f in Ωmit f ∈L²(Ω), A_ij ∈C^0,1(Ω) ∀i,j ∈ {1, ...,n}

• Lstrikt elliptisch in Ω, d.h.

∃λ >0: (A(x)ξ)ξ ≥λ|ξ|²,∀x ∈Ω, ξ ∈Rⁿ Aussage

• ∀Ω⁰ ⊂⊂Ω :u∈W^2,2(Ω⁰)

• genauer: kuk_W2,2(Ω⁰) ≤C(kuk_W1,2(Ω)+kfk_L2(Ω)) mitC(n, λ,K,d⁰), wobei

K :=max(kA_ijk_C0,1(Ω)), d⁰ :=dist(Ω⁰, ∂Ω)>0;

• Lu=f f.ü..

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Der Differenzenquotient

Definition

Für u: Ω−→Rsei der Differenzenquotient von u in Richtung e_k def. durch

∆^hu(x) = ∆^h_ku(x) = u(x +he_k)−u(x)

h , h6=0;

Lemma 1

Sei u∈L^p(Ω),1<p <∞. Zudem existiere eine KonstanteK, s.d

∆^hu ∈L^p(Ω⁰) sowiek∆^huk_Lp(Ω⁰)≤K ∀h >0,Ω⁰ ⊂⊂Ω (mith<dist(Ω⁰, ∂Ω)).

Dann existiert die schwache Ableitung∂ku und erfüllt k∂_kuk_L^p_(Ω) ≤K.

Beweis von Lemma 1

Mit der schwachen Kompaktheit von beschränkten Mengen inL^p(Ω⁰) (reflexiver, separabler Banachraum) gilt:

∃{h_m}_m,h_m →0 undv ∈L^p(Ω)mitkvk_p ≤K, s.d Z

Ω

ϕ·∆^hmudx → Z

Ω

ϕ·vdx ∀ϕ∈C₀¹(Ω) Ziel:v =∂_ku

Es folgt fürh_m<dist(supp ϕ, ∂Ω):

Z

Ω

ϕ·∆^hmudx = Z

Ω

ϕ(x)·u(x+h_me_k)−u(x) hm

dx =

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= Z

Ω+hmek

ϕ(x −hme_k)

h_m ·u(x)dx− Z

Ω

ϕ(x)

h_m ·u(x)dx =

=− Z

Ω

u·∆^−hmϕdx → − Z

Ω

u·∂_kϕdx Mit der Eindeutigkeit des Grenzwertes folgt:

Z

Ω

ϕ·vdx =− Z

Ω

u·∂_kϕdx ∀ϕ∈C₀¹(Ω) also

v =∂_ku

Beweisstrategie für den Satz:

1.

k∆^h(∇u)k_L2(Ω⁰) ≤K =C(kuk_W1,2(Ω)+kfk_L2(Ω))

⇒u ∈W^2,2(Ω⁰) 2.

Lu∈L²_loc ⇒Lu =f f.ü.

Lemma 2:

Sei u∈W^1,p(Ω).

Dann gilt:

• ∆^hu ∈L^p(Ω⁰) ∀Ω⁰ ⊂⊂Ωmith<dist(Ω⁰, ∂Ω)

• k∆^huk_Lp(Ω⁰)≤ k∇uk_Lp(Ω)

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Beweis des Satzes

DaLu =f schwach, gilt R

ΩA∇u∇vdx =−R

Ωfvdx ∀v ∈C₀¹(Ω).

Sei alsov ∈C₀¹(Ω).

⇒ Z

Ω

∆^h(A∇u)(∇v)dx wie in Lemma 1

= −

Z

Ω

(A∇u)∇(∆^hv)dx = Z

Ω

f∆^hvdx Da nun (∆^h(A∇u))(x) =A(x +he_k)(∆^h(∇u))(x) + (∆^hA)(x)(∇u)(x), gilt:

Z

Ω

A(x+he_k)∇(∆^hu)∇vdx = Z

Ω

−(∆^hA)∇u∇v +f∆^hvdx

⇒ Z

Ω

A(x +he_k)∇(∆^hu)∇vdx ≤(k(∆^hA)∇uk₂+kfk₂)k∇vk₂

Mit k(∆^hA)∇uk₂ =



 Z

Ω n

X

i,j=1

|A_ij(x +he_k)−A_ij(x) h ∂ju|²





1/2

≤n·max

i,j kA_ijk_C0,1(Ω)kuk_W1,2(Ω)

⇒ Z

Ω

A(x +he_k)∇(∆^hu)∇vdx ≤(C(n,K)· kuk_W1,2+kfk₂)k∇vk₂ Sei nunη ∈C₀¹(Ω), 0≤η≤1 und setzev =η²∆^hu.

(⇒v ∈W₀¹(Ω) =C₀¹(Ω))

⇒λ Z

Ω

|η∇(∆^hu)|²dx Elliptizität

≤ Z

Ω

η²A(x+he_k)∇(∆^hu)∇(∆^hu)dx

= Z

Ω

A(x+he_k)∇(∆^hu)(∇v −2(∆^hu)η∇η)dx

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Denn:

∇v ^v=η=^2∆huη²∇(∆^hu) +2(∆^hu)η∇η Nun gilt:

1.

Z

Ω

A(x +he_k)∇(∆^hu)∇v ≤(C(n,K)kuk_W1,2(Ω)+kfk₂)k∇vk₂

≤(C(n,K)kuk_W^1,2_(Ω)+kfk₂)(kη∇(∆^hu)k₂+2k(∆^hu)∇ηk₂) 2.

Z

Ω

A(x+he_k)∇(∆^hu)(∆^hu)η∇η ≤C(n,K)kη∇(∆^hu)k₂k((∆^hu)∇ηk₂

⇒λ Z

Ω

|η∇(∆^hu)|²dx ≤(C(n,K)kuk_W1,2(Ω)+kfk₂)(kη∇(∆^hu)k₂+ 2k(∆^hu)∇ηk₂) +C(n,K)kη∇(∆^hu)k₂k(∆^hu)∇ηk₂ ≤

C(kuk_W1,2(Ω)+kfk₂+k(∆^hu)∇ηk₂)(kη∇(∆^hu)k₂+2k(∆^hu)∇ηk₂)

bzw.

λ

Cz²≤a(z+x)

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Die Young’sche Ungleichung lässt sich schreiben als 2ab≤ε²a²+b²

ε² ∀ε >0 Damit erhält man:

λ

Cz²≤a(z+x)≤ ε²a²

2 +z²+2xz+x² 2ε²

≤ ε²a²

2 + 1

2ε²(z²+x²+δ²x²+z² δ²)

= ε²a²

2 + (1+δ²

2ε² )x²+ (δ²+1 2ε²δ² )z²

Wählt man nun ε,δ so, dass (_2ε^δ22⁺¹δ²)≤ _2C^λ erhält man z² ≤C(λ)a²

bzw.

kη∆^h(∇u)k₂ ≤C₁(n,K, λ)(kuk_W1,2(Ω)+kfk_L2(Ω)+k∆^hu∇ηk₂)

≤C₁(n,K, λ)(1+sup

Ω

|∇η|)(kuk_W1,2(Ω)+kfk_L2(Ω))

mit

k∆^hu∇ηk₂ ≤sup

Ω

|∇η|k∆^huk₂ ≤sup

Ω

|∇η|kuk_W1,2(Ω)

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Wählen wir nun η als Abschneidefunktion mit

η_|Ω⁰ =1 für Ω⁰ ⊂⊂Ω,|∇η| ≤ 2 d⁰ erhalten wir

k∆^h(∇u)k_L

2(Ω⁰) ≤C₁(n,K, λ,d⁰)(kuk_W1,2(Ω)+kfk_L2(Ω)) also nach Lemma 1

∇u ∈W^1,2(Ω⁰), d.h.u∈W^2,2(Ω⁰)∀Ω⁰ ⊂⊂Ω sowie

kuk_W2,2(Ω⁰)≤C(n,K, λ,d⁰)(kuk_W1,2(Ω)+kfk_L2(Ω))

Mitu ∈W^2,2(Ω⁰)

⇒Lu=∇ ·(A∇u)∈L²_loc und da

L(u,v) =− Z

Ω

(Lu)vdx =− Z

Ω

fvdx ∀v ∈C₀¹(Ω)

⇔ Z

Ω

(Lu−f)vdx =0 ∀v ∈C₀¹(Ω)

gilt mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung (bzw. Lemma von du Bois-Reymond)

Lu =f f.ü.

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Satz

Voraussetzungen:

• u ∈W^1,2(Ω)schwache Lösung vonLu =f in Ωmit f ∈L²(Ω), A_ij ∈C^0,1(Ω) ∀i,j ∈ {1, ...,n}

• Lstrikt elliptisch in Ω, d.h.

∃λ >0: (A(x)ξ)ξ ≥λ|ξ|²,∀x ∈Ω, ξ ∈Rⁿ Aussage

• ∀Ω⁰ ⊂⊂Ω :u∈W^2,2(Ω⁰)

• genauer: kuk_W2,2(Ω⁰) ≤C(kuk_W1,2(Ω)+kfk_L2(Ω)) mitC(n, λ,K,d⁰), wobei

K :=max(kA_ijk_C0,1(Ω)), d⁰ :=dist(Ω⁰, ∂Ω)>0;

• Lu=f f.ü..