Physik IV

E. Scheer / M. Fuchs

Sommersemester 2004

Inhaltsverzeichnis

4 Hydrodynamik 7

4.0 Erinnerung Thermodynamik . . . . 7

4.1 Elementarbeispiel: Ohmsches Gesetz . . . . 9

4.2 W¨ armeleitung in Festk¨ orpern . . . . 12

4.2.1 W¨ armeleitf¨ ahigkeit . . . . 12

4.2.2 Diskussion der Diffusionsgleichung . . . . 14

4.3 Teilchendiffusion und Brownsche Bewegung . . . . 16

4.3.1 Ficksches Gesetz . . . . 16

4.4 Barometrische H¨ ohenformel und hydrostatischer Druck . . . . 17

4.5 Stokessche Reibung oder viskose Reibung . . . . 20

4.5.1 Die Viskosit¨ at . . . . 20

4.6 Konvektion . . . . 24

4.6.1 Massenerhaltung . . . . 24

4.6.2 Impulskonvektion . . . . 25

4.7 Die Navier Stokes Gleichungen . . . . 25

4.8 Ideale Fl¨ ussigkeiten und Bernoulli Gleichung . . . . 26

4.9 Anwendungen . . . . 27

4.9.1 Einfache station¨ are laminare Str¨ omungen . . . . 27

4.9.2 Die Reynoldszahl . . . . 30

4.9.3 Widerstandsbeiwert einer Kugel . . . . 30

4.10 Lineares elastisches Verhalten isotroper Festk¨ orper . . . . 32

4.10.1 Verzerrungstensor und Spannungstensor . . . . 32

4.10.2 Das Hookesche Gesetz . . . . 38

4.10.3 Elastostatik . . . . 39

4.10.4 Schallwellen . . . . 41

5 Atom– und Quantenphysik 43 5.0 Einf¨ uhrung . . . . 43

5.1 Das Atom, seine Bausteine und ihre Wechselwirkungen . . . . 44

5.1.1 Das Atom . . . . 44

5.1.2 Das Elektron . . . . 49

5.1.3 Massenspektrometrie . . . . 51

5.1.4 Isotopie . . . . 58

5.1.5 Streuexperimente . . . . 58

3

5.1.6 Schwarzk¨ orperstrahlung und Plancksches Strahlungsgesetz . . . . . 68

5.1.7 Das Photon, der Photoeffekt . . . . 75

5.1.8 Der Compton–Effekt . . . . 79

5.1.9 Elektronenbeugung . . . . 84

5.2 Welle-Teilchen–Dualisus . . . . 88

5.2.1 Interferenzexperimente mit Teilchen und Wellen . . . . 88

5.2.2 Wellenpakete und Heisenbergsche Unsch¨ arferelation . . . . 88

5.3 Die Schr¨ odinger (Wellen–)Gleichung . . . . 94

5.3.1 Wellenfunktion und ihre Wahrscheinlichkeitsinterpretation . . . . . 94

5.3.2 Schr¨ odinger–Gleichung f¨ ur freies Teilchen, ebene Wellen und Wel- lenpakete . . . . 95

5.3.3 Impulsverteilung, Impulsoperatur und Impulserwartungswert . . . . 98

5.3.4 Observablen, Skalarprodukte und Operatoren . . . 103

5.3.5 Korrespondenzprinzip und Schr¨ odingergleichung II . . . 107

5.4 Eindimensionale Probleme . . . 122

5.4.1 Gebundene Zust¨ ande im unendlich hohen Potentialtopf . . . 123

5.4.2 Potentialstufe . . . 125

5.4.3 Tuneleffekt am Potentialwall . . . 128

5.4.4 Der harmonische Oszillator . . . 141

5.4.5 Zusammenfassung der eindimensionalen Schr¨ odingergleichung . . . 149

5.5 Mathematisches Ger¨ ust der Quantenmechanik . . . 150

5.5.1 Hilbertraum der Quantenzust¨ ande . . . 150

5.5.2 Operatoren . . . 157

5.5.3 Uneigentliche Elemente des Hilbertraum . . . 160

5.5.4 Spektralzerlegung und Observablen . . . 161

5.5.5 Darstellung der Schr¨ odinger–Gleichung . . . 162

5.5.6 Quantenmechanische Zeitentwicklung und Bilder . . . 165

5.5.7 Quantenmechanische Messprozesse und Wahrscheinlichkeitsinterpre- tation . . . 167

5.6 Drehimpuls und Bewegung im Zentralfeld . . . 171

5.6.1 Symmetrien und ihre Erzeugenden . . . 171

5.6.2 Eigenwerte von J ~ . . . 174

5.7 Das Wasserstoffatom . . . 180

5.7.1 Grundlegende Experimente . . . 180

5.7.2 Quantenmechanik des H–Atoms . . . 185

5.8 Magnetische Momente . . . 192

5.8.1 Magnetisches Moment eines Kreisstroms . . . 193

5.8.2 Bahnmoment im ¨ außeren Magnetfeld . . . 194

5.8.3 Abstrahlung . . . 195

5.8.4 Atome im Magnetfeld (ohne Spin), Zeeman–Effekt . . . 198

5.9 Der Elektronenspin . . . 200

5.9.1 Das Stern–Gerlach–Experiment (1922) . . . 200

5.9.2 Eigenschaften des Spins . . . 201

5.9.3 Messung des gyromagnetischen Verh¨ altnisses . . . 204

5.9.4 Einfluss des Spins auf Energieniveaus des H–Atoms . . . 206

5.10 Weitere Effekte auf Energieniveaus des H–Atoms . . . 214

5.10.1 Lambschift, Quantenelektrodendynamik . . . 214

5.10.2 Die Hyperfeinstruktur . . . 214

5.10.3 Weitere Kerneigenschaften . . . 215

5.11 Station¨ are St¨ orungstheorie . . . 216

5.11.1 Motivation . . . 216

5.11.2 St¨ orungstheorie f¨ ur nicht–entartete Niveaus . . . 216

5.11.3 St¨ orungstheorie f¨ ur entartete Niveaus . . . 218

5.11.4 Beispiel . . . 219

5.12 Mehrelektronensysteme und Periodensystem . . . 220

5.12.1 Identische Teilchen, Pauliprinzip . . . 220

5.12.2 Das Heliumatom . . . 225

5.12.3 Alkaliatome . . . 229

5.12.4 Das Schalenmodell . . . 231

5.12.5 Periodensystem der Elemente . . . 233

Kapitel 4

Hydrodynamik

... und Mechanik deformierbarer Medien.

4.0 Erinnerung Thermodynamik

• E, S, V, n, Q, . . .

Die Energie E eines thermodynamischen Systems h¨ angt ab von (weni- gen) makroskopischen Mengengr¨ oßen: V (Volumen), n _i (Teilchenzahl der Species i), Q (Ladung), S (Entropie),. . .

• Gleichgewichtszust¨ ande und Dissipation werden im 2. Hauptsatz charakterisiert:

” Es gibt eine extensive Funktion, die Entropie S = S(E, V, n _i , Q, . . .), die monoton mit E w¨ achst und bei einem adiabatischen Prozess von Zustand A nach Zustand B die Gleichung S _B − S _A ≥ 0 erf¨ ullt.“

Bei irreversiblen, dissipativen Prozessen gilt S _B − S _A > 0; diese Prozesse sind nicht umkehrbar.

• (Siehe §3.2.4)

Zwei Subsysteme, die eine Mengengr¨ oße austauschen k¨ onnen, tun dies solange, bis die zugeh¨ orige intensive Variable (ξ) (konjugierte Variable) in beiden Subsy- stemen gleich ist.

7

Beispiel 4.0.1 (Elektrischer Stromkreis).

Zwei Kondensatoren, deren Energien durch E ₁ = E ₁ (Q ₁ ), E ₂ = E 2 (Q 2 ) gegeben sind, werden durch einen Draht mit dem Wider- stand R verbunden, so dass eine Ladung Q fließt, solange bis das Potential die Gleichung U ₁ = U ₂ erf¨ ullt.

Das bedeutet formal: Die Gibbsche Fundamentalform (GFF) f¨ ur den Kondensator lautet

dE = T dS + U dQ und der zeitlichen Energieenthaltung entspricht

dE

dt = P = U · I = U · dQ dt

(P Leistung, I elektrischer Strom, ^dQ _dt Anderung der extensiven Variablen ¨ Q) Die verbundenen Kondensatoren tauschen (nur) Ladung aus. Daher gilt

δQ = δQ ₁ + δQ ₂ = 0 und

δS = δS ₁ + δS ₂ = ∂S ₁ (E ₁ , Q ₁ )

∂Q ₁ δQ ₁ + ∂S ₂ (E ₂ , Q ₂ )

∂Q ₂ (−δQ ₁ ) + O(δQ ² ₁ ) mit der GFF:

∂S _i (E _i , Q _i )

∂Q _i = − U _i T _i (bei T ₁ = T ₂ = T im Gleichgewichtszustand nach §3.2.4)

δS = − 1

T (U ₁ − U ₂ )δQ ₁ + O(δQ ² )

Laut dem zweiten Hauptsatz muss die Entropie im Gleichgewichtszustand maximal sein, also muss δS < 0 sein, und da δQ 1 ≶ 0 ist, muss im Gleichgewicht gelten: U 1 = U 2 . Bemerkung 4.0.2.

Aus dem zweiten Hauptsatz folgen auch Aussagen ¨ uber Terme mit δQ ² .

• Ausblick: Hydrodynamik:

Die ” Hydrodynamik“ (im allgemeinen Sinne) beschreibt die zeitabh¨ angigen (dissipa- tiven) Ausgleichsprozesse der thermodynamischen Variablen. (Wenn z.B. U ₁ 6= U ₂ ).

Wie die Thermodynamik arbeitet auch die Hydrodynamik mit wenigen makroskopi-

schen Variablen (E, S, n, Q), T, p(Druck), µ(chemisches Potential), die aber r¨ aumlich

und zeitlich nicht konstant sind, sondern durch reversible und irreversible Prozesse

variieren.

4.1 Elementarbeispiel: Ohmsches Gesetz

Fortsetzung des Beispiels:

Beispiel 4.1.1.

Fragen: Wie fließt Strom?

Wie sind U , I und Q verkn¨ upft?

(Bekannt: Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt: U = const. und I = ^dQ _dt = 0) Vereinfachte Situation: Betrachte ein Leiterst¨ uck

mit unterschiedlicher Spannung an beiden Enden.

Strom:

I = dQ dt = 1

R ∆U mit ∆U = U ₂ − U ₁ > 0, R Widerstand.

Diese Gleichung ist ein empirischer Befund f¨ ur viele Leiter und kann als Taylorentwicklung um I = 0 f¨ ur ∆U = 0 verstanden werden.

• Der Zusammenhang zur Thermodynamik wird durch die Entropieproduktionsrate hergestellt (Annahme: Experiment bei T = const.)

Mit δQ ₁ = I dt (Erh¨ ohung der Ladung Q ₁ durch Strom I von U ₂ nach U ₁ ) und δS = dS

dt dt aus

δS = − 1

T (U 1 − U 2 )δQ 1 + O(δQ ² ₁ ) folgt:

T dS

dt = −U ₁ I + U ₂ I = ∆U · I (Joulsches Gesetz)

Die bei der Bewegung der Ladungen freiwerdende Energie (∼ Q·∆U ) wird dissipiert (geht also in Entropie

” W¨ arme“ ¨ uber); dies passiert im Widerstand (also R = 0 ⇔ keine Dissipation). Mit dem Ohmschen Gesetz:

T dS

dt = (∆U ) ²

R = R · I ² ; (→ 0 f¨ ur R → 0)

Aus dem zweiten Huptsatz folgt also R ≥ 0 f¨ ur alle ohmschen Leiter, da die Entro- pie sich bei irreversiblen

” Relaxationen“ ins Gleichgewicht erh¨ ohen muss.

Bemerkung 4.1.2.

• Das Ohmsche Gesetz ist nur ein einfachster (linearer) Ansatz f¨ ur den schwierigen Leitertransport inMaterialien.

• Die Hydrodynamik verallgemeinert dieses Beispiel, indem nicht makroskopische Ob- jekte betrachtet werden, sondern jedes Material in Untervolumina zerlegt wird.

Diese Subsysteme sind jedes einzeln be- trachtet im Gleichgewicht. Ihre Positionen sind mit Ortsvektoren bezeichnet; die ther- modynamischen Variablen sind innerhalb eines Subvolumens konstant. Die Hydro- dynamik beschreibt die zeitliche und r¨ aum- liche Variation zwischen den Subvolumina.

Ladungsdichte ρ = _V ^Q

∗

= Ladung pro Volumen ρ(~ r, t) 6= const.

Stromdichte ~j = Strom pro Fl¨ ˆ ache.

Der Widerstand R variiert f¨ ur homogene Leiter gem¨ aß

R = L Aσ

mit der Geometrie des Leiters (L L¨ ange, A Querschnittsfl¨ ache, σ Leitf¨ ahigkeit)

Die Spannung f¨ allt linear ab, so dass die Feldst¨ arke E(x) konstant ist entlang des Drahts. E(x) = E = ^∆U _L .

Der Strom I ergibt sich aus der Stromdichte I = j · A und damit folgt:

j · A = I = ∆U

R = Aσ L · ∆U

⇒ ~j = σ · E ~

Die Materialgleichung eines ohmschen Leiters (vektoriell verallgemeinert)

Dieser Zusammenhang ist ebenfalls nur empirisch beg¨ undet.

Die Rate der Entropieproduktion pro Volumen s = S

V (Entropiedichte) ergibt sich damit analog

T dS dt = T

Z

V

d ³ r ds st =

Z

V

d ³ r ~j · E ~ (mit dem Jouleschen Gesetz)

ohm = Z

V

d ³ rσE ^{2 2. HS} = ⇒ σ ≥ 0 Damit ist die Dissipation im Beispiel diskutiert.

Wir brauchen noch weitere Gleichungen mit ~j, E. ~

Mit den Maxwell–Gleichungen und dem Ohmschen Gesetz ist eine hydrodynamische Be- schreibung des Ladungstransports m¨ oglich.

Da:

Maxwell–Gleichungen:

∇ · E ~ ^(C) = ρ ε ₀

∇ × B ~ ^(M = ⁾ µ 0 · ~j + 1 c ²

~ ˙ E Damit

∇(M ) 0 = µ ₀ ∇ · ~j + 1

c ² ∇ · E ~ ˙ ^(C) = µ ₀ ∇ · ~j + 1 c ² ε ₀ ρ ˙

⇒ ρ ˙ + ∇ · ~j = 0 (4.1)

(differentielle) Ladungserhaltungsgleichung.

(4.1) zeigt die Ladungserhaltung, da das Integral ¨ uber ein konstan- tes Volumen V ergibt (∂V die Oberfl¨ ache von V ):

d dt

Z

V

d ³ r ρ(~ r, t) = Z

V

d ³ r ∂

∂t ρ(~ r, t) (ohne Konvektion)

(4.1)

= − Z

V

d ³ r ~ ∇ · ~j ^Gauss = − I

∂V

d~ o · ~j

Diese Gleichung beschreibt die zeitliche ¨ Anderung der Gesamtladung in V ; sie ist gegeben

durch den Ladungsfluss durch die Oberfl¨ ache des Volumens V . In diesem Sinn ist die

Ladung eine Erhaltungsgr¨ oße.

Ohm und (C):

ρ = ε ₀ ∇ · E ~

ohm ⇒ σρ = ε ₀ ∇ ~j (4.1) addieren ergibt:

ε ₀ ρ ˙ + σρ = 0 (4.2)

Also: Ladungserhaltung und ohmsche Gleichung (

” konstituierende Gleichung“) zusammen mit Coulombgesetz ergeben ein geschlossenes Gleichungssystem.

” Das ist eine erste Hydrodynamik.“

Die Gleichung (4.2) beschreibt die Relaxation der freien Ladungen im Ohmschen Leiter mit exponentiellem Zerfall, weil

ρ(t) ∼ exp

− σ ε ₀ t

t→∞

−→ 0 Damit also

E(t → ∞) → 0 und j (t → ∞) → 0 das System ins Thermodynamische Gleichgewicht kommt.

” Lange Zeit“ bedeutet hier t ^ε _σ

≈ 10 ⁻¹⁹ s f¨ ur ein typisches Metall.

4.2 W¨ armeleitung in Festk¨ orpern

4.2.1 W¨ armeleitf¨ ahigkeit

In einem Festk¨ orper ist im thermodynamischen Gleichgewicht die Temperatur konstant.

Wenn eine Stange bei x = 0 auf T ₂ erhitzt und bei x = L auf T 1 (T 1 < T 2 ) abgek¨ uhlt wird, tritt ein Energiestrom auf, der (zusammen mit Entropie) vom heißen zum k¨ alteren Bereich fließt, um den Temperaturunterschied auszuglei- chen.

Durch d¨ unne Scheibe zwischen x und x+dx fließt Energiestrom proportional zum Temperaturunterschied.

j _E = −λ ∂T

∂x = lim

dx→0

T (x + dx) − T (x)

dx (−λ)

(λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit) In Vektorschreibweise:

~j _E (~ r, t) = −λ∇T (~ r, t) (4.3) (Fouriersches Gesetz)

(Oft steht statt ~j _E ~j _Q :

” W¨ armestrom“ δQ = T dS.)

Der lineare Ansatz ist ein empirischer Befund und entspricht dem Ohmschen Gesetz.

Taylor–Entwicklung um thermodynamisches Gleichgewicht (T = const. und ~j _E = 0) Ne- gatives Vorzeichen weil Energie vom w¨ armeren Bereich zum k¨ alteren fließt.

Das Fouriersche Gesetz beschreibt die dissipative Kopplung (d.h. Strom einer Mengen- gr¨ oße verkn¨ upft mit Gradient der zugeh¨ origen intensiven Gr¨ oße) und muss mit den

” rever- siblen“ Kopplungen der thermodynamischen Variablen (genauer: Dichten) vervollst¨ andigt werden.

Gibbssche Fundamentalform:

dE = T dS (V , n, p etc. sei vernachl¨ assigt. . . )

Zu den extensiven Variablen geh¨ oren die Dichten e = E

V Energiedichte s = S

V Entropiedichte Ausschnitt des W¨ armeleiters:

e und s sind in kleinen Volumina V ∗ konstant, variieren aber von V ∗ zu V ∗ . Daher wird in V ∗ Thermodynamik angenommen, im großen Volumen aber nicht.

Beispiel 4.2.1 (Ein W¨ urfel Luft).

mit Kantenl¨ ange L ≈ 10 ⁻³ mm, so dass V ∗ = L ³ enth¨ alt ca. 3 · 10 ⁷ Molek¨ ule. Diese große Teilchenzahl rechtfertigt einen thermodynamischen Ansatz.

Wobei:

e(~ r, t) und s(~ r, t) undT (~ r, t) Also:

de = T ds (4.4)

Beobachtung: Energie ist auch hier eine Erhaltungsgr¨ oße und deshalb gilt:

∂ _t e + ∇~j _E = 0 (4.5)

Die Argumentation ist dieselbe wie bei der Ladung in §4.1, ~j _E bezeichnet die Energie- stromdichte, den Fluss von Energie.

Aus (4.5):

∂e

∂t

(4.4)

= T ∂s

∂t

Thermod.

= L · ∂T

∂t mit L = ρc molare W¨ armekapazit¨ at.

⇒ T ∂s

∂t = ρc ∂T

∂t

(4.5)

= −∇ ~j _E ^(4.3) = λ∇ ² T

⇔ ∂ _t T − D _T ∇ ² T = 0

wobei D _T = _cρ ^λ der W¨ armediffusionskoeffizient. Dies ist die Fouriersche oder W¨ arme- diffusionsgleichung.

Zweiter Hauptsatz:

∂s

∂t

(4.5),(4.3)

= − 1

T ∇~j _E = −∇

1 T ~j _E

− 1

T ² ~j _E · ∇T

⇒ ∂s

∂t + ∇ · ~j _s = − 1

T ² ~j _E · ∇T

∂s

∂t : zeitliche Entropie¨ anderung, ~j _s = _T ¹ ~j _E die Entropiestromdichte.

∂ _t s + ∇ ~j _s = 0

w¨ urde gelten, genau wenn die Entropie erhalten w¨ are (z.B. in einem reversiblen, dissipa- tionslosen Prozess). Der Term auf der rechten Seite beschreibt also die Entropieprodukti- onsrate Σ = _T ^λ

(∇T ) ² f¨ ur λ > 0 nach Fourier und erf¨ ullt den zweiten Hauptsatz, dass bei einem dissipativen Prozess die Entropie zunimmt.

4.2.2 Diskussion der Diffusionsgleichung

∂ _t a(~ r, t) = D∇ ² a(~ r, t) (t > 0), a Dichte, D Diffusionskoeffizient.

Sie beschreibt die Ver¨ anderung einer Dichte a einer Gr¨ oße, die erhalten ist (∂ _t a + ∇ ~j _a = 0) und deren Strom zu einem Ausgleich von Unterschieden in a f¨ uhrt, ~j _a ∼ −∇a (typischer- weise).

Eine wichtige L¨ osung ist:

a ∗ (~ r, t) = (4πDt) ⁻

e ⁻

2 4Dt

Diese

” Gaußglocke“ erf¨ ullt:

Z

d ³ ra(~ r, t) ≡ 1

f¨ ur t → 0 wird sie immer h¨ oher in einem immer kleiner werdenden Bereich um r = 0.

a ∗ beschreibt das

” diffusive“ Auseinanderlaufen einer bei t = 0 auf ~ r = 0 konzentrierten

Menge von Stoff A (A = R

d ³ ra ≡ 1 (hier), A ist erhalten.)

Die Ausdehnung des diffundierenden Stoffes w¨ achst mit der Zeit an.

h~ r ² i = Z

d ³ r r ² a ∗ (~ r, t) ^Isotropie = 3hx ² i = 6Dt Mittleres Verschiebungsquadrat.

Diffusion (siehe Signaltransport beschrieben mit Wellengleichung, d’Alembert.)

Bei kurzen Zeiten ist die Diffusion schneller als der Wellentransport, bei langen Zeiten ist die Diffusion ineffektiv.

Nachweis, dass a ∗ eine L¨ osung ist.

a ∗ (~ r, t) = a ⁽¹⁾ _∗ (x, t) · a ⁽¹⁾ _∗ (y, t) · a ⁽¹⁾ _∗ (z, t) wobei a ⁽¹⁾ ∗ = (4πDt) ⁻

e ⁻

2 4Dt

Weil (∂ _x ² + ∂ _y ² )a ⁽¹⁾ ∗ (z, t) = 0, ist wichtig: ∂ ² _z a ⁽¹⁾ ∗ (z, t) (analog f¨ ur x und y)

∂ _z ² a ⁽¹⁾ _∗ (z, t) = − (4πDt) ⁻

2Dt e ⁻

2

4Dt

+ (4πDt) ⁻

z 2Dt

2

e ⁻

2 4Dt

Analog x, y:

⇒ ∇ ² a ∗ (~ r, t) = −

3 2

Dt a ∗ (~ r, t) + r ²

(2Dt) ² a ∗ (~ r, t) = 1

D ∂ _t a ∗ (~ r, t)

4.3 Teilchendiffusion und Brownsche Bewegung

4.3.1 Ficksches Gesetz

Beh¨ alter mit Fluid (Fl¨ ussigkeit oder Gas), in dem Teilchen gel¨ ost seien (sub– µm große Teilchen) (dispergiert).

(Siehe §3.3.1.3 gel¨ oste Stoffe)

c(~ r, t) Konzentrationsdichte (entspricht der Anzahl gel¨ oster

” Brownscher“ Teilchen pro Volumen)

Also

C = Z

d ³ rc(~ r, t) Gesamtzahl der Brownschen Teilchen.

In §3.3.1.3 wurde gezeigt, dass das chemische Potential µ konstant ist im Gleichgewicht µ(~ r, t) = const.

und h¨ angt von c ab.

Durch semipermeable Membranen kann ∆µ = µ ₂ −µ ₁ 6=

0 entstehen.

Diffusion beschreibt dann den Abbau von ∆µ, wenn die Membran entfernt wird.

Weil die Gesamtzahl von C erhalten ist, gilt eine Erhal- tungsgleichung

∂ _t c(~ r, t) + ∇~j _c (~ r, t) = 0 (4.6) Erinnerung: f¨ ur ein festes Volumen V gilt also

d dt

Z

V

d ³ r c(r, t) = Z

d ³ r∂ _t c(r, t) = − I

∂V

d~ o j _c (~ r, t) Und empirisch formulieren wir analog zum Ohmschen Gesetz:

~j _c = −σ _c ∇µ (4.7)

~j c bezeichnet den Konzentrationsstrom. Analog zur Thermodynamik §3.3.1.3 beschreibt man Teilchen als ideale Gase

∇µ = ∂µ

∂c ∇c ^{id. Gas} = RT c ∇c Mit (4.7) folgt

~j _c = −D∇c (4.8)

mit D = ^σ

^RT _c Diffusionskoeffizient.

Aus den Gleichungen (4.8) und (4.6) folgt die Diffusionsgleichung:

∂ _t c − D∇ ² c = 0.

F¨ ur den Ausgleichsprozess eines gel¨ osten Stoffes in einer (ruhenden) Fl¨ ussigkeit gilt wie- derum eine Diffusionsgleichung (wie bei der W¨ armeleitung §4.2.2)

4.4 Barometrische H¨ ohenformel und hydrostatischer Druck

Bei Angreifen einer ¨ außeren Kraft F an die Brownschen Teilchen sind auch im Gleichgewicht die Konzentrationsver- teilung c(~ r) und das chemische Potential µ(~ r) nicht r¨ aum- lich konstant.

Betrachte die Gibbsche Fundamentalform

dE = T dS + ζdC − pdV

mit C = cV Teilchenzahl und ζ(z) = µ 0 + U (z) = µ 0 + (M )gz, wobei [(M ) = ^m _n ] und ζ das “gravitochemisches Potential

” ist

Begr¨ undung: Energie ¨ andert sich bei Hinzuf¨ ugen eines Teilchens in H¨ ohe z um ζ(z). Dabei ist µ 0 (z) das bekannte chemische Potential, das von der Dichte abh¨ angt.

Nach dem zweiten Hauptsatz gilt:

ζ(z) = ζ = const. im Gleichgewicht.

µ ₀ = const. − (M )gz = µ ₀ (T, p) (Gibbs–Duhem–Relation)

∂µ 0 (z, T, p)

∂z = ∂µ 0 (T, p)

∂p

∂p(z)

∂z , → ∂p(z)

∂z

∂p(z)

∂z = ∂µ ₀ (z, T )

∂z

. ∂µ ₀ (T, p)

∂p = 1

∂µ ₀ (T, p)/∂p (−(M )g) (4.9) Beispiel 4.4.1 ((A) Gase ( ¨ Ubungsaufgabe 6, Blatt13

IK III)).

Annahme: konstante Temperatur in der Atmosph¨ are (falsch f¨ ur h > 10 km)

∂µ ₀ (T, p)

∂p

Mx.–Bez.

= ∂V (T, p, n)

∂n

id. Gas

= RT

p in (4.9)

∂p(z, T )

∂z + 1 H p = 0 mit

H = RT

(M )g

⇒ p(z) = p ₀ e ⁻

Barometrische H¨ ohenformel f¨ ur die Erdatmosph¨ are mit H = 8000 m bei T = 0 ^◦ . Beispiel 4.4.2 ((B) Fl¨ ussigkeiten).

∂µ ₀ (T, p)

∂p

M x.−−Bez.

= ∂V (T, p, n)

∂n = Volumen Teilchen = V

n = 1 ˆ

ρ = const.

∂p

∂z = −mg ρ ˆ = −ρg mit ρ = m ρ ˆ (Massendichte) vektorielle Verallgemeinerung

∇p = f ~ (4.10)

f ~ externe Kraftdichte (Kraft pro Volumen)

Diese Gleichung heißt Grundgleichung der Hydrostatik f¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten.

Einige Anwendungen a) Hydrostatisches Paradoxon

Druck in einer Fl¨ ussigkeitss¨ aule der H¨ ohe h mit unterschiedlicher Form ist un- abh¨ angig von der Form stets p = p ₀ + ρ · g · h. (p ₀ Luftdruck, p Druck unter der Fl¨ ussigkeitss¨ aule).

F¨ ur Wasser ist ρ · g · h bei h = 10 m p = 1 bar.

Versuch. Hohlk¨ orper aus Glas verschiedener Geometrie werden bis zur selben H¨ ohe gef¨ ullt. Der Druck am Boden wird gemessen durch die Verformung einer Gummi- membran, die auf einen Zeiger ¨ ubertragen wird.

b) Grundgleichung der Hydrostatik und Isotropie des Drucks ∇p = f ~ : Wenn f||ˆ ~ z h¨ angt der Druck nur von der Tiefe ab.

Versuch. Beobachtungen:

a) Bei verschiedenen Orientierungen der Druckdose bleibt der Druck gleich.

b) Der Druck nimmt linear mit der Eintauchtiefe zu (nicht

quantitativ gezeigt).

Versuch. Die Skizze zeigt einen mit Wasser gef¨ ullten Glaskolben mit Ausstr¨ om¨ offnungen in Aquatorebene. Wird er so gehalten, dass der ¨ Aquator waagrecht ist und der Stempel hinein- ¨ geschoben, so str¨ omt das Wasser durch alle ¨ Off- nungen aus - und zwar in alle Richtungen gleich weit. → Der Druck im Innern ist isotrop.

c) Auftrieb, Archimedisches Prinzip

Welche Kraft ¨ ubt eine ruhende Fl¨ ussigkeit auf einen K¨ orper aus? F ~ _a = H

∂V (−p)d~ o (Minuszeichen, da Druck auf d~ o ent- lang Normalenvektor nach innen gerichtet)

F ~ _a ^Gauß = Z

V

∇p d ³ r hydrost. Grundgl.

= ρ g V z ˆ

Die Auftriebskraft ist (nach Archimedes) gleich der Gewichtskraft der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeit (unabh¨ angig von der Form des K¨ orpers).

Versuch. V 1 ist ein Hohlzylinder, der unten geschlossen ist, V ₂ = V ₁ , aber gef¨ ullt mit Material konstanter Dichte Zun¨ achst wird außerhalb der Fl¨ ussigkeit die gesamte Ge- wichtskraft von K¨ orper 1 und K¨ orper 2 gemessen: G = G ₁₊₂ . Nach dem Eintauchen von K¨ orper 2 wird erneut die Kraft gemessen: G = G ₁₊₂

. Schließlich wird K¨ orper 2 ein- getaucht und K¨ orper 1 mit der Fl¨ ussigkeit (H 2 O) gef¨ ullt; in diesem Fall wird f¨ ur die Kraft wieder G = G ₁₊₂ gemessen.

Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes f¨ ur Tensoren Standard: a(~ r) = ∇ · ~ v(~ r)

Z

V

a(~ r)d ³ r = Z

V

∇~ v(~ r)d ³ r

= Z V

X

i=x,y,z

∇ i v i (~ r) = I

∂V

~ vd~ o = I

∂V

X

i

n i v i (~ r) do Verallgemeinerung von a auf drei Gr¨ oßen b _j :

b _j = X

i

∇ _i t _ij (j = x, y, z)

⇒ Z

V

b _j d ³ r = Z

V

X

i

∇ _i t _ij (~ r)d ³ r ^Gauss = I

∂V

X

i

n _i t _ij (~ r)do

| {z }

~ n·t

Tensor zweiter Stufe t mit Komponenten

t _ij =





t _xx t _xy t _xz t _yx t _yy t _yz t zx t zy t zz





Z

V

∇ · td ³ r = I

∂V

td~ o Anwendung auf t _ij = pδ _ij ⇔ t = p · 1I

t = p





1 0 0 0 1 0 0 0 1



 ⇒ Z

V

X

i

∇ _i pδ _ij d ³ r = Z

V

∇ _j pd ³ r

Gauss

= I

∂V

X

i

n i pδ ij do = I

∂V

n j p do

⇒ Z

∇p d ~ ³ r = I

∂V

p d~ o

4.5 Stokessche Reibung oder viskose Reibung

4.5.1 Die Viskosit¨ at

Ein Sub–Volumen eines Fluides in Bewegung besitzt neben den bekannten Mengengr¨ oßen (E, S, V, n, . . .) zus¨ atzlich die ex- tensive Gr¨ oße G ~ (Impuls) [Mengengr¨ oße]. Die zugeh¨ orige Impuls- dichte ~ g : ~ g = ^G _V ^~

Gibbsche Fundamentalform:

dE = T dS + . . . + ~ v d ~ G mit ~ v = ^{∂E(s,~ g,...)}

∂ ~ G Str¨ omungsgeschwindigkeit (noch zu zeigen).

Zur Identifikation von ~ v, ~ g:

Wie unterscheidet die sich Energie eines mit ~ u bewegten Systems von der eines ruhenden?

Hypothese: Klassische Mechanik und Galilei–Transformation:

im bewegten Kordinatensystem KS ⁰ , das mit ~ r ⁰ = ~ r − ~ u · t mitl¨ auft

(i) Energie E ⁰ (in KS ⁰ ):

E ⁰ = E − M 2 u ² n

(im bewegten System, daher ohne E _kin : kinetische Energie aller Teilchen) zugeh¨ orige Energiedichten:

e ⁰ = E ⁰

V = e − 1

2 ρu ² , ρ = mn

V Massendichte

(ii) Impuls G ~ ⁰ = G ~ − mn~ u = 0 zugeh¨ ^! orige Dichte: ~ g ⁰ = ~ g − ρ~ u = 0 da das System in ^! KS ⁰ ruhend ist.

Fazit 4.5.1. Es gilt klassisch ~ g = ρ · ~ v (~ u → ~ v) und ~ v = ^∂e _{∂~ g} Die thermodynamischen Eigenschaften sind hiermit abgeglichen.

Der zweite Hauptsatz der Thermdoynamik besagt also, dass ~ v(~ r, t) = const im ther- modynamischen Gleichgewicht.

Dissipation tritt also auf, wenn v(~ r, t) 6= const.

Zum Bild: Thermodynamik im Sub–Volumen, aber ver- schieden2 v(~ r, t) in verschiedenen Sub–Volumina.

Wird nun in einer inkompressiblen (genaue Definition folgt) Fl¨ ussigkeit (z.B. durch Bewegung einer Wand) ein Bereich bewegt, fordert der zweite Hauptsatz, dass der Variation in

~

v(~ r, t) 6= const ein Dissipationsprozess (viskose Reibungs-

kraft) entgegenwirkt.

Beschleunigung des infinitesimalen Volumenelements ρA dz ∂v _x

∂t = −η ∂v _x (z)

∂z A + η ∂v _x (z + dz)

∂z A ^Taylor = η ∂ ² v _x

∂z ² dz A;

innere oder stokessche Reibung mit Reibungskraft F _x = −ηA ∂v _x

∂z ,

die beschreibt, wie Fl¨ ussigkeitsschichten von benachbarten mitgerissen werden. Sie ent- spricht dem ohmschen Ansatz.

Also:

ρ ∂v _x

∂t = η ∂ ² v _x

∂z ² ∂ t v x = ν∂ _z ² v x

Diffusionsgleichung mit ν = ^η _ρ (kinematische Viskosit¨ at) Dimension:

Linke Seite:

ρ ∂v _x

dt

= kg m ³ · m

s ² = kg m ² s ² Rechte Seite:

∂ ² _Z v _x

= 1 m ² · m

s ² = 1 ms ²

⇒ [η] = kg

ms = 1 Poise (nach Poisseuille)

⇒ [ν] = η

ρ

= m ²

s ” ν ist Diffusionskoeffizient“

Typische Werte

Wasser T = 20 ^◦ C : η ≈ 1.03 · 10 ⁻³ Poise

0 ^◦ C : η ≈ 1.8 · 10 ⁻³ Poise

100 ^◦ C : η ≈ 1.9 · 10 ⁻⁴ Poise

Alkohol T = 20 ^◦ C : η ≈ 1.2 · 10 ⁻³ Poise

Glyzerin T = 10 ^◦ C : η ≈ 1.5 Poise

Der Diffusionsgleichung (∂ _t v _x = ν∂ _z ² v _x ) liegen zugrunde:

(i) Erhaltungssatz:

d dt

Z

V

g _x (~ r, t)d ³ r = Z

V

∂ _t g _x (~ r, t)d ³ r = − I

∂V

J ~ _g

(~ r, t)d~ o = − Z

V

∇ J ~ _g

(~ r, t)d ³ r (mit Gauss I)

also:

∂ _t g _x (~ r, t)

| {z }

Impulsdichte in X–Richtung

+∇ J ~ _g

(~ r, t)

| {z }

Impulsstromdicht

= 0

(ii) Lineare konstituierende Gleichung f¨ ur dissipativen Anteil der Impusstromdichte f¨ ur eine (ruhende) Fl¨ ussigkeit

J ~ _g

(~ r, t) = −η∇v _x (~ r, t)

(iii) Wegen Hydrostatik wissen wir, dass auf ein Volumen V in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit der Druck p wirkt, was bedeutet, dass es einen

” reversiblen“ Anteil zu J ~ _{~ g} gibt:

J ~ _{~ g} ^rev

x

(~ r, t) = ˆ xp(~ r, t) also zusammengefasst:

ρ ∂

∂t v _x = η∇ ² v _x − ∂ _x p oder vektoriell verallgemeinert:

ρ∂ _t ~ v = η∇ ² ~ v − ∇p Erinnerung an Hydrostatik: ∇p = 0.

Hier behandelt: Stokessche Reibung, die inkompressible Fl¨ ussigkeit ohne

” Konvektion“

beschreibt. Eine Str¨ omung, die durch innere Reibung bestimmt wird, heißt laminar. Sie ist glatt, da innere Reibung Geschwindigkeitsunterschiede ausgleicht.

Kraft–Bilanz ρA dz

| {z }

Impuls¨ anderung

∂v _x

∂t = −η ∂v _x (z)

∂z A + η ∂v _x (z + dz)

∂z A

| {z }

viskose Reibung

− (p(x + dx)B − p(x)B)

| {z }

hydrostat. Druck

+ f _x A dz

| {z }

ext. Vol.–Kraft

Inkompressibel (ρ = const. und ∇~ v = 0)

∂ _t ρv _j = X

i

∇ _i (η (∇ _i v _j + ∇ _j v _i ) − p) Also

∂ _t g _j + X

i

∇ _i t _ij = 0

eine Erhaltungsgleichung f¨ ur die Impulsdichte mit dem verallgemeinerten Gaussschen Satz,

t _ij = pδ _ij − η (∇ _i v _j + ∇ _j v _i )

4.6 Konvektion

In einer str¨ omenden Fl¨ ussigkeit transportiert die Str¨ omung auch Teilchen, Energie und Impuls.

In den Erhaltungss¨ atzen

∂ _t ρ + ∇ ~j _m = 0 (Massenerhaltung)

∂ _t ~ g + ∇ · t = 0 (Impulserhaltung)

∂ _t e + ∇~j _E = 0 (Energieerhaltung) treten also sogenannte reversible Beitr¨ age zu den Stromdichten auf.

4.6.1 Massenerhaltung

d dt

Z

V

d ³ rρ = − I

∂V

d~ o~j _m Aber Massenstrom ist einfach ρ · ~ v.

ρ~ v · ~ n do dt

ist die Zahl der Teilchen (mal Masse), die pro dt durch die Oberfl¨ ache do mit ~ v fließen.

⇔ ~j _m = ρ · ~ v (Massendichte·Str¨ omgeschwindigkeit)

⇒ ∂ t ρ(~ r, t) + ∇ · ρ(~ r, t)~ v(~ r, t) = 0 gibt die Massenerhaltung.

⇒ ∂ t ρ + ~ v · ∇ρ

| {z }

= −ρ∇ · ~ v dieser Term beschreibt

” konvektiven“ Transport.

In einer inkompressiblen Fl¨ ussigkeit, d.h. ρ(~ r, t) = const. folgt also

∇ · v(~ r, t) = 0

Die Str¨ omung ist divergenzfrei.

4.6.2 Impulskonvektion

Wieviel Impulsdichte ~ g transportiert ~ v durch do pro dt?

Das ist: (ρ~ v)~ v · ~ n dt do

(ρ~ v Impulsdichte, ~ v · ~ n Str¨ omungsgeschwindigkeit durch do.

Erhaltungsgleichung:

Z

V

d ³ r ∂

∂t ρ~ v = − I

∂V

d~ o · ~ vρ~ v − weitere Anteile

⇔ Z V

d ³ r∂ _t ρv _j = − I

∂V

do X

i

v _i ρv _r

| {z }

t

Also ist ein reversibler Anteil von t _ij gefunden.

t = ρ~ v~ v + weitere Terme (ρ~ v~ v ist der konvektive Anteil der Impulsstromdichte)

Impulserhaltung bedeutet, dass der Impuls in einem Volumen V sich ¨ andert durch In- tegration ¨ uber die Oberfl¨ ache von V ; Nach Newton muss ~ nt also eine Kraft auf das Ober- fl¨ achenelement do in Richtung −~ n sein.

Aus Hydrostatik bekannt, weiterer Beitrag:

pδ _ij (hydrostatischer Druck) Aus Stokesscher Reibung, weiterer Beitrag:

−η(∇ _i v _j + ∇ _j v _i ) Also

⇒ t ij = ρv i v j + pδ ij − η(∇ i v j + ∇ j v i )

H¨ aufig wird σ _ij ≡ (pδ _ij − η(∇ _i v _j + ∇ _j v _i )) als Spannungstensor eingef¨ uhrt.

4.7 Die Navier Stokes Gleichungen

F¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten (∇ · ~ v = 0) folgen aus Impulserhaltung, Konvektion, Hydrostatischem Druck, viskoser Reibung.

⇒ ρ∂ _t ~ v + X

i

∇ _i ρv _i v _j = −∇p + η∇ ² v _j ρ∂ t ~ v + ρ(~ v · ∇)~ v = −∇p + η∇ ² ~ v Eine externe Volumenskraft f ~ kann dazugeschrieben werden.

Grundgleichung der Hydrodynamik f¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten (∇~ v = 0), seit ca.

1860 bekannt. Die Eigenschaften der L¨ osung sind bis auf Spezialf¨ alle nicht verstanden.

4.8 Ideale Fl¨ ussigkeiten und Bernoulli Gleichung

Die Eulersche Gleichung beschreibt ideale Fl¨ ussigkeiten, d.h. η ≡ 0 ohne innere Reibung:

ρ∂ _t ~ v + ρ(~ v · ∇)~ v = −∇p

Sie beschreibt reale Str¨ omung, wenn die Impulsdiffusion vernachl¨ assigbar ist. (Erinnerung:

Diffusion ist wichtig f¨ ur kleine Abst¨ ande/Zeiten.)

Die wichtigste Folgerung aus der Eulergleichung ist eine Erhaltungsgleichung f¨ ur die ki- netische Energie der Str¨ omung.

Formal: ~ v · (Eulergleichung)

ρ~ v∂ _t ~ v + ρ~ v · (~ v · ∇)~ v + ~ v∇p inkompressibel, divergenzfrei ⇒

= ∂ _t ρ

2 v ² + v · ∇ ρ

2 v ² + p

= 0 in Komponenten:

= ∂ _t ρ 2 v ²

+ ∇ · h

~ v ρ

2 v ² + p i

= 0

ρ

2 v ² ist die kinetische Energie der Str¨ omung, ~ v ^ρ ₂ v ² + p

der zugeh¨ orige Strom.

Daher ist diese Gleichung eine Erhaltungsgleichung f¨ ur die kinetische Energie.

F¨ ur station¨ are Str¨ omungen (∂ _t . . . = 0)

~

v · ∇ ρ

2 v ² + p

= 0

Also: der Gradient von X = ^ρ ₂ v ² + p steht immer senkrecht auf ~ v(~ r, t).

” Stromlinien“ sind Kurven, deren Tangenten im Ber¨ uhrungspunkt parallel zu ~ v(~ r, t) sind.

Also:

ρ

2 v ² + p = const. entlang einer Stromlinie (Bernoulli–Gleichung)

Ohne Reibung wird Druckarbeit in kinetische Energie der Str¨ omung umgewandelt.

4.9 Anwendungen

4.9.1 Einfache station¨ are laminare Str¨ omungen

4.9.1.1 Rohrstr¨ omung

Kreisf¨ ormiges Rohr mit Radius R und L¨ ange L mit Druckunter- schied ∆p = p ₂ − p ₁ 6= 0.

Laminare Str¨ omung:

” ⇒“ ~ v = ˆ zv z (x, y) (damit ∇~ v = 0)

⇒ ∂ _x p = ∂ _y p = 0 also p = p(z) Konvektion

v _z ∂

∂z

v _z (x, y) = 0 (exakt!)

⇒ station¨ ar (∂ _t v _z = 0) gilt:

η∇ ² v z (x, y) = ∂ z p(z) deswegen muss

∂ _z p(z) = ∆p

L = const.

(da die linke Seite keine Funktion von z ist).

Nun Zylinderkoordinaten. ρ = p

x ² + y ²

Wegen der Rotationssymmetrie um die ˆ z–Achse gilt: v _z (x, y) = v _z (ρ)

⇒ 1

ρ ∂ _ρ ρ ∂v _z

∂ρ = ∆p

ηL (4.11)

Ansatz: v ∼ ρ ⁿ (Potenzen)

(4.11)

⇒ η ² ρ ⁿ⁻² =

0 homog. DiffGl. y ρ ⁰ & ln ρ mgl.

konst inh. DiffGl. y ρ ² ln ρ unphysikalisch, da −→ ∞ ^ρ→0

Randbedingung: v _z (R = ρ) = 0 haftende Fl¨ ussigkeit an der Wand

⇒ v _z (ρ) = ∆p

4ηL (R ² − ρ ² ) Fl¨ ussigkeitsmenge, die pro Zeit durch das Rohr str¨ omt:

Q = Z R

0

dϕ2πρ

| {z }

Kreisringfl.

v _z (ρ) = π 8

R ⁴ ηL ∆p

Gesetz von Hagen–Poisseuille, das z.B. f¨ ur Str¨ omung in Blutgef¨ aßen gilt. Auff¨ allig ist die

starke Abh¨ angigkeit von R: Q ∼ R ⁴ ∼ (Fl¨ ache) ² , weil v _z (ρ = R) = 0 (nicht konstant ¨ uber

das ganze Rohr).

4.9.1.2 St¨ omung um eine Kugel

Eine Kugel mit Radius R wird langsam mit der Geschwindigkeit V ~ durch die Fl¨ ussigkeit bewegt und erf¨ ahrt dabei viskose Reibung, da ^∂v _∂z 6= 0, da das Str¨ omungsfeld nicht r¨ aumlich konstant ist.

⇒ Reibung F = −η ∂v

∂z Fl¨ ache = −η V R 4πR ² exakt:

F ~ = −6πη ~ V R (Stokessche Reibung)

Versuche zur Hydrodynamik 1. Zu §4.3 und Blatt 1 Aufgabe 8

Der Spalt zwischen den beiden Zylindern ist mit Glyzerin gef¨ ullt. Der innere Zylinder ist gegen den ¨ außeren drehbar. Mit eingef¨ arbtem Glyze- rin werden Farbstriche gezogen, dann werden die Zylinder gegeneinander verdreht. Dabei ver- schmieren die Farbstrichte.

Dreht man die Drehrichtung um, so laufen die Farbstriche wieder in ihren Urzustand zur¨ uck.

Fazit: Die Diffusion ist ineffektiv zum durchmischen ohne Umr¨ uhren (ohne Kon- vektion).

2. Linearer Durckabfall bei laminarer Str¨ omung (zu §4.9.1.1)

Das R¨ ohrchen hat ¨ uberall die gleiche Quer- schnittsfl¨ ache.

Str¨ omt Wasser mit einer Geschwindigkeit

v durch das R¨ ohrchen, so f¨ allt der Druck

bei laminarer Str¨ omung entlang der Str¨ omungs-

richtung linear ab. (Bernoulli h¨ atte erwar-

tet: p = const.)

3. Bernoulli–Gleichung und Venturi–Effekt (zu §4.8)

Beobachtung: Linearer Druckabfall wegen der laminaren Str¨ omung. An der Eng- stelle, wo v ₁ > v ₀ , ist der Druck geringer.

4. Hydrodynamisches Paradoxon (zu §4.8) Die Platte wird angesaugt.

v ₀ v ₁ ⇒ p ₀ p ₁

Anwendungen des Venturi–Effekt

• Bunsenbrenner (Skizze links)

• Wasserstrahlpumpe (Skizze rechts)

• Beim Sturm werden D¨ acher abgedeckt

• Duschvorhang

• Flugzeugfl¨ ugel, Tragfl¨ achen

• Segeln

” gegen den Wind“ (Kreuzen)

5. Gesetz von Hagen–Poiseuille

Die Kapillaren haben unterschiedli- che Durchmesser d ₁ = 2, 4 mm, d ₂ = 1, 2 mm. Wir messen:

Q ₁

Q ₂ = 61 ml

4 ml = 15, 25 ≈ 16

4.9.2 Die Reynoldszahl

Erzwingt man eine Str¨ omung (z.B. mi Druckgradient ^∆p _L in §4.9.1.1) gibt innere Reibung eine laminare Str¨ omung nur solange konvektiver Impulstransport vernachl¨ assigbar ist im Vergleich zur viskosen Reibung.

Konvektiv

ρ(~ v · ∇)~ v ≈ ρ v ² l (v Maß der Str¨ omgeschwindigkeit, l typische L¨ ange) Viskos

η∇ ² ~ v ≈ η v l ²

Das Verh¨ altnis dieser Absch¨ atzungen Re = ^ρv _ηv/l

^/l

= ^ρvl _η heißt Reynoldszahl.

Sobald Re 1 nicht mehr gilt, ist die Str¨ omung nicht mehr laminar, sondern es treten sogenannte hydrodynamische Instabilit¨ aten (d.h. Str¨ omung mit geringerer Symmetrie als erwartet) auf.

Rohrstr¨ omung: v _z (ρ) → v _z (ρ, ϕ, z) und letztlich tritt Turbulenz auf, wenn die Reynolds- zahl sehr groß wird.

4.9.3 Widerstandsbeiwert einer Kugel

Frage: Reibungskraft

• Eine langsame Kugel sp¨ urt Stokessche Reibung F ∼ ηRv.

• Eine sehr schnelle Kugel gibt kinetische Energie an ein Fluid ab:

dE _kin = − 1 2 ρv ²

| {z }

kinet. Energiedichte

·A ds

(A Querschnittsfl¨ ache der Kugel=πr ² , ds Weginkrement). Die Kugel muss das ver- dr¨ angte Fluid auf v beschleunigen, verliert also auf dem Weg ds die Energie dE _kin . Also wirkt eine Reibungskraft

F = − 1

2 c _w Aρv ² auf eine schnelle Kugel.

c w wird als Widerstandsbeiwert bezeichnet.

(inkompressibel!)

Experimente zum ¨ Ubergang laminarer/turbulenter Str¨ omung 1. Sichtbarmachung von Stromlinien

2. Str¨ omung mit Hindernis

Verschiedene Hindernisse, Variation der Gechwindigkeit.

4.10 Lineares elastisches Verhalten isotroper Festk¨ orper

4.10.1 Verzerrungstensor und Spannungstensor

W¨ ahrend im gasf¨ ormigen und fl¨ ussigen Zustand die Energie E = E(S, V, n) f¨ ur eine Substanz gen¨ ugt, h¨ angt im festen Zu- stand die Energie noch von einer weiteren Gr¨ oße, der sogenannten Verformung, ab.

4.10.1.1 Verformungen eines Festk¨ orpers Beispiel 4.10.1.

Dehnung eines Drahtes durch eine Kraft F ; man findet f¨ ur kleine (wegen linear) F :

L¨ angen¨ anderung: ∆l, Breiten¨ anderung: ∆d.

Die relative Dehnung

∆l l = 1

E F

A (Hookesches Gesetz) (A Fl¨ ache). ^F _A heißt (Dehn–)Spannung σ ( ˆ =p Druck).

mit E Dehnungs– oder Elastizit¨ atsmodul.

• Gleichzeitig wird der Draht d¨ unner um ∆d.

Das Verh¨ altnis

∆d d · l

∆l = µ heißt Poisson–Zahl.

Dieses

” D¨ unnerwerden“ f¨ uhrt zur Volumen¨ anderung (V = πd ² l)

∆V

V = ∆l

l − 2 ∆d

d = (1 − 2µ) ∆l

l = (1 − 2µ) σ

E

• Beispiel: Bei allseitiger Kompression infolge ∆p beobachtet man

∆V

V = (1 − 2µ) −3∆p E

(Spannung σ = ˆ − ∆p) wirkt in alle 3 Raumrichtungen.

Also ist die Kompressibilit¨ at κ _T = − 1

V

∂V (p, T )

∂p = 3(1 − 2µ) E (Da κ _T > 0, siehe Aufgabe IK III), also µ < ¹ ₂ .

• Beispiel: Scherung eines Quaders durch kleine Kraft, die tangential an die Fl¨ ache A angreift. Winkel

α = 1 G · F

A (G Schub– oder Schermodul)

F

A heißt hier Schubspannung.

4.10.1.2 Kontinuumsmechanik

Wiederum (wie §4.1.9) Zerlegung des K¨ orpers in kleine Subvolumina , die thermodyna- misch beschreibbar sind, aber deren thermodynamische Variablen T (~ r, t), p(~ r, t) etc. glatt variieren.

Ausschnitt eines Festk¨ orpers

Ein Massenpunkt, der bei t ₀ bei R ~ war, wird durch die Verzerrung nach ~ r verschoben:

~ r( R, t) = ~ R ~ + ~ u( R, t) ~

~

u Verschiebungsvektor

(Der Vektor R, der mit dem Massenpunkt mitwandert, wird im sogenannten Lagrange– ~ Bild verwendet.)

Genauso kann man ~ r im festen Laborsystem als Koordinaten verwenden (sog. Eulerbild, das in §4.1–4.9 auch verwendet wurde).

D.h.

R ~ = ~ r − ~ u( R(~ ~ r, t), t) = ~ r − ~ u(~ r, t)

Die Verzerrung des Materials wird durch Ver¨ anderungen von L¨ angenelementen gemessen.

∆ ² = d~ r ² − d ~ R ² (Erinnerung Bahnl¨ ange l = R √

v ² dt, v = ^d~ _dt ^r ) Also im Eulerbild:

∆ ² = dr ² − X

ijk

∂R i

∂r _j dr _j ∂R i

∂r _k dr _k

( ^∂R _∂r

j

= δ _ij − ^∂u _∂r

j

)

= dr ² − X

ij

(dr _i δi _j − ∂u _i

∂r j

dr _j )dr _i + . . .

=: 2 X

ij

u _ij dr _i dr _j mit Verzerrungstensor u _ij

u _ij = 1 2

∂u _i

∂r _j + ∂u _j

∂r _i

− X

k

∂u _k

∂r _i · ∂u _k

∂r _j Im folgenden: Lineare Elastizit¨ atstheorie mit

∂u

∂r

1, so dass u _ij = ˙ 1

2 ∂u _i

∂r j

+ ∂u _j

∂r i

4.10.1.3 Bedeutung von ^∂u _∂r

j

∂u _i

∂r _j = 1 2

∂u _i

∂r _j + ∂u _j

∂r _i

| {z }

u

+ 1 2

∂u _i

∂r _j − ∂u _j

∂r _i

| {z }

ω

u ist symmetrisch (u _ij = u _ji ), ω ist antisymmetrisch (ω _ij = −ω _ji ) (A)

X

i

u _ii = Spur u = Sp u = Sp ∂u _i

∂r _j = ∇ · ~ u = div ~ u

Behauptung: Sp u beschreibt die Volumens¨ anderungen:

Betrachte hierzu ein infinitesimales Rechteck (A, B, C, D) in der Ebene und eine Verformung, die erf¨ ullt:

∂u _i

∂r _j = ∂u _i

∂r _i δ _ij

A = (0, 0) −→ (0, 0) −→ ist in Ruhe

B = (dx, 0) −→ (dx + ^∂u _∂x

dx, 0) −→ B ⁰ = . . . C = (0, dy) −→ (0, dy + ^∂v _∂y

dy) −→ C ⁰ = . . . D = (dx, dy) −→ (dx + ^∂u _∂x

dx, dy + ^∂u _∂y

dy) −→ D ⁰ = . . . Also ergibt sich eine ¨ Anderung der Fl¨ ache O −→ O ⁰ .

∂O

O = O ⁰ · O

O = dx(1 + ^∂u _∂x

)(1 + ^∂u _∂y

)dy − dxdy dxdy = ˙ ∂u _x

∂x + ∂u _y

∂y (in linearer N¨ aherung).

Analog in D = 3

∆V

V = Sp u = X

i

∂u _i

∂r _i

(B) Verzerrung eines (inifinitesimalen) Rechtecks, falls nur u _ij 6= 0 f¨ ur i 6= j (also u ii = 0, ω ij = 0)

Ebene: u _xy = u _yx 6= 0, u _ij = 0 sonst.

A = (0, 0) −→ (0, 0) B = (dx, 0) −→ (dx, dx ^∂u _∂x

) C = (0, dy) −→ ( ^∂u _∂y

dy, dy)

D = (dx, dy) −→ (dx + ^∂u _∂y

dy, dy + dx ^∂u _∂x

) Damit also:

• Fl¨ achen¨ anderung:

∆O

O = (dx ^∂u _∂x

)(dy ^∂u _∂

y

)

dx dy =

∂u _y

∂x 2

1 Die Fl¨ ache bleibt konstant, ∆O = 0 in linearer Ordnung.

Aber dα = tan ˙ dα = ^∂u _∂x

, dβ = tan ˙ dβ = − ^∂u _∂y

.

⇒ dγ = −(dα − dβ) = − ∂u _x

∂y + ∂u _y

∂x

= −2 ∂u _x

∂y

Die Außerdiagonalelemente von u _ij beschreiben die Winkel¨ anderungen (Scherun-

gen).

(C) Falls ^∂u _∂r

j

= ω _ij antisymetrisch ist (d.h. hier: ^∂u _∂y

=

− ^∂u _∂x

):

Es gilt die Rechnung unter (B), aber dβ = ∂u x

∂y also

dγ = −(dα − dβ ) = 0,

es tritt also keine Verformung auf (auch dO =0), sondern nur eine starre Rotation um den ˆ Winkel

dα = dβ = ∂u _y

∂x = 1 2

∂u _y

∂x − ∂u _x

∂y

= ω _yx

Fazit 4.10.2.

∂u _i

∂r j

= 1

3 (∇ · ~ u)δ _ij + (u _ij − 1

3 (∇ · ~ u)δ _ij ) + ω _ij

1

3 (∇ · ~ u)δ ij ist die Spur und ergibt eine Volumens¨ anderung.

u _ij − ¹ ₃ (∇ · ~ u)∂ _ij ist symmetrisch und spurfrei. Er ergibt eine Scherung.

ω _ij ist antisymmetrisch und beschreibt die Rotation eines starren K¨ orpers.

4.10.1.4 Die Elastische Energie

Die Grundhypothese der Kontinuums–Festk¨ orper–Mechanik ist die Annahme, dass die innere Energie pro Volumen nur von u ij abh¨ angt, also

e = e(u _ij )

D.h. die innere Energie h¨ angt nur von Abstands¨ anderungen ab. (dr ² − dR ² ∼ u _ij ) (aber zum Beispiel nicht von ω _ij )

Temperatur, chemisches Potential, viskose Reibung und weitere seien hierbei vernachl¨ assigt.

Zugeh¨ orige intensive Gr¨ oße σ _ij : Spannungstensor σ _ij (u _kl ) = ∂e

∂u _ij

σ _ij ist ebenfalls symmetrisch: σ _ij = σ _ji .

4.10.1.5 Bedeutung von σ _ij Dies bedeutet:

X

j

∂σ ij

∂r _j = F i

kann als Dichte der inneren Kr¨ afte verwendet werden und

a) Kr¨ afte auf ein Volumen V wirken immer nur ¨ uber die Oberfl¨ ache (Gauß).

Z

V

d ³ rF _i = Z

V

d ³ r X

j

∂σ _ij

∂r _j = I

∂V

do X

j

n _j σ _ij

b) Die Arbeit der inneren Kr¨ afte bei einer Verschiebung δ~ u Z

ges. Volumen

d ³ r F ~ · δ~ u

| {z }

Kraft · Weg

+O(δu ² )

O(δu ² ) entsteht aus einer Verformung und weil F = F (δu) im nichtlinearen Bereich wichtig ist.

= Z

d ³ r X

ij

∂σ _ij

∂r _j δu i

= Randterme − Z

d ³ r X

ij

σ ij δ ∂u _i

∂r _j

Die Randterme verschwinden, weil σ(r → ∞) → 0.

= − Z

d ³ r X

ij

1

2 (σ _ij + σ _ji ) δu _ij + 1

2 (σ _ij − σ _ji )ω _ij

= − Z

d ³ r X

i,j

σ _ij δu _ij also f¨ ur reversiblen Prozess.

Wirklich gilt:

de = −(− X

i,j

σ _ij du _ij ) = X

i,j

σ _ij du _ij

(das − Zeichen, da innere Kr¨ afte Arbeit leisten). Dies ist die behauptete Gibbssche Fundamentalform.

c) f¨ ur Impulserhaltung folgt nach Newton:

Z

V

ρ ₀ ∂ _t ~ v d ³ r ^(a) = I

∂V

do X

∂

σ _ij n _j

⇒ Gauß.

ρ ₀ ∂ _t v _i = X

j

∂σ _ij

∂r _j + f _i ^extern (4.12)

Wobei um ρ(~ r, t) = ρ ₀ = const. linearisiert und Konvektion vernachl¨ assigt wurde.

Bemerkung 4.10.3.

~

v folgt aus der Bewegung des Massenpunktes

( R(t) = ~ R(t ~ 0 ) + ~ u( R, t)) ~

⇒ ~ v(~ r, t) = d dt

R(t) = ~ d

dt u( R, t) ~

_{R=~ ~ r−~ u} = ˙ ∂~ u(~ r, t)

∂t kompliziert im nichtlinearen Fall.

Bemerkung 4.10.4.

ρ(~ r, t) − ρ ₀ ρ ₀ folgt aus Massenerhaltung:

∂ _t ρ = −∇ρ~ v = ˙ − ρ ₀ ∇ ∂~ u(~ r, t)

∂t ρ − ρ ₀

ρ ₀ = −∇~ u in linearer Ordnung.

4.10.2 Das Hookesche Gesetz

^∂u _∂r

1 ⇔ |u| 1 ist eine gute N¨ aherung im gesamten elastischen Bereich von Festk¨ orpern (außer Polymeren).

⇒ Taylorentwicklung von e(u) e(u) = A + X

i,j

B _ij u _ij + 1 2

X

i,j,k,l

u _ij c _ijkl u _kl + . . . (e(0) ˆ = unwichtige Konstante)

Es gilt: σ ij

u=0 = 0

weil im thermodynamischen Gleichgewicht σ ≡ 0 f¨ ur u gefordert ist.

c _ijkl = c _jikl = c _ijlk = c _jilk wegen u symmetrisch c _ijkl = c _klij weil die 2. Ordnung symmetrisch ist.

Weiteres nach Kristallsymmetrie.

F¨ ur isotrope Materialien muss c aus δ _kl = 1 aufgebaut sein mit Konstanten K und G c ijkl = δ ij δ kl (K − 2

3 G) + (δ ik δ jl + δ il δ jk )G

⇒ σ _ij = ∂e

∂u _ij = X

kl

c _ijkl u _kl

σ ij = K Sp uδ ij + 2G(u ij − 1

3 Sp uδ ij ) (4.13)

Das ist das Hooksche Gesetz (im linearen Zusammenhang).

Der erste Term beschreibt die Spannung verkn¨ upft mit der Volumens¨ anderung, der zweite beschreibt die Spannung verkn¨ upft mit der Scherung.

Kompressionsmodul K = _κ ¹

T

und Scherungsmodul G wurden in §4.10.1 bereits diskutiert.

Damit ist E = 3K (1 − 2µ) Stabilit¨ at von e (zweiter Hauptsatz, siehe §3.2.5) verlangt K ⁰ und G ⁰ .

4.10.3 Elastostatik

∂ t u = 0 ergibt aus (4.12) und (4.13) ^! f ~ + (K + G

3 )∇(∇ · ~ u) + G∇ ² ~ u = 0 f _i = X

j

∂σ _ij

∂r j

= (K + G

3 )∇ _i · ∇ · ~ u + G∇ ² u _i Beispiel 4.10.5 (Dehnnung eines Drahtes). (siehe §4.10.1) Auf der Oberfl¨ ache gilt:

X

j

σ _ij n _j = F _i ^ext 6= 0 nur f¨ ur ~ nkˆ y, ~ F kˆ z

⇒ σ _ij = σ f¨ ur i = j = z (σ _zz = σ = _{Fl¨ ache} ^F Dehnspannung); damit (4.13)

σ _ij =







0 . . . 0 .. . . .. ...

0 . . . σ





 = (K − 2

3 G)∇ · ~ u





1 0

1

0 1



 + 2Gu (mit dem Hookeschen Gesetz)

⇒ u _ij = 0 f¨ ur i 6= j.

f¨ ur x =y ˆ folgt:

(K − 2 3 G)

∂u _z

∂z + 2 ∂u _x

∂x

+ 2G ∂u _x

∂x = 0 (K − 2

3 G) ∂u _z

∂z + 2 ∂u _x

∂x

+ 2G ∂u _z

∂z = σ

⇒ ∂u x

∂x = − ∆d d = −

1 6G − 1

9K

σ

∂u _z

∂z = ∆l

l = G + 3K

9GK σ = σ E E = 9KG

G + 3K und µ = 1 2

1 − E 3K

= 1 2

3K − G 3K + G

also k¨ onnen E, µ (Poissonzahl) durch K und G ausgedr¨ uckt werden.

Versuch (Spannungsoptik, Visualisierung von ^∂u _∂x

l

).

geometrische Objekte aus optisch aktivem Material, d.h. z.B. doppel- brechend unter mechanischer Belastung

Geometrien:

• Winkel

• Winkel mit Spannungsfreibohrung

• Kranhaken

• Balken, einseitig eingespannt

Aufbau:

Durchf¨ uhrung: Polfilter so drehen, dass mittlerer Kontrast

Beobachtung: bei mechanischer Belastung der Objekte sind Verf¨ arbun- gen sichtbar, dichter Farbwechsel an Stellen mit Spannungs¨ uberh¨ ohung (z.B. im Winkel)

Versuch (Schallgeschwindigkeit in Festk¨ orpern).

L = 0, 5m, ρ = 7, 7 · 10 ³ kg/m ³ , K ⁰ ≈ 200 · 10 ⁹ N/m ²

Aufbau: Stahlstab der L¨ ange L mit Piezokristall an einem Enden, der

bei Stauchung Spannungssignal angibt (Y-Kanal), Triggerschaltung f¨ ur Zeitablenkung des Oszilloskops

Durchf¨ uhrung: Bei Kontakt der Stahlkugel mit dem Stab wird Triggerschaltkreis geschlossen: Startsignal der Lang- zeitmessung. Wenn Schallimpuls am anderen Ende ankommt, wird Piezokristall (Seignette-Kristall) gestaucht: Spannungspuls auf Oszi

Ergebnis: t ≈ 110 µs v = _11·10 ^0,5

m

s = 43 · 10 ^{3 m} _s . Literatur- wert: 5, 1 · 10 ^{3 m} _s

4.10.4 Schallwellen

Impulserhaltung und Hookesches Gesetz gelten auch hier. Sie ergeben lineare Bewegungs- gleichungen isotroper Festk¨ orper.

ρ ₀ ∂ _t ² u _i (~ r, t) = X

j

(K + G

3 )∇ _i ∇ _j u _j (~ r, t) + G∇ ² _j u _i (~ r, t)

(f ^ext = 0) Dies sind Wellengleichungen, die mit dem Ansatz linearer Ausbreitung

~

u(~ r, t) =





u _x (z, t) u y (z, t) u _z (z, t)



 (Propagation in ˆ z–Richtung)

entkoppeln zu

Kompressionswellen (f¨ ur ~ ukˆ z, ~ ukAusbreitungsrichtung) ρ ₀ ∂ _t ² u _z =

K + 4

3 G

∂ _z ² u _z und Scherwellen (f¨ ur ~ u⊥ˆ z Ausbreitungsrichtung)

ρ ₀ ∂ _t ² u _x = G∂ _z ² u _y (analog f¨ ur u _y )

mit den Schallgeschwindigkeiten c _l =

s

K + ⁴ ₃ g

ρ ₀ longitudinale c t =

s G

ρ ₀ transversale