Andreas Bortfeldt und Hermann Gehring Diskussionsbeitrag Nr. 266
April 1999
Diskussionsbeiträge des Fachbereichs Wirtschaftswissenschaft der FernUniversität Hagen
Herausgegeben vom Dekan des Fachbereichs
Andreas Bortfeldt und Hermann Gehring Zusammenfassung:
Strip-Packing-Probleme stellen mehrdimensionale Packprobleme dar, die sich im dreidimensionalen Fall wie folgt formulieren lassen. Eine gegebene Menge quaderförmiger Packstücke (Kisten) ist vollständig in einem quaderförmigen und in Längsrichtung offenen Container anzuordnen. Die Kistenanordnung ist derart zu bestimmen, daß die benötigte Containerlänge minimiert wird. Der Beitrag stellt zwei Heuristiken für Strip-Packing-Probleme vor, die jeweils auf zweidimensionale wie auch auf dreidimensionale Probleme anwendbar sind. Die erste Heuristik, ein Tabu-Search- Verfahren, ist vor allem auf Probleme mit schwach heterogenem Kistenvorrat zugeschnitten. Hin- gegen ist die zweite Heuristik, ein genetischer Algorithmus, vor allem für Probleme mit stark hete- rogenem Kistenvorrat geeignet. Beide Verfahren berücksichtigen einige praxisrelevante Restriktio- nen. Die vorgestellten Heuristiken werden einem Test unterzogen, der auch Verfahren anderer Au- toren einbezieht. Für den zweidimensionalen Fall werden hierzu bekannte Referenzprobleme aus der Literatur herangezogen, während für den dreidimensionalen Fall neue Benchmarkprobleme vor- geschlagen werden.
Schlüsselworte:
Transport, Container, Containerladeproblem, mehrdimensionales Knapsackproblem, Strip-Packing- Problem, Tabu Search, genetischer Algorithmus, praxisrelevante Restriktionen.
Abstract:
The so-called strip-packing problem represents a specific multidimensional packing problem. In the three-dimensional case it may be formulated as follows: For a given set of rectangular pieces (bo- xes) and a given longitudinal open container determine a feasible arrangement of all boxes within the container so that the required container length is minimized. Here, two metaheuristics for strip packing problems are proposed which may be applied to two- and three-dimensional problems.
While the first metaheuristic, a tabu search algorithm, is tailored to weakly heterogeneous problems, the second metaheuristic, a genetic algorithm, is suited for strongly heterogeneous problems. Both metaheuristics consider some constraints of practial relevance. The metaheuristics are subjected to a comparative test which includes methods from other authors. For the two-dimensional case, refe- rence problems from the literature are used while new reference problems are proposed for the three-dimensional case.
Key words:
Packing, container, container loading problem, knapsack problem, strip packing, tabu search, gene- tic algorithm, practical constraints.
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E-Mail: Andreas.Bortfeldt@FernUni-Hagen.de
A. Bortfeldt und H. Gehring
1 Einführung und Problemformulierung
Gegenstand des Beitrages sind sogenannte Strip-Packing-Probleme, die auch als Container- beladeprobleme mit einer variablen Containerdimension bezeichnet werden können. Strip-Packing- Probleme lassen sich im dreidimensionalen Fall etwa wie folgt formulieren: Gegeben sei eine Men- ge von quaderförmigen Packstücken (im folgenden Kisten) sowie ein in Längsrichtung offener Container. Gesucht ist eine zulässige Anordnung aller Kisten in dem Container, die die benötigte Containerlänge minimiert und gegebenenfalls zusätzliche Restriktionen berücksichtigt.
Eine Kistenanordnung gilt dabei als zulässig, wenn je zwei Kisten überschneidungsfrei plaziert sind, alle Kisten die Breiten- und Höhenbegrenzung des Containers respektieren sowie orthogonal, d.h.
parallel zu den Begrenzungsflächen des Containers, angeordnet sind. Bezüglich der Struktur der Kistenmenge werden keine einschränkenden Voraussetzungen gemacht; der Kistenvorrat kann also sowohl homogen (1 Kistentyp), schwach heterogen (wenige Kistentypen, viele Kisten pro Typ) wie auch stark heterogen (viele Kistentypen, wenige Kisten pro Typ) sein. Die Kisten eines Typs stellen kongruente Quader dar. Auch hinsichtlich der räumlichen Orientierung der Kisten sind keine Be- schränkungen vorgesehen.
Aus der Vielzahl der in der Praxis vorkommenden Restriktionen – vgl. hierzu BISCHOFF und RATCLIFF (1995) – werden hier Orientierungs-, Stabilitäts- und Überstapelungsrestriktionen in die Problemstellung einbezogen. Während die Orientierungsrestriktion die zugelassenen Orientierungs- varianten einiger Kisten einschränkt, verlangt die Stabilitätsrestriktion, daß nicht auf dem Contai- nerboden plazierte Kisten mindestens zu einem vorgegebenen Prozentsatz ihrer Grundfläche durch darunter liegende Kisten unterstützt werden. Gemäß einer Überstapelungsrestriktion dürfen auf den Deckflächen gewisser Kisten keine weiteren Kisten plaziert werden.
Strip-Packing-Probleme können sowohl in zwei (2D) wie auch in drei (3D) Dimensionen betrachtet werden und stellen neben Knapsack-Problemen und Bin-Packing-Problemen einen weiteren Basis- typ von mehrdimensionalen Packproblemen dar (vgl. COFFMAN und SHOR 1990, WOTTAWA 1996, MARTELLO et. al. 1998). Im Unterschied zu den beiden letztgenannten Problemtypen besitzen Strip- Packing-Probleme offensichtlich keine eindimensionale Ausprägung. Hinsichtlich der Kategorisie- rung bzw. Typisierung von Pack- und Verschnittproblemen sei auf DYCKHOFF (1990), DYCKHOFF
undFINKE (1992) sowie DYCKHOFF et al. (1997) verwiesen. Nach der von DYCKHOFF (1990) vorge- schlagenen Typologie besitzen 2D- bzw. 3D-Strip-Packing-Probleme die Typcharakteristik 2/V/O/
bzw. 3/V/O/ (vgl. WOTTAWA 1996). Während also einerseits alle Stücke (“V“) zu verpacken sind, steht hierfür andererseits nur ein Container (“O“) zur Verfügung. Allerdings berücksichtigt die Ty- pologie von DYCKHOFF den Typ der Strip-Packing-Probleme nur indirekt: Überschreitet das Volu- men der Packstücke das Containervolumen, setzt die Lösbarkeit des Problems – unter der Annahme unveränderlicher Packstückmaße – voraus, daß das Containervolumen etwa durch die Anpassung eines Seitenmaßes variabel gestaltet werden kann.
Bemerkt sei, daß Packprobleme mit einem Container einer variablen Dimension in der Literatur nicht einheitlich bezeichnet werden. Während COFFMAN und SHOR (1990) sowie WOTTAWA (1996) den Begriff „Strip-Packing“ benutzen, sprechen andere Autoren von Containerladeproblemen oder auch Bin-Packing-Problemen. Im Interesse einer klaren Abgrenzung von anderen Problemtypen wie auch aus Gründen der Anschaulichkeit wird hier die zuerst genannte Bezeichnung übernommen.
Soweit restriktionsfreie Probleme betrachtet werden, ist die Auswahl des variablen, zu minimieren- den Containermaßes offenbar unabhängig von der Dimension des Problems gleichgültig. Dies ist jedoch bei zusätzlich zu beachtenden Restriktionen der Verstauung generell nicht mehr der Fall.
Insbesondere ist es bei dreidimensionalen Packproblemen nicht immer gleichgültig, ob ein hori- zontales Maß oder das Höhenmaß als das zu minimierende Seitenmaß gewählt werden. Dies liegt in den bei 3D-Packproblemen häufig zu berücksichtigenden Stabilitätsanforderungen begründet, wo- nach etwa jede Kiste mindestens zu einem vorgegebenen Prozentsatz ihrer Grundfläche unterstützt werden muß. Entsprechend der oben gegebenen Problemformulierung beschränkt sich der vorlie- gende Beitrag auf Probleme, bei denen ein horizontales Seitenmaß des Containers zu minimieren ist.
Wie die anderen Basistypen von Packproblemen ist auch das Strip-Packing-Problem von beträchtli- cher praktischer Relevanz. Im zweidimensionalen Fall läßt es sich als ein spezielles Cutting-Stock- Problem auffassen, das bei der Verschnittoptimierung etwa in der Glas- und Metallindustrie auftritt.
Bei der Layoutgenerierung von VLSI-Schaltkreisen sind rechteckige Blöcke auf einer minimalen Fläche zu plazieren – eine dem 2D-Strip-Packing-Problem verwandte Problemstellung (vgl.
SCHNECKE 1996). Im dreidimensionalen Fall kann die Lösung von Strip-Packing-Problemen dem Design und der Auswahl von Behältern oder auch von Fahrzeugen eines Fuhrparks für die Verpa- ckung bzw. den Transport einer gegebenen Menge von Gütern dienen (vgl. SIXT 1996).
Von den in der Literatur vorgeschlagenen Verfahren für Strip-Packing-Probleme seien stellvertre- tend einige Ansätze genannt. Heuristische Verfahren für das dreidimensionale Strip-Packing- Problem werden von GEORGE und ROBINSON (1980), BISCHOFF und MARRIOTT (1990) sowie LI und CHENG (1990) vorgestellt. In einer jüngeren Arbeit von SIXT (1996) werden die Metaheuristiken Tabu
Search und Simulated Annealing auf das 3D-Strip-Packing-Problem angewendet. Parallele Geneti- sche Algorithmen für das 2D-Strip-Packing-Problem präsentieren KRÖGER (1993) (vgl. auch KRÖGER und VORNBERGER 1991, KRÖGER 1995) sowie SCHNECKE(1996).
Vor allem für 3D-Strip-Packing-Probleme wurden bisher erst wenige Ansätze vorgeschlagen. Da Strip-Packing-Probleme NP-harte und besonders schwierige kombinatorische Optimierungs- probleme darstellen, handelt es sich meist um traditionelle heuristische Verfahren, in zunehmendem Maße aber auch um Anwendungen von Metaheuristiken. Die meisten Verfahren der Literatur bezie- hen nur in geringem Umfang in der Praxis vorkommende Restriktionen ein.
Der vorliegende Beitrag schlägt zwei Heuristiken vor, die auf 2D- wie auch auf 3D-Strip-Packing- Probleme anwendbar sind. Die Heuristiken werden durch eine Adaption zweier Verfahren für das 3D-Knapsackproblem bzw. Containerbeladeproblem mit einem Container gewonnen. Dabei handelt es sich um das Tabu-Search-Verfahren (TSV) von BORTFELDT und GEHRING (1998a) sowie den genetischen Algorithmus (GA) von BORTFELDT und GEHRING (1998b). Das TSV ist vornehmlich zur Lösung von Problemen mit einem schwach heterogenen Kistenvorrat geeignet, während der GA auf stark heterogene Kistenvorräte zugeschnitten ist. Zur Adaption beider Verfahren an das Strip- Packing-Problem werden zwei verschiedene Ansätze erprobt. In einem weiteren Schritt werden die adaptierten Verfahren parallelisiert, wobei die Parallelisierung auf dem Interaktionsmodell der ko- operativen Autonomie basiert, bei dem alle beteiligten Prozesse nebenläufig die vollständige Prob- lemstellung bearbeiten.
Der Rest des Beitrages ist dementsprechend wie folgt gegliedert. Der Abschnitt 2 gibt eine kurze Beschreibung der zugrundeliegenden Verfahren für Containerbeladeprobleme. In dem Abschnitt 3 werden für die Ausgangsverfahren zwei Ansätze der Adaption an Strip-Packing-Probleme vorge- stellt. Der Abschnitt 4 beschäftigt sich mit der Parallelisierung der adaptierten Verfahren. In dem Abschnitt 5 werden die Heuristiken für das Strip-Packing-Problem einem Test unterzogen, der 2D-
und 3D-Probleme, darunter auch stärker restringierte Probleme, einbezieht. Schließlich faßt der Ab- schnitt 6 den Beitrag zusammen.
2 Zwei Verfahren für Containerbeladeprobleme
Im folgenden werden zunächst die zu adaptierenden Verfahren für Containerbeladeprobleme skiz- ziert. Für eine umfassende Darstellung sei auf die oben genannten Quellen verwiesen. Generell wird nachfolgend unterstellt, daß der zu beladende Container in dem ersten Oktanden eines 3D- Koordinatensystems eingebettet ist, wobei sich eine untere Ecke des Containers im Koordinaten- ursprung befindet. Die Länge, Breite und Höhe des Containers werden durch lC, bC bzw. hC be- zeichnet und sollen in Richtung der x-, y- und z-Achse des Koordinatensystems liegen.
2.1 Das Tabu Search-Verfahren
Das TSV besteht aus zwei Komponenten. Jede im Verlauf der Suche ermittelte Lösung wird un- mittelbar durch eine Basisheuristik erzeugt, während eine übergeordnete Steuerheuristik ihrerseits die Tabu Suche durchführt. Der Tabu Suche liegt eine geeignete Codierung zulässiger Problemlö- sungen zugrunde; sie erfolgt also nicht im Lösungsraum selbst, sondern im Raum der codierten Lö- sungen. Jede bei der Tabu Suche bestimmte codierte Lösung wird von der Basisheuristik gesondert in eine zulässige Problemlösung umgesetzt.
Die Basisheuristik füllt – beginnend mit dem gesamten Containerinnenraum – sukzessive Resträu- me, d.h. freie quaderförmige Räume mit definierten Maßen innerhalb des Containers. Nach dem Füllen eines Restraums wird der nicht genutzte Teil des Restraums vollständig in mehrere unterge- ordnete Resträume zerlegt, die später gefüllt werden. Die Zerlegung erfolgt derart, daß seitlich ü- berhängende Kisten ausgeschlossen werden. Als nächster Restraum wird stets der kleinste noch leere Restraum verarbeitet.
Die zugelassenen Kistenanordnungen für die einzelnen Resträume werden als lokale Anordnungen bezeichnet und besitzen eine vorgegebene einfache Struktur. Lokale Anordnungen bestehen aus einem oder zwei Anordnungsquadern aus Kisten gleichen Typs und identischer räumlicher Orientie- rung (vgl. Abbildung 1).
Pro Block werden die Kistenanzahlen in den drei räumlichen Dimensionen unter Beachtung der Restraummaße und der noch vorhandenen Kisten der verschiedenen Typen möglichst groß gewählt.
Für jeden zu verarbeitenden Restraum wird eine Auswahl aller möglichen lokalen Anordnungen experimentell erzeugt. Diese werden nach ihrer Güte bewertet und – absteigend sortiert nach ihrer Bewertung – in einer Anordnungsliste abgelegt, wobei zwei alternative Bewertungsansätze verwen- det werden können. Schließlich wird die lokale Anordnung an einer vorgegebenen Listenposition für das Füllen des Restraumes genutzt.
Zulässige Problemlösungen werden nun durch sogenannte Packpläne repräsentiert. Ein Packplan enthält für jeden bei der Erzeugung einer Problemlösung auftretenden füllbaren Restraum die In- formation, das wievielte Listenelement der Anordnungsliste für das Füllen des Restraumes zu ver- wenden ist. Hiernach ist die Problemlösung durch den zugrundeliegenden Packplan determiniert.
Die für eine Tabu Suche erforderliche Nachbarschaftsstruktur wird im Raum der Packpläne defi- niert, wobei zwei verschiedene Umgebungsbegriffe alternativ benutzt werden können.
Um die Tabu Suche zu diversifizieren, wird schließlich der Suchprozeß in mehrere Phasen zerlegt.
Jede Phase wird dabei durch eine eigene Kombination verschiedener Verfahrensparameter, in erster Linie durch den verwendeten Bewertungsansatz für lokale Anordnungen und den benutzten Umge- bungsbegriff, charakterisiert. Als Verfahrenslösung wird die über alle Phasen beste Lösung ausge- geben.
b) Anordnung mit zwei Anordnungsquadern a) Anordnung mit einem Anordnungsquader
Abb. 1. Lokale Anordnung mit einem und mit zwei Anordnungsquadern in einem Restraum (Draufsicht).
2.2 Der genetische Algorithmus
Auch der genetische Algorithmus umfaßt zwei Komponenten, von denen allein die erste – die soge- nannte Basisheuristik – unmittelbar der Erzeugung von Kistenanordnungen dient. Eine übergeord- nete Steuerheuristik, die insbesondere die genetischen Operatoren umfaßt, lenkt den Ablauf der Su- che. Anders als das TSV führt der GA die Suche unmittelbar im Raum der Problemlösungen (Phä- notypen) durch bzw. benutzt keine gesonderte Codierung von Lösungen.
Allerdings wird die Suche auf schichtartig strukturierte Staupläne beschränkt (vgl. GEHRING et al.
1990). Jeder generierte Stauplan besteht aus lückenlos aufeinanderfolgenden, quaderförmigen Schichten parallel zu den Stirnwänden des Containers. In jeder Schicht sind eine oder mehrere Kis- ten angeordnet, die nicht in benachbarte Schichten hineinragen. Die Höhe und die Breite einer Schicht stimmen mit den korrespondierenden Containermaßen überein. Die Schichttiefe wird durch eine schichtbestimmende Kiste und deren räumliche Orientierung festgelegt. Die Abbildung 2 zeigt die schichtartige Struktur erzeugter Staupläne.
Bei Suchbeginn werden mittels der Basisheuristik komplette Staupläne als Startindividuen für die Evolution in Populationsstärke bereitgestellt. Folgegenerationen werden im wesentlichen mit zwei problemspezifischen Operatoren – nämlich Crossover und Mutation – generiert. Diese übertragen jeweils zunächst Schichten der Elternindividuen mit besonders hoher Raumauslastung unverändert auf die Nachkommen. Da diese danach im allgemeinen noch keine kompletten Lösungen darstellen, werden weitere Schichten durch die Basisheuristik neu erzeugt.
Schicht-1 y
x bC
lC Schichttiefe
0 schicht- bestimmende Kiste (sbk)
Schicht-2 Schicht-3 Schicht-4
sbk-1 sbk-2 sbk-3 sbk-4
Abb. 2. Schichtartige Struktur eines Stauplans (Draufsicht).
Die Erzeugung einer einzelnen Schicht umfaßt zwei Schritte. Die Schicht wird zunächst definiert, indem ihre schichtbestimmende Kiste und deren räumliche Orientierung festgelegt werden (Schichtdefinition). Anschließend wird die Schicht mit der schichtbestimmenden Kiste und weiteren Kisten gefüllt.
Da die Basisheuristik deterministisch vorgeht, ist die Kistenanordnung durch eine gegebene Schichtdefinition bereits eindeutig bestimmt. Andererseits müssen von der Basisheuristik verschie- dene Individuen für die Startpopulation bereitgestellt sowie bei der Anwendung der genetischen Operatoren Nachkommen durch eine möglichst günstige Kombination neuer zusätzlicher Schichten mit hoher Raumauslastung komplettiert werden. Beide Aufgaben werden im wesentlichen durch eine Variation der Schichtdefinition und die Generierung einer entsprechenden Vielfalt von Schichten gelöst.
Bei dem Füllen einer einzelnen Schicht werden – beginnend mit dem Schichtquader – sukzessive Resträume innerhalb der Schicht beladen. Nach der Beladung eines Restraumes werden innerhalb desselben drei weitere Resträume erzeugt, die in einem Restraum-Stack gesammelt und später ver- arbeitet werden. Zuvor werden neu erzeugte Resträume mit bereits vorhandenen, aber noch unge- füllten Resträumen nach Möglichkeit verschmolzen.
Jeder Restraum wird mit dem volumenmaximalen Paar unverstauter Kisten gefüllt, das vollständig im Restraum plazierbar ist. Bei mehreren Anordnungsmöglichkeiten der für einen Restraum ermit- telten Kisten werden nach gewissen heuristischen Regeln die relative Lage und die Drehungsvari- anten der Kisten sowie deren räumliche Verteilung im Restraum bestimmt. Das Vorgehen bei der Kistenplazierung wie auch bei der Restraumerzeugung schließt seitlich überhängende Kisten aus.
Die Abbildung 3 zeigt mögliche Lagevarianten zweier Kisten in einem Restraum.
z
x
Restraum
a) Lagevariante vor
y
z
x
b) Lagevariante neben
y
z
x
c) Lagevariante über
y
Abb. 3. Lagevarianten zweier Kisten in einem Restraum.
3 Adaption der Containerbeladeverfahren an Strip-Packing-Probleme
Zur Anpassung der beiden Containerbeladeverfahren an Strip-Packing-Probleme werden zwei An- sätze betrachtet, die zunächst unabhängig von den konkreten Verfahren beschrieben seien. Im Anschluß werden einige Details der Anwendung der Adaptionsansätze auf beide Beladeverfahren erläutert.
3.1 Zwei Adaptionsansätze
Der erste Ansatz für die Anpassung eines Containerbeladeverfahrens an Strip-Packing-Probleme liegt auf der Hand. Der Container wird an einer Stirnseite geöffnet, d.h. alle in dem jeweiligen Ver- fahren vorhandenen Plazierungsbeschränkungen, die aus einer festen Containerlänge resultieren, werden entfernt. Demnach können stets alle Kisten des gegebenen Kistenvorrats verstaut werden.
Eine Kistenanordnung, die alle Kisten des Kistenvorrats umfaßt, wird nachfolgend als vollständige Kistenanordnung bezeichnet. Im Zusammenhang mit der Öffnung des Containers wird das ur- sprüngliche Zielkriterium, also etwa die Maximierung des verstauten Kistenvolumens, ersetzt. Als neues Zielkriterium wird die Minimierung der von einer vollständigen Kistenanordnung bean- spruchten Containerlänge, bezeichnet durch lC_belegt, benutzt. Nach beiden Modifikationen kann das Verfahren zur Lösung von Strip-Packing-Problemen eingesetzt werden. Der erste Adaptionsan- satz wird im folgenden als Adaptionsansatz mit offenem Container bezeichnet.
Der zweite Adaptionsansatz sieht vor, ein Strip-Packing-Problem zu lösen, indem sukzessive Con- tainerbeladeprobleme mit sinkenden Containerlängen berechnet werden. Der Kistenvorrat aller zu berechnenden Containerbeladeprobleme stimmt natürlich mit dem Kistenvorrat des gegebenen Strip-Packing-Problems überein. Der Suchprozeß beginnt mit einer hinreichend großen, aber fest gewählten Containerlänge lC_start. Für eine gegebene aktuelle Containerlänge lC_akt wird mittels des ursprünglichen Beladeverfahrens nach einer vollständigen Kistenanordnung gesucht. Ist diese gefunden, wird die von ihr beanspruchte Containerlänge lC_belegt bestimmt, wobei stets lC_belegt
≤ lC_akt gilt. Im Anschluß daran wird die Containerlänge lC_akt gemäß
lC_akt = lC_belegt - ∆lC (1)
reduziert, wobei ∆lC > 0 eine Reduzierungskonstante darstellt. Danach wird der Suchprozeß für die neue Containerlänge lC_akt bzw. das hiermit gegebene Containerbeladeproblem fortgesetzt. Der Suchprozeß terminiert, wenn für eine aktuelle Containerlänge erstmals keine vollständige Kistenan- ordnung gefunden wurde. Als Verfahrenslösung wird die zuletzt bestimmte vollständige Kistenan- ordnung ausgegeben. Der zweite Adaptionsansatz wird nachfolgend als Adaptionsansatz mit ge- schlossenem Container bezeichnet.
Der Adaptionsansatz mit geschlossenem Container erscheint auf den ersten Blick als ineffizient.
Jedoch ist zu beachten, daß der größte Teil des gesamten Verfahrensaufwandes auf die Suche nach vollständigen Kistenanordnungen für relativ wenige Containerlängen entfallen wird, die bereits dicht bei dem schließlich ermittelten Zielfunktionswert liegen. Dagegen werden für anfängliche größere Containerlängen vollständige Kistenanordnungen mit geringem Aufwand bestimmbar sein.
Zusätzlich können Maßnahmen zur Abkürzung der Suche ergriffen werden; so kann etwa die an- fängliche Containerlänge lC_start bereits günstig, d.h. relativ klein gewählt werden.
Bei dem Adaptionsansatz mit offenem Container werden zunächst Lösungen bzw. vollständige Kistenanordnungen mit beliebig großer beanspruchter Containerlänge zugelassen. Eine Lenkung der Suche erfolgt ausschließlich mittels der nachträglichen Bewertung von Lösungen anhand des Ziel-
kriteriums. Dagegen wird bei dem Ansatz mit geschlossenem Container die Längenausdehnung vollständiger Kistenanordnungen a priori begrenzt. Für diesen Adaptionsansatz spricht demnach, daß er unmittelbar auf die Erzeugung von möglichst günstigen Lösungen ausgerichtet ist.
3.2 Umsetzung des Adaptionsansatzes mit offenem Container
Die Anwendung des Ansatzes mit offenem Container auf das Tabu Search-Verfahren stößt auf eine Schwierigkeit. Das TSV generiert Lösungen, indem sukzessive quaderförmige Resträume definier- ter Abmessungen gefüllt werden, wobei der erste zu füllende Restraum stets der gesamte Containe- rinnenraum ist. Da dies mit dem Konzept eines offenen Containers unbestimmter Länge nicht ver- einbar ist, wird die Containerlänge auf einen großen, jedoch bestimmten Wert lC_max fixiert.
Experimenten zufolge beeinflußt der Wert lC_max die Qualität der Verfahrenslösung nicht uner- heblich, ohne daß ersichtlich wäre, wie ein optimaler Wert für die Größe lC_max zu bestimmen ist.
Daher wird bei einer Problemberechnung der Wert lC_max mehrfach variiert und der Suchprozeß für jeden einzelnen Wert von lC_max wiederholt. Die insgesamt beste gefundene Lösung wird als Verfahrenslösung ausgegeben. Für lC_max werden folgende drei experimentell ermittelte Werte benutzt:
lC_max(i) = (1 + i).lC_lower_bound, i = 1, 2, 3. (2)
Dabei bezeichnet lC_lower_bound eine untere Schranke der für die Plazierung aller Kisten benö- tigten Containerlänge, die sich aus dem insgesamt zu verstauenden Kistenvolumen vk_sum und den festen Containermaßen, d.h. der Breite bC und der Höhe hC gemäß
lC_lower_bound = vk_sum / (bC.hC) (3)
ergibt.
Einfacher gestaltet sich die Umsetzung des Adaptionsansatzes mit offenem Container für den gene- tischen Algorithmus. Zwar werden auch hier bei der Erzeugung von Lösungen Resträume definier- ter Abmessungen gefüllt. Da jedoch jeder Restraum ganz in einer Schicht mit fester Tiefe bzw.
Längenausdehnung liegt, ergibt sich kein Konflikt mit dem Konzept eines offenen Containers.
Neben der Umstellung auf einen offenen Container und der Modifikation der Zielfunktion umfaßt die Anpassung des GA noch zwei weitere Schritte. So wird zum einen die Mutationsvariante der Verschmelzungsmutation suspendiert, da diese eine feste Containerlänge voraussetzt (vgl.
BORTFELDT und GEHRING 1998b, S. 17). Ferner wird – ähnlich wie bei dem TSV – der Suchprozeß im Sinne einer Diversifizierung bei jeder Problemberechnung zweimal wiederholt. Während des ersten Laufes werden Resträume wie oben bemerkt nach Möglichkeit verschmolzen, während dies bei dem zweiten Lauf unterbleibt.
3.3 Umsetzung des Adaptionsansatzes mit geschlossenem Container
Der Ansatz mit geschlossenem Container wird auf das Tabu Search-Verfahren wie folgt ange- wendet. Die Suche beginnt mit der Containerlänge
lC_start =2.lC_lower_bound, (4)
wobei lC_lower_bound die in Gleichung (3) definierte untere Schranke ist. Nach der Ermittlung einer vollständigen Kistenanordnung wird die aktuelle Containerlänge lC_akt gemäß Gleichung (1) reduziert, wobei der Wert der Reduzierungskonstanten ∆lC auf 1, d.h. eine Längeneinheit fixiert wird. Um die Suche abzukürzen, wird allerdings zu Beginn, also nach der Ermittlung einer voll- ständigen Kistenanordnung für die Containerlänge lC_start, einmalig eine geeignete stärkere Redu- zierung der Containerlänge vorgenommen.
Ferner zeigte sich, daß das TSV mitunter vollständige Kistenanordnungen für eine kleinere Contai- nerlänge findet, nachdem vorher die Suche für eine größere Containerlänge erfolglos blieb. Daher wird der Suchprozeß nicht unmittelbar abgebrochen, nachdem erstmals für eine Containerlänge kei- ne vollständige Anordnung gefunden wurde. Vielmehr wird die aktuelle Containerlänge nach einer erfolglosen Suche nochmals um eine Längeneinheit reduziert und die Suche fortgesetzt. Erst nach insgesamt 10 erfolglosen Versuchen der Bestimmung einer vollständigen Kistenanordnung für ver- schiedene Containerlängen wird der Suchprozeß definitiv beendet.
Bei der Anwendung des Adaptionsansatzes mit geschlossenem Container auf den genetischen Algo- rithmus werden die Bestimmung der anfängliche Containerlänge sowie die Reduzierung der Contai- nerlänge nach erfolgreicher Suche analog vorgenommen wie bei dem TSV. Eine einmalige stärkere Reduzierung der Containerlänge bei Suchbeginn sowie die begrenzte Fortsetzung der Suche nach Mißerfolgen sind allerdings nicht vorgesehen. Jedoch wird der Suchprozeß analog zur Anpassung des GA entsprechend dem Ansatz mit offenem Container in zwei Läufe gegliedert, wobei nur bei dem ersten Lauf eine Restraumverschmelzung durchgeführt wird.
Abschließend sei bemerkt, daß für alle vier nunmehr spezifizierten Verfahrensvarianten eine Zeit- schranke vorgesehen ist, bei deren Überschreiten der Suchprozeß abgebrochen wird.
4 Parallelisierung der Strip-Packing-Heuristiken
In einem weiteren Schritt soll geprüft werden, ob eine Parallelisierung der spezifizierten Strip- Packing-Heuristiken zu einer Performanceverbesserung führt. Für die Parallelisierung wird jeweils die bessere Variante der beiden Verfahren ausgewählt. Dabei handelt es sich – wie vorgreifend be- merkt sei – bei beiden Heuristiken um die Verfahrensvariante mit geschlossenem Container.
Der Parallelisierung liegt ein Modell der kooperativen Autonomie zugrunde, bei dem mehrere auto- nome Prozesse jeweils die vollständige Problemstellung bearbeiten und in regelmäßigen Abständen gewisse für die Suche relevante Informationen austauschen (vgl. SCHÜTZ 1997). Dem grob- granularen Ansatz der Parallelisierung auf der Ebene ‚coarse-grained‘ entsprechend wird für die Ausführung der parallelen Verfahren ein PC-LAN genutzt.
Für beide Heuristiken wird derselbe Parallelisierungsansatz verwendet. So soll einerseits durch eine unterschiedliche Parameterkonfiguration der beteiligten Prozesse eine höhere Lösungsgüte erreicht werden. Zum anderen soll durch den Austausch von Zielfunktionswerten der aktuell besten gefun- denen Lösungen die Suche möglichst beschleunigt werden.
4.1 Variation der Parameterkonfiguration
Was das Tabu Search-Verfahren für Strip-Packing-Probleme anbelangt, kann auf Erfahrungen bei der Parallelisierung des zugrundeliegenden Beladeverfahrens zurückgegriffen werden (vgl.
GEHRING und BORTFELDT 1999). Wie bei diesem Verfahren sollen auch bei dem abgeleiteten TSV für Strip-Packing-Probleme die Parameterkonfigurationen der beteiligten Prozesse lediglich bezüg-
lich eines Parameters variiert werden. Dabei handelt es sich um den Parameter nbgrenze, mit dem der Umfang der Nachbarschaften zulässiger Lösungen reguliert werden kann (vgl. BORTFELDT und GEHRING 1998a).
Auch für den genetischen Algorithmus ist lediglich eine Variation der Parameterkonfiguration hin- sichtlich eines Parameters vorgesehen. Ergebnisse sequentieller Tests legen in diesem Falle nahe, den Parameter seed, also die Wurzel der Zufallszahlenerzeugung zu variieren, da hierbei eine ge- wisse Erhöhung der Lösungsqualität mit Sicherheit zu erwarten ist.
4.2 Austausch der Zielfunktionswerte von Bestlösungen
Beiden zu parallelisierenden Verfahrensvarianten der Heuristiken liegt der Adaptionsansatz mit geschlossenem Container zugrunde, nach dem ein Strip-Packing-Problem durch die sukzessive Be- rechnung von Beladeproblemen mit sinkenden Containerlängen gelöst wird. Kooperieren nun meh- rere Prozesse, die aufgrund verschiedener Parameterkonfigurationen unterschiedliche Lösungen erzeugen, erfolgt die Reduzierung der Containerlängen im allgemeinen zu verschiedenen Zeitpunk- ten. Dieser Umstand kann wie folgt ausgenutzt werden, um die Suche der einzelnen Prozesse abzu- kürzen:
- Der Zielfunktionswert der bisher besten von allen Prozessen gefundenen Lösung für ein gege- benes Problem wird in einer Datenbank hinterlegt, auf die alle Prozesse lesenden und schrei- benden Zugriff haben. Dieser Zielfunktionswert stellt die minimale bisher ermittelte Contai- nerlänge lC_system_best dar, die zur Verstauung aller Kisten im Container erforderlich ist.
- Hat ein Prozeß für eine aktuelle Containerlänge lC_akt eine vollständige Kistenanordnung er- mittelt und gilt ferner lC_akt < lC_system_best, so wird der Zielfunktionswert lC_system_best in der Datenbank aktualisiert, d.h. auf den Wert lC_akt gesetzt.
- Jeder Prozeß liest während der Suche nach einer vollständigen Kistenanordnung für die Con- tainerlänge lC_akt in regelmäßigen Abständen den besten Zielfunktionswert lC_system_best aus der Datenbank. Stellt der Prozeß fest, daß lC_system_best ≤ lC_akt gilt, so hat bereits ein anderer Prozeß eine Lösung gefunden, die den aktuell untersuchten Wert lC_akt erreicht oder unterschreitet. In diesem Fall verhält sich der Prozeß so, als ob er die derzeit beste Systemlö- sung selbst gefunden hätte. Der Prozeß bricht daher die Suche für die Containerlänge lC_akt unmittelbar ab. Die aktuell untersuchte Containerlänge lC_akt wird gemäß Gleichung (1) redu- ziert, wobei die beanspruchte Containerlänge lC_belegt der letzten gefundenen vollständigen Kistenanordnung durch den Wert lC_system_best substituiert wird (vgl. Abschnitt 3.1). An- schließend wird die Suche für die aktualisierte Containerlänge fortgesetzt. Auf diese Weise werden alle Prozesse auf die Gewinnung einer neuen Systembestlösung ausgerichtet.
Die beschriebenen Kommunikationsvorgänge werden von den Prozessen mit unterschiedlicher Fre- quenz vollzogen. Der Zielfunktionswert einer neuen Systembestlösung wird jeweils nur im Anschluß an eine erfolgreiche Suche für eine gegebene Containerlänge, die im allgemeinen viele Iterationen bzw. Generationen umfaßt, in die Datenbank geschrieben. Dagegen wird der aktuell beste Zielfunktionswert nach jeder einzelnen Iteration bzw. Generation aus der Datenbank gelesen, um gegebenenfalls die Suche ohne großen Zeitverzug unterbrechen zu können.
Schließlich sei bemerkt, daß jeder Prozeß die von ihm gefundene beste Lösung aufbewahrt. Für mindestens einen Prozeß gilt dann, daß seine eigene Bestlösung zugleich die Systembestlösung ist.
Abschließend gibt einer der Prozesse mit dieser Eigenschaft seine eigene Bestlösung als Verfah- renslösung aus.
5 Verfahrenstest
Mit dem folgenden Verfahrenstest soll die Performance der in C implementierten Heuristiken ge- prüft werden. Anschließend wird zunächst auf die benutzten Testprobleme, die berücksichtigten Vergleichsverfahren, die Parametrisierung sowie die Testumgebung für die Heuristiken eingegan- gen, bevor die Testergebnisse dokumentiert werden.
5.1 Benutzte Testprobleme
In der Literatur finden sich kaum dreidimensionale Referenzprobleme für Strip-Packing-Verfahren.
Daher werden hier insgesamt 130 dreidimensionale Strip-Packing-Probleme (nachfolgend SP-Probleme) als Referenzprobleme für Benchmarktests vorgeschlagen. Hierbei wird wie folgt vor- gegangen:
(1) Die 15 von LOH und NEE (1992) eingeführten Containerbeladeprobleme werden als SP-Prob- leme gestellt, wobei jeweils die benötigte Containerlänge für die Verstauung aller Kisten zu minimieren ist, während die Containerlänge der Originalprobleme obsolet ist. Zusätzlich zu der Orientierungsrestriktion, die bereits die Originalprobleme aufweisen, wird eine Stabilitätsre- striktion gefordert, wonach alle nicht auf dem Containerboden ruhenden Kisten vollständig durch weitere Kisten von unten unterstützt werden müssen. Wie die Originalprobleme weisen auch die abgeleiteten SP-Probleme durchweg einen schwach heterogenen Kistenvorrat mit durschnittlich 22.2 Kisten pro Typ auf.
(2) BISCHOFF und RATCLIFF (1995) bzw. DAVIS und BISCHOFF (1998) schlugen insgesamt 1500 Beladeprobleme vor, die sich in 15 Testfälle zu je 100 Problemen gliedern. Hier werden nun die ersten 10 Probleme der ersten 10 Testfälle – wie unter (1) – als SP-Probleme eingeführt.
Alle Probleme eines Originaltestfalls besitzen dieselbe Anzahl von Kistentypen. Danach stehen nun 10 Testfälle bzw. je 10 SP-Probleme mit den Kistentypanzahlen 3, 5, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40 und 50 zur Verfügung. Der Charakter der Kistenvorräte wandelt sich bei den 10 Testfällen von schwach heterogen in stark heterogen. Bezüglich der geforderten Restriktionen bei den SP-Problemen gelten analoge Aussagen wie unter (1).
(3) Zusätzlich werden 15 weitere, stärker restringierte Probleme vorgeschlagen. Diese ergeben sich aus den unter (1) eingeführten Problemen, indem pro Problem jeweils die ersten 50% der nach dem Volumen absteigend sortierten Kistentypen als nicht überstapelbar deklariert werden. Die- se 15 Probleme weisen also zusätzlich zu einer Orientierungs- und einer Stabilitätsrestriktion noch eine Überstapelungsrestriktion auf.
Die eingeführten SP-Probleme bzw. SP-Testfälle werden nach den Autoren der Originalprobleme benannt; entsprechende Bezeichnungen werden mit dem Präfix „SP-“versehen. Bei den unter (3) vorgeschlagenen Problemen wird von den SP-Problemen von LOH und NEE mit Überstapelungs- restriktion gesprochen.
Bemerkt sei, daß die Originalprobleme von LOH und NEE sowie die ersten 700 der von BISCHOFF
undRATCLIFF bzw. DAVIS undBISCHOFF definierten Originalprobleme in der OR-Library abgelegt sind und über das WWW bezogen werden können (siehe http://mscmga.ms.ic.ac.uk/). Hiermit sind also derzeit auch zumindest 100 der 130 vorgeschlagenen SP-Probleme ohne weiteres verfügbar.
Als zweidimensionale SP-Probleme werden die von KRÖGER (1993) eingeführten Probleme für den Verfahrenstest verwendet. Diese sind restriktionsfrei und durchweg stark heterogen; in der Regel entfällt auf jeden Rechtecktyp nur ein Exemplar.
5.2 Vergleichsverfahren, Parametrisierung der Heuristiken und Testumgebung
Für den dreidimensionalen Fall kann ein Vergleich mit Verfahren anderer Autoren nur indirekt durchgeführt werden. Hierzu wird das erfolgreichste der von SIXT(1996) vorgestellten Verfahren, ein TSV mit der Bezeichnung “TS(best)“ herangezogen. SIXT berechnete mit diesem Verfahren un- ter anderem 60 Probleme, die sich in 6 Testfälle zu je 10 Problemen mit jeweils einheitlicher Kis- tentypanzahl gliedern. Die Kistentypanzahlen betragen dabei: 3, 5, 10, 15, 20 und 30. Die Testfälle seien durch Sj, j = 1,...,6 bezeichnet. Da diese Testfälle den Autoren auch nach mehrfacher Nachfra- ge nicht zur Verfügung gestellt werden konnten, werden die mittleren Volumenauslastungen des Verfahrens TS(best) für die 6 Testfälle Sj, j = 1,...,6, den mit den hier entwickelten Heuristiken er- reichten mittleren Volumenauslastungen für die Testfälle SP-BRi, i = 1, 2, 4, 6, 7, mit übereinstim- menden Kistentypanzahlen gegenübergestellt. Es erübrigt sich darauf hinzuweisen, daß der durchge- führte Vergleich nur begrenzt aussagefähig ist. Insbesondere ist zu beachten, daß die von SIXT be- rechneten Probleme restriktionsfrei sind, also im Unterschied zu den hier berechneten Vergleichs- problemen weder eine Orientierungsrestriktion noch eine Stabilitätsrestriktion besitzen.
Für den zweidimensionalen Fall wird ein Vergleich mit den von KRÖGER (1993) und von SCHNECKE
(1996) vorgestellten (parallelen) genetischen Algorithmen vorgenommen.
Alle von anderen Autoren erzielten Ergebnisse werden durchweg nach den angegebenen Quellen zitiert.
Die bei dem Verfahrenstest benutzte Parametrisierung der hier entwickelten Strip-Packing- Heuristiken lehnt sich an die bei dem Test der Originalverfahren vorgenommene Parametrisierung an und ist im Anhang ausführlich dargestellt. Für alle Verfahrensvarianten wird einheitlich eine Zeitschranke von 30 Minuten für die getesteten 3D-Probleme bzw. 120 Minuten für die berechneten 2D-Probleme verwendet. Die Wahl der Zeitschranke für die 2D-Probleme orientiert sich an den bei KRÖGER angegebenen Rechenzeiten (vgl. KRÖGER 1993, S. 93), berücksichtigt dabei jedoch zugleich, daß das Verfahren von KRÖGER auf Prozessoren mit vergleichsweise geringer Rechen- leistung getestet wurde (vgl. unten).
Alle Testrechnungen wurden auf Pentium-PCs mit einer Taktfrequenz von 400 MHz ausgeführt.
Die parallelen Verfahrensvarianten wurden mit jeweils vier Prozessen bei gleicher Prozessoranzahl getestet. Für die Prozeßkommunikation wurde das Datenbanksystem BTRIEVE verwendet.
5.3 Testresultate
Dokumentiert werden zunächst die Ergebnisse der sequentiellen Verfahrensvarianten, während auf die Resultate der Parallelansätze abschließend gesondert eingegangen wird. Die sequentiellen Ver- fahrensvarianten des Tabu Search-Verfahrens werden durch SPUSE-1 (offener Container) und SPUSE-2 (geschlossener Container) bezeichnet, während die Parallelvariante des TSV SPUSE-2P genannt wird. Analog werden die drei Varianten des genetischen Algorithmus durch SPGAS-1 (of- fener Container), SPGAS-2 (geschlossener Container) bzw. SPGAS-2P (Parallelvariante) bezeich- net. Für alle dreidimensionalen Probleme werden die Varianten des GA nur einmal, mit konstanter Wurzel der Zufallszahlenerzeugung (seed) getestet, während für zweidimensionale Probleme wie weiter unten erläutert mehrere Testläufe mit verschiedenen seed-Werten durchgeführt werden.
(1) Ergebnisse für die 15 SP-Probleme von LOH und NEE
Die Tabelle 1 zeigt die bei dem Test der 15 SP-Probleme von LOH und NEE berechneten Resultate.
Dabei werden die pro Problem und die im Mittel erreichten Containerlängen sowie die zugehörigen Volumenauslastungen angegeben.
Die Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen. Für beide Heuristiken schneidet die Verfah- rensvariante mit geschlossenem Container deutlich besser ab als die Variante mit offenem Contai- ner. Bei dem TSV erreicht der Ansatz mit geschlossenem Container eine um ca. 2.4% höhere mittle- re Containerauslastung, während bei dem GA die Variante mit geschlossenem Container eine um 3.6% höhere mittlere Volumenauslastung erzielt. Lediglich bei dem TSV liegt die Rechenzeit des Ansatzes mit geschlossenem Container oberhalb der Rechenzeit der Variante mit offenem Contai- ner, während bei dem GA der Ansatz mit offenem Container mehr Zeit verbraucht.
Das Tabu Search-Verfahren dominiert klar gegenüber dem genetischen Algorithmus. Die Differenz der Volumenauslastung beträgt im Mittel 5.4%, wenn jeweils die erfolgreichere Variante zum Ver- gleich ausgewählt wird. Dies entspricht der Spezialisierung des ursprünglichen Tabu Search- Verfahrens auf schwach heterogene Probleme, während der genetische Algorithmus auf stark hete- rogene Probleme spezialisiert ist. Allerdings verbraucht die bessere TSV-Variante ca. 66% mehr Rechenzeit als die bessere GA-Variante.
Tab. 1. Resultate für die 15 SP-Probleme von LOH und NEE.
Problem SPUSE-1 SPUSE-2 SPGAS-1 SPGAS-2
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
SP-LN01 2175 86.2 2050 91.5 2450 76.5 2275 82.4
SP-LN02 3700 90.1 3650 91.3 3925 84.9 3800 87.7
SP-LN03 2450 87.2 2400 89.1 2550 83.8 2550 83.8
SP-LN04 1900 86.8 1800 91.6 2100 78.5 1950 84.5
SP-LN05 2600 89.1 2500 92.6 2900 79.9 2800 82.7
SP-LN06 4125 93.4 4150 92.8 4350 88.6 4300 89.6
SP-LN07 3275 90.5 3225 91.9 3675 80.6 3500 84.7
SP-LN08 2125 89.5 2075 91.6 2250 84.5 2125 89.5
SP-LN09 3400 91.0 3275 94.5 3500 88.4 3400 91.0
SP-LN10 3675 91.5 3700 90.9 4000 84.1 3825 88.0
SP-LN11 2250 82.9 2100 88.8 2350 79.4 2350 79.4
SP-LN12 2925 85.9 2850 88.2 3075 81.7 2950 85.2
SP-LN13 3400 88.1 3300 90.8 3600 83.2 3400 88.1
SP-LN14 2400 91.6 2400 91.6 2900 75.8 2600 84.5
SP-LN15 4000 89.2 3850 92.7 4200 84.9 4050 88.1
Mittel 2960.0 88.9 2888.3 91.3 3188.3 82.3 3058,3 85.9
mittlere
Rechenzeit (s) 83.1 344.2 331.3 207.7
(2) Ergebnisse für die 100 SP-Probleme von BISCHOFF undRATCLIFF
Die Ergebnisse für die Testfälle SP-BR1 bis SP-BR10 von BISCHOFF und RATCLIFF werden in der folgenden Tabelle 2 dargestellt. Neben den Ergebnissen für die Varianten des TSV und des GA werden – wie im Abschnitt 5.2 erläutert – Resultate des Verfahrens TS(best) von SIXT(1996) aus- gewiesen. Insbesondere werden in der vorletzten Tabellenzeile die mittleren Volumenauslastungen über die vergleichbaren Testfälle von BISCHOFF undRATCLIFF bzw. SIXT angegeben.
Auch für die SP-Probleme von BISCHOFF und RATCLIFF zeigen sich die Verfahrensvarianten mit geschlossenem Container den Ansätzen mit offenem Container überlegen. Die Differenz der über alle Probleme gemittelten Volumenauslastungen betragen für das TSV 2.4% und für den GA 2.2%.
Ebenso dominiert das TSV SPUSE-2 insgesamt erneut alle anderen Verfahrensvarianten. Allerdings beträgt die Differenz der Volumenauslastungen für SPUSE-2 und die erfolgreichere GA-Variante
SPGAS-2 nur noch 1.3% und für die 4 stärker heterogenen Testfälle mit den größten Kistentyp- anzahlen erzielt die GA-Variante die besten Ergebnisse. Dies entspricht wiederum der Speziali- sierung der zugrundeliegenden Beladeverfahren. Ferner erweist sich die beste TSV-Variante erneut als besonders rechenzeitintensiv.
Gemittelt über die jeweils vergleichbaren Testfälle mit identischen Kistentypanzahlen erreichen die Heuristiken SPUSE-2 und TS(best) eine fast gleiche Volumenauslastung von 88.1% bzw. 88.0%.
Ein Vergleich der Lösungsgüte beider Verfahren muß darüber hinaus berücksichtigen, daß die von SIXT(1996) berechneten Testfälle S1 bis S6 – wie bereits bemerkt – ausnahmslos restriktionsfrei sind, während die SP-Probleme von BISCHOFF und RATCLIFF Restriktionen aufweisen, die die er- reichbare Lösungsgüte reduzieren. Daher kann aufgrund der dokumentierten Ergebnisse vermutet werden, daß die Heuristik SPUSE-2 hinsichtlich der Lösungsqualität dem Verfahren TS(best) zu- mindest gleichwertig ist.
Tab. 2. Resultate für die Testfälle SP-BR1 bis SP-BR10 von BISCHOFF undRATCLIFF.
Testfall SPUSE-1 SPUSE-2 SPGAS-1 SPGAS-2 Testfall TS(best)
(Kistentyp- anzahl)
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
Cont.- länge
Vol.-ausl.
(%)
(Kistentyp- anzahl)
Vol.-ausl.
(%)
SP-BR01(3) 659.9 88.6 634.5 92.1 720.1 81.4 698.6 83.8 S1(3) 91.7
SP-BR02(5) 646.2 90.3 630.7 92.5 680.9 85.7 662.9 88.1 S2(5) 87.7
SP-BR03(8) 657.7 88.9 643.1 90.9 676.1 86.4 659.2 88.7 - -
SP-BR04(10) 663.5 87.9 647.9 89.9 680.5 85.7 664.0 87.8 S3(10) 90.0
SP-BR05(12) 681.4 85.7 656.0 89.0 683.0 85.5 665.8 87.7 - -
SP-BR06(15) 683.6 85.3 667.8 87.2 685.7 85.0 669.1 87.1 S4(15) 84.5
SP-BR07(20) 698.5 83.6 687.2 84.9 698.0 83.6 684.7 85.3 S5(20) 88.6
SP-BR08(30) 739.6 79.1 716.9 81.5 722.6 80.9 699.3 83.6 S6(30) 85.3
SP-BR09(40) 764.2 76.4 742.3 78.6 744.8 78.4 719.9 81.1 - -
SP-BR10(50) 785.6 74.5 761.0 76.9 769.9 76.0 750.4 78.0 - -
Mittel 698.0 84.0 678.7 86.4 706.2 82.9 687.4 85.1 - -
Mittel über vergleichbare Testfälle
- 85.8 - 88.1 - 83.7 - 85.9 - 88.0
mittlere
Rechenzeit (s) 1052.9 - 1470.6 - 1259.9 - 1202.8 - - -
(3) Ergebnisse für die 15 SP-Probleme von LOH und NEE mit Überstapelungsrestriktion Die Ergebnisse für die SP-Probleme von LOH und NEE mit einer zusätzlichen Überstapelungs- restriktion seien nur summarisch dargelegt. Für diese insgesamt extrem stark restringierten Proble- me werden nur noch geringe Containerauslastungen erreicht. Die vorher getroffenen Aussagen über die Eignung der Verfahren in Abhängigkeit von dem Charakter der Kistenvorräte bestätigen sich erneut. Die TSV-Variante SPUSE-2 erreicht mit einer mittleren Volumenauslastung von 40.4% das beste Ergebnis, während die anderen Verfahrensvarianten um bis zu 4.3% schlechtere Volumen- auslastungen erzielen.
(4) Ergebnisse für die 12 zweidimensionalen SP-Probleme von KRÖGER
In den Test der 2D-Probleme von KRÖGER werden nur noch die beiden Verfahrensvarianten mit geschlossenem Container, also die Heuristiken SPUSE-2 sowie SPGAS-2, einbezogen. In der Ta- belle 3 werden die Ergebnisse dieser Ansätze und ferner die Resultate der Vergleichsverfahren von KRÖGER (1993) und SCHNECKE (1996) aufgelistet. Während bei dem GA von SCHNECKE lediglich
Ergebnisse für die Parallelversion vorliegen, können bei dem GA von KRÖGER auch die Resultate der sequentiellen Version berücksichtigt werden.
Angelehnt an die Dokumentation der Testergebnisse der Vergleichsverfahren werden nur noch die erreichten Containerlängen, d.h. die Längen der für die Plazierung benötigten großen Rechtecke, angegeben. Für die genetischen Algorithmen werden pro Problem zum einen die erzielten Bestwerte und ferner die Mittelwerte der Containerlängen über die jeweils durchgeführten Testläufe ausgewie- sen. Für den GA SPGAS-2 wurden pro Problem 10 Läufe durchgeführt. Dagegen wurden die Mit- telwerte bei dem GA von SCHNECKE aus mindestens 10 Läufen gewonnen, während die Mittelwerte bei dem GA von KRÖGER aus 12 (sequentieller GA) bzw. 5 (paralleler GA) Läufen pro Problem berechnet wurden. Angegeben werden die Resultate der besten Variante des parallelen GA von KRÖGER. Für das deterministische TSV SPUSE-2 war nur ein Testlauf pro Problem durchzuführen.
Die unteren Schranken (lower bounds) werden wie im Abschnitt 3 erläutert berechnet.
Tab. 3. Resultate für die 2D-Probleme von KRÖGER.
Problem SPUSE-2 SPGAS-2 Schnecke Kröger
(Anzahl aller Rechtecke)
Bestwert Mittel Bestwert Mittel Bestwert Mittel, sequentiell
Mittel, parallel
lower bound
KR01 (25) 111 110 110.5 111 111.8 109 110.8 109.4 107
KR02 (25) 106 105 105.5 107 107.6 104 105.8 105.0 103
KR03 (25) 106 105 105.0 105 106.8 104 106.1 104.2 102
KR04 (35) 155 153 153.3 156 158.3 152 155.8 153.0 151
KR05 (35) 126 124 124.0 127 127.5 123 125.3 123.4 122
KR06 (35) 127 125 125.9 127 128.4 124 126.0 124.6 123
KR07 (45) 200 196 196.3 202 202.8 196 199.3 197.0 194
KR08 (45) 168 164 164.9 171 172.8 164 167.2 165.2 163
KR09 (45) 137 135 135.1 139 139.2 134 137.2 135.2 133
KR10 (60) 256 251 251.7 256 259.6 253 257.6 253.8 249
KR11 (60) 281 277 277.5 286 288.0 279 285.8 280.8 275
KR12 (60) 286 282 282.7 292 294.6 283 288.7 284.6 280
Mittel 171.58 168.92 169.37 173.25 174.788 168.75 172.13 169.68 166.83 Summe 2059.0 2027.0 2032.4 2079.0 2097.4 2025.0 2065.6 2036.2 2002.0 mittlere
Rechenzeit (s) 3774.0 - 4177.6 - - - - - -
Die Ergebnisse der Tabelle 3 lassen sich wie folgt bilanzieren:
• Das TSV SPUSE-2 dominiert hinsichtlich der Ergebnisqualität gegenüber dem parallelen GA von SCHNECKE und übertrifft auch leicht die mittlere Ergebnisqualität des sequentiellen GA von KRÖGER. Dessen Bestwerte werden durch das TSV allerdings bei weitem nicht erreicht. (Man beachte, daß alle Bestwerte des GA von KRÖGER bereits durch die sequentielle Variante ermit- telt wurden.) Ferner liegt die Lösungsqualität des TSV erheblich unterhalb der Qualität des pa- rallelen GA von KRÖGER sowie des GA SPGAS-2. Hier zeigt sich erneut, daß der GA SPGAS-2 auf stark heterogene Probleme, das TSV dagegen auf schwach heterogene Probleme spezialisiert ist.
• Während der GA SPGAS-2 hinsichtlich der Lösungsqualität ebenfalls klar gegenüber dem pa- rallelen GA von SCHNECKE dominiert, gestaltet sich der Vergleich mit der sequentiellen und pa- rallelen Variante des GA von KRÖGER differenzierter. Zunächst gilt, daß der GA von KRÖGER
hinsichtlich der Bestwerte leicht besser abschneidet als der GA SPGAS-2. Im einzelnen erzielt der GA von KRÖGER tendentiell bessere Lösungen bei kleineren Rechteckanzahlen als SPGAS-
2, während sich das Verhältnis bei größeren Rechteckanzahlen umkehrt. Demgegenüber erzielt der GA SPGAS-2 bezüglich der mittleren Containerlänge einen um ca. 1.6% (2.8 Längenein- heiten) besseren Wert als der sequentielle GA von KRÖGER und unterschreitet auch die mittlere Containerlänge des parallelen GA. Insgesamt stellen offenbar der GA SPGAS-2 und der GA von KRÖGER Verfahren dar, die Lösungen von etwa gleicher Qualität erzeugen. Die Bestwerte von SPGAS-2 weichen in keinem Fall um mehr als 3 Längeneinheiten vom entsprechenden lower bound ab; dies gilt also erst recht bezüglich der globalen Optima.
• Zu berücksichtigen ist, daß beide Vergleichsverfahren ausschließlich Packmuster generieren, die mit Guillotine-Schnitten zerlegt werden können, also eine Zusatzrestriktion einhalten, die von den hier vorgestellten Heuristiken nicht beachtet wird. Allerdings ist die erwähnte Zusatz- restriktion vor allem bei Verschnittproblemen von Bedeutung. Insoweit also Packprobleme be- trachtet werden, behält der angestellte Vergleich der Lösungsqualität seine Gültigkeit.
• Ein Performance-Vergleich der Verfahren, der auch den Verfahrensaufwand in Rechnung stellt, gestaltet sich schwierig, weil die Verfahren auf sehr unterschiedlichen Rechnern getestet wur- den. Für den Test des GA von SCHNECKE wurde ein Netzwerk mit 16 Prozessoren (80 MHz) verwendet, wobei die benötigten Rechenzeiten nicht angegeben werden. Der parallele GA von KRÖGER wurde – für die hier dokumentierten Resultate – auf einem Transputer-Netzwerk mit 64 Prozessoren (20 MHz) ausgeführt. Für den sequentiellen GA von KRÖGER, der auf einem 20-MHz-Prozessor getestet wurde, werden Rechenzeiten von einer Stunde (für die Instanzen mit 25 Rechtecken) bis zu 18 Stunden (für die Instanzen mit 60 Rechtecken) angegeben, während die benötigten Rechenzeiten für den parallelen GA ebenfalls nicht ausgewiesen werden.
• Dagegen wurden die hier entwickelten (sequentiellen) Verfahren – wie bereits bemerkt – auf einem Pentium-PC (400 MHz) getestet, und die mittleren Rechenzeiten über alle 12 Instanzen betragen für das TSV ca. 63 Minuten und für den GA ca. 70 Minuten.
(5) Ergebnisse für die parallelen Verfahrensvarianten
Die Tabelle 4 enthält die Ergebnisse der parallelen Varianten des TSV SPUSE-2 und des GA SPGAS-2. Zum Vergleich werden auch die Resultate der entsprechenden sequentiellen Verfahren nochmals aufgeführt. Angegeben werden pro Testfall jeweils die erzielten mittleren Volumen- auslastungen sowie zusätzlich für die Parallelverfahren die erreichte Beschleunigung (‘Speed-up‘), gemessen durch den Quotienten aus der mittleren Rechenzeit des sequentiellen Verfahrens und der mittleren Rechenzeit des zugehörigen Parallelverfahrens. Dabei werden die 15 SP-Probleme von LOH und NEE und die 12 Probleme von KRÖGER jeweils zu einem Testfall (SP-LN bzw. KR) zu- sammengefaßt. Wird für alle 3D-Testfälle auch der parallele GA nur einmal ausgeführt, so werden bei den 2D-Problemen mit dem parallelen GA drei Berechnungen pro Problem durchgeführt und die Resultate entsprechend gemittelt.
Die parallele Variante des TSV SPUSE-2 erreicht im Mittel über alle 12 Testfälle eine Steigerung der Volumenauslastung von 1.4% gegenüber der sequentiellen Variante sowie einen mittleren Speed-up von 1.5. Für die 3D-Testfälle wächst die Steigerung der Volumenauslastung mit der Hete- rogenität der Kistenvorräte, während der Speed-up umgekehrt mit der Anzahl der Kistentypen fällt.
Der parallele GA verhält sich analog, wobei der mittlere Zuwachs der Volumenauslastung 1.3% und der mittlere Speed-up 2.6 betragen. Für die getesteten 2D-Probleme ist jeweils eine geringe Steige- rung der Volumenauslastung, jedoch trotz starker Heterogenität der Probleme ein relativ hoher Speed-up zu beobachten.
Der Zuwachs der Volumenauslastung bzw. die Reduzierung der benötigten Containerlängen ist vor allem auf die oben beschriebene Parametervariation bei den beteiligten Prozessen, teils aber auch auf die Kommunikation der Prozesse zurückzuführen (vgl. unten).
Ein hoher Speed-up wird dann erzielt, wenn aufgrund der nebenläufigen Problembearbeitung die Berechnung von Beladeproblemen für Containerlängen, die bereits in der Nähe der schließlich er- mittelten kleinsten Containerlänge liegen, teilweise vermieden werden kann. Ob dies gelingt, hängt von dem Verhältnis des Aufwands für die integrierte Berechnung einzelner Beladeprobleme zur vorgegebenen Zeitschranke ab. So wird bei den 3D-Problemen mit geringen Kistentypanzahlen bzw. den 2D-Problemen mit einer hohen Rechenzeitschranke in der Regel ein beträchtlicher Speed- up erreicht. Dagegen verbraucht das parallele TSV und teils auch der parallele GA bei den 3D- Problemen mit hohen Kistentypanzahlen nahezu die gesamte verfügbare Zeit für die Berechnung eines einzelnen Beladeproblems mit einer – bezüglich des zu verstauenden Kistenvolumens – be- reits „schwierigen“, d.h. kleinen Containerlänge, und es kann kaum ein Speed-up erzielt werden.
Im Vergleich zu dem Verfahren TS(best) von SIXT erzielt das parallele TSV einen Zuwachs der Volumenauslastung von 1.5%, wenn die Gegenüberstellung beider Verfahren in der oben beschrie- benen Weise erfolgt.
Der parallele GA SPGAS-2P erreicht für das Problem KR07 bei zwei Läufen einen neuen Bestwert von 195 Längeneinheiten. Dieser Bestwert belegt einen synergetischen Effekt der Parallelisierung, d.h. er kann nicht mit der Parametervariation allein erklärt werden, weil die sequentielle Ausführung mit den für die bei den betreffenden Parallelläufen benutzten seed-Werten nicht auf diesen Bestwert führt. Bezüglich der Bestwertsumme bleibt der parallele GA nur noch um eine Längeneinheit hinter dem GA von KRÖGER zurück, während der GA SPGAS-2P hinsichtlich der mittleren benötigten Containerlänge um 1.9% (3.2 Längeneinheiten) besser als der sequentielle GA sowie um 0.4% (0.7 Längeneinheiten) besser als der parallele GA von KRÖGER abschneidet. Die mittlere Rechenzeit für die 2D-Probleme von KRÖGER liegt für den parallelen GA SPGAS-2P bei ca. 19 Minuten.
Tab. 4. Resultate für die parallelen Verfahrensvarianten.
Testfall SPUSE-2 SPUSE-2P SPGAS-2 SPGAS-2P Vol.-ausl.
(%)
Vol.-ausl.
(%)
Speed- up
Vol.-ausl.
(%)
Vol.-ausl.
(%)
Speed- up
SP-LN 91.3 92.4 1.7 85.9 86.2 2.4
SP-BR01 92.1 92.3 1.2 83.8 84.3 2.4
SP-BR02 92.5 93.5 1.9 88.1 88.6 3.1
SP-BR03 90.9 92.3 1.9 88.7 89.0 3.5
SP-BR04 89.9 90.8 1.7 87.8 88.5 2.8
SP-BR05 89.0 89.9 1.5 87.7 88.1 2.8
SP-BR06 87.2 89.2 1.4 87.1 88.7 3.3
SP-BR07 84.9 87.1 1.2 85.3 87.8 2.0
SP-BR08 81.5 83.9 1.0 83.6 85.9 2.6
SP-BR09 78.6 80.9 1.0 81.1 84.3 1.7
SP-BR10 76.9 79.1 1.0 78.0 82.1 1.1
KR 96.8 97.2 2.8 98.0 98.2 3.7
Mittel 87.7 89.1 1.5 86.3 87.6 2.6
6 Zusammenfassung
In diesem Beitrag wurden zwei Heuristiken für Strip-Packing-Probleme vorgestellt, die durch die Adaption eines Tabu Search-Verfahrens sowie eines genetischen Algorithmus für Containerbelade- probleme gewonnen wurden. Die Heuristiken berücksichtigen einige praxisrelevante Restriktionen.
Bei der Anpassung der Beladeverfahren erwies sich der natürlich erscheinende Adaptionsansatz mit offenem Container als weniger erfolgreich als der Ansatz mit geschlossenem Container, der die Lö-
