Dominik Wulf Analysis f¨ ur

Prof. Dr. Werner Seiler

Dominik Wulf Analysis f¨ ur

Ubungsblatt 5 ¨ Elektrotechniker/Informatiker 22.05.2017

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure Aufgabe 1

Welche der folgenden Reihen konvergieren? Berechnen Sie f¨ ur diese jeweils den Grenzwert.

(i)

∞

X

k=1

1

k(k + 2) (i i)

∞

X

k=0

2k ² − 1

k ² + k + 1 (i i i )

∞

X

k =2

3 ^{k −1} 5 ^k Hinweis zu (i): _k(k+2) ¹ = ¹ ₂ · ¹ _k − _k+2 ¹

Aufgabe 2

Finden Sie alle x ∈ R , die jeweils die folgenden Gleichungen erf¨ ullen.

(i ) e ^2x + 4e ^x − 5 = 0 (i i) e ^x

^−x+2 − 1 = 0 (i i i ) ln(x ² ) = (ln(x )) ² Aufgabe 3

(a) Welche der folgenden Funktionen ist stetig?

(i ) f (x ) =

( _x+|x|

2x f¨ ur x 6= 0

0 f¨ ur x = 0 (i i ) f (x ) =

( −x ² + 2x f¨ ur x < 1 2 − x f¨ ur x ≥ 1

(b) Welche der folgenden Funktionen l¨ asst sich zu einer stetigen Funktion g : R → R mit g (x ) = f (x ) f¨ ur x ∈ D fortsetzen? Falls ja, ist diese Fortsetzung eindeutig?

(i ) f (x ) =

( 0 f¨ ur x < 0

x

+x

x f¨ ur x > 0 , D = R \{0} (i i) f (x ) =

( −x + 1 f¨ ur − 1 < x < 0

x

−1

x−1 f¨ ur x > 0, x 6= 1 , D = R ^>−1 \{0, 1}

Aufgabe 4 (10 Punkte)

(a) Zeigen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert der Reihe

∞

X

k=1

1

k ² + k + 7 ^k 2 ^3k+2

. (b) Zeigen Sie, dass f¨ ur a > 0 die Funktion f : R → R , x 7→ a ^x stetig ist.

(c) L¨ asst sich die folgende Funktion f : D = R \{−1, 0} → R zu einer stetigen Funktion g : R → R mit g(x ) = f (x ) f¨ ur x ∈ D fortsetzen? Falls ja, ist diese Fortsetzung eindeutig?

f (x ) =



 

 

x

+3x

+2x

x

+x f¨ ur x < 0, x 6= −1

x

−3x

+3x

x f¨ ur x > 0

Abgabetermin: Dienstag, 30.05.2017 um 10:00 Uhr in den Abgabef¨ achern vor dem Raum 2303, WA.

WICHTIG: Aufgabe 4 muss sorgf¨ altig bearbeitet und abgegeben werden. Versehen Sie Ihre Bl¨ atter vor dem

Abgeben mit Namen, Matrikelnummer und ¨ Ubungsgruppe und tackern Sie diese zusammen mit dem folgenden

Deckblatt. Weitere Informationen auf http://www.mathematik.uni-kassel.de/mathfb16/index.html.

Prof. Dr. Werner Seiler

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Ubungsblatt 5 ¨ Elektrotechniker/Informatiker 22.05.2017

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure

Hausaufgabe 05

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