Computergraphik Grundlagen

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Computergraphik Grundlagen

XI. Rasterung – Füllen von Polygonen

Prof. Stefan Schlechtweg Hochschule Anhalt Fachbereich Informatik

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Inhalt – Lernziele

1.  Zu lösendes Problem 2.  Füllen von

Pixelmengen

1.  Rekursiver Algorithmus

3.  Füllen von Polygonen

1.  Einstieg: Füllen von Rechtecken

2.  Begriffe und Definitionen 3.  Iterativer Algorithmus 4.  Zusammenfassung

4.  Füllen mit Mustern

  Füllen als computergraphisches Grundproblem kennenlernen

  Algorithmus zum Füllen auf Pixelbasis kennenlernen

  Iterativen Algorithmus zum Füllen von Polygonen, die durch Kanten gegeben sind, verstehen

  Probleme beim Füllen – auch mit Mustern – identifizieren können

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lokal → Welt Lokale Koordinaten

Modellierung der Geometrie einzelner Objekte

Weltkoordinaten Plazierung der

Objekte

Plazierung der Lichtquellen Plazierung der

Kamera Beleuchtungs-

berechnung

Kamerakoordinaten Entfernen verdeckter Rückseiten

Normalisierte Projektionskoordinaten

Clipping gegen Sichtkörper

(Normalisierte) Bildschirm- koordinaten

Rasterkoordinaten

Entfernen verdeckter Modellteile

Shading Entfernen verdeckter Modellteile

Transformation in Kamerakoordinaten

Viewing-Transformation

Projektion

Rastertransformation Rasterung

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1.   Zu lösendes Problem

  Polygon gegeben durch

–  Geometrische Beschreibung (Ecken, Kanten)

–  Pixelmenge (entsteht durch Rasterung der Kanten)

  Fragen:

–  Welche Pixel bilden das Innere der Fläche und sind daher einzufärben, wenn die Fläche gefüllt werden soll?

–  Womit (welche Farbe) sind die Pixel zu füllen?

  Füllalgorithmen für:

–  Polygone, deren Rand als Pixelmenge gegeben ist, –  Polygone, die durch Kanten gegeben sind

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2.   Füllen von Pixelmengen

  Gegeben:

–  gerasterte Polygone als Rand-„Pixelmenge“

–  „Startpunkt“, der festlegt, wo innen ist

  Gesucht: alle Pixel innerhalb des Randes

  Begriff: Nachbarschaften

4-Nachbarschaft

(von-Neumann-Nachbarschaft)

8-Nachbarschaft

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2.  Füllen von Pixelmengen

2.1. Rekursiver Algorithmus

  Bestimmung der Zugehörigkeit zum Rand erfolgt über Pixelfarbe, daher einfarbiger Rand

  Beginne mit einem Startpixel

  Teste, ob das aktuelle Pixel auf dem Rand liegt ( getPixel(x,y) )

–  wenn ja, dann ist nichts zu füllen

–  wenn nein, dann fülle die {4er, 8er}-Nachbarschaft

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void floodFill( int x, int y, int fillColor, int border) {

if ((getPixel(x, y) == border) ||

(getPixel(x, y) == fillColor)) {return;}

setPixel( x, y, fillColor);

// 4-Nachbarschaft

floodFill( x, y+1, fillColor, border);

floodFill( x, y-1, fillColor, border);

floodFill( x+1, y, fillColor, border);

floodFill( x-1, y, fillColor, border);

}

2.  Füllen von Pixelmengen

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Probleme:

  Rekursion → hoher Berechnungsaufwand

  mehrfaches Testen von Pixeln

  „spill-out“ bei Lücken in den Rändern

  Rand bei Verwendung der 8-Nachbarschaft muss auch diagonal dicht definiert sein

Vorteile:

  Es muss nichts über die Geometrie des zu füllenden Gebietes bekannt sein!

  Keine langwierigen Berechnungen

2.  Füllen von Pixelmengen

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3.   Füllen von Polygonen

Füllalgorithmen auf Basis einer geometrischen Beschreibung

  Füllen von Polygonen, die definiert sind durch

–  Liste von Eckpunkten {V} und dazwischen liegenden Kanten {E}

–  Kante von v_izu Eckpunkt vi₊₁für ∀i: 1 < i < n –  Kante von v_n nach v₁schließt das Polygon

Konvexe Polygone: Wenn P₁ und P₂zum Polygon gehören, gehören auch alle Punkte auf der Verbindung zwischen P₁ und P₂ zum Inneren des Polygons

Konkave Polygone: ... Auch mit Selbstüberschneidungen

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3.  Füllen von Polygonen

3.1. Einstieg: Füllen von Rechtecken

  Füllen mit einheitlicher Farbe

  Rechteck definiert durch zwei Ecken (x_min, y_min) und (x_max, y_max)

  Algorithmus:

for (y=y

_min

; y<=y

_max

; y++)

for (x=x

_min

; x<=x

_max

; x++)

setPixel (x, y, color);

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  Definition:

–  Pixel auf einer Kante gehören nicht zum Primitiv, wenn die durch die Kante definierte Halbebene, die das Primitiv enthält, unter dieser Kante oder links von ihr liegt.

–  Pixel auf einer Kante gehören zum Primitiv, wenn die Halbebene, die das Primitiv enthält, oberhalb oder rechts liegt.

gehört zum Primitiv

gehört nicht zum Primitiv

3.  Füllen von Polygonen

3.2. Begriffe und Definitionen

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  Kante: Verbindung zweier Eckpunkte

  Scanlinie: horizontale Linie auf Höhe einer Rasterzeile

  Spanne: Abschnitt auf einer Scanlinie zwischen zwei

Schnittpunkten mit Polygonkanten

3.  Füllen von Polygonen

3.2. Begriffe und Definitionen

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3.  Füllen von Polygonen

3.3. Iterativer Algorithmus

  Abtasten (Scannen) des Polygons Pixelzeile (Scanline) für Pixelzeile von unten nach oben

  Suche alle Schnittpunkte der Scanlines mit Polygonkanten

  Sortiere die Schnittpunkte nach wachsenden x-Koordinaten

  Fülle alle Pixel zwischen Schnittpunkten nach Parität:

Parität ist anfangs 0 und wechselt bei jedem

Schnittpunkt. Gezeichnet wird bei Parität 1.

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A

C D

E F

a b c d Scanline

2 3 4 5 6 7 9 8 10 11

3.  Füllen von Polygonen

3.3. Iterativer Algorithmus

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Überlegungen/Sonderfälle

  Wie bestimmt man für einen nicht-ganzzahligen Schnittpunkt, welches der beiden Nachbarpixel innen liegt?

Erreicht man den Schnittpunkt, während man „innen“ ist, wird abgerundet, während man „außen“ ist, wird aufgerundet.

  Wie verfährt man mit Schnittpunkten an ganzzahligen Pixelkoordinaten?

Ein ganzzahliger Schnittpunkt wird am Beginn einer Spanne als

„innen“; am Ende einer Spanne als „außen“ betrachtet.

  Wie verfährt man mit doppelt belegten Schnittpunkten?

Der y_min-Wert einer Kante wird als zugehörig, der y_max-Wert einer Kante als nicht zugehörig betrachtet.

  Wie verfährt man mit horizontalen Kanten?

Untere Kanten werden dargestellt, obere nicht.

3.  Füllen von Polygonen

3.3. Iterativer Algorithmus

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  Voraussetzungen:

–  Aufbau einer Kantentabelle (edge table, ET) für alle Kanten –  Pro Kante wird notiert:

y_min= unterer y-Wert

x_start= x-Wert an dem Punkt mit y_min(kann größerer x-Wert sein!) y_max= oberer y-Wert

t=dx/dy=horizontaler Versatz zwischen zwei Scanlines (entspricht 1/Anstieg)

Kante y_min x_start y_max dx/dy

AB 1 7 3 -5/2

BC 1 7 5 6/4

FA 3 2 9 0

CD 5 13 11 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 6/4

A

B

C D

E F

11 9 7 5 3 1 y

← (2-7)/(3-1)

←(13-7)/(5-1)

← 0/6

← (2-7)/(9-7)

← (13-7)/11-7)

3.  Füllen von Polygonen

3.3. Iterativer Algorithmus

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  Algorithmus iteriert über Scanlinien und baut eine Aktivkantentabelle (active edge table, AET) auf.

  AET enthält nach wachsenden x-Werten sortierte Schnittpunkte von Scanlinien mit Polygonkanten.

  Spannen zwischen Paaren von solchen Schnittpunkten (Einträge in der AET) werden gefüllt.

  AET wird beim Übergang zur nächsten Scanlinie aktualisiert.

  Algorithmus endet, wenn AET leer ist

3.  Füllen von Polygonen

3.3. Iterativer Algorithmus

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1.  Weise y den kleinsten in der ET vorkommenden Wert zu

2.  Initialisiere die AET mit dem Anfangszustand „leer“

3.  Wiederhole bis ET und AET leer sind

a)  Überführe aus der ET diejenigen Einträge in die AET, für die y_min=y ist und sortiere die AET nach x

b)  Fülle die Pixel in der Scanlinie y durch Nutzung von Koordinatenpaaren der AET

c)  Entferne aus der AET alle die Einträge mit y_max=y d)  Inkrementiere y (nächste Scanlinie)

e)  Aktualisiere für jede nicht vertikale Kante (dx/dy !=0) der AET

3.  Füllen von Polygonen

3.3. Iterativer Algorithmus

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AB 1 7 3 -5/2

BC 1 7 5 3/2

FA 3 2 9 0

CD 5 13 11 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

A

B

C D

E F

AB 1 7 3 -5/2

BC 1 7 5 3/2

Beide Male ist 1 der y_min-Wert einer Kante, daher zeichnen

Kante y_min x_start y_max dx/dy AB 1 9/2 3 -5/2

BC 1 17/2 5 3/2

FA 3 2 9 0

CD 5 13 11 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

Füllen zwischen den beiden Einträgen - (9/2, 2) aufrunden (außen) (5,2) - (17/2, 2) abrunden (innen) (8,2)

Kante y_min x_start y_max dx/dy AB 1 4/2 3 -5/2

BC 1 20/2 5 3/2

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1

A

C D

E F

11 9 7 5 3 1

2 7 13 x

Kantentabelle (ET) AET (Scanline 1)

Kantentabelle (ET)

AET (Scanline 3) AET (Scanline 2)

(20)

A

C D

E F

FA 3 2 9 0

CD 5 13 11 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

FA 3 2 9 0

AB 1 4/2 3 -5/2 BC 1 20/2 5 3/2 -  Kante FA in die AET überführen - Füllen zwischen den beiden letzten Einträgen, dabei ist erster Punkt als innen, letzter als außen betrachtet - Kante AB entfernen

CD 5 13 11 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

- Füllen zwischen beiden Einträgen, (23/2) auf (11) abrunden

FA 3 2 9 0

BC 1 23/2 5 3/2

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

AET (Scanline 3)

AET (Scanline 4)

A

C D

E F

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

(21)

A

D

E F

A

C D

E F

CD 5 13 11 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

-  Kante CD in die AET überführen -  Füllen zwischen den ersten beiden Einträgen, dabei wird (26/2, 5) als außen betrachtet

-  Kante BC entfernen

FA 3 2 9 0

BC 1 26/2 5 3/2

CD 5 13 11 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

Füllen zwischen den beiden Einträgen, dabei wird (13, 6) als außen betrachtet

FA 3 2 9 0

CD 5 13 11 0

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

AET (Scanline 6) AET (Scanline 5)

(22)

A

D

E F

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

FA 3 2 9 0

EF 7 7 9 -5/2

DE 7 7 11 3/2

CD 5 13 11 0

-  Kanten DE und EF in die AET überführen -  Füllen zwischen den ersten beiden Ein- trägen. (7, 7) wird als außen betrachtet.

-  Füllen zwischen den letzten beiden Ein- trägen. (13, 7) wird als außen betrachtet.

FA 3 2 9 0

EF 7 9/2 9 -5/2 DE 7 17/2 11 3/2

CD 5 13 11 0

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

AET (Scanline 7)

AET (Scanline 8)

A

D

E F

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

-- -- -- -- --

(23)

FA 3 2 9 0

EF 7 4/2 9 -5/2 DE 7 20/2 11 3/2

CD 5 13 11 0

AET (Scanline 9)

A

D

E F

-- -- -- -- --

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

-  Füllen zwischen den ersten beiden Einträgen, dabei wird (2, 9) nicht gesetzt, da er y_max zweier Kanten ist.

-  Füllen zwischen den letzten beiden Einträgen, dabei wird (13, 9) als außen betrachtet

-  Entfernen von FA und EF

A

D

E

Kante y_min x_start y_max dx/dy DE 7 23/2 11 3/2

CD 5 13 11 0

-- -- -- -- --

-  Füllen zwischen beiden Einträgen, dabei wird (23/2, 10) zu (12, 10) aufgerundet und (13, 10) als außen betrachtet

11 9 7 5 3 1 y

2 7 13 x

AET (Scanline 10)

(24)

Kante y_min x_start y_max dx/dy DE 7 26/2 11 3/2

CD 5 13 11 0

AET (Scanline 11)

A

D

E

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

-  Der Pixel (13, 11) wird nicht gesetzt, da er y_max zweier Kanten ist

-  Kanten DE und CD entfernen

-- -- -- -- --

AET (Scanline 12)

A

D

E

2 7 13 x 11

9 7 5 3 1 y

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A

E

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3.  Füllen von Polygonen

3.4. Zusammenfassung

Eigenschaften:

  Effizienter Algorithmus

  Beliebige Polygone (auch konkave)

  Vereinfachung für konvexe Polygone möglich (immer nur eine Spanne)

  Performance-Gewinn durch

–  Schnelles Sortieren

–  Integer-Arithmetik (beim Addieren von dx/dy)

  Wird häufig angewendet, u.a. beim Shading in der 3D-

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4.   Füllen mit Mustern

  Muster als Bitmap (Textur = 2D Bild) gegeben, soll in das Innere eines Polygons übertragen werden

  Keine einheitliche Farbe, daher direkte Zuordnung zu

füllendes Pixel auf Texturpixel notwendig

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  Verankerung der linken unteren Textur-Ecke in einer Polygonecke

–  Muster ist mit Polygon verbunden, bewegt sich bei Animationen mit dem Polygon

  Verankerung der Textur auf dem Hintergrund

–  Muster nicht mit Polygon verbunden, Polygon bewegt sich „über“

der Textur

–  Belegen der Polygonpixel mit dem Wert 1 und logische UND- Verknüpfung mit dem Muster

4.   Füllen mit Mustern

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  Einfache Erweiterung der Füllalgorithmen

–  Keine einheitliche Farbe

–  stattdessen: Lookup der Pixelfarbe in der Textur

–  Verknüpfen der Texturfarbe mit der Hintergrundfarbe in verschiedenen Modi:

•  Farben verknüpfen (Interpolation, verschiedene Verfahren)

•  Textur-Farbwert für weitere Berechnungen verwenden

  Verwendung beim Rendering:

–  Shading in Verbindung mit Texturierung –  Texture Mapping, Bump Mapping, etc.

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