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Dr. Anen Lakhal Lineare Algebra f¨ ur

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. Andreas Bley

Dr. Anen Lakhal Lineare Algebra f¨ ur

Ubungsblatt 11 ¨ Elektrotechniker/Informatiker 23.01.2017

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure

Aufgabe 1 Sei B = (b

1

=

1 5

, b

2

=

i 5

) .

(a) Zeigen Sie, dass B eine Basis des C

2

ist.

(b) Wie lauten die Basiswechselmatrizen von der Basis B zur kanonischen Basis E = (e

1

, e

2

) des C

2

und umgekehrt?

(c) Geben Sie die Koordinaten der Vektoren υ = 2

i

und ω = 2

−3i

in der Basis B an.

(d) Wie lauten die ¨ Ubergangsmatrizen von der Basis C = (υ, ω) zur Basis B und umgekehrt?

Aufgabe 2

Die lineare Abbildung L : R

3

→ R

3

wird gegeben durch

L(e

1

) = 2e

1

+ e

2

+ e

3

, L(e

2

) = e

1

+ e

2

, L(e

3

) = e

1

+ e

3

.

Dabei ist E = (e

1

=

 1 0 0

 , e

2

=

 0 1 0

 , e

3

=

 0 0 1

) die kanonische Basis des R

3

.

(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M

E

(L) von L bez¨ uglich der kanonischen Basis des R

3

. (b) Sei B = (b

1

=

 3 0 0

 , b

2

=

 0 1 0

 , b

3

=

 1 0 1

) eine Basis des R

3

. Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen von der Basis B zur Basis E und umgekehrt.

(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M

B

(L) von L bez¨ uglich der Basis B.

Aufgabe 3

Bez¨ uglich der Basen

B = (b

1

= 1

0

, b

2

= 1

−1

), C = (c

1

=

 1 0 0

 , c

2

=

 0 i 1

 , c

3

=

 0 0 1

)

werde eine Abbildung L : C

2

→ C

3

durch folgende Matrix beschrieben

 1 i 2 0 0 i

 .

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von L bez¨ uglich der Basen B ˆ = (ˆ b

1

=

1 0

, ˆ b

2

= 0

i

), C ˆ = (ˆ c

1

=

 1 0 0

 , c ˆ

2

=

 0 1 i

 , c ˆ

3

=

 1 0 1

).

(Bitte wenden!)

(2)

Aufgabe 4 (10 Punkte)

Die lineare Abbildung L : R

3

→ R

3

wird gegeben durch

L(e

1

) = e

3

, L(e

2

) = −e

1

+ e

2

+ e

3

, L(e

3

) = e

3

.

Dabei ist E = (e

1

=

 1 0 0

 , e

2

=

 0 1 0

 , e

3

=

 0 0 1

) die kanonische Basis des R

3

.

(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M

E

(L) von L bez¨ uglich der kanonischen Basis des R

3

.

(b) Sei B = (b

1

=

 1 0

−1

 , b

2

=

 1

−1 0

 , b

3

=

−1 1 1

) eine Basis des R

3

. Bestimmen Sie die Basiswechsel- matrizen von der Basis B zur Basis E und umgekehrt.

(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M

B

(L) von L bez¨ uglich der Basis B.

(d) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes sowie eine Basis des Kerns von L.

Abgabetermin: Dienstag, 31.01.2017 um 10:00 Uhr in den Abgabef¨ achern vor dem Raum 2303, WA.

WICHTIG: Aufgabe 4 muss sorgf¨ altig bearbeitet und abgegeben werden. Versehen Sie Ihre Bl¨ atter vor dem Abgeben mit Namen, Matrikelnummer und ¨ Ubungsgruppe und tackern Sie diese – Verwenden Sie bitte bei der Abgabe das folgende Deckblatt. Weitere Informationen auf http://www.mathematik.uni-kassel.de/

mathfb16/index.html

(3)

Prof. Dr. Andreas Bley

Dr. Anen Lakhal Lineare Algebra f¨ ur

WS 2016/2017 Elektrotechniker/Informatiker 31.01.2017

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure

Hausaufgabe 11

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Vorname:

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