Zillertal,08.01.2015 MaximilianKling Spursatz

(1)

Spursatz

Maximilian Kling

LMU München

Zillertal, 08.01.2015

(2)

Sobolew-Räume (Wdh.)

Denition: Sei U ∈Roen und 1≤p ≤ ∞.

Der Sobolew-Raum W^k,p(U) ist der Raum aller lokal integrierbaren Funktionen u :U 7→R, sodass für jeden Multiindexα:= (α₁, ..., α_n) mit

|α| ≤k die schwache Ableitung D^αu in L^p(U)existiert.

Erinnerung: v=D^αu ist dieα-te schwache Ableitung von u, falls Z

U

uD^αΦdx = (−1)^|α|

Z

U

vΦdx ∀Φ∈C_c^∞(U)

(3)

Der Sobolew-0-Raum

Denition: Die Sobolew-Norm ist deniert als:

kuk_Wk,p(U) :=

( (P

|α|≤k

R

U|D^αu|^pdx)¹^p 1≤p<∞ P

|α|≤kess sup|D^αu| p=∞

Denition Der Sobolew-0-Raum W₀^k,p(U) ist der Abschluss vonC_c^∞(U) in W^k^,p(U).

u liegt also inW₀^k,p(U)gdw. ∃(u_m)m∈N⊂C_c^∞(U) sodass um →u im Sinne der Sobolew-Norm.

(4)

Der Spuroperator - Motivation

Sei im Folgenden wiederU ∈Rⁿ oen.

Denition Der Rand∂U istC^k, wenn ∀x₀ ∈∂U ∃r >0 und eineC^k Funktionγ :Rⁿ⁻¹7→R, sodass unter eventueller Änderung der Koordinatenachsen gilt:

U∩Br(x₀) ={x ∈Br(x₀)|x_n> γ(x₁, ...,xn−1)}

Sei nun∂U C¹ undu ∈W¹^,p(U).

Problem bei Berechnung von RWP: u∈W¹^,p(U)ist auf ∂U schwer zu denieren, da ∂U Lebesgue-Nullmenge und u auf Nullmengen nicht deniert. Lösung:

(5)

Spursatz

Sei U beschränkt und∂U C¹. Dann existiert ein beschränkter linearer Operator

T :W¹^,p(U)7→L^p(∂U) sodass:

• Tu=u|_∂U wennu∈W¹^,p(U)∩C( ¯U)

• kTuk_Lp(∂U)≤Ckuk_W1,p(U)

∀u ∈W¹^,p(U), wobeiC nur vonU und p abhängt.

Wir nennen Tu die Spur vonu auf∂U.

(6)

Beweis des Spursatzes (I/IV)

Sei zunächstu ∈C¹( ¯U),x⁰ ∈∂U und ∂U ach bei x⁰, in der Ebene {x_n=0} liegend.

Dann existiert ein oener BallB :=Br(x⁰) mit B⁺:=B∩ {x_n≥0} ⊂U¯ DeniereBˆ:=B^r

2(x⁰) und wähle η∈C_c^∞(B) mitη|_B ≥0 undη|_B_ˆ =1.

Zuletzt sei Γ :=∂U ∩Bˆ undx⁰ = (x₁, ...,xn−1)∈R={x_n=0}.

(7)

Beweis des Spursatzes (II/IV)

Es ergibt sich:

Z

Γ

|u|^pdx⁰ ≤ Z

{xn=0}

η|u|^pdx⁰ ^Gauÿ= − Z

B⁺

(η|u|^p)_x_ndx ^Prod.Regel=

− Z

B⁺

|u|^pη_x_n+p|u|^p−¹(sgn u)u_x_nηdx Young-Ungl.

≤ C

Z

B⁺

|u|^p+|Du|^pdx Im Fall x⁰∈∂U, aber einem nicht-achen Rand, wird der Rand in einer Umgebung von x⁰ veracht und es ergibt sich mit Veränderung der Variablen:

Z

Γ

|u|^pdS ≤C Z

U

|u|^p+|Du|^pdx wobei mit dS das jeweilige Oberächenmaÿ gemeint ist.

(8)

Beweis des Spursatzes (III/IV)

∂U ist kompakt⇒ ∃(x_i⁰)i∈{1,...,N}, N<∞ und entsprechend (Γi)i∈{1,...,N} sodass ∂U =∪^N_i=₁Γi und

kuk_Lp(Γi)≤Ckuk_W1,p(U) ∀i ∈ {1, ...,N}

Mit der Konvention:Tu =u|_∂U gilt also:

kTuk_Lp(∂U) ≤Cˆkuk_W1,p(U), Cˆ∈R (1) wobeiCˆ nur vonU und p abhängt.

(9)

Beweis des Spursatzes (IV/IV)

Bisher:u∈C¹( ¯U). Sei also u∈W¹^,p(U). Dann gibt es(u_m)m∈N⊂C^∞( ¯U) sodass u_m ^W¹

,p(U)

−→ u. Mit (1) gilt also:

kTu_m−Tu_lk_Lp(∂U)≤Cˆku_m−u_lk_W1,p(U)

Also ist (Tum)m∈N Cauchy-Folge inL^p(∂U). DeniereTu :=_m→∞lim Tum in L^p(∂U).

Istu ∈W¹^,p∩C( ¯U), liefert ein Approximationsargument auch gleichmäÿige Konvergenz von um gegenu und:

Tu=u|_∂U

(10)

Nullspurfunktionen in W

¹^,p

(U )

Im Folgenden werden Funktionen mit Nullspur betrachtet.

Satz Sei U beschränkt,∂U C¹ undu ∈W¹^,p(U). Dann:

u ∈W₀¹^,p(U)⇐⇒Tu=0 auf ∂U

Beweis ⇒ Seiu ∈W₀¹^,p(U)⇒ ∃(u_m)m∈N⊂C_c^∞(U) :u_m ^W¹

,p(U)

−→ u. DaTu =0 auf∂U ∀m∈Nund T :W¹^,p(U)→L^p(∂U) lin. beschr.

Operator, folgt Tu=0 auf∂U.

(11)

Beweis des Nullspursatzes (I/V)

⇐ Sei Tu=0 auf∂U. Mit Zerlegung der Eins und erneutem Verachen von ∂U, kann auch angenommen werden:

u ∈W¹^,p(Rⁿ+) ∧ u hat kompakten Träger ∧ Tu=0 auf ∂Rⁿ+=Rⁿ⁻¹ Dann ∃(u_m)m⊂N∈C¹( ¯Rⁿ+) : u_m ^W

1,p(Rⁿ+)

−→ u und es gilt:

Tu_m =u_m|

Rⁿ⁻¹ →0 inL^p(Rⁿ⁻¹) Ist nun x⁰ ∈Rⁿ⁻¹, xn≥0, so gilt:

|u_m(x⁰,xn)| ≤ |u_m(x⁰,0)|+ Z xn

0

|u_m,x_n(x⁰,t)|dt

(12)

Beweis des Nullspursatzes(II/V)

Also:

Z

Rⁿ⁻¹

|u_m(x⁰,xn)|^pdx⁰ ≤C( Z

Rⁿ⁻¹

|u_m(x⁰,0)|^pdx⁰+ x_n^p−¹

Z xn

0

Z

Rⁿ⁻¹

|Du_m|^pdx⁰dt)

m→ ∞ liefert:

Z

Rⁿ⁻¹

|u(x⁰,xn)|^pdx⁰≤Cx_n^p−¹ Z xn

0

Z

Rⁿ⁻¹

|Du|^pdx⁰dt für fast jedesxn≥0 (2)

(13)

Beweis des Nullspursatzes(III/V)

Sei nunη ∈C^∞(R+)mitη ≡1 auf[0,1],η≡0 auf R\[0,2]und 0≤η≤1 und:

ηm :=η(mxn), (x ∈Rⁿ+) wm :=u(x)(1−ηm) Dann:

w_m,x_n =u_x_n(1−η_m)−muη⁰ D_x⁰w_m =D_x⁰u(1−η_m) Es ergibt sich:

Z

Rⁿ+

|Dw_m−Du|^pdx ≤C Z

Rⁿ+

|η_m|^p|Du|^pdx+Cm^p Z ²

m

0

Z

Rⁿ⁻¹

|u|^pdx⁰dt

(14)

Beweis des Nullspursatzes (IV/V)

Nun gilt:C R

Rⁿ+

|η_m|^p|Du|^pdx −→0 und mit (2) lässt sich folgern:

Cm^p Z ²

m

0

Z

Rⁿ⁻¹

|u|^pdx⁰dt ≤Cm^p( Z ²

m

0 t^p−¹dt)(

Z ²

m

0

Z

Rⁿ⁻¹

|Du|^pdx⁰dxn)

≤C Z ²

m

0

Z

Rⁿ⁻¹

|Du|^pdx⁰dxn−→0 wenn m→ ∞ Insgesamt also: Dwm→Du inL^p(Rⁿ₊)

(15)

Beweis des Nullspursatzes

Da oensichtlich auch wm=u(1−ηm)→u(1−0) =u inL^p(Rⁿ₊) können wir folgern, dass:

wm−→u in W¹^,p(Rⁿ₊) nach Def. der Sobolew-Norm.

Aber wm =0, sobald 0<xn< _m¹. Deswegen können wir diewm so modizieren, dass ∃(u_m)m∈N⊂C_c^∞(Rⁿ+), sodass u_m →u in W¹^,p(Rⁿ+).

Es ergibt sich u ∈W₀¹^,p(Rⁿ₊)