Analysis für Physiker – Zusätze

Analysis für Physiker – Zusätze

nach den Vorlesungen von Prof. Dr. Werner Timmermann (Sommersemester 2007, Wintersemester 2007/08)

Herausgegeben von

Jeffrey Kelling Felix Lemke Stefan Majewsky

Stand: 23. Oktober 2008

Inhaltsverzeichnis

Semester 2 3

1 Bemerkungen zur Tensorrechnung 3

1.1 Definitionen . . . 3

1.2 Rechenoperationen mit Tensoren . . . 5

1.3 Basis und Koordinatendarstellung . . . 6

1.4 Koordinatentransformation von Tensoren . . . 7

Semester 3 9 2 Maxwellsche Gleichungen und Differentialformen 9 2.1 Grundlagen der Differentialformen . . . 9

2.2 Maxwellsche Gleichungen im Minkowski-Raum . . . 11

1.1 Definitionen Seite 3

1 Bemerkungen zur Tensorrechnung

Oft wird ein Tensor definiert als ein System von Zahlen T_kl...^ij... mit 1 ≤ i, j, k, l, . . . ≤ n, das sich bei Koordinatentransformationen wie folgt transformiert: ... – Wir wählen eine äquivalente Definition.

1.1 Definitionen

Ab jetzt ist es wichtig, ob Indizes oben oder unten steht. Im folgenden sind alle Vektorräume endlichdi- mensional und reell. In diesen Vektorräumen gibt es zunächst keine zusätzliche Struktur, insbesondere kein Skalarprodukt.V sei ein Vektorraum der Dimensionn.(e1, . . . , en)sei eine beliebige Basis vonV. Für einen Vektor x∈V sindxⁱ die Koordinaten vonx bzgl. der Basis(e_k):

x=

n

X

i=1

xⁱe_i mit xⁱ ∈R, i= 1, . . . , n

Bemerkung Einstein’sche Summenkonvention

Über doppelt (jeweils einmal oben und unten) auftretende Indizes wird automatisch summiert, zum Beispiel:

xⁱe_i≡

n

X

i=1

xⁱe_i oderA^ij_kB_il^k ≡

n

X

k,i=1

A^ij_kB^k_il

Definition 1.1 Dualer Vektorraum

Der duale VektorraumV^∗ ist der Vektorraum der linearen Funktionale aufV, also V^∗ =L(V,R).

Definition und Satz 1.2 Duale Basis

Sei (e1, . . . , en) eine beliebige Basis von V. Dann existiert eine Basis (e¹, . . . , eⁿ) von V^∗ (die zu (e₁, . . . , e_n) duale Basis) mit folgender Eigenschaft:

ei(e^j) =δⁱ_j (Kronecker-Symbol) Insbesondere istdimV = dimV^∗.

Beweis

Beachte im Folgenden stets: Eine lineare Abbildung ist bereits dadurch eindeutig definiert, dass man ihre Wirkung auf die Basisvektoren kennt! Also definiere eⁱ(ej) :=δ_jⁱ. Daraus folgt:

eⁱ(x) =eⁱ(x^jej) =x^j(eⁱ(ej)) =x^jδⁱ_j =xⁱ

Zu zeigen ist noch, dass (e¹, . . . , eⁿ) linear unabhängig ist (das ist eine Übungsaufgabe) und dass die (e¹, . . . , eⁿ) den Vektorraum V^∗ aufspannen. Sei f ∈ V^∗, d.h. f(x) = f(xⁱei) = xⁱf(ei). Setze c_i :=f(e_i); anscheinend istf =c_ieⁱ. Das wollen wir zeigen. Seig:=c_ieⁱ.

g(x) =c_ieⁱ(x^je_j) =c_ix^jeⁱ(e_j) =c_ix^jδ_jⁱ =c_ixⁱ =f(x)

1.1 Definitionen Seite 4

¥

Satz 1.3

Der zuV^∗ duale Vektorraum wird mitV^∗∗:= (V^∗)^∗ bezeichnet. Die Dimension vonV^∗∗ist wiederum n. Es existiert ein kanonischer Isomorphismus j :V →V^∗∗, der durch die Wirkung von j(x) ∈V^∗∗

auf die Elementef ∈V^∗ definiert wird:

[j(x)](f) :=f(x)∀f ∈V^∗

[j(x)](f)ist linear in f und auch inx. Außerdem ist j bijektiv.

Beweis

Für die Bijektivität von V genügt es, zu zeigen, dass j injektiv ist; daraus folgt die Surjektivität unmittelbar. Angenommen,j(x) = 0. Zu zeigen ist x= 0, d.h.

[j(x)](f) = 0∀f, alsof(x) = 0∀f ⇒x= 0 Im Allgemeinen wende e¹, . . . , eⁿauf x an. Das genügt, umx= 0zu sehen.

¥

Bemerkung

Im Folgenden identifizieren wir immer stillschweigendxundj(x), d.h. wir betrachtenx(f)als[j(x)](f) = f(x).

Definition 1.4

Seien E₁, . . . , E_k Vektorräume. Eine Abbildung α : E₁ × . . . × E_k → R heißt multilinear (bzw.Multilinearform), wennα in jeder Komponente linear ist:

∀i= 1, . . . , k:α(u₁, . . . , u_i+λv_i, . . . , u_k) =α(u₁, . . . , u_i, . . . , u_k) +λα(u₁, . . . , v_i, . . . , u_k)

Beispiel 1.1

E₁=E₂=E sei ein Vektorraum. Ein Skalarprodukth·,·i:E×E→R,(u, v)→ hu, viist bilinear.

1.2 Rechenoperationen mit Tensoren Seite 5

Definition 1.5 Tensor SeiV ein Vektorraum und r, s∈N.

1. Einr-fach kovarianter Tensor auf (über)V ist eine multilineare Abbildung α:V^r:=V ×. . .×V

| {z }

r-mal

→R

2. Eins-fach kontravarianter Tensor aufV ist eine multilineare Abbildung α: (V^∗)^s:=V^∗×. . .×V^∗

| {z }

s-mal

→R

3. Fürr, s≥0ist einr-fach kovarianter unds-fach kontravarianter Tensor aufV eine multilineare Abbildung

α:V^r×(V^∗)^s→R Bezeichnungen

Im folgenden sei⊗das Tensorprodukt.

• T_r(V)≡T_r⁰(V) =V^∗⊗. . .⊗V^∗

| {z }

r-mal

=

r

N

i=1

V^∗ ist die Menge allerr-fach kovarianten Tensoren über V.

• T^s(V)≡T₀^s(V) =

s

N

k=1

V ist die Menge allers-fach kontravarianten Tensoren überV.

• T_r^s(V) = µ _r

N

i=1

V^∗

¶

⊗ µ _s

N

k=1

V

¶

ist die Menge allerr-fach kovarianten unds-fach kontravarianten Tensoren über V.

Dass diese Mengen Vektorräume sind, zeigt man leicht. Im Folgenden sind zu bestimmen:

• Basen und Dimensionen dieser Räume

• das Verhalten dieser Räume bei Koordinatentransformation

• Rechenoperationen mit Tensoren

1.2 Rechenoperationen mit Tensoren

Mit Tensoren können viele Rechenoperationen ausgeübt werden, zum Beispiel können gleichartige Ten- soren linear kombiniert werden. Besonders wichtig ist das Tensorprodukt oder dyadische Produkt:

Seien α∈T_r^s(V) undβ ∈T_r^s0⁰(V). Dann ist α⊗β ∈T_r+r^s+s0⁰(V) und es gilt (α⊗β)³

v₁, . . . , v_r, v_r+1, . . . , v_r+r⁰, w¹, . . . , w^s, w^s+1, . . . , w^s+s0´

= α¡

v1, . . . , vr, w¹, . . . , w^s¢

·β

³

vr+1, . . . , v_r+r⁰, w^s+1, . . . , w^s+s0

´

Entsprechen wird α⊗β⊗. . .⊗γ erklärt.

1.3 Basis und Koordinatendarstellung Seite 6

Beispiel 1.2

1. T₀¹(V) =V - Wirke α∈V (bzw.v∈V) auf f ∈V^∗, dann istα(f)≡v(f). Analog istT₁⁰(V) =V^∗. 2. Seienf, g∈V^∗[=T1(V)]. Dann istf⊗g∈T2(V), also wirktf⊗gauf jeweils zwei Vektoren und es ist

(f ⊗g) (v1, v2) =f(v1)·g(v2) [v1,2∈V] Seienv, w∈V £

=T¹(V)¤

. Dann istv⊗w∈T²(V)und es ist

(v⊗w) (f1, f2) =f1(v)·f2(w) [f1,2∈V^∗]

Die Tensoren der Familie α⊗β bzw. α₁⊗. . .⊗α_m heißen elementare Tensoren. (Wir sehen später, dass zum Beispiel die elementaren Tensoren f⊗v mit f ∈V^∗ und v∈V £

f⊗v∈T₁¹(V)¤

den Raum T₁¹(V) =V^∗⊗V aufspannen. Dazu braucht man Linearkombinationen!)

Beispiel 1.2 (Fortsetzung)

3. Betrachte ein Skalarprodukth·,·iinV. Das ist ein zweifach kovarianter Tensor, denn er bildet vonV×V nach Rab. Das Skalarprodukt ist in den Variablen symmetrisch, also ein symmetrischer Tensor.

4. Sei V ein Vektorraum mit einer festen Basis (e₁, . . . , e_n) und den Vektoren v₁, . . . , v_n ∈ V. Seien z₁, . . . , z_n die Koordinatenvektoren von v₁, . . . , v_n bzgl. dieser Basis. Nun ordnen wir den Vektoren die Determinante einer Matrix aus ihren Spaltenvektoren zu:

(v₁, . . . , v_n)7→

¯

¯

¯

¯

¯

¯



z₁



, . . . ,



z_n





¯

¯

¯

¯

¯

¯

Dadurch ist einn-fach kovarianter Tensor definiert. Dieser Tensor ist alternierend, d.h. aus den Vertau- schen zweier Argumente folgt ein Vorzeichenwechsel.

1.3 Basis und Koordinatendarstellung

Satz 1.6

Sei(e_i) eine Basis fürV und(e^k) die duale Basis inV^∗ (d.h.e^k(e_i) =δ_kⁱ). Dann ist

©eⁱ¹ ⊗. . .⊗e^ir ⊗ej1 ⊗. . .⊗ejs :ik∈ {1, . . . , k}, jl ∈ {1, . . . , n}ª

(∗)

eine Basis vonT_r^s(V).

Beispiel 1.3

SeidimV = 2. Wir suchen eine Basis fürT³(V)und finden acht Elemente:

e₁⊗e₂⊗e₃ , e₁⊗e₁⊗e₂ , . . . , e₂⊗e₂⊗e₂

Beweis

Zu zeigen: (∗) ist linear unabhängig und erzeugt T_r^s(V). Aus Platzgründen sei s= 0(und r beliebig), also

(∗) =©

eⁱ¹ ⊗. . .⊗e^ir : 1≤ik≤nª

Beachte, dass für die Anwendung eines Elementes dieser Menge auf die Basisvektoren von V gilt:

¡eⁱ¹ ⊗. . .⊗e^ir¢

(ej1, . . . , ejr) =eⁱ¹(ej1)·. . .·e^ir(ejr) =δ_jⁱ¹₁ ·. . .·δ_j^ir_r

1.4 Koordinatentransformation von Tensoren Seite 7

Angenommen, es ist P

ci1,...,ireⁱ¹ ⊗. . .⊗e^ir = 0. Wende dies auch beliebige (ej1, . . . , ejr) an:

Xci1,...,ir ·δⁱ_j¹₁·. . .·δⁱ_j^r_r = 0⇒cj1,...,jr = 0

Da dies für alle Basisvektoren (e_j) gilt, ist(∗) wirklich linear unabhängig. Noch zu zeigen: (∗) ist ein Erzeugendensystem vonTr(V). Seiα∈Tr(V) beliebig. Zu zeigen:

α=X

ai1,...,ireⁱ¹⊗. . .⊗e^ir (∗∗)

Behauptung: Setze ak1,...,kr := α(ek1, . . . , ekr). Diese a... erzeugen gemäß (∗∗) den Vektor α, d.h. für beliebigeu₁, . . . , u_r∈V ist

α(u1, . . . , ur) =³X

ai1,...,ireⁱ¹ ⊗. . .⊗e^ir´

(u1, . . . , ur))

Der Beweis dieser Aussage bleibt dem Leser als Übungsaufgabe überlassen, da er sehr lehrreich, wenn auch etwas umständlich ist. Hier zeigen wir eine vereinfachte Variante: Zwei Abbildungenα, β∈T_r(V) (analog für T_r^s(V)) sind schon gleich, wenn sie auf den Basisvektoren gleich sind:

α(ej1, . . . , ejr) =β(ej1, . . . , ejr) ∀1≤ik ≤n

¡Pai1,...,ireⁱ¹ ⊗. . .⊗e^ir¢

(ej1, . . . , ejr) = P

ai1,...,irδ_jⁱ¹₁ ·. . .·δ_j^ir_r

= aj1,...,jr

= α(e_j1, . . . , e_jr) (siehe oben)

¥

Bemerkung

Die Darstellungα=Pa_i1,...,ireⁱ¹⊗. . .⊗e^ir sieht fürr= 2anschaulich so aus:

α=

n

X

i,j=1

aijeⁱ⊗e^j

Allerdings lässt sich diese Formulierung nicht anschaulich aufr >2übertragen.

Definition 1.7 Koordinaten eines Tensors Seiα∈T_r^s(V). Dann heißt das System von Zahlen

a^j_i^1,...,js

1,...,ir :=α¡

e^j1, . . . , e^js, e_i1, . . . , e_ir¢

(1≤j_k, i_l ≤n)

Koordinaten vonα bzgl. der Basis (e₁, . . . , e_n), d.h. bezüglich (∗).

1.4 Koordinatentransformation von Tensoren

Betrachte inV Basen(e1, . . . , en)und(e⁰₁, . . . , e⁰_n)mit den dualen Basen¡

e¹, . . . , eⁿ¢ und

³

e⁰¹, . . . , e⁰ⁿ

´ inV^∗. Seix∈V und f ∈V^∗, dann ist

x=xⁱe_i =x^0je_j f =f_ieⁱ =f_j⁰e^0j

⇒ ej =aⁱ_je⁰_i e⁰_j =a⁰_jⁱei (1) und e^j =b^j_ie⁰ⁱ e^0j =b⁰_i^jeⁱ (2)

1.4 Koordinatentransformation von Tensoren Seite 8

³ aⁱ_j´

kann als Matrix interpretiert werden: oderer Index = Zeilenindex, unterer Index = Spaltenindex

(e_i) =¡

e⁰₁, . . . , e⁰_n¢ ¡ a_ij¢

, ¡ e^j¢

=¡ b_ij¢



 e⁰¹ . . . e⁰ⁿ





Behauptung: Die Matrizen(aⁱ_j)und(a⁰_jⁱ)sowie(bⁱ_j)und(b⁰_jⁱ)sind jeweils invers zueinander (hier ohne Beweis). Die Transformation der Koordinaten eines Tensors erfolgt dann so:

x^0j =a^j_ixⁱ x^j =a⁰_i^jx⁰ⁱ (3) f_j =b⁰_jⁱf_i⁰ f_j⁰ =bⁱ_jf_i (4)

Man zeigt, dass in unserem Falle der Wahl der Basen inV^∗ als duale Basen folgendes gilt:

¡bⁱ_j¢

=

³ a⁰_jⁱ

´ ³ b⁰_jⁱ

´

=¡ aⁱ_j¢

Aus(3)folgt die wichtige „Merkregel“:

a^j_i = ∂ x^0j

∂xⁱ , a⁰_i^j = ∂ x^j

∂x⁰ⁱ , x^0j = ∂ x^0j

∂xⁱ xⁱ , x^j = ∂ x^j

∂x⁰ⁱx⁰ⁱ

2.1 Grundlagen der Differentialformen Seite 9

2 Maxwellsche Gleichungen und Differentialformen

Der Minkowski-Raum M ist der R⁴ mit Elementen der Form x = (x⁰, x¹, x², x³), und darin eine Bilinearform g, das sogenannte Minkowski-Skalarprodukt (das aber kein richtiges Skalarprodukt ist) mit g(x, y) =x⁰·y⁰−x¹·y¹−x²·y²−x³·y³.

SeiV ein (reeller)n-dimensionaler Vektorraum undgeine Bilinearform aufV mit den Eigenschaften:

• g ist symmetrisch –g(x, y) =g(y, x)

• g ist nicht entartet – Es gilt eine der folgenden äquivalenten Bedingungen:

– Wenng(x, y) = 0 für festes xund alle y∈V, dann sollx= 0 folgen.

– Für eine (und damit jede) Basis(v_i)inV ist die Matrix(g(v_i, v_j))invertierbar und zudem symmetrisch.

Dann ist diese Matrix diagonalisierbar, es existiert also eine Basis (u_i) von V, für die (g(u_i, u_j)) Diagonalgestalt hat. Bei geeigneter Wahl der(ui) hat(g(ui, uj)) =: (gij)die Gestalt:





















1 0 0 0 0 0

0 . .. 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 −1 0 0

0 0 0 0 . .. 0

0 0 0 0 0 −1





















Das sogenannte Sylvestersche Trägheitsgesetzbesagt: Die jeweilige Anzahl der Plus- und Minus- zeichen ist unabhängig von der Basis.

Im Minkowski-Raum liefert die Standard-Basis (e0, e1, e2, e3) vonR⁴ gerade

(gij) =









1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1









Man nennt eine Basis(w_i) von V orthonormal bezüglichg, wenn|g(w_i, w_j)|=δ_ij ist.

2.1 Grundlagen der Differentialformen

Die Räume der Differentialformen aus R⁴ wurden mit Ω^s(R⁴) bezeichnet, wobei s = 1, . . . ,4 ist. In Ω⁰(R⁴) sind die beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf R⁴ enthalten. Die Elemente von Ω^s(R⁴)

2.1 Grundlagen der Differentialformen Seite 10

haben in der Standarddarstellung die Struktur:

ω = X

j1<···<js

ωj1···js·dx^j1∧. . .∧dx^js

Die Ableitung ist gegeben durch dω= X

j1<···<js

dωj1···js ∧dx^j1 ∧. . .∧dx^js ∈Ω^s+1(R⁴)

als Zurückführung auf Ableitungen in RäumenΩ^s(R⁴)mit kleinerem s. Fürf ∈Ω⁰(R⁴) gilt

df =

3

X

k=0

∂ f

∂x^kdx^k

Außer(g_ij)wird auch die inverse Matrix betrachtet, die die Form(g^ij)hat. In unserem Fall istg_ij =g^ij. Jetzt wird diesesg benutzt, um in den Ω^s eine Bilinearform zu definieren.

ω = P

j1<···<js

ωj1···js ·dx^j1 ∧. . .∧dx^js

σ = P

i1<···<is

σi1···is·dxⁱ¹ ∧. . .∧dx^is

g(ω, σ) := P

j1<···<js i1<···<is

g^j1i1· · ·g^jsis·ωj1···js·σi1···is

gaufΩ^sist wieder symmetrisch. In obiger Summe sind nur solche Summanden ungleich Null, in denen (j1, . . . , js) = (i1, . . . , is) ist, weilg^ij = 0 füri6=j ist. Man sieht jetzt sofort, dass die

e^j1···js := dx^j1 ∧. . .∧dx^js mit j1 <· · ·< js

eine Orthonormalbasis bezüglich der Bilinearform g bilden. Mittels g wird der sogenannte Stern- Operatordefiniert:

∗: Ω^s(R⁴)→Ω^4−s(R⁴), σ7→ ∗σ mit ω∧ ∗σ=g(ω, σ)·dx⁰∧. . .∧dx³=:g(ω, σ)·µ ∀ω∈Ω^s(R⁴) µ= dx⁰∧. . .∧dx³ ist eine4-Form. Wegen ω∈Ω^s und∗σ ∈Ω^4−s istω∧ ∗σ ∈Ω⁴.Ω⁴ besteht nur aus Elementen der Formf·dx⁰∧. . .∧dx³.f ist ausC^∞(R⁴), und natürlich istg(ω, σ) auch ausC^∞(R⁴).

Der Operator ∗hat unter anderem folgende Eigenschaften:

• ∗(h·σ) =h· ∗σ fürh∈C^∞(R⁴), denn g(ω, h·σ) =g(h·ω, σ) =h·g(ω, σ).

• ∗ist eindeutig definiert, wenn man weiß, wie∗auf die Basiselemente wirkt, denn

σ= X

i1<···<is

σi1···is·dxⁱ¹ ∧. . .∧dx^is ⇒ ∗σ= X

i1<···<is

σi1···is· ∗(dxⁱ¹ ∧. . .∧dx^is)

Betrachte:e^i1,...,ink= dxⁱ¹∧. . .∧dx^ik. Dann ist

∗e^i1,...,ink=±e^{j1···j4−k},

wobeij₁ < . . . < j4−k ist und diej₁, . . . , j_n4−k∈ {0,1,2,3} \ {i₁, . . . , i_nk}sind. Also ist zum Beispiel

∗e⁰¹=±e²³ und ∗e⁰¹³=±e².

• Fürk= 0:1 ist Basis inΩ⁰ und g(1,1) = 1·1 = 1. Es ist∗1 = dx⁰∧. . .∧dx³.

2.2 Maxwellsche Gleichungen im Minkowski-Raum Seite 11

• Fürk= 1: Es ist g(e⁰, e⁰) = 1 sowieg(eⁱ, eⁱ) =g(dxⁱ,dxⁱ) =gⁱⁱ·1·1 =−1 für i≥1. Es folgt:

e⁰∧e¹²³ = µ ⇒ ∗e⁰ = e¹²³ e¹∧e⁰²³ = −µ ⇒ ∗e¹ = e⁰²³

• Fürk= 2: Es ist g(e⁰ⁱ, e⁰ⁱ) = 1 undg(e^ij, e^ij) = 1 für i, j∈ {1,2,3}und i < j. Also ergibt sich:

∗e⁰¹ = −e²³

∗e⁰² = e¹³

∗e⁰³ = −e¹²

∗e¹² = e⁰³

∗e¹³ = −e⁰²

∗e²³ = e⁰¹

DasKodifferential δ: Ω^s→Ω^s−1 wird definiert durch

δ :=∗d∗: Ω^s−→^∗ Ω^4−s −→^d Ω^5−s−→^∗ Ω^s−1

2.2 Maxwellsche Gleichungen im Minkowski-Raum

Führe in den Maxwell’schen Gleichungen (in der Vorlesung in vereinfachter Form in den Formeln(18.5) und (18.6)dargestellt; relevant sind auch(18.7)bis(18.10)) Vierervektoren ein:

J= (j⁰, j¹, j², j³) mit j⁰ :=% A= (A₀, A₁, A₂, A₃) mit A₀:=−V

(18.10)wird jetzt

divJ= 0

Aus dem Ansatz(18.7)wird jetzt einheitlich folgendes (mit Kurzschreibweise ∂j =∂/∂x^j):

E₁ = −(∂₀A₁−∂₁A₀) E2 = −(∂₀A2−∂2A0) E3 = −(∂₀A3−∂3A0) H₁ = −(∂₂A₃−∂₃A₂) H2 = −(∂₃A1−∂1A3) H3 = −(∂₁A2−∂2A1)

Definiere nun den sogenanntenFaraday-Tensor:

F = P

µ<ν

F_µνdx^µ∧dx^ν mit F_µν =∂_µA_ν −∂_νA_µ

F =









0 −E₁ −E₂ −E₃

E₁ 0 H₃ −H₂

E₂ −H₃ 0 H₁

E3 H2 −H₁ 0









Damit kann man zeigen, dass (18.6a) äquivalent sind zu

∂µF_νλ+∂νF_λµ+∂_λFµν = 0 (∗)

2.2 Maxwellsche Gleichungen im Minkowski-Raum Seite 12

für paarweise verschiedeneµ,ν undλzwischen 0und 3. Zum Beispiel fürµ, ν, λ= 1,2,3:

∂₁F₂₃+∂₂F₃₁+∂₃F12 =∂₁H₁+∂₂H₂+∂₃H₃ = divH= 0

Bilde die1-FormωA=

3

P

i=0

Aidxⁱ. Aus Definition vonF folgt:F = dωA. Daraus folgtdF = d(dωA) = 0;

dies ist eine 3-Form. Schreibt man dF = 0 in den Komponenten (=Faktoren vor dem Basiselement) aus, so erhält man genau (∗). Jetzt wird die2-Form∗F berechnet:

∗F = ∗(F₀₁dx⁰∧dx¹+F₀₂dx⁰∧dx²+F₀₃dx⁰∧dx³+F₁₂dx¹∧dx²+F₁₃dx¹∧dx³+F₂₃dx²∧dx³)

= −F₀₁dx²∧x³+. . .

= P

µ<ν

G_µνdx^µ∧dx^ν =G

G =









0 H1 H2 H3

−H₁ 0 −E₃ E₂

−H₂ E3 0 −E₁

−H₃ −E₂ E1 0









Dann kann man (18.6b) umschreiben zu:

dG = 4π·σJ

σ_J = j⁰·dx¹∧dx²∧dx³−j¹·dx⁰∧dx²∧dx³+j²·dx⁰∧dx¹∧dx³−j³·dx⁰∧dx¹∧dx²

In Komponenten ist

∂_µG_νλ+∂_νG_λµ+∂_λG_µν = 4π·j^κ, wobei(κ, µ, ν, λ) eine gerade Permutation von(0,1,2,3)ist.

∗σ_J =ω_J=X

jκ·dx^κ mit jκ=j^κ Dann kann man alles zusammenfassen:

• (18.6a) wird zu dF = 0.

• (18.6b) wird zu dG= 4π·σ_J

• Es ist δF =∗d∗F =∗dG=∗(4π·σ_J) = 4π· ∗σ_J = 4π·ω_J.