Definition
Wenn es f¨ur die SpracheLeinen Aufz¨ahler gibt, so wird Lalsrekursiv aufz¨ahlbarbezeichnet.
Satz (Rekursive Aufz¨ahlbarkeit≡Semi-Entscheidbarkeit) Eine SpracheL ist genau dannrekursiv aufz¨ahlbar,
wenn Lsemi-entscheidbarist.
Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit
Definition
Wenn es f¨ur die SpracheLeinen Aufz¨ahler gibt, so wird Lalsrekursiv aufz¨ahlbarbezeichnet.
Satz (Rekursive Aufz¨ahlbarkeit≡Semi-Entscheidbarkeit) Eine SpracheList genau dannrekursiv aufz¨ahlbar,
wenn Lsemi-entscheidbarist.
Beweis (1)
Angenommen,L ist rekursiv aufz¨ahlbar und hat einen Aufz¨ahlerA.
Wir konstruieren eine TMM, die Lerkennt.
Bei Eingabe des Wortesw arbeitet M wie folgt:
M simuliertAmit Hilfe einer Spur, die die Rolle des Druckers
¨
ubernimmt.
Immer wenn ein neues Wort auf die Spur gedruckt worden ist, vergleichtM dieses Wort mit w und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung.
Korrektheit:
Fallsw ∈L, so wirdw irgendwann gedruckt und zu diesem Zeitpunkt von M akzeptiert.
Fallsw 6∈L, so wirdw niemals gedruckt und somit auch niemals von
M akzeptiert.
Beweis (1)
Angenommen,L ist rekursiv aufz¨ahlbar und hat einen Aufz¨ahlerA.
Wir konstruieren eine TMM, die Lerkennt.
Bei Eingabe des Wortesw arbeitet M wie folgt:
M simuliertAmit Hilfe einer Spur, die die Rolle des Druckers
¨
ubernimmt.
Immer wenn ein neues Wort auf die Spur gedruckt worden ist, vergleichtM dieses Wort mit w und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung.
Korrektheit:
Fallsw ∈L, so wirdw irgendwann gedruckt und zu diesem Zeitpunkt vonM akzeptiert.
Fallsw 6∈L, so wirdw niemals gedruckt und somit auch niemals von
M akzeptiert.
Beweis (2)
Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausL aus. Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiwi ein Wort in der SpracheL.
Dann wird wi von der TMM nach einer endlichen Anzahlti von Schritten akzeptiert.
Deshalb wirdwi in jeder Rundek mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler
A ausgedruckt.
Beweis (2)
Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausL aus. Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiwi ein Wort in der SpracheL.
Dann wird wi von der TMM nach einer endlichen Anzahlti von Schritten akzeptiert.
Deshalb wirdwi in jeder Rundek mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler
A ausgedruckt.
Beweis (2)
Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausL aus. Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiwi ein Wort in der SpracheL.
Dann wird wi von der TM M nach einer endlichen Anzahlti von Schritten akzeptiert.
Deshalb wirdwi in jeder Runde k mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler
A ausgedruckt.
Beweis (2)
Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausL aus. Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiwi ein Wort in der SpracheL.
Dann wird wi von der TM M nach einer endlichen Anzahlti von Schritten akzeptiert.
Deshalb wirdwi in jeder Runde k mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler
A ausgedruckt.
Beweis (2)
Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausL aus. Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiwi ein Wort in der SpracheL.
Dann wird wi von der TM M nach einer endlichen Anzahlti von Schritten akzeptiert.
Deshalb wirdwi in jeder Runde k mitk ≥max{i,ti} vom Aufz¨ahler
Aausgedruckt.
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1 w2
w3 w4
w5
w6
w7
...
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
Abschlusseigenschaften
Durchschnitt (1)
Satz
(a) Wenn die beiden SprachenL1undL2entscheidbar sind, so ist auch die SpracheL1∩L2 entscheidbar.
(b) Wenn die beiden SprachenL1undL2rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die SpracheL1∩L2 rekursiv aufz¨ahlbar.
Durchschnitt (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∩L2entscheidet:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 undM2 beide das Wortw akzeptieren, so akzeptiert auch M; andernfalls verwirftM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw akzeptiert. Andernfalls wirdw verworfen.
Durchschnitt (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∩L2entscheidet:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 undM2 beide das Wortw akzeptieren, so akzeptiert auch M; andernfalls verwirftM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw akzeptiert. Andernfalls wirdw verworfen.
Durchschnitt (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∩L2entscheidet:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 undM2 beide das Wortw akzeptieren, so akzeptiert auch M; andernfalls verwirftM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw akzeptiert.
Andernfalls wirdw verworfen.
Durchschnitt (3): Beweis von Teil (b)
Es seien nunM1 undM2 zwei TMen, dieL1 respektiveL2 erkennen.
Wir verwenden die gleiche Konstruktion f¨urM wie in (a).
Eine TMM, die L1∩L2erkennt:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM. Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw vonM akzeptiert. Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.
Durchschnitt (3): Beweis von Teil (b)
Es seien nunM1 undM2 zwei TMen, dieL1 respektiveL2 erkennen.
Wir verwenden die gleiche Konstruktion f¨urM wie in (a).
Eine TMM, die L1∩L2erkennt:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw vonM akzeptiert. Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.
Durchschnitt (3): Beweis von Teil (b)
Es seien nunM1 undM2 zwei TMen, dieL1 respektiveL2 erkennen.
Wir verwenden die gleiche Konstruktion f¨urM wie in (a).
Eine TMM, die L1∩L2erkennt:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∩L2, so wirdw vonM akzeptiert.
Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.
Vereinigung (1)
Satz
(a) Wenn die beiden SprachenL1undL2entscheidbar sind, so ist auch die SpracheL1∪L2 entscheidbar.
(b) Wenn die beiden SprachenL1undL2rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die SpracheL1∪L2 rekursiv aufz¨ahlbar.
Vereinigung (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∪L2entscheidet:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 oderM2das Wortw akzeptiert, so akzeptiert auchM; andernfalls verwirftM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch vonM akzeptiert.
Andernfalls verwerfen sowohlM1als auch M2, und damit auch M.
Vereinigung (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∪L2entscheidet:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 oderM2das Wortw akzeptiert, so akzeptiert auchM;
andernfalls verwirftM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch vonM akzeptiert.
Andernfalls verwerfen sowohlM1als auch M2, und damit auch M.
Vereinigung (2): Beweis von Teil (a)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2entscheiden.
Eine TMM, die L1∪L2entscheidet:
1 Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
2 FallsM1 oderM2das Wortw akzeptiert, so akzeptiert auchM;
andernfalls verwirftM. Korrektheit:
Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch vonM akzeptiert.
Andernfalls verwerfen sowohlM1als auch M2, und damit auch M.
Vereinigung (3): Beweis von Teil (b)
Es seien nunM1 undM2 zwei TMen, dieL1 respektiveL2 erkennen.
Welches Problem tritt auf, wenn wir in diesem Fall die Simulation aus (a) einfach ¨ubernehmen?
Idee:
SimuliereM1 undM2 parallel statt sequentiell.
Vereinigung (3): Beweis von Teil (b)
Es seien nunM1 undM2 zwei TMen, dieL1 respektiveL2 erkennen.
Welches Problem tritt auf, wenn wir in diesem Fall die Simulation aus (a) einfach ¨ubernehmen?
Idee:
SimuliereM1 undM2 parallel statt sequentiell.
Vereinigung (4): Beweis von Teil (b)
Eine TMM, die L1∪L2erkennt
Wir nehmen o.B.d.A. an, dassM ¨uber zwei B¨ander verf¨ugt.
Auf Band 1 wirdM1aufw simuliert.
Auf Band 2 wirdM2aufw simuliert.
Sobald ein Schritt gemacht wird, in dem M1oderM2 akzeptiert, akzeptiert auch die TMM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch vonM akzeptiert.
Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.
Vereinigung (4): Beweis von Teil (b)
Eine TMM, die L1∪L2erkennt
Wir nehmen o.B.d.A. an, dassM ¨uber zwei B¨ander verf¨ugt.
Auf Band 1 wirdM1aufw simuliert.
Auf Band 2 wirdM2aufw simuliert.
Sobald ein Schritt gemacht wird, in dem M1oderM2 akzeptiert, akzeptiert auch die TMM.
Korrektheit:
Fallsw ∈L1∪L2, so wirdw vonM1 oder vonM2 und somit auch vonM akzeptiert.
Andernfalls wirdw nicht akzeptiert.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen. F¨ur ein Eingabewort w simuliert die neue TM M0 das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern. Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0.
WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.
F¨ur ein Eingabewort w simuliert die neue TM M0 das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern. Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0.
WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.
F¨ur ein Eingabewortw simuliert die neue TMM0das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern.
Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0. WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.
F¨ur ein Eingabewortw simuliert die neue TMM0das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern.
Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0. WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗\L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.
F¨ur ein Eingabewortw simuliert die neue TMM0das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern.
Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0. WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert; M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein.
Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (2)
Beobachtung 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
(Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.)
Beobachtung 2
Die Menge der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen hingegen ist nicht unter Komplementbildung abgeschlossen.
Beispiel
H ist rekursiv aufz¨ahlbar.
W¨areH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨are Hentscheidbar. Daher ist H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Komplement (2)
Beobachtung 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
(Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.)
Beobachtung 2
Die Menge der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen hingegen ist nicht unter Komplementbildung abgeschlossen.
Beispiel
H ist rekursiv aufz¨ahlbar.
W¨areH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨are Hentscheidbar. Daher ist H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Komplement (2)
Beobachtung 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
(Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.)
Beobachtung 2
Die Menge der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen hingegen ist nicht unter Komplementbildung abgeschlossen.
Beispiel
H ist rekursiv aufz¨ahlbar.
W¨areH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨are Hentscheidbar. Daher ist H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Komplement (2)
Beobachtung 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
(Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.)
Beobachtung 2
Die Menge der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen hingegen ist nicht unter Komplementbildung abgeschlossen.
Beispiel
H ist rekursiv aufz¨ahlbar.
W¨areH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨are Hentscheidbar.
Daher ist H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Komplement (2)
Beobachtung 1
Wenn die SpracheL entscheidbar ist, so ist auch ihr KomplementL entscheidbar.
(Beweis: Wir k¨onnen das Akzeptanzverhalten einer TMM, dieL entscheidet, invertieren.)
Beobachtung 2
Die Menge der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen hingegen ist nicht unter Komplementbildung abgeschlossen.
Beispiel
H ist rekursiv aufz¨ahlbar.
W¨areH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨are Hentscheidbar.
Daher ist Hnicht rekursiv aufz¨ahlbar.