VL-06: Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit
(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2019)
Gerhard Woeginger
Organisatorisches
N¨achste Vorlesungen:
Freitag, November 8, 12:30–14:00 Uhr, Audimax Mittwoch, November 13, 10:30–12:00, Aula Freitag, November 15, 12:30–14:00 Uhr, Audimax
Webseite:
https://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1920/BuK/BuK.py
Wiederholung
Wdh.: Bisher betrachtete unentscheidbare Probleme
Die folgenden Probleme sind unentscheidbar:
Die Diagonalsprache:
D = {w ∈ {0,1}∗|w =wi undMi akzeptiertw nicht}
Das Diagonalsprachenkomplement:
D = {w ∈ {0,1}∗|w =wi undMi akzeptiertw} Das Halteproblem:
H = {hMiw |M h¨alt aufw}
Wdh.: Der Satz von Rice
Satz
Es seiRdie Menge der von TMen berechenbaren partiellen Funktionen.
Es seiS eine Teilmenge vonRmit∅(S (R.
Dann ist die Sprache
L(S) ={hMi |M berechnet eine Funktion ausS}
unentscheidbar.
R
S
Wdh.: Der Satz von Rice / Beweis
Mε
w w=hMi hM∗i
reject (Syntax)
ML(S) Istw eine
G¨odel- nummer?
accept reject
M∗
x ε f(x)
Wdh.: Satz von Rice / Anwendungsbeispiele
Beispiel 2
Es seiS={fM | ∀w ∈ {0,1}∗:fM(w)6=⊥}.
Dann ist
L(S) ={hMi |M berechnet eine Funktion ausS}
={hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}
Diese Sprache ist auch als dastotale Halteproblem Htot bekannt.
Gem¨ass dem Satz von Rice ist die SpracheHtot nicht entscheidbar.
Beispiel 5
Es seiH ={hMi |auf jeder Eingabe h¨altM
Vorlesung VL-06 Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit
Semi-Entscheidbarkeit Rekursive Aufz¨ahlbarkeit Abschlusseigenschaften Berechenbarkeitslandschaft Reduktionen
Das totale Halteproblem
Semi-Entscheidbarkeit
Semi-Entscheidbarkeit (1)
Eine SpracheLwird von einer TM M entschieden, wenn M auf jeder Eingabe h¨alt, und
M genau die W¨orter ausLakzeptiert.
Wenn eine TM existiert, die die SpracheLentscheidet, so wirdLals rekursivoderentscheidbar bezeichnet.
Eine SpracheL wird von einer TMM erkannt, wenn M jedes Wort ausLakzeptiert, und
M kein Wort akzeptiert, das nicht inLenthalten ist. Also: Die vonM erkannte Sprache ist genauL(M).
Semi-Entscheidbarkeit (1)
Eine SpracheLwird von einer TM M entschieden, wenn M auf jeder Eingabe h¨alt, und
M genau die W¨orter ausLakzeptiert.
Wenn eine TM existiert, die die SpracheLentscheidet, so wirdLals rekursivoderentscheidbar bezeichnet.
Eine SpracheLwird von einer TM M erkannt, wenn M jedes Wort ausL akzeptiert, und
M kein Wort akzeptiert, das nicht inLenthalten ist.
Semi-Entscheidbarkeit (2)
Definition
Wenn eine TM existiert, die die SpracheLerkennt, so wird Lalssemi-entscheidbarbezeichnet.
Anmerkung:
Den Begriff semi-entscheidbar findet man in der Literatur oft auch unter dem NamenTuring-akzeptierbaroderTuring-erkennbar.
Beispiel: Halteproblem
Beispiel
Das HalteproblemH={hMiw |M h¨alt aufw} ist nicht entscheidbar, aber semi-entscheidbar.
Beweis: Die folgende TMMH erkennt die Sprache H. Erh¨alt MH eine syntaktisch inkorrekte Eingabe,
so verwirftMH die Eingabe.
Erh¨alt MH eine Eingabe der FormhMiw, so simuliertMH die TMM mit Eingabe w und akzeptiert, sobald/fallsM aufw h¨alt.
Beispiel: Halteproblem
Beispiel
Das HalteproblemH={hMiw |M h¨alt aufw} ist nicht entscheidbar, aber semi-entscheidbar.
Beweis: Die folgende TMMH erkennt die Sprache H.
Erh¨alt MH eine syntaktisch inkorrekte Eingabe, so verwirftMH die Eingabe.
Erh¨alt MH eine Eingabe der FormhMiw, so simuliertMH die TMM mit Eingabe w
Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit
Aufz¨ ahler (1)
Definition
EinAufz¨ahler f¨ur eine SpracheL⊆Σ∗ist eine Variante der TM mit einem angeschlossenenDrucker.
Der Drucker ist ein zus¨atzliches Ausgabeband, auf dem sich der Kopf nur nach rechts bewegen kann und auf dem nur geschrieben wird.
Der Aufz¨ahler wird mit leerem Arbeitsband gestartet, und gibt mit der Zeit alle W¨orter inL (m¨oglicherweise mit Wiederholungen) auf dem Drucker aus.
Die ausgegebenen W¨orter werden dabei immer durch ein Trennzeichen separiert, das nicht inΣenthalten ist.
Aufz¨ ahler (2)
· · ·
· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1
outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
· · ·
· · ·
→ → → → → → → s o
s o m s o m e s o m e
s o m e o
s o m e o u
s o m e o u t
Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
· · ·
· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1
outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
· · ·
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s o m s o m e s o m e
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Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
· · ·
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outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
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s o m s o m e s o m e
s o m e o
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Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
· · ·
· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1
outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
· · ·
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→
→ → → → → →
s o
s o m s o m e s o m e
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s o m e o u t
Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
· · ·
· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1
outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
· · ·
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→
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s o m
s o m e s o m e
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s o m e o u t
Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
· · ·
· · · 1 1 0 0 0 1 0 0 1
outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
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Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
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outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
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Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
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outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
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Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
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outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
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Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Aufz¨ ahler (2)
· · ·
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outputsome
δ 0 1 B q
q0 (q0,B,R) (q1,B,R) reject q1 (q0,B,R) (q1,B,R) accept
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Schreibkopf bewegt sich nur nach rechts
Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit
Definition
Wenn es f¨ur die SpracheLeinen Aufz¨ahler gibt, so wird Lalsrekursiv aufz¨ahlbar bezeichnet.
Zentraler Satz:
Satz (Rekursive Aufz¨ahlbarkeit⇔Semi-Entscheidbarkeit) Eine SpracheL ist genau dannrekursiv aufz¨ahlbar,
wenn Lsemi-entscheidbar ist.
Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit
Definition
Wenn es f¨ur die SpracheLeinen Aufz¨ahler gibt, so wird Lalsrekursiv aufz¨ahlbar bezeichnet.
Zentraler Satz:
Satz (Rekursive Aufz¨ahlbarkeit⇔Semi-Entscheidbarkeit) Eine SpracheList genau dannrekursiv aufz¨ahlbar,
wenn Lsemi-entscheidbar ist.
Beweis (1): Rekursiv aufz¨ ahlbar → semi-entscheidbar
Angenommen,L ist rekursiv aufz¨ahlbar und hat einen Aufz¨ahlerA.
Wir konstruieren eine TMM, die Lerkennt.
Bei Eingabe des Wortesw arbeitet M wie folgt:
M simuliertA mit Hilfe eines Bandes, das die Rolle des Druckers
¨
ubernimmt.
Immer wenn ein neues Wort auf das Band gedruckt worden ist, vergleichtM dieses Wort mitw und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung. Korrektheit:
Fallsw ∈L, so wirdw irgendwann gedruckt und zu diesem Zeitpunkt von M akzeptiert.
Fallsw 6∈L, so wirdw niemals gedruckt und somit auch niemals von M akzeptiert.
Beweis (1): Rekursiv aufz¨ ahlbar → semi-entscheidbar
Angenommen,L ist rekursiv aufz¨ahlbar und hat einen Aufz¨ahlerA.
Wir konstruieren eine TMM, die Lerkennt.
Bei Eingabe des Wortesw arbeitet M wie folgt:
M simuliertAmit Hilfe eines Bandes, das die Rolle des Druckers
¨
ubernimmt.
Immer wenn ein neues Wort auf das Band gedruckt worden ist, vergleichtM dieses Wort mit w und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung.
Korrektheit:
Fallsw ∈L, so wirdw irgendwann gedruckt und zu diesem Zeitpunkt von M akzeptiert.
Fallsw 6∈L, so wirdw niemals gedruckt und somit auch niemals von M akzeptiert.
Beweis (1): Rekursiv aufz¨ ahlbar → semi-entscheidbar
Angenommen,L ist rekursiv aufz¨ahlbar und hat einen Aufz¨ahlerA.
Wir konstruieren eine TMM, die Lerkennt.
Bei Eingabe des Wortesw arbeitet M wie folgt:
M simuliertAmit Hilfe eines Bandes, das die Rolle des Druckers
¨
ubernimmt.
Immer wenn ein neues Wort auf das Band gedruckt worden ist, vergleichtM dieses Wort mit w und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung.
Korrektheit:
Fallsw ∈L, so wirdw irgendwann gedruckt und zu diesem Zeitpunkt vonM akzeptiert.
Beweis (2): Semi-entscheidbar → rekursiv aufz¨ ahlbar
Angenommen,L ist semi-entscheidbar und wird von der TMM erkannt.
Wir konstruieren einen Aufz¨ahlerA f¨urL.
In derk-ten Runde (mitk=1,2,3, . . .)
simuliert der Aufz¨ahler je k Schritte vonM auf jedem der W¨orter w1, . . . ,wk.
Immer wenn die Simulation eines der Worte akzeptiert, druckt der Aufz¨ahler dieses Wort aus.
Korrektheit:
Der Aufz¨ahlerAdruckt offensichtlich nur W¨orter ausLaus.
Aber druckt er auch wirklich alle W¨orter ausL aus?
Es seiw ein Wort in der SpracheL. Dann wirdw von der TMM
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
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w5
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w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
.. . .. . .. .
Anzahl der Schritte, die TMM aufwi ben¨otig:−→
∞
Abschlusseigenschaften
Durchschnitt und Vereinigung (1)
Satz
Wenn die beiden SprachenL1 undL2 rekursiv aufz¨ahlbar sind, (a) so ist auch die SpracheL1∩L2 rekursiv aufz¨ahlbar.
(b) so ist auch die SpracheL1∪L2 rekursiv aufz¨ahlbar.
Die Beweise sind sehr ¨ahnlich zu den entsprechenden Beweisen f¨ur entscheidbareSprachen.
Durchschnitt und Vereinigung (2)
Es seienM1 undM2zwei TMen, dieL1respektiveL2erkennen.
Eine TMM, die L1∩L2erkennt:
Bei Eingabew simuliertM zun¨achst das Verhalten vonM1 aufw und dann das Verhalten vonM2 aufw.
FallsM1 undM2 beide akzeptieren, so akzeptiert auchM.
Eine TMM, die L1∪L2erkennt
Wir nehmen o.B.d.A. an, dassM ¨uber zwei B¨ander verf¨ugt.
Auf Band 1 wirdM1aufw simuliert.
Auf Band 2 wirdM2 aufw simuliert.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗−L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis:
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen. F¨ur ein Eingabewort w simuliert die neue TM M0 das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern. Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0.
WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entweder w ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen Ereignisse (M akzeptiert;M akzeptiert) nach endlicher Zeit ein. Damit ist die Terminierung von M0 sichergestellt.
Komplement (1)
Lemma
Wenn sowohl die SpracheL⊆Σ∗als auch ihr KomplementL:= Σ∗−L rekursiv aufz¨ahlbar sind, so istLentscheidbar.
Beweis:
Es seien M undM zwei TMen, dieLrespektiveLerkennen.
F¨ur ein Eingabewortw simuliert die neue TMM0das Verhalten von M aufw und das Verhalten vonM aufw parallel auf zwei B¨andern.
Wenn M akzeptiert, so akzeptiertM0. WennM akzeptiert, so verwirft M0.
Da entwederw ∈Loderw 6∈L gilt, tritt eines der beiden obigen
Komplement (2)
Beispiel:
Das HalteproblemH ist rekursiv aufz¨ahlbar.
FallsH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨areH entscheidbar.
Daher ist Hnicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Beobachtung
Wenn eine SpracheL rekursiv aufz¨ahlbar ist,
so ist ihr KomplementLnicht notwendigerweise rekursiv aufz¨ahlbar.
Also: DieMenge der semi-entscheidbaren Sprachenist abgeschlossen unter Durchschnitt und Vereinigung, aber nicht unter Komplement.
Komplement (2)
Beispiel:
Das HalteproblemH ist rekursiv aufz¨ahlbar.
FallsH ebenfalls rekursiv aufz¨ahlbar, so w¨areH entscheidbar.
Daher ist Hnicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Beobachtung
Wenn eine SpracheL rekursiv aufz¨ahlbar ist,
so ist ihr KomplementL nicht notwendigerweise rekursiv aufz¨ahlbar.
Die Berechenbarkeitslandschaft
Berechenbarkeitslandschaft (1)
Beobachtung
Jede SpracheL f¨allt in genau eine der folgenden vier Familien.
(1) List entscheidbar, und sowohlLals auch Lsind rekursiv aufz¨ahlbar.
(2) L ist rekursiv aufz¨ahlbar, aberList nicht rekursiv aufz¨ahlbar (3) L ist rekursiv aufz¨ahlbar, aberList nicht rekursiv aufz¨ahlbar (4) WederL nochLsind rekursiv aufz¨ahlbar
Beispiele
Familie 1: Graphzusammenhang; Hamiltonkreis Familie 2: H, H,D
Berechenbarkeitslandschaft (2)
rekursiv aufz¨ahlbare
Probleme H
H D
Probleme mit rekursiv aufz¨ahlbarem Komplement H H
D entscheidbare
Probleme
Nicht rekursiv aufz¨ahlbare Probleme mit
Reduktionen
Reduktionen (1)
Definition
Es seienL1 undL2 zwei Sprachen ¨uber einem AlphabetΣ.
Dann heisstL1aufL2 reduzierbar (mit der NotationL1≤L2), wenn eine berechenbare Funktionf: Σ∗→Σ∗ existiert, so dass f¨ur allex∈Σ∗gilt: x∈L1 ⇔ f(x)∈L2.
{0,1}∗ {0,1}∗
L2
L1
f
Reduktionen (2)
Eine Reduktion ist ein Algorithmus, der die Instanzen eines Startproblems L1
als Spezialf¨alle eines ZielproblemsL2 formuliert.
M1 f¨urL1
x Reduktion:
Ubersetze¨ x inf(x)
f(x)
M2 f¨urL2
accept
reject
Reduktionen (3)
Satz
FallsL1≤L2 und fallsL2 rekursivaufz¨ahlbar ist, so ist auchL1 rekursivaufz¨ahlbar.
Beweis: Wir konstruieren eine TMM1, die L1 erkennt, indem sie als Unterprogramm eine TMM2 verwendet, dieL2erkennt:
F¨ur eine Eingabex berechnet die TMM1zun¨achstf(x). Danach simuliertM1die TMM2 mit der Eingabef(x).
M1akzeptiert die Eingabex, fallsM2die Eingabe f(x)akzeptiert.
M1akzeptiertx ⇔ M2akzeptiertf(x)
⇔ f(x)∈L2
⇔ x ∈L1
Reduktionen (3)
Satz
FallsL1≤L2 und fallsL2 rekursivaufz¨ahlbar ist, so ist auchL1 rekursivaufz¨ahlbar.
Beweis: Wir konstruieren eine TMM1, die L1 erkennt, indem sie als Unterprogramm eine TMM2 verwendet, dieL2erkennt:
F¨ur eine Eingabex berechnet die TMM1zun¨achstf(x).
Danach simuliertM1die TMM2 mit der Eingabef(x).
M1akzeptiert die Eingabex, falls M2die Eingabe f(x)akzeptiert.
M1akzeptiertx ⇔ M2akzeptiertf(x)
Reduktionen (4)
Noch einmal: Der gerade bewiesene Satz
FallsL1≤L2 und fallsL2 rekursiv aufz¨ahlbar ist, so ist auchL1 rekursiv aufz¨ahlbar.
FallsL1≤L2 und fallsL1 nichtrekursiv aufz¨ahlbar ist, so ist auchL2 nichtrekursiv aufz¨ahlbar.
M1 f¨urL1
x Reduktion:
Ubersetze¨ x inf(x)
f(x)
M2 f¨urL2
accept
reject
Das totale Halteproblem
Das totale Halteproblem
Definition (Totales Halteproblem)
Htot = {hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}
Wir wissen bereits:Hist unentscheidbar, aber rekursiv aufz¨ahlbar. Wir wissen bereits:H ist nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Wir werden zeigen:
Behauptung A: H≤Htot
Behauptung B: H≤Htot
Aus diesen beiden Reduktionen folgt dann: Satz
WederHtot noch Htot ist rekursiv aufz¨ahlbar.
Das totale Halteproblem
Definition (Totales Halteproblem)
Htot = {hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}
Wir wissen bereits:Hist unentscheidbar, aber rekursiv aufz¨ahlbar.
Wir wissen bereits:H ist nicht rekursiv aufz¨ahlbar.
Wir werden zeigen:
Behauptung A: H≤Htot
Behauptung B: H≤Htot
Aus diesen beiden Reduktionen folgt dann:
Behauptung A: H ≤ H
totBeweis (1)
Wir beschreiben eine berechenbare Funktionf,
die Ja-Instanzen vonH auf Ja-Instanzen vonHtot und Nein-Instanzen vonH auf Nein-Instanzen vonHtot abbildet.
Es seiw die Eingabe f¨urH.
Wenn w keine g¨ultige G¨odelnummer ist, so setzen wirf(w) =w. Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so seif(w) :=hM∗idie
G¨odelnummer der TMM∗mit folgendem Verhalten: M∗ignoriert die Eingabe und simuliertM mit der Eingabe. Die beschriebene Funktionf ist berechenbar. (Warum?)
Behauptung A: H ≤ H
totBeweis (1)
Wir beschreiben eine berechenbare Funktionf,
die Ja-Instanzen vonH auf Ja-Instanzen vonHtot und Nein-Instanzen vonH auf Nein-Instanzen vonHtot abbildet.
Es seiw die Eingabe f¨urH.
Wenn w keine g¨ultige G¨odelnummer ist, so setzen wirf(w) =w. Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so seif(w) :=hM∗idie
G¨odelnummer der TMM∗mit folgendem Verhalten:
M∗ignoriert die Eingabe und simuliertM mit der Eingabe.
Behauptung A: H ≤ H
totBeweis (2)
F¨ur die Korrektheit zeigen wir:
(a) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot (b) w ∈/ H ⇒ f(w)6∈Htot
Fallsw keine G¨odelnummer ist, giltw ∈Hundf(w)∈Htot. Dieser Unterfall von (a) ist also korrekt erledigt.
Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM∗i. Dann gilt:
w ∈H ⇒ M h¨alt nicht auf der Eingabe.
⇒ M∗ h¨alt auf gar keiner Eingabe.
⇒ hM∗i 6∈Htot
⇒ f(w) =hM∗i ∈Htot und (a) ist korrekt.
Behauptung A: H ≤ H
totBeweis (2)
F¨ur die Korrektheit zeigen wir:
(a) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot (b) w ∈/ H ⇒ f(w)6∈Htot
Fallsw keine G¨odelnummer ist, giltw ∈Hundf(w)∈Htot. Dieser Unterfall von (a) ist also korrekt erledigt.
Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM∗i. Dann gilt:
w ∈H ⇒ M h¨alt nicht auf der Eingabe.
⇒ M∗ h¨alt auf gar keiner Eingabe.
⇒ hM∗i 6∈Htot
⇒ f(w) =hM∗i ∈Htot und (a) ist korrekt.
Behauptung A: H ≤ H
totBeweis (2)
F¨ur die Korrektheit zeigen wir:
(a) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot (b) w ∈/ H ⇒ f(w)6∈Htot
Fallsw keine G¨odelnummer ist, giltw ∈Hundf(w)∈Htot. Dieser Unterfall von (a) ist also korrekt erledigt.
Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM∗i.
Dann gilt:
w ∈H ⇒ M h¨alt nicht auf der Eingabe.
⇒ M∗ h¨alt auf gar keiner Eingabe.
Behauptung A: H ≤ H
totBeweis (3)
F¨ur die Korrektheit zeigen wir:
(a) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot
(b) w ∈/ H ⇒ f(w)6∈Htot
Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM∗i. Dann gilt:
w 6∈H ⇒ w ∈H
⇒ M h¨alt auf der Eingabe.
⇒ M∗ h¨alt auf jeder Eingabe
⇒ hM∗i ∈Htot
⇒ f(w) =hM∗i 6∈Htot und (b) ist korrekt. Damit ist Behauptung A bewiesen.
Behauptung A: H ≤ H
totBeweis (3)
F¨ur die Korrektheit zeigen wir:
(a) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot
(b) w ∈/ H ⇒ f(w)6∈Htot
Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM∗i.
Dann gilt:
w 6∈H ⇒ w ∈H
⇒ M h¨alt auf der Eingabe.
⇒ M∗ h¨alt auf jeder Eingabe
⇒ hM∗i ∈Htot
Behauptung B: H ≤ H
totBeweis (1)
Wir beschreiben eine berechenbare Funktionf,
die Ja-Instanzen vonH auf Ja-Instanzen vonHtot und Nein-Instanzen vonH auf Nein-Instanzen vonHtot abbildet.
Es seiw die Eingabe f¨urH. Es seiw0 irgendein Wort ausHtot. Wenn w keine g¨ultige G¨odelnummer ist, so setzen wirf(w) =w0. Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so seif(w) :=hM0iwobei sich die TMM0 auf Eingabenx der L¨ange|x|=`wie folgt verh¨alt:
M0 simuliert die ersten`Schritte vonM auf der Eingabe. Wenn M innerhalb dieser`Schritte h¨alt, dann geht M0 in eine Endlosschleife; andernfalls h¨altM0.
Behauptung B: H ≤ H
totBeweis (2)
F¨ur die Korrektheit zeigen wir:
(a) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot (b) w ∈/ H ⇒ f(w)6∈Htot
Fallsw keine G¨odelnummer ist, giltw ∈Hundf(w) =w0∈Htot. Dieser Unterfall von (a) ist also korrekt erledigt.
Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM0i.
w ∈/ H ⇒ M h¨alt nicht auf der Eingabe
⇒ ¬∃i:M h¨alt innerhalb voni Schritten auf
⇒ ∀i:M h¨alt nicht innerhalb von i Schritten auf
Behauptung B: H ≤ H
totBeweis (3)
F¨ur die Korrektheit zeigen wir:
(a) w ∈H ⇒ f(w)∈Htot (b) w ∈/ H ⇒ f(w)6∈Htot
Fallsw =hMif¨ur eine TMM, so betrachten wirf(w) =hM0i.
Dann gilt:
w ∈H ⇒ M h¨alt auf der Eingabe.
⇒ ∃i:M h¨alt innerhalb voni Schritten auf.
⇒ ∃i:M0 h¨alt auf keiner Eingabe mit L¨ange≥i.
⇒ M0 h¨alt nicht auf jeder Eingabe.