Scott-Zhang-Projektion
Maximilian Jung
LMU München
Definitionen
Sei Ω⊂Rd eine beschränkte, offene und zusammenhängende Menge mit polygonalem Rand ∂Ω.
Sei T eine Triangulierung von Ωmit maximaler Netzweite:
h:=maxT∈T{hT} wobeihT :=diam(T)
Sei VT der Raum der bzl.T stückweisen Polynome.
VT :={v ∈ C(Ω)|∀T ∈ Tv|T ∈ Prd}
Seien(ai)i=1,...,N die Stützstellen des Lagrange-Gittersr-ter Ordnung bzl.
T.
Sei (ϕi)i=1,...,N die Nodale Basis vonVT d.h. für allei,j ∈ {1, . . . ,N} gilt:
ϕi(aj) =δij
Motivation
Wir Suchen einen Projektions Operator Π :Wl,p(Ω)→VT der Form:
Π :v 7→
N
X
i=1
ωi(v)ϕi mitωi(v)∈R
Mit der Eigenschaft:
v ∈W0l,p⇒Πv|∂Ω=0 Probleme:
Funktionen inWl,p(Ω)haben keine Punktwerte.
∂Ωist eine Nullmenge d.h.λd(∂Ω) =0
Berechnung der Gewichte ωi
Für jede Stüzstelleai wählen wir einen Simplex σi:
• fallsai innerer Punkt einesd-Simplexes T ∈ T ist dann:
σi :=T
• fallsai innerer Punkt einesd −1-SimplexesT0 (Kante von T) ist dann: σi :=T0
• fallsai in einem d −2-Simplex liegt d.h. ein Eckpunkt ist, dann:
I fallsai ∈∂Ω, dann:σi :=T0 mitai ∈T0 undT0 ⊂∂Ω.
I sonst:σi :=T0 mitai ∈T0.
Wir setzten di :=dim(σi)∈ {d,d −1}
Bem: Die Wahl derσi ist nicht eindeutig.
Die zusätzliche Bedingung bei ai ∈∂Ωist elementar für das erhalten des Randverhaltens von v.
Berechnung der Gewichte ωi
Wir fixieren nun einσi und berechnen das Gewicht ωi(v).
Sei (ϕij)j=1,...,ni die nodale Basis fürPrd(σi)d.h. dieϕij mitaij ∈σi. N: Wir wählen die ij so, dassi1 =i.
Seien(ψji)j=1,...,ni die Representanten der zu(ϕij)j=1,...,ni bzl.<, >L2(σi) dualen Basis.
Die Idee ist nun ωi(v) alsL2-Skalarprodukt vonv mitψi1 zu definieren.
• Fallsdi =d ist das problemlos möglich.
• Fallsdi =d −1 existiert ein U ⊂Ωoffen mit C1 Rand und σi ⊂∂U.
Und nach dem Spursatz existiert einC mit:
kv|∂UkLp(∂U)≤Ckv|U|W1,p(U)
Damit ist fürp ≥1 der folgende Term wohldefiniert:
ωi(v) :=< ψ1i,v|σi >L2(σi)= Z
σi
ψ1iv|σidλi
Wobei λi entweder das Lebesgue Maß auf T oder das Oberflächenmaß auf
∂U ist mitσi ⊂∂U.
• Für alle p∈VT und alle i ∈ {1, . . . ,N}gilt: ωi(p) =p(ai)und damit:
Πp(aj) =
N
X
i=1
p(ai)ϕi(aj) =p(aj)
• Für alle v ∈W0l,p und alleai ∈∂Ωgilt: v|σi =0, da nach Wahl σi ⊂∂Ω. Und somit giltωi(v) =0:
Πv|∂Ω=0
N: Wir schreibena.b, wenn a≤Cbfür eine von v undT unabhängige KonstanteC gilt.
Theorem
Für v ∈Wl,p(Ω)mit l ≤r+1 gilt:
X
T∈T
kv −ΠvkpWm,p(T)
!p1
.hl−mkvkWl,p(Ω)
Zum Beispiel gilt für p =2,l =1,m=0:
kv −ΠvkL2(Ω) = X
T∈T
kv−Πvk2L2(T)
!12 . 1
hkvkW1,2(Ω)
Beweis des Theorems
N: Sei T0 der d-dimensionale Einheitssimplex.
• Für alle T ∈ T existiert eine eindeutig bestimmte affine Abbildung T0 →T:
FT :x 7→Ax+b mit det(A).hdT und kAk.hT
• Wennσi =T für einT ∈ T, dann gilt nach dem Transformationssatz:
Z
T0
(ψi1◦Fσi) (ϕij ◦Fσi)
| {z }
=ϕ0j
det(A)dλi =δ1,j
Aufgrund der Eindeutigkeit der dualen Basis folgt damit:
kψi1kL∞(σi)=det(A)−1kψ10kL∞(T0).hT−d
• Analog gilt für σi ⊂∂kT:
kψ1ikL∞(σi).h−(d−1)T
Satz (3.29 aus Dziuk)
Für v ∈Wk,p(Ω)sowie FT und A wie oben.
|v◦FT|Wk,p(T0) .kAkk|det(A)|−1p|v|Wk,p(T)
• Für alle T gilt:
kvkL1(T). |det(A)|kv ◦FTkL1(T0)
. hdT
l
X
k=0
|v ◦FT|Wk,p(T0)
. hTd
l
X
k=0
kAkk|det(A)|−1p|v|Wk,p(T)
.
l
X
k=0
hd+k−
d p
T |v|Wk,p(T)
• Für σi ⊂∂T gilt:
kvkL1(T).
l
X
k=0
hd−1+k−
d p
T |v|Wk,p(T)
• Für alle v ∈Wl,p(Ω)und T ∈ T gilt:
kΠvkWm,p(T) .
n1
X
i=1
|ωi|kϕikWm,p(T)
. h−m+
d p
T maxkϕi◦FTkWm,p(T0) n1
X
i=1
kψ1iv|σikL1(σi)
. h−m+
d p
T
n1
X
i=0
kψ1ikL∞(σi)kv|σikL1(σi)
.
n1
X
i=1 l
X
k=0
h−m+
d
p−di+di+k−dp
T |v|Wk,p(T)
.
l
X
k=0
hkT−m|v|Wk,p(T)
Lemma (von Bramble-Hilbert)
Sei U ⊂Rd beschränkt mit C1 Rand und Durchmesser ρ, dann existiert für alle v ∈Wl,p(U) ein p∈ Pl−1d (U) mit:
kv −pkWk,p(U).ρl−kkvkWl,p(U)
• damit gilt:
kv −ΠvkWm,p(T). kv−pkWm,p(T)+kΠ(p−v)kWm,p(T) . kv−pkWm,p(T)+
l
X
k=0
hk−mT kp−vkWk,p(T)
.
l
X
k=0
hkT−m+l−kkvkWk,p(UT)
• also haben wir:
kv −ΠvkWm,p(T) .hlT−mkvkWk,p(Ω)
• Es folgt:
X
T∈T
kv −ΠvkpWl,p(T).hp(l−m)kvkpWk,p(Ω)
