VL-08: Aufz¨ahlbarkeit (Berechenbarkeit und Komplexit¨at, WS 2017) Gerhard Woeginger

(1)

VL-08: Aufz¨ ahlbarkeit

(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2017) Gerhard Woeginger

WS 2017, RWTH

(2)

Organisatorisches

• N¨achste Vorlesung:

Donnerstag, November 16, 12:15–13:45 Uhr, Aula

• Webseite:

http://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1718/BuK.php

(3)

Wiederholung

(4)

Wdh.: Der Satz von Rice

Satz

Es seiRdie Menge der von TMen berechenbaren partiellen Funktionen.

Es seiS eine Teilmenge vonRmit∅(S (R.

Dann ist die Sprache

L(S) ={hMi |M berechnet eine Funktion ausS}

unentscheidbar.

R

u

f S

(5)

Wdh.: Der Satz von Rice / Beweis

Mε

w w=hMi hM^∗i

reject (Syntax)

M_L(S) Istw eine

G¨odelnummer?

accept reject

M^∗

x f(x)

M N

ε

(6)

Wdh.: Satz von Rice / Anwendungsbeispiele

Beispiel 2

Es seiS={f_M | ∀w ∈ {0,1}^∗:f_M(w)6=⊥}.

Dann ist

L(S) ={hMi |M berechnet eine Funktion ausS}

={hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}

Diese Sprache ist auch als dastotale Halteproblem Htot bekannt.

Gem¨ass dem Satz von Rice ist die SpracheHtot nicht entscheidbar.

Beispiel 5

Es seiH32={hMi |auf jeder Eingabe h¨altM

nach h¨ochstens 32 Schritten}.

Uber diese Sprache sagt der Satz von Rice nichts aus!¨

(7)

Vorlesung VL-08 Aufz¨ ahlbarkeit

• Semi-Entscheidbarkeit

• Aufz¨ahlbarkeit

• Abschlusseigenschaften

• Berechenbarkeitslandschaft

• Das totale Halteproblem

(8)

Semi-Entscheidbarkeit &

Aufz¨ ahlbarkeit

(9)

Semi-Entscheidbarkeit (1)

Eine SpracheLwird von einer TM M entschieden, wenn M auf jeder Eingabe h¨alt, und

M genau die W¨orter ausLakzeptiert.

Wenn eine TM existiert, die die SpracheLentscheidet, so wird Lalsrekursivoderentscheidbarbezeichnet.

Eine SpracheL wird von einer TMM erkannt, wenn M jedes Wort ausLakzeptiert, und

M kein Wort akzeptiert, das nicht inLenthalten ist. Also:L(M)ist genau die vonM erkannte Sprache. Definition

Wenn eine TM existiert, die die SpracheLerkennt, so wird Lalssemi-entscheidbarbezeichnet.

(10)

Semi-Entscheidbarkeit (1)

Eine SpracheLwird von einer TM M erkannt, wenn M jedes Wort ausL akzeptiert, und

M kein Wort akzeptiert, das nicht inLenthalten ist.

Also:L(M)ist genau die vonM erkannte Sprache.

Definition

(11)

Semi-Entscheidbarkeit (1)

Eine SpracheLwird von einer TM M erkannt, wenn M jedes Wort ausL akzeptiert, und

M kein Wort akzeptiert, das nicht inLenthalten ist.

Also:L(M)ist genau die vonM erkannte Sprache.

Definition

(12)

Semi-Entscheidbarkeit (2): Beispiel

Beispiel

Das HalteproblemH={hMiw |M h¨alt aufw} ist nicht entscheidbar, aber semi-entscheidbar.

Beweis

Die folgende TMMH erkennt die SpracheH: Erh¨alt M_H eine syntaktisch inkorrekte Eingabe,

so verwirftMH die Eingabe.

Erh¨alt MH eine Eingabe der FormhMiw, so simuliertMH die TMM mit Eingabe w und akzeptiert, sobald/fallsM aufw h¨alt.

(13)

Semi-Entscheidbarkeit (2): Beispiel

Beispiel

Das HalteproblemH={hMiw |M h¨alt aufw} ist nicht entscheidbar, aber semi-entscheidbar.

Beweis

Die folgende TMMH erkennt die SpracheH:

Erh¨alt M_H eine syntaktisch inkorrekte Eingabe, so verwirftMH die Eingabe.

Erh¨alt MH eine Eingabe der FormhMiw, so simuliertMH die TMM mit Eingabe w und akzeptiert, sobald/fallsM aufw h¨alt.

(14)

Aufz¨ ahler (1)

Definition

EinAufz¨ahlerf¨ur eine SpracheL⊆Σ^∗ist eine Variante der TM mit einem angeschlossenenDrucker.

Der Drucker ist ein zus¨atzliches Ausgabeband, auf dem sich der Kopf nur nach rechts bewegen kann und auf dem nur geschrieben wird.

Der Aufzähler wird mit leerem Arbeitsband gestartet, und gibt mit der Zeit alle Wörter inL (möglicherweise mit Wiederholungen) auf dem Drucker aus.

Die ausgegebenen Wörter werden dabei immer durch ein Trennzeichen separiert, das nicht inΣenthalten ist. Der Aufzähler druckt ausschliesslich Wörter inL.

(15)

Aufz¨ ahler (1)

Definition

EinAufz¨ahlerf¨ur eine SpracheL⊆Σ^∗ist eine Variante der TM mit einem angeschlossenenDrucker.

Der Drucker ist ein zus¨atzliches Ausgabeband, auf dem sich der Kopf nur nach rechts bewegen kann und auf dem nur geschrieben wird.

Der Aufzähler wird mit leerem Arbeitsband gestartet, und gibt mit der Zeit alle Wörter inL (möglicherweise mit Wiederholungen) auf dem Drucker aus.

Die ausgegebenen W¨orter werden dabei immer durch ein Trennzeichen separiert, das nicht inΣenthalten ist.

Der Aufz¨ahler druckt ausschliesslich W¨orter inL.

(16)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

q₀ (q₀,B,R) (q₁,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept

· · ·

→ → → → → s o

s o m s o m e s o m e

s o m e o

Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts

(17)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

· · ·

→ → → → → s o

s o m e o

(18)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

· · ·

→ → → → → s o

s o m e o

(19)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

· · ·

→

→ → → →

s o

s o m e o

(20)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

· · ·

→

→ → → s o

s o m

s o m e s o m e

s o m e o

(21)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

· · ·

→ →

→

→ → s o

s o m

s o m e

s o m e o

(22)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

· · ·

→ → →

→

→ s o

s o m s o m e

s o m e

s o m e o

(23)

Aufz¨ ahler (2)

· · ·

· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1

outputsome

δ 0 1 B q

· · ·

→ → → →

→

s o s o m s o m e s o m e

s o m e o

(24)

Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit

Definition

Wenn es für die SpracheLeinen Aufzähler gibt, so wird Lalsrekursiv aufzählbarbezeichnet.

Satz (Rekursive Aufz¨ahlbarkeit≡Semi-Entscheidbarkeit) Eine SpracheL ist genau dannrekursiv aufz¨ahlbar,

wenn Lsemi-entscheidbarist.

(25)

Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit

Definition

Wenn es für die SpracheLeinen Aufzähler gibt, so wird Lalsrekursiv aufzählbarbezeichnet.

Satz (Rekursive Aufz¨ahlbarkeit≡Semi-Entscheidbarkeit) Eine SpracheList genau dannrekursiv aufz¨ahlbar,

wenn Lsemi-entscheidbarist.

(26)

Beweis (1)

Angenommen,L ist rekursiv aufz¨ahlbar und hat einen Aufz¨ahlerA.

Wir konstruieren eine TMM, die Lerkennt.

Bei Eingabe des Wortesw arbeitet M wie folgt:

M simuliertAmit Hilfe einer Spur, die die Rolle des Druckers

¨

ubernimmt.

Immer wenn ein neues Wort auf die Spur gedruckt worden ist, vergleichtM dieses Wort mit w und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung.

Korrektheit:

Fallsw ∈L, so wirdw irgendwann gedruckt und zu diesem Zeitpunkt von M akzeptiert.

Fallsw 6∈L, so wirdw niemals gedruckt und somit auch niemals von

M akzeptiert.

(27)

Beweis (1)

Angenommen,L ist rekursiv aufz¨ahlbar und hat einen Aufz¨ahlerA.

Wir konstruieren eine TMM, die Lerkennt.

Bei Eingabe des Wortesw arbeitet M wie folgt:

M simuliertAmit Hilfe einer Spur, die die Rolle des Druckers

¨

ubernimmt.

Immer wenn ein neues Wort auf die Spur gedruckt worden ist, vergleichtM dieses Wort mit w und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung.

Korrektheit:

Fallsw ∈L, so wirdw irgendwann gedruckt und zu diesem Zeitpunkt vonM akzeptiert.

Fallsw 6∈L, so wirdw niemals gedruckt und somit auch niemals von

M akzeptiert.

(28)

Beweis (2)

Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.

Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.

In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)

simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w₁, . . . ,w_k.

Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.

Korrektheit:

Der AufzählerAdruckt offensichtlich nur Wörter ausL aus. Aber druckt er auch wirklich alle Wörter ausL aus?

Es seiwi ein Wort in der SpracheL.

Dann wird w_i von der TMM nach einer endlichen Anzahlt_i von Schritten akzeptiert.

Deshalb wirdwi in jeder Rundek mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler

A ausgedruckt.

(29)

Beweis (2)

Korrektheit:

Dann wird w_i von der TMM nach einer endlichen Anzahlt_i von Schritten akzeptiert.

Deshalb wirdwi in jeder Rundek mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler

A ausgedruckt.

(30)

Beweis (2)

Korrektheit:

Dann wird w_i von der TM M nach einer endlichen Anzahlt_i von Schritten akzeptiert.

Deshalb wirdwi in jeder Runde k mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler

A ausgedruckt.

(31)

Beweis (2)

Korrektheit:

A ausgedruckt.

(32)

Beweis (2)

Korrektheit:

Aausgedruckt.

(33)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→

∞

(34)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(35)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(36)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(37)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(38)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(39)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(40)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(41)

w₁ w2

w₃ w4

w5

w6

w7

...

∞

(42)

Abschlusseigenschaften

(43)

Durchschnitt (1)

Satz

(a) Wenn die beiden SprachenL1undL2entscheidbar sind, so ist auch die SpracheL1∩L2 entscheidbar.

(b) Wenn die beiden SprachenL1undL2rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die SpracheL₁∩L₂ rekursiv aufz¨ahlbar.

(44)

Durchschnitt (2): Beweis von Teil (a)

Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.

Eine TMM, die L₁∩L₂entscheidet:

1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.

2 FallsM1 undM2 beide das Wortw akzeptieren, so akzeptiert auch M; andernfalls verwirftM.

Korrektheit:

Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw akzeptiert. Andernfalls wirdw verworfen.

(45)

Durchschnitt (2): Beweis von Teil (a)

Korrektheit:

Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw akzeptiert. Andernfalls wirdw verworfen.

(46)

Durchschnitt (2): Beweis von Teil (a)

Korrektheit:

Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw akzeptiert.

Andernfalls wirdw verworfen.

(47)

Durchschnitt (3): Beweis von Teil (b)

Es seien nunM₁ undM₂ zwei TMen, dieL₁ respektiveL₂ erkennen.

Wir verwenden die gleiche Konstruktion f¨urM wie in (a).

Eine TMM, die L1∩L2erkennt:

1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM₂ aufw.

2 FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM. Korrektheit:

Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw vonM akzeptiert. Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.

(48)

Durchschnitt (3): Beweis von Teil (b)

Eine TMM, die L₁∩L₂erkennt:

2 FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM.

Korrektheit:

Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw vonM akzeptiert. Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.

(49)

Durchschnitt (3): Beweis von Teil (b)

Eine TMM, die L₁∩L₂erkennt:

2 FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM.

Korrektheit:

Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw vonM akzeptiert.

Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.

(50)

Vereinigung (1)

Satz

(a) Wenn die beiden SprachenL1undL2entscheidbar sind, so ist auch die SpracheL1∪L2 entscheidbar.

(b) Wenn die beiden SprachenL1undL2rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die SpracheL₁∪L₂ rekursiv aufz¨ahlbar.

(51)

Vereinigung (2): Beweis von Teil (a)

Es seienM₁ undM₂zwei TMen, dieL₁respektiveL₂entscheiden.

Eine TMM, die L₁∪L₂entscheidet:

2 FallsM1 oderM2das Wortw akzeptiert, so akzeptiert auchM; andernfalls verwirftM.

Korrektheit:

Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch vonM akzeptiert.

Andernfalls verwerfen sowohlM1als auch M2, und damit auch M.

(52)

Vereinigung (2): Beweis von Teil (a)

2 FallsM1 oderM2das Wortw akzeptiert, so akzeptiert auchM;

andernfalls verwirftM.

Korrektheit:

(53)

Vereinigung (2): Beweis von Teil (a)

2 FallsM1 oderM2das Wortw akzeptiert, so akzeptiert auchM;

andernfalls verwirftM. Korrektheit:

(54)

Vereinigung (3): Beweis von Teil (b)

Welches Problem tritt auf, wenn wir in diesem Fall die Simulation aus (a) einfach ¨ubernehmen?

Idee:

SimuliereM₁ undM₂ parallel statt sequentiell.

(55)

Vereinigung (3): Beweis von Teil (b)

Welches Problem tritt auf, wenn wir in diesem Fall die Simulation aus (a) einfach ¨ubernehmen?

Idee:

SimuliereM₁ undM₂ parallel statt sequentiell.

(56)

Vereinigung (4): Beweis von Teil (b)

Eine TMM, die L₁∪L₂erkennt

Wir nehmen o.B.d.A. an, dassM über zwei Bänder verfügt.

Auf Band 1 wirdM1aufw simuliert.

Auf Band 2 wirdM₂aufw simuliert.

Sobald ein Schritt gemacht wird, in dem M₁oderM₂ akzeptiert, akzeptiert auch die TMM.

Korrektheit:

(57)

Vereinigung (4): Beweis von Teil (b)

Eine TMM, die L₁∪L₂erkennt

Wir nehmen o.B.d.A. an, dassM über zwei Bänder verfügt.

Auf Band 1 wirdM1aufw simuliert.

Auf Band 2 wirdM₂aufw simuliert.

Sobald ein Schritt gemacht wird, in dem M₁oderM₂ akzeptiert, akzeptiert auch die TMM.

Korrektheit:

(58)

Komplement (1)

Lemma

Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ^∗als auch ihr KomplementL:= Σ^∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.

Beweis

Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen. F¨ur ein Eingabewort w simuliert die neue TM M⁰ das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern. Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM⁰.

WennM akzeptiert, so verwirft M⁰.

Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M⁰ sichergestellt.

(59)

Komplement (1)

Lemma

Beweis

Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.

F¨ur ein Eingabewort w simuliert die neue TM M⁰ das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern. Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM⁰.

WennM akzeptiert, so verwirft M⁰.

(60)

Komplement (1)

Lemma

Beweis

F¨ur ein Eingabewortw simuliert die neue TMM⁰das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern.

Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM⁰. WennM akzeptiert, so verwirft M⁰.

(61)

Komplement (1)

Lemma

Beweis

(62)

Komplement (1)

Lemma

Beweis

Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert; M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein.

Damit ist die Terminierung von M⁰ sichergestellt.

(63)

Komplement (2)

Beobachtung 1

Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.

(Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.)

Beobachtung 2

Die Menge der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen hingegen ist nicht unter Komplementbildung abgeschlossen.

Beispiel

H ist rekursiv aufz¨ahlbar.

WäreH ebenfalls rekursiv aufzählbar, so wäre Hentscheidbar. Daher ist H nicht rekursiv aufzählbar.

(64)

Komplement (2)

Beobachtung 1

Beobachtung 2

Beispiel

(65)

Komplement (2)

Beobachtung 1

Beobachtung 2

Beispiel

(66)

Komplement (2)

Beobachtung 1

Beobachtung 2

Beispiel

WäreH ebenfalls rekursiv aufzählbar, so wäre Hentscheidbar.

Daher ist H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.

(67)

Komplement (2)

Beobachtung 1

Beobachtung 2

Beispiel

WäreH ebenfalls rekursiv aufzählbar, so wäre Hentscheidbar.

Daher ist Hnicht rekursiv aufz¨ahlbar.

(68)

Die Berechenbarkeitslandschaft

(69)

Berechenbarkeitslandschaft (1)

Beobachtung

Jede SpracheL f¨allt in genau eine der folgenden vier Familien.

(1) List entscheidbar, und sowohlLals auch Lsind rekursiv aufz¨ahlbar.

(2) L ist rekursiv aufzählbar, aberList nicht rekursiv aufzählbar (3) L ist rekursiv aufzählbar, aberList nicht rekursiv aufzählbar (4) WederL nochLsind rekursiv aufzählbar

Beispiele

Familie 1: Graphzusammenhang; Hamiltonkreis Familie 2: H, H,D

Familie 3: H, H,D,

Familie 4: Htot ={hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}

(70)

Berechenbarkeitslandschaft (1)

Beobachtung

Jede SpracheL f¨allt in genau eine der folgenden vier Familien.

(1) List entscheidbar, und sowohlLals auch Lsind rekursiv aufz¨ahlbar.

(2) L ist rekursiv aufzählbar, aberList nicht rekursiv aufzählbar (3) L ist rekursiv aufzählbar, aberList nicht rekursiv aufzählbar (4) WederL nochLsind rekursiv aufzählbar

Beispiele

Familie 1: Graphzusammenhang; Hamiltonkreis Familie 2: H, H,D

Familie 3: H, H,D,

Familie 4: Htot ={hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}

(71)

Berechenbarkeitslandschaft (2)

rekursiv aufz¨ahlbare

Probleme H

H D

Probleme mit rekursiv aufz¨ahlbarem Komplement H H D entscheidbare

Probleme

Unentscheidbare Probleme mit unentscheidbarem Komplement H_tot

(72)

Das totale Halteproblem

(73)

Das totale Halteproblem

Definition (Totales Halteproblem)

Htot = {hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}

Frage: Wie kann man nachweisen, dass weder die SpracheHtot noch die SpracheH_tot rekursiv aufz¨ahlbar ist?

Antwort: MitReduktionen.

(74)

Das totale Halteproblem

Definition (Totales Halteproblem)

Htot = {hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}

Frage: Wie kann man nachweisen, dass weder die SpracheHtot noch die SpracheH_tot rekursiv aufz¨ahlbar ist?

Antwort: MitReduktionen.

(75)

Reduktionen (1): Wiederholung aus VL-06

Definition

Es seienL₁ undL₂ zwei Sprachen ¨uber einem AlphabetΣ.

Dann heisstL1aufL2 reduzierbar(mit der NotationL1≤L2), wenn eine berechenbare Funktionf: Σ^∗→Σ^∗ existiert, so dass f¨ur allex∈Σ^∗ gilt: x∈L₁ ⇔ f(x)∈L₂.

{0,1}^∗ {0,1}^∗

L₂ L₁

f

(76)

Reduktionen (1): Wiederholung aus VL-06

Definition

Es seienL₁ undL₂ zwei Sprachen ¨uber einem AlphabetΣ.

Dann heisstL1aufL2 reduzierbar(mit der NotationL1≤L2), wenn eine berechenbare Funktionf: Σ^∗→Σ^∗ existiert, so dass f¨ur allex∈Σ^∗ gilt: x∈L₁ ⇔ f(x)∈L₂.

{0,1}^∗ {0,1}^∗

L2

L₁

f

(77)

Reduktionen (2)

Satz

FallsL1≤L2 und fallsL2 rekursivaufz¨ahlbarist, so ist auchL1 rekursivaufz¨ahlbar.

Beweis

Wir konstruieren eine TMM₁, dieL₁erkennt, indem sie als Unterprogramm eine TMM2 verwendet, dieL2erkennt:

F¨ur eine Eingabex berechnet die TMM₁zun¨achstf(x). Danach simuliertM₁die TMM₂ mit der Eingabef(x).

M1akzeptiert die Eingabex, fallsM2die Eingabe f(x)akzeptiert. Korrektheit:

M₁akzeptiertx ⇔ M₂ akzeptiertf(x)

⇔ f(x)∈L2 ⇔ x∈L1

(78)

Reduktionen (2)

Satz

Beweis

Wir konstruieren eine TMM₁, dieL₁ erkennt, indem sie als Unterprogramm eine TMM2 verwendet, dieL2erkennt:

F¨ur eine Eingabex berechnet die TMM₁zun¨achstf(x). Danach simuliertM₁die TMM₂ mit der Eingabef(x).

⇔ f(x)∈L2 ⇔ x∈L1

(79)

Reduktionen (2)

Satz

Beweis

F¨ur eine Eingabex berechnet die TMM₁zun¨achstf(x).

Danach simuliertM₁die TMM₂ mit der Eingabef(x).

⇔ f(x)∈L2 ⇔ x∈L1

(80)

Reduktionen (2)

Satz

Beweis

⇔ f(x)∈L2 ⇔ x∈L1

(81)

Reduktionen (2)

Satz

Beweis

M1akzeptiert die Eingabex, falls M2die Eingabe f(x)akzeptiert.

Korrektheit:

⇔ f(x)∈L2 ⇔ x∈L1

(82)

Reduktionen (2)

Satz

Beweis

M1akzeptiert die Eingabex, falls M2die Eingabe f(x)akzeptiert.

Korrektheit:

⇔ f(x)∈L2 ⇔ x∈L1

(83)

Reduktionen (3)

Noch einmal der Satz:

Satz

FallsL1≤L2 und fallsL2 rekursiv aufz¨ahlbar ist, so ist auchL1 rekursiv aufz¨ahlbar.

Der (logisch ¨aquivalente) Umkehrschluss:

Satz

FallsL₁≤L₂ und fallsL₁ nichtrekursiv aufz¨ahlbar ist, so ist auchL2 nichtrekursiv aufz¨ahlbar.

(84)

Zur¨ uck zum totalen Halteproblem

Wir wissen:H ist unentscheidbar, aber rekursiv aufz¨ahlbar.

Daraus folgt:H ist nicht rekursiv aufz¨ahlbar.

Wir werden zeigen:

Behauptung A: H≤Htot

Behauptung B: H≤Htot

Aus diesen beiden Reduktionen folgt dann: Satz

WederHtot nochHtot ist rekursiv aufz¨ahlbar.

(85)

Zur¨ uck zum totalen Halteproblem

Wir wissen:H ist unentscheidbar, aber rekursiv aufz¨ahlbar.

Daraus folgt:H ist nicht rekursiv aufz¨ahlbar.

Wir werden zeigen:

Behauptung A: H≤Htot

Behauptung B: H≤Htot

Aus diesen beiden Reduktionen folgt dann:

Satz

WederHtot nochHtot ist rekursiv aufz¨ahlbar.

(86)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (1)

Wir beschreiben eine berechenbare Funktionf,

die Ja-Instanzen vonH auf Ja-Instanzen vonHtot und Nein-Instanzen vonH auf Nein-Instanzen vonH_tot abbildet.

Es seiw die Eingabe f¨urH.

Wenn w keine gültige Gödelnummer ist, so setzen wirf(w) =w. Fallsw =hMifür eine TMM, so seif(w) :=hM^∗idie

G¨odelnummer der TMM^∗mit folgendem Verhalten: M^∗ignoriert die Eingabe und simuliertM mit der Eingabe. Die beschriebene Funktionf ist berechenbar. (Warum?)

(87)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (1)

Wenn w keine g¨ultige G¨odelnummer ist, so setzen wirf(w) =w.

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so seif(w) :=hM^∗idie G¨odelnummer der TMM^∗mit folgendem Verhalten: M^∗ignoriert die Eingabe und simuliertM mit der Eingabe. Die beschriebene Funktionf ist berechenbar. (Warum?)

(88)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (1)

G¨odelnummer der TMM^∗mit folgendem Verhalten:

M^∗ignoriert die Eingabe und simuliertM mit der Eingabe.

Die beschriebene Funktionf ist berechenbar. (Warum?)

(89)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (1)

G¨odelnummer der TMM^∗mit folgendem Verhalten:

M^∗ignoriert die Eingabe und simuliertM mit der Eingabe. Die beschriebene Funktionf ist berechenbar. (Warum?)

(90)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

F¨ur die Korrektheit zeigen wir:

(a) w 6∈H ⇒ f(w)6∈H_tot (b) w ∈H ⇒ f(w)∈H_tot

Fallsw keine G¨odelnummer ist, giltw ∈Hundf(w)∈H_tot. Dieser Unterfall von (a) ist also korrekt erledigt.

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM^∗i. Dann gilt:

w 6∈H ⇒ w ∈H

⇒ M h¨alt auf der Eingabe.

⇒ M^∗h¨alt auf jeder Eingabe.

⇒ hM^∗i ∈H_tot

⇒ f(w)6∈Htot und (a) ist korrekt.

(91)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM^∗i. Dann gilt:

w 6∈H ⇒ w ∈H

(92)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM^∗i.

Dann gilt:

w 6∈H ⇒ w ∈H

(93)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Dann gilt:

w 6∈H ⇒ w ∈H

(94)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Dann gilt:

w 6∈H ⇒ w ∈H

(95)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Dann gilt:

w 6∈H ⇒ w ∈H

⇒ hM^∗i ∈Htot

(96)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Dann gilt:

w 6∈H ⇒ w ∈H

⇒ hM^∗i ∈Htot

(97)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2b)

(a) w 6∈H ⇒ f(w)6∈H_tot (b) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot

Dann gilt:

w ∈H ⇒ M h¨alt nicht auf der Eingabe.

⇒ M^∗h¨alt auf gar keiner Eingabe.

⇒ hM^∗i 6∈H_tot

⇒ f(w)∈H_tot und (b) ist korrekt.

Damit ist Behauptung A bewiesen.

(98)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2b)

Dann gilt:

(99)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2b)

Dann gilt:

(100)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2b)

Dann gilt:

(101)

Behauptung A: H ≤ H

tot

Beweis (2b)

Dann gilt:

(102)

Behauptung B: H ≤ H

tot

Beweis (1)

Es seiw die Eingabe fürH. Es seiw⁰ irgendein Wort ausH_tot. Wenn w keine gültige Gödelnummer ist, so setzen wirf(w) =w⁰. Fallsw =hMifür eine TMM, so seif(w) :=hM⁰idie

Gödelnummer der TMM⁰, die sich auf Eingaben der Längei wie folgt verhält:

M⁰simuliert die ersteni Schritte vonM auf der Eingabe. WennM innerhalb dieseri Schritte h¨alt, dann gehtM⁰ in eine Endlosschleife; andernfalls h¨altM⁰.

(103)

Behauptung B: H ≤ H

tot

Beweis (1)

Es seiw die Eingabe fürH. Es seiw⁰ irgendein Wort ausH_tot. Wenn w keine gültige Gödelnummer ist, so setzen wirf(w) =w⁰.

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so seif(w) :=hM⁰idie

M⁰simuliert die ersteni Schritte vonM auf der Eingabe. WennM innerhalb dieseri Schritte h¨alt, dann gehtM⁰ in eine Endlosschleife; andernfalls h¨altM⁰.

(104)

Behauptung B: H ≤ H

tot

Beweis (1)

M⁰ simuliert die ersteni Schritte vonM auf der Eingabe. WennM innerhalb dieseri Schritte h¨alt, dann gehtM⁰ in eine Endlosschleife; andernfalls h¨altM⁰.

(105)

Behauptung B: H ≤ H

tot

Beweis (1)

M⁰ simuliert die ersteni Schritte vonM auf der Eingabe. WennM innerhalb dieseri Schritte h¨alt, dann gehtM⁰ in eine Endlosschleife; andernfalls h¨altM⁰.

(106)

Behauptung B: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

(a) w 6∈H ⇒ f(w)6∈Htot

(b) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot

Fallsw keine G¨odelnummer ist, giltw ∈Hundf(w) =w⁰∈H_tot. Dieser Unterfall von (a) ist also korrekt erledigt.

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM⁰i. Dann gilt:

w 6∈H ⇒ M h¨alt auf der Eingabe.

⇒ ∃i:M h¨alt innerhalb voni Schritten auf.

⇒ ∃i:M⁰h¨alt auf keiner Eingabe der L¨ange mindestensi.

⇒ M⁰ h¨alt nicht auf jeder Eingabe.

⇒ f(w) =hM⁰i 6∈Htot und (a) ist korrekt.

(107)

Behauptung B: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM⁰i. Dann gilt:

(108)

Behauptung B: H ≤ H

tot

Beweis (2a)

Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM⁰i.

Dann gilt: