VL-14: Reduzierbarkeit (Berechenbarkeit und Komplexit¨at, WS 2017) Gerhard Woeginger

(1)

(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2017) Gerhard Woeginger

WS 2017, RWTH

BuK/WS 2017 VL-14: Reduzierbarkeit 1/42

(2)

Organisatorisches

N¨achste Vorlesung:

Donnerstag, Dezember 14, 12:15–13:45 Uhr, Aula Webseite:

http://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1718/BuK.php

(3)

(4)

Korrektur: Vorlesung VL-09, Folie 6

Satz (alte Version; v¨ollig falsch)

FallsL1≤L2 und fallsL2 nicht entscheidbarist, so istL1nicht entscheidbar.

Satz (korrekt)

FallsL1≤L2 und fallsL1 nicht entscheidbarist, so istL2nicht entscheidbar.

(5)

0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 · · ·

· · ·

δ 0 1 B

q₀ {(q0,B,R),(q1,B,R)} {reject} {reject}

q1 {reject} {(q1,B,R),(q2,B,R)} {reject}

q2 {reject} {reject} {accept}

(6)

Wdh.: P und NP

Komplexit¨atsklassen P und NP

Pist die Klasse aller Entscheidungsprobleme, f¨ur die es einen polynomiellen Algorithmus gibt.

NPist die Klasse aller Entscheidungsprobleme, die durch eine NTMM erkannt werden,

deren Worst Case LaufzeittM(n)polynomiell beschr¨ankt ist.

Satz (Zertifikat Charakterisierung von NP) Eine SpracheL⊆Σ^∗liegt genau dann in NP,

wenn es einen polynomiellen (deterministischen) AlgorithmusV und ein Polynomp mit der folgenden Eigenschaft gibt:

x ∈L ⇐⇒ ∃y ∈ {0,1}^∗, |y| ≤p(|x|) : V akzeptierty#x

(7)

Reduzierbarkeit

Die Komplexit¨atsklasse EXPTIME

Optimierungsprobleme versus Entscheidungsprobleme Polynomielle Reduktionen

(8)

Die Komplexit¨ atslandschaft

NP

P

Graph- zusammenhang Primes

SAT

Clique Ind-Set VC

Ham-Cycle TSP Partition

Subset-Sum

Ex-Cover

Warnung: Dieser Abbildung liegt die AnnahmeP6=NP zu Grunde.

(9)

(10)

EXPTIME (1): Definition

Definition: Komplexit¨atsklasse EXPTIME

EXPTIMEist die Klasse aller Entscheidungsprobleme,

die durch eine DTM M entschieden werden, deren Worst Case Laufzeit durch 2^q(n) mit einem Polynomq beschr¨ankt ist, Laufzeit-Beispiele:2^√ⁿ, 2ⁿ, 3ⁿ, n!, nⁿ. Aber nicht:2²ⁿ

Wie verhalten sich die KlassenPundNP zuEXPTIME?

(11)

Definition: Komplexit¨atsklasse EXPTIME

EXPTIMEist die Klasse aller Entscheidungsprobleme,

die durch eine DTM M entschieden werden, deren Worst Case Laufzeit durch 2^q(n) mit einem Polynomq beschr¨ankt ist, Laufzeit-Beispiele:2^√ⁿ, 2ⁿ, 3ⁿ, n!, nⁿ. Aber nicht:2²ⁿ

Wie verhalten sich die KlassenPundNP zuEXPTIME?

(12)

EXPTIME (2): NP ⊆ EXPTIME

Satz

NP⊆EXPTIME

Es seiL∈NP

Dann gibt es ein Polynom pund einen polynomiellen AlgorithmusV x ∈L ⇐⇒ ∃y ∈ {0,1}^∗, |y| ≤p(|x|) : V akzeptierty#x Wir enummerieren alle Kandidateny ∈ {0,1}^∗mit|y| ≤p(|x|) Wir testen jeden Kandidaten mit dem VerifiziererV

Wir akzeptieren, fallsV einen der Kandidaten akzeptiert Anzahl der Kandidaten≈ 2^p(|x|)

Zeit pro Kandidat ≈polynomiell in|x|

⇒ Gesamtzeit ≈ 2^p(|x|)+log^|x|

(13)

EXPTIME (2): NP ⊆ EXPTIME

Satz

NP⊆EXPTIME

Es seiL∈NP

Dann gibt es ein Polynom pund einen polynomiellen AlgorithmusV x ∈L ⇐⇒ ∃y ∈ {0,1}^∗, |y| ≤p(|x|) : V akzeptierty#x

Wir testen jeden Kandidaten mit dem VerifiziererV Wir akzeptieren, fallsV einen der Kandidaten akzeptiert Anzahl der Kandidaten≈ 2^p(|x|)

(14)

EXPTIME (2): NP ⊆ EXPTIME

Satz

NP⊆EXPTIME

Es seiL∈NP

Wir akzeptieren, fallsV einen der Kandidaten akzeptiert

Anzahl der Kandidaten≈ 2^p(|x|) Zeit pro Kandidat ≈polynomiell in|x|

(15)

Satz

NP⊆EXPTIME

Es seiL∈NP

Wir akzeptieren, fallsV einen der Kandidaten akzeptiert Anzahl der Kandidaten≈ 2^p(|x|)

(16)

EXPTIME (3): Zwei Beispiele

Problem: Satisfiability (SAT)

Eingabe:Eine Boole’sche Formelϕin CNF ¨uber der Boole’schen VariablenmengeX ={x1, . . . ,xn}

Frage:Existiert eine Wahrheitsbelegung vonX, die ϕerf¨ullt?

Problem: Hamiltonkreis (HAM-CYCLE)

Eingabe:Ein ungerichteter GraphG = (V,E)mit|V|=n Frage:BesitztG einen Hamiltonkreis?

Frage:

Welche exponentielle Zeitkomplexit¨at ergibt sich aus dem vorangehenden Beweis f¨ur die beiden Probleme SAT und HAM-CYCLE?

(17)

Entscheidungsprobleme

(18)

Optimierungsprobleme

Definition: Optimierungsproblem

Die Eingabe eines Optimierungsproblems spezifiziert (zumeist implizit) eine MengeLvonzul¨assigen L¨osungenzusammen mit einer Zielfunktion f :L →N(die Kosten, Gewicht, oder Profit misst).

Das Ziel ist es, eine optimale L¨osung inL zu berechnen. In Minimierungsproblemensollen die Kosten minimiert werden, und in Maximierungsproblemensoll der Profit maximiert werden.

Dilemma:

Die Klassen P und NP enthalten ausschliesslichEntscheidungsprobleme Aber: Viele praxis-relevante Probleme sindOptimierungsprobleme

Ausweg:

Wir formulieren das Optimierungsprobleme in ein “sehr ¨ahnliches” Entscheidungsproblem um.

(19)

Definition: Optimierungsproblem

Die Eingabe eines Optimierungsproblems spezifiziert (zumeist implizit) eine MengeLvonzul¨assigen L¨osungenzusammen mit einer Zielfunktion f :L →N(die Kosten, Gewicht, oder Profit misst).

Das Ziel ist es, eine optimale L¨osung inL zu berechnen. In Minimierungsproblemensollen die Kosten minimiert werden, und in Maximierungsproblemensoll der Profit maximiert werden.

Dilemma:

Die Klassen P und NP enthalten ausschliesslichEntscheidungsprobleme Aber: Viele praxis-relevante Probleme sindOptimierungsprobleme

Ausweg:

Wir formulieren das Optimierungsprobleme in ein “sehr ¨ahnliches”

Entscheidungsproblem um.

(20)

Beispiel: Rucksackproblem (1)

Maximal 10 kg

p1=20 w₁=6.5 kg

p6=30 w₆=1 kg

p3=0.01 w3=0.1 kg

p4=5 w4=1 kg

p5=0.1 w5=0.1 kg

p2=200 w2=3 kg

(21)

Beispiel: Rucksackproblem (2)

Beim Rucksackproblem (Knapsack problem, KP) sind nObjekte mit Gewichten w1, . . . ,wn und Profitenp1, . . . ,pngegeben

Ausserdem ist eine Gewichtsschrankebgegeben

Wir suchen eine TeilmengeK der Objekte, die in einen Rucksack mit Gewichtsschranke bpasst und die den Gesamtprofit maximiert Problem: Rucksack / Knapsack (KP)

Eingabe:Natürliche Zahlenw1, . . . ,wn,p1, . . . ,pn, und b Zulässige Lösung:MengeK⊆ {1, . . . ,n}mitw(K) :=P

i∈Kwi≤b Ziel:Maximierep(K) :=P

i∈Kp_i

Die Eingabe enthält zusätzlich eine Schrankeγ für den Profit Frage: Existiert eine zulässige LösungK mitp(K)≥γ?

(22)

Beispiel: Rucksackproblem (2)

Beim Rucksackproblem (Knapsack problem, KP) sind nObjekte mit Gewichten w1, . . . ,wn und Profitenp1, . . . ,pngegeben

Ausserdem ist eine Gewichtsschrankebgegeben

Wir suchen eine TeilmengeK der Objekte, die in einen Rucksack mit Gewichtsschranke bpasst und die den Gesamtprofit maximiert Problem: Rucksack / Knapsack (KP)

Eingabe:Natürliche Zahlenw1, . . . ,wn,p1, . . . ,pn, und b Zulässige Lösung:MengeK⊆ {1, . . . ,n}mitw(K) :=P

i∈Kwi≤b Ziel:Maximierep(K) :=P

i∈Kp_i

Entscheidungsproblem:

Die Eingabe enthält zusätzlich eine Schrankeγ für den Profit Frage: Existiert eine zulässige LösungK mitp(K)≥γ?

(23)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6 3

1

6

3 3

(24)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6 3

1

6

3 3

Diese L¨osung verwendetk=6 Kisten

(25)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

3 1

6

3 3

(26)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6

3 1

6

3 3

(27)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

1

6

3 3

(28)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6

3

1

6

3 3

(29)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

1

3 3

(30)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6

3

1

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4 3

6

3

1

6

3 3

(36)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6

3

1

6

3 3

(37)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4 3

6 3

1

6

3 3

(38)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6 3

1

6

3 3

(39)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4 3

6 3

1

6

3

(40)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6 3

1

6

3

(41)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4 3

6 3

1

6

3

(42)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6 3

1

6

3 3

(43)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

4 3

6 3

1

6

3

(44)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beh¨alter b=7 z}|{

Objekte

2

4

3

6 3

1

6

3 3

(45)

Beispiel: Bin Packing (2)

BeimBin Packingsollen nObjekte mit Gewichtenw1, . . . ,wn auf eine m¨oglichst kleine Anzahl von Kisten mit Gewichtslimitbverteilt werden.

Problem: Bin Packing (BPP)

Eingabe:Nat¨urliche Zahlenbundw1, . . . ,wn∈ {1, . . . ,b}

Zul¨assige L¨osung:Zahlk ∈Nund Funktionf :{1, . . . ,n} → {1, . . . ,k} sodass∀i ∈ {1, . . . ,k}: X

j∈f⁻¹(i)

wj ≤b Ziel:Minimierek (= Anzahl der Kisten)

Die Eingabe enthält zusätzlich eine Schrankeγ Frage: Existiert eine zulässige Lösung mitγ Kisten?

(46)

Beispiel: Bin Packing (2)

BeimBin Packingsollen nObjekte mit Gewichtenw1, . . . ,wn auf eine m¨oglichst kleine Anzahl von Kisten mit Gewichtslimitbverteilt werden.

Problem: Bin Packing (BPP)

Eingabe:Nat¨urliche Zahlenbundw1, . . . ,wn∈ {1, . . . ,b}

Zul¨assige L¨osung:Zahlk ∈Nund Funktionf :{1, . . . ,n} → {1, . . . ,k} sodass∀i ∈ {1, . . . ,k}: X

j∈f⁻¹(i)

wj ≤b

Ziel:Minimierek (= Anzahl der Kisten)

Die Eingabe enthält zusätzlich eine Schrankeγ Frage: Existiert eine zulässige Lösung mitγ Kisten?

(47)

Beispiel: Travelling Salesman

Beim Travelling Salesman Problem sind St¨adte1, . . . ,ngegeben, zusammen mit Distanzen d(i,j)f¨ur1≤i 6=j≤n

Gesucht ist eine m¨oglichst kurze Rundreise (Hamiltonkreis; Tour) durch alle St¨adte

Problem: Travelling Salesman (TSP)

Eingabe:Natürliche Zahlend(i,j)für1≤i 6=j ≤n Zulässige Lösung:Permutationπ von1, . . . ,n Ziel:Minimiered(π) :=

n−1

X

i=1

d(π(i), π(i +1)) +d(π(n), π(1))

Die Eingabe enth¨alt zus¨atzlich eine Schrankeγ

Frage: Existiert eine zulässige Lösung mit Gesamtlänged(π)≤γ?

(48)

Beispiel: Travelling Salesman

Beim Travelling Salesman Problem sind St¨adte1, . . . ,ngegeben, zusammen mit Distanzen d(i,j)f¨ur1≤i 6=j≤n

Gesucht ist eine m¨oglichst kurze Rundreise (Hamiltonkreis; Tour) durch alle St¨adte

Problem: Travelling Salesman (TSP)

Eingabe:Natürliche Zahlend(i,j)für1≤i 6=j ≤n Zulässige Lösung:Permutationπ von1, . . . ,n Ziel:Minimiered(π) :=

n−1

X

i=1

d(π(i), π(i +1)) +d(π(n), π(1))

Die Eingabe enth¨alt zus¨atzlich eine Schrankeγ

Frage: Existiert eine zulässige Lösung mit Gesamtlänged(π)≤γ?

(49)

Beispiel: Independent Set

Problem: Independent Set (INDEP-SET) Eingabe:Ein ungerichteter GraphG = (V,E)

Zul¨assige L¨osung:TeilmengeS⊆V, die keine Kanten induziert Ziel:Maximiere|S|

Die Eingabe enthält zusätzlich eine Schrankeγ Frage: Existiert eine zulässige Lösung mit|S| ≥γ?

(50)

Beispiel: Independent Set

Problem: Independent Set (INDEP-SET) Eingabe:Ein ungerichteter GraphG = (V,E)

Zul¨assige L¨osung:TeilmengeS⊆V, die keine Kanten induziert Ziel:Maximiere|S|

Die Eingabe enthält zusätzlich eine Schrankeγ Frage: Existiert eine zulässige Lösung mit|S| ≥γ?

(51)

Optimierungsproblem versus Entscheidungsproblem

Für ein Optimierungsproblem mit einer MengeLvon zulässigen Lösungen und einer Gewichtsfunktionf :L →Ndefinieren wir das entsprechende Entscheidungsproblem:

Eingabe:Wie im Optimierungsproblem, plus Schrankeγ∈N Frage:Existiert eine zul¨assige L¨osungx∈ L

mit f(x)≥γ (f¨ur Maximierungsprobleme) respektive mit f(x)≤γ (f¨ur Minimierungsprobleme)?

kann man das entsprechende Entscheidungsproblem lösen.(Wie?) Mit Hilfe eines Algorithmus, der das Entscheidungsproblem löst, kann manoft auchdas entsprechende Optimierungsproblem lösen. Wir illustrieren dies am Beispiel vom Rucksackproblem.

(52)

Optimierungsproblem versus Entscheidungsproblem

Mit Hilfe eines Algorithmus, der das Optimierungsproblem l¨ost, kann man das entsprechende Entscheidungsproblem l¨osen.(Wie?)

Mit Hilfe eines Algorithmus, der das Entscheidungsproblem l¨ost, kann manoft auchdas entsprechende Optimierungsproblem l¨osen. Wir illustrieren dies am Beispiel vom Rucksackproblem.

(53)

Mit Hilfe eines Algorithmus, der das Optimierungsproblem löst, kann man das entsprechende Entscheidungsproblem lösen.(Wie?) Mit Hilfe eines Algorithmus, der das Entscheidungsproblem löst, kann manoft auchdas entsprechende Optimierungsproblem lösen.

Wir illustrieren dies am Beispiel vom Rucksackproblem.

(54)

Beispiel: Rucksackproblem (1)

Eingabe: Nat¨urliche Zahlenw1, . . . ,wn, p1, . . . ,pn; b; γ Zul¨assig: Menge K⊆ {1, . . . ,n} mitw(K)≤b

Optimierung:BerechneK mit maximalemp(K) Entscheidung:ExistiertK mitp(K)≥γ?

Satz

Wenn das Entscheidungsproblem fürKPin polynomieller Zeit lösbar ist, so ist auch das Optimierungsproblem fürnKPin polynomieller Zeit lösbar.

Beweis:

Aus einem polynomiellen AlgorithmusAf¨urs Entscheidungsproblem konstruieren wir zuerst einen polynomiellen Algorithmus B, der den optimalen Zielfunktionswert bestimmt (Phase 1),

und dann einen polynomiellen AlgorithmusC, der die optimale zul¨assige L¨osung bestimmt (Phase 2).

(55)

Eingabe: Nat¨urliche Zahlenw1, . . . ,wn, p1, . . . ,pn; b; γ Zul¨assig: Menge K⊆ {1, . . . ,n} mitw(K)≤b

Optimierung:BerechneK mit maximalemp(K) Entscheidung:ExistiertK mitp(K)≥γ?

Satz

Wenn das Entscheidungsproblem fürKPin polynomieller Zeit lösbar ist, so ist auch das Optimierungsproblem fürnKPin polynomieller Zeit lösbar.

Beweis:

Aus einem polynomiellen AlgorithmusAf¨urs Entscheidungsproblem konstruieren wir zuerst einen polynomiellen Algorithmus B, der den optimalen Zielfunktionswert bestimmt (Phase 1),

und dann einen polynomiellen AlgorithmusC, der die optimale zul¨assige L¨osung bestimmt (Phase 2).

(56)

Beispiel: Rucksackproblem (2a)

AlgorithmusB f¨ur (Phase 1)

Wir f¨uhren eine Bin¨are Suche mit den folgenden Parametern durch:

Der minimale Profit ist 0.

Der maximale Profit ist P:=

n

X

i=1

p_i.

Wir finden den optimalen Zielfunktionswert durch Bin¨are Suche ¨uber dem Wertebereich {0, . . . ,P}.

In jeder Iteration verwenden wir den polynomiellen AlgorithmusA (f¨ur das Entscheidungsproblem), der uns sagt in welcher Richtung wir weitersuchen m¨ussen

Die Anzahl der Iterationen der Bin¨arsuche istdlog(P+1)e.

(57)

Beispiel: Rucksackproblem (2b)

Untersuchung der Eingabel¨ange:

Die Kodierungsl¨ange vona∈Nistκ(a) :=dlog(a+1)e.

Die Funktion κist subadditiv:

F¨ur allea,b∈Ngiltκ(a+b)≤κ(a) +κ(b).

n

X

i=1

κ(pi) ≥ κ

n

X

i=1

pi

!

= κ(P) = dlog(P+1)e

(Phase 1) besteht im wesentlichen aus dlog(P+1)e ≤LAufrufen des polynomiellen Algorithmus A

Also ist die Gesamtlaufzeit von (Phase 1) polynomiell in der Eingabel¨ange des Rucksackproblems beschr¨ankt

(58)

Beispiel: Rucksackproblem (2b)

Die Eingabel¨angeL des Rucksackproblems betr¨agt mindestens

n

X

i=1

κ(pi) ≥ κ

n

X

i=1

pi

!

(59)

Die Eingabel¨angeL des Rucksackproblems betr¨agt mindestens

n

X

i=1

κ(pi) ≥ κ

n

X

i=1

pi

!

(60)

Beispiel: Rucksackproblem (3a)

Aus dem AlgorithmusB f¨ur (Phase 1) konstruieren wir nun den

AlgorithmusC für (Phase 2), der die optimale zulässige Lösung bestimmt

AlgorithmusC f¨ur (Phase 2) 1 K :={1, . . . ,n};

2 opt:=B(K);

3 FORi :=1 TOndo

4 IFB(K\ {i}) =opt THENK :=K\ {i}; ENDIF;

5 ENDFOR;

6 OUTPUT K

DieLaufzeitvon AlgorithmusC besteht im wesentlichen ausn+1 Aufrufen des polynomiellen AlgorithmusB, und ist somit polynomiell beschr¨ankt

(61)

Aus dem AlgorithmusB f¨ur (Phase 1) konstruieren wir nun den

AlgorithmusC für (Phase 2), der die optimale zulässige Lösung bestimmt

AlgorithmusC f¨ur (Phase 2) 1 K :={1, . . . ,n};

2 opt:=B(K);

3 FORi :=1 TOndo

4 IFB(K\ {i}) =opt THENK :=K\ {i}; ENDIF;

5 ENDFOR;

6 OUTPUT K

DieLaufzeitvon AlgorithmusC besteht im wesentlichen ausn+1 Aufrufen des polynomiellen AlgorithmusB, und ist somit polynomiell beschr¨ankt

(62)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

Um die Korrektheitvon AlgorithmusC zu beweisen, benutzen wir die Schleifeninvariante “B(K) =opt”

Die ausgegebene MengeK erf¨ullt daherB(K) =opt, und liefert den optimalen Zielfunktionswert

Ist die ausgegebene MengeK auch zul¨assig? Zwecks Widerspruchs nehmen wir an, dassP

i∈Kwi >bgilt Das bedeutet, dass nicht alle Objekte in den Rucksack passen Aber dann gibt esi ∈K, sodassB(K\ {i}) =opt

Ein Widerspruch, da AlgorithmusC das Objekti nicht ausK gestrichen hat

Also gilt P

i∈Kwi ≤bund K ist zul¨assig

(63)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

Ist die ausgegebene MengeK auch zul¨assig?

Zwecks Widerspruchs nehmen wir an, dassP

i∈Kwi >bgilt

Aber dann gibt esi ∈K, sodassB(K\ {i}) =opt

Also gilt P

(64)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

i∈Kwi >bgilt Das bedeutet, dass nicht alle Objekte in den Rucksack passen

Aber dann gibt esi ∈K, sodassB(K\ {i}) =opt

Also gilt P

(65)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

gestrichen hat Also gilt P

(66)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

Also gilt P

i∈Kwi ≤bundK ist zul¨assig

(67)

NP

P

SAT

Clique Ind-Set VC

Ex-Cover

Subset-Sum Rucksack

BPP

(68)

Polynomielle Reduktionen

(69)

Definition

Es seienL1 undL2 Sprachen ¨uberΣ1 bzw.Σ2.

Dann istL1polynomiell reduzierbaraufL2(mit der NotationL1≤pL2), wenn eine polynomiellberechenbare Funktionf: Σ^∗₁→Σ^∗₂ existiert, so dass f¨ur allex∈Σ^∗₁ gilt: x∈L1 ⇔ f(x)∈L2.

{0,1}^∗ {0,1}^∗

L2

L1

f

(70)

Polynomielle Reduktionen (2)

Satz

FallsL1≤pL2 und fallsL2∈P, so giltL1∈P.

Beweis

Die Reduktionf hat die polynomielle Laufzeitschrankep(·) Der AlgorithmusA2 entscheidetL2mit einer polynomiellen Laufzeitschrankeq(·)

Wir konstruieren einen AlgorithmusA1, derL1 entscheidet: Schritt 1: Berechnef(x)

Schritt 2: Simuliere AlgorithmusA₂ auff(x)

Schritt 3: Akzeptierex, genau dann wennA2 akzeptiert Schritt 1 hat Laufzeitp(|x|)und

Schritt 2 hat Laufzeitq(|f(x)|) ≤ q(p(|x|) +|x|)

(71)

Polynomielle Reduktionen (2)

Satz

Beweis

Schritt 1: Berechnef(x)

(72)

Polynomielle Reduktionen (2)

Satz

Beweis

Wir konstruieren einen AlgorithmusA1, derL1 entscheidet:

Schritt 3: Akzeptierex, genau dann wennA2 akzeptiert

Schritt 1 hat Laufzeitp(|x|)und

(73)

Satz

Beweis

Wir konstruieren einen AlgorithmusA1, derL1 entscheidet:

(74)

Polynomielle Reduktionen (3)

Algorithmus A1f¨urL1

x

Reduktion Algorithmus A2 f¨urL2

x∈L₁

f(x) f(x)∈L2

(75)

COLORING ≤ _p SAT

(76)

COLORING ≤

_p

SAT

Problem: Knotenf¨arbung / COLORING

GraphG hatk-F¨arbung ⇒ Formelϕist erf¨ullbar

Es seic einek-F¨arbung f¨urG

_p

SAT: Korrektheit (2)

Formelϕist erf¨ullbar ⇒ GraphG hatk-F¨arbung

Wir betrachten eine beliebige erf¨ullende Belegung f¨urϕ

Wegen der Klausel (x_v¹+x_v²+. . .+x_v^k)gibt es f¨ur jeden Knotenv mindestens eine Farbe i mitx_vⁱ =1

Für jeden Knoten wählen wir eine beliebige derartige Farbe aus Wir behaupten:c(u)6=c(v)gilt für jede Kante{u,v} ∈E Beweis: Falls c(u) =c(v) =i, dann giltx_uⁱ =x_vⁱ =1. Dann wäre aber die Klausel(¯x_uⁱ + ¯x_vⁱ)verletzt

(87)

COLORING ≤

_p

SAT: Korrektheit (2)

mindestens eine Farbe i mitx_vⁱ =1

(88)

COLORING ≤

_p

SAT: Korrektheit (2)

(89)

COLORING ≤

_p

SAT: Korrektheit (2)

F¨ur jeden Knoten w¨ahlen wir eine beliebige derartige Farbe aus

Beweis: Falls c(u) =c(v) =i, dann giltx_uⁱ =x_vⁱ =1. Dann w¨are aber die Klausel(¯x_uⁱ + ¯x_vⁱ)verletzt

(90)

COLORING ≤

_p

SAT: Korrektheit (2)

Für jeden Knoten wählen wir eine beliebige derartige Farbe aus Wir behaupten:c(u)6=c(v)gilt für jede Kante{u,v} ∈E

Beweis: Falls c(u) =c(v) =i, dann giltx_uⁱ =x_vⁱ =1. Dann w¨are aber die Klausel(¯x_uⁱ + ¯x_vⁱ)verletzt

(91)

(92)

COLORING ≤

_p

SAT: Konsequenzen

Aus unserer ReduktionCOLORING≤p SATfolgt:

Folgerung

Wenn SAT einen polynomiellen Algorithmus hat,

so hat auch COLORING einen polynomiellen Algorithmus.

Folgerung

Wenn COLORING keinen polynomiellen Algorithmus hat, so hat auch SAT keinen polynomiellen Algorithmus.

(93)

NP

P

SAT

Clique Ind-Set VC

Ex-Cover

Subset-Sum Rucksack

BPP Coloring

(94)

Ubung: Ex-Cover ¨ ≤

_p

SAT

(99)

Die Klauseln

v∈S

¯ x_v

VL-14: Reduzierbarkeit (Berechenbarkeit und Komplexit¨at, WS 2017) Gerhard Woeginger

(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2017) Gerhard Woeginger

Organisatorisches

Korrektur: Vorlesung VL-09, Folie 6

Wdh.: P und NP

Reduzierbarkeit

Die Komplexit¨ atslandschaft

NP

P

EXPTIME (1): Definition

EXPTIME (2): NP ⊆ EXPTIME

EXPTIME (2): NP ⊆ EXPTIME

EXPTIME (2): NP ⊆ EXPTIME

EXPTIME (3): Zwei Beispiele

Entscheidungsprobleme

Optimierungsprobleme

Dilemma:

Ausweg:

Dilemma:

Ausweg:

Beispiel: Rucksackproblem (1)

Beispiel: Rucksackproblem (2)

Beispiel: Rucksackproblem (2)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (1)

Beispiel: Bin Packing (2)

Beispiel: Bin Packing (2)

Beispiel: Travelling Salesman

Beispiel: Travelling Salesman

Beispiel: Independent Set

Beispiel: Independent Set

Optimierungsproblem versus Entscheidungsproblem

Optimierungsproblem versus Entscheidungsproblem

Beispiel: Rucksackproblem (1)

Beispiel: Rucksackproblem (2a)

Beispiel: Rucksackproblem (2b)

Beispiel: Rucksackproblem (2b)

Beispiel: Rucksackproblem (3a)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

Beispiel: Rucksackproblem (3b)

NP

P

Polynomielle Reduktionen

Polynomielle Reduktionen (2)

Polynomielle Reduktionen (2)

Polynomielle Reduktionen (2)

Polynomielle Reduktionen (3)

COLORING ≤ p SAT

COLORING ≤

SAT

COLORING ≤

SAT: Die Reduktion

COLORING ≤

SAT: Die Reduktion

COLORING ≤

SAT: Korrektheit (1)

COLORING ≤

COLORING ≤ _p SAT

Vertex Cover ≤ _p SAT