Anhang 54: Pascal-Dreieck Unterrichtseinheit Variieren mit dem Pascal-Dreieck

Anhang 54: Pascal-Dreieck

Unterrichtseinheit Variieren mit dem Pascal-Dreieck

durchgeführt von StD Annelies Paulitsch (Hamburg) Lerngruppe: Klasse 5 am Gymnasium

Zeit: 2-3 Stunden

1. Einbettung in den Unterricht - Verlauf

Im vergangenen Schuljahr führte ich in einer 5. Klasse kurz vor den Sommerfe- rien eine Unterrichtseinheit ‘Rund ums Pascal-Dreieck’ durch.

Während einer Unterrichtsstunde kam mir spontan die Idee, die Schüler ihr ei- genes ‘Pascal-Dreieck’ erfinden zu lassen. Jeder sollte sich zwei Regeln bzw.

Vorschriften ausdenken (eine für die Bildung der Zahlen am Rand und eine für die Berechnung der ‘inneren’ Zahlen) und nach seinen Regeln die Zahlen der ersten Reihen berechnen. Mit Eifer gingen die Schüler ans Werk und präsen- tierten mir stolz ‘ihre’ Dreiecke. Die Idee, die anderen Schüler die eigenen Vor- schriften herausfinden zu lassen, kam von den Schülern. Drei Schüler - für mehr reichte die Zeit in dieser Stunde nicht - schrieben ihre ersten Reihen an die Ta- fel; die Klasse musste die Regeln erraten.

In der nächsten Stunde ging es weiter mit dem Erfinden von eigenen Zahlen- dreiecken, nun erleichtert durch einen von mir erstellten Übungsbogen (s. An- hang). Die folgende Stunde war dem Erraten von Vorschriften vorbehalten.

Die Ideenvielfalt war überwältigend (s. nächster Abschnitt).

2. Schülervorschläge: Variationen des Pascal-Dreiecks

Im folgenden fasse ich die Vorschläge der Schüler in Auszügen in einer Tabelle zusammen (ich zitiere wörtlich). Einige Vorschläge können hier nicht wiederge- geben werden, weil zu ihrem Verständnis Skizzen oder verschiedene Farben vonnöten sind.

Vorschrift zur Bestimmung der

Randzahlen inneren Zahlen

An den Rändern sind natürliche Zahlen. Die Summe aus den beiden oberen Zahlen!

Man muss an den Rändern zweimal die gleiche Zahl der Reihe nach schreiben.

Man muss die Zahlen über einem Kästchen addieren.

Am Rand stehen nur Fünfen. Man addiert.

An den Rändern: 1. Rand gerade, 2. Rand ungerade Zahlen

Die Zahlen über einem Kästchen werden addiert.

An den Rändern stehen die natürlichen Zahlen. Man nimmt das 3-fache der Zahl und addiert es mit dem anderen 3-fachen.

Am Rand steht nur die Zahl 4. Es funktioniert alles wie im normalen Pascaldreieck.

Außen stehen die geraden Zahlen Man rechnet drei Zahlen zusammen: die beiden Zahlen über dem Kästchen und die Zahl über diesen beiden.

Außen stehen alle ungeraden Zahlen der Reihe nach.

Wenn man von zwei Zahlen die kleinere von der größeren abzieht, kommt als Ergebnis die darunterstehende Zahl heraus.

An den Rändern stehen die natürlichen Zahlen der Reihe nach.

Es wird immer die Quersumme addiert.

Am Rand stehen ungerade Zahlen. Man nimmt die Zahlen mal. Das Ergebnis wird durch 2 geteilt. Den Rest schreibst du in das nächste Kästchen.

Außen stehen die Primzahlen. Man muß die Quersumme zweier Zahlen zusammenzählen.

Am Rand steht das 1x2. In den anderen Feldern steht immer das kgV der darüber- stehenden Zahlen.

Am Rand stehen die natürlichen Zahlen. Man addiert die Zahlen und schreibt die nächst kleinere Primzahl in das Kästchen.

Am Rand stehen Einsen. Man addiert und schreibt in das Kästchen, wieweit es noch bis zur nächsten Zehnerzahl ist.

Am Rand stehen die Zahlen der Reihe nach. Man addiert und schreibt die Quersumme davon ins Käst- chen.

Die Versuche der Schüler, die ‘zu nichts’, bzw. zu einem ‘langweiligen’ Dreieck führten, sind hier nicht aufgeführt, da die Schüler die zugehörigen Zettel nicht abgegeben haben. Sie haben aber gemerkt - und darüber wurde gesprochen - , dass z. B. die Bildung des ggT anstelle des kgV sehr bald nur noch Einsen lie- fert, dass man die Ränder des ursprünglichen Pascaldreiecks verändern muss, wenn man die Multiplikation oder die Division ins Spiel bringen will.

3. Fazit

Die Schüler waren vom Anfang bis zum Ende mit Eifer am Werk. Es machte ihnen großen Spaß, das Pascaldreieck ganz nach ihren Wünschen und Vorstel- lungen abändern zu dürfen. Besonders spannend war es für sie, ihre Ideen dann auch vorführen zu können und die Mitschüler knobeln zu sehen! (Sie durften übrigens ‘ihren’ Dreiecken auch einen Namen geben.)

Für mich als Lehrerin war es vor allem wichtig, das Maß an Phantasie, das bei dieser Aufgabenstellung zu Tage trat, zu erleben. Daneben habe ich erfreut zur Kenntnis genommen, dass ein Großteil der Klasse sicher mit Begriffen wie ge- rade Zahlen, ungerade Zahlen, Primzahlen, Quersumme , ggT und kgV umzu- gehen in der Lage war.

Das oben beschriebene Variieren am Pascal-Dreieck war mit Sicherheit eine lohnende Sache! Ich kann es zur Nachahmung empfehlen.

Arbeitsblatt

Mein eigenes „Pascaldreieck“

Ich nenne es

Regeln zum Bestimmen der Zahlen:

1) 2)

Anhang 55: Addition von Nachbarzahlen

Unterrichtseinheit Variation einer Arithmetik-Aufgabe durchgeführt von OStR Wilhelm Hein und

OStR Hans Knichel (Saarbrücken) Lerngruppen: eine Klasse 5 und zwei Klassen 6

Zeit: je 4 Schulstunden

Im Folgenden beschreiben wir einen Unterrichtsversuch, bei dem Schüler eine von uns gestellte Aufgabe eigenständig abgewandelt, die Varianten untersucht und ihre Arbeit abschließend bewertet haben.

Unsere Planung ...

An unserem Versuch waren die Klasse 5d4 (Gymnasium am Rotenbühl, Saar- brücken), sowie die Klassen 6r und 6e (Marienschule, Saarbrücken) mit insge- samt 95 Schülern beteiligt.

Als Initialaufgabe wählten wir:

Nimm zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen und addiere sie.

Der sich an die Aufgabenstellung anschließende fragend-erörternde Unterricht sollte folgende Phasen umfassen:

1. Sammeln von Beispielen

2. Aufstellen der Vermutung „Wir erhalten stets eine ungerade Zahl.“

durch

3. Kontrollieren, Plausibel machen und Sichern durch

•

4 + 5 = 4 + (4 + 1) = (4 + 4) + 1 = 2⋅4 + 1

•

n + (n + 1) = (n + n) + 1 = 2⋅n + 1

•

•

Uns war wichtig, dass die Schüler die Lösung auf allen Darstellungsebenen verinnerlichen sollten. Für die Umsetzung unseres Plans war eine Unterrichts- stunde vorgesehen.

... und was die Schüler daraus machten

In allen drei Klassen verlief der Unterricht zunächst nach Plan. Als neuartige Aufgabe formulierten wir:

Nimm die Aufgabe und ändere sie ab.

Wir erklärten mündlich: “Ihr baut euch damit zum ersten Mal selbst Aufgaben.

Bisher habt ihr immer nur die Aufgaben gelöst, die der Lehrer euch vorgegeben hat, oder die im Buch, so wie sie da stehen.”

Alle Vorschläge der Schüler wurden vom Lehrer ohne Kommentar (!) an die Tafel geschrieben. Jede Klasse sammelte etwa 20 Aufgaben. Die folgende Ta- belle enthält von den Schülern der drei Klassen erzeugte Aufgabenvariationen (AV), wobei wir die meisten inhaltsgleichen und einige von denen, die offen- sichtlich keine Ergebnisse liefern, weggelassen haben.

+ 1

ungerade gerade

+ =

AV 1 Addiere eine Zahl und ihren Vor- gänger.

AV 15 Nimm zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, multipliziere sie und bilde ihre Quersumme

AV 2 Addiere zwei aufeinanderfolgende negative Zahlen.

AV 16 Nimm zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen und dividiere sie.

AV 3 Nimm zwei negative ganze Zahlen und addiere sie.

AV 17 Nimm eine Zahl, ihren Nachfolger und ihren Vorgänger und addiere sie.

Nimm drei aufeinanderfolgende Zahlen und addiere sie.

AV 4 Nimm zwei Zahlen, die 2 ausein- ander liegen und addiere sie.

AV 18 Nimm zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, addiere sie und ziehe den Vorgänger der Zahl, die rauskommt, ab.

AV 5 Nimm zwei Zahlen im Dreierschritt und addiere sie.

AV 19 Multipliziere drei aufeinanderfol- gende Primzahlen.

AV 6 Nimm zwei Zahlen im Fünfer- schritt und addiere sie.

AV 20 Nimm vier aufeinanderfolgende Zahlen und addiere sie.

AV 7 Nimm eine Zahl aus ⁻ und eine aus ⁺ und addiere sie.

AV 21 Multipliziere vier aufeinanderfol- gende Zahlen , ziehe die Zahl 2 ab und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst.

AV 8 Nimm eine Zahl aus ⁺ und ihre Gegenzahl und addiere sie.

AV 22 Nimm fünf Zahlen aus ⁺, addiere zwei davon und ziehe die anderen drei von der Summe ab.

AV 9 Bilde das Quadrat einer Zahl und addiere dazu den Nachfolger der Zahl.

AV 23 Multipliziere fünf aufeinanderfol- gende Fünferpotenzen.

AV 10 Nimm zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen und subtrahiere sie.

AV 24 Multipliziere alle negativen Zahlen bis (–100).

AV 11 Nimm zwei aufeinanderfolgende Zahlen und multipliziere sie.

AV 25 Nimm die Zahl 56, dividiere sie durch 6 und multipliziere den Rest mit deiner Lieblingszahl.

AV 12 Multipliziere zwei aufeinanderfol- gende gerade Zahlen.

AV 26 Nimm eine Zahl und ihre Schnaps- zahl* und multipliziere sie.

AV 13 Multipliziere zwei aufeinanderfol- gende Potenzen, z.B. 2² und2³.

AV 27 Addiere die erste und die letzte Zahl der Fünferreihe.**

AV 14 Nimm zwei Quadratzahlen und multipliziere sie.

* Schülererklärung: “14 hat als Schnapszahl 141414, denn Betrunkene sehen alles dreifach.”

** Einige Schüler protestierten sofort.

Nun teilten wir die Bearbeitung der Vorschläge als Hausaufgabe unter den Schülern auf. In den beiden folgenden Stunden stellten sie ihre Ergebnisse zu den einzelnen Variationen (AV) vor. Sie sind nachfolgend aufgelistet, so wie die Schüler sie formuliert haben.

AV 1 Das ist dasselbe wie in der Ausgangsaufgabe.

AV 2 ---

AV 3 Es kommt immer eine negative Zahl raus.

AV 4 1. Das Ergebnis ist immer eine gerade Zahl.

2. Für alle a ∈ ZZ⁺ gilt a + (a+2) = 2⋅a +2 .*

AV 5 Es kommt immer eine ungerade Zahl heraus.

AV 6 Kein Ergebnis gefunden.

AV 7 Wenn der Betrag der negativen Zahl größer ist als der Betrag der positiven, so kommt eine negative Zahl raus; im umgekehrten Fall eine positive.

AV 8 1. Das Ergebnis ist immer 0.

2. Für alle a ∈ ZZ⁺ gilt a + (−a) = a − a = 0 .*

AV 9 Kein Ergebnis gefunden.

AV 10 1. Wenn man von einer Zahl ihren Nachfolger subtrahiert, kommt (–1) raus.

2. Es kommt immer 1 oder (–1) heraus.

3. Für alle a ∈ IN gilt: a − (a+1)* = a − a − 1 = −1 . * AV 11 4. Da kommt das Quadrat der Zahl plus die Zahl raus.

5. Da kommt immer eine gerade Zahl heraus.

6. Es kommen nur die Endziffern 0, 2 und 6 vor.

AV 12 Das Ergebnis ist eine gerade Zahl.

AV 13 ---

AV 14 Das Ergebnis ist wieder eine Quadratzahl.

AV 15 Es fällt nichts Besonderes auf.

AV 16 Für b ∈ IN^*\{1} gilt (b+1) : b = 1 Rest 1 .*

AV 17 1. Die Summe von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets ein Vielfaches von 3.

2. a + (a + 1) + (a + 2) = 3⋅a + 3 = 3⋅(a+1) *

3. Z.B. 253+254+255 . 253 ist 1 weniger als 254, aber 255 ist 1 mehr als 254.

Diese 1 addieren wir zu 253 und erhalten: 254+254+254=3 254.

4.

AV 18 1. Es kommt immer 1 heraus.

2. Für alle a ∈ IN gilt [a + (a+1)] − [a + (a+1) − 1] = 1 . * AV 19 ---

AV 20 1. Es kommt stets eine gerade Zahl heraus.

2. Die Summe ist kein Vielfaches von 4, denn es gibt keine Mitte.

Bei 5 Zahlen geht es wieder.

AV 21 ---

AV 22 Es fällt nichts Besonderes auf.

AV 23 --- AV 24 ---

AV 25 Es kommt die doppelte Lieblingszahl raus.

AV 26 Kein besonderes Ergebnis.

AV 27 Nicht machbar!

* Laut saarländischem Lehrplan werden Gesetzmäßigkeiten bereits ab Klassenstufe 5 mit

Quantoren und Variablen formuliert.

Am Ende dieses Unterrichtsversuchs kommentierten die Schüler:

• “Man kann unendlich viele Beispiele machen.”

• “Es ist schön, mit vielen Beispielen rumzubasteln.”

• “Es gab langweilige Aufgaben.”

• “Manchmal war es zu leicht.”

• “Das Ganze war harte Arbeit.”

• “Es war viel zu schreiben.”

• “Manche Probleme sind interessant.”

• “Der Unterricht war abwechslungsreich.”

• “Ich fand es gut, dass man Aufgaben selbst machen darf.” *

* In diesem Sinne äußerten sich viele Schüler.

Wir stellen fest ...

Die Schüler haben alle kennzeichnenden Elemente der Aufgabe erkannt und sie systematisch einzeln oder kombiniert abgewandelt. Hier eine Übersicht:

Nimm zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen und addiere sie.

AV: AV: AV: AV:

drei 17,18,19 im 2er Schritt 4,12 gerade Zahlen 12 subtrahiere 10 vier 20,21 im 3er Schritt 5 Primzahlen 19 multipliziere 11,12,13

14,19,23 24,26 fünf 22,23 im 5er Schritt 6 Quadratzahlen 14 dividiere 16

viele 24 beliebige 3 Potenzen 13,23 mehrere Re-

chenopera- tionen

9,15,18 21,22,25 ganze Zahlen 7,8

15 negative Zahlen 2,3 24 Schnapszahlen 26

Die Schüler haben erfahren, dass das Ändern auch nur eines einzigen Wortes einer Aufgabe dazu führen kann, dass unlösbare oder unsinnige Probleme ent- stehen, dass leichte Probleme zu schwierigen werden und umgekehrt.

Das Erzeugen neuer Aufgaben aus einer vorgegebenen Initialaufgabe führte zu einer längeren kreativen Phase in unserem Unterricht, in die alle Schüler einge- bunden waren. Gerade leistungsschwächere und sonst eher demotivierte Schüler zeigten Interesse und arbeiteten rege mit. Dies bezieht auch die häusliche Bear- beitung der selbsterfundenen Aufgaben ein.

Beim Erzeugen der Aufgaben war niemand ausgeschlossen und es gab auch kei- ne Inhalte und Methoden, die nicht zugelassen waren. So entstand ein vielfälti- ges Angebot von Aufgaben unterschiedlichen Anspruchs, darunter auch Aufga- ben zum Wiederholen länger zurückliegender Stoffe. Die Schüler lösten die Probleme auf verschiedenen Niveaus und Darstellungsebenen. Die Ergebnisse wurden im Unterricht vorgestellt, einige vertieft oder verglichen. “Besonders im Vergleich qualitativ unterschiedlicher Lösungswege, ihrer Begründungen und Probleme kann sich Verständnis entfalten”. (BLK, S.89)

... und meinen

Schüler, die mit der Methode der Aufgabenvariation vertraut sind, gehen be- wusst mit Aufgabenstellungen um; sie wissen, dass es hier auf jedes Wort an- kommen kann. Hausaufgaben werden nicht so schnell als nicht gekonnt beiseite gelegt, vielmehr ist zu erwarten, dass sich Schüler aufmerksam und intensiv mit der eigentlichen Aufgabenstellung beschäftigen. Sie sind eher in der Lage, die wichtigen Elemente der gestellten Aufgabe zu erkennen. Dies führt in vielen Fällen zum Auffinden einer Lösung. Zumindest sind die Schüler für den Lö- sungsvorschlag eines Mitschülers oder des Lehrers besser vorbereitet.

Für uns ist Aufgabenvariation eine Methode, den Mathematikunterricht anders und lebendig zu gestalten und vielleicht auch wesentlich zu machen. Bleibt zu hoffen, dass unsere Schüler auch von sich aus hin und wieder Aufgaben variie- ren.

Übrigens

Im Anschluss an unseren Unterrichtsversuch stellte einer von uns folgende Auf- gabe (als Umkehrung von AV 17) in einer Klassenarbeit (5d4):

Lässt sich die Zahl 1000 als Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen schreiben? Begründe Deine Antwort.

Die Aufgabe wurde von der Hälfte der Schüler richtig bearbeitet. Hier die Lö- sung einer Schülerin:

Es geht nicht. Begründung: Denn 1000 durch 3 das geht nicht und man muss die Zahl erst durch drei teilen können. Dann hat man drei gleiche Zahlen. Man nimmt von der einen Zahl, die der Vorgänger sein soll, eine 1 weg und gibt sie dem Nachfolger dazu. Also hätte man drei aufeinanderfolgende Zahlen.

Anhang 56: Kreise im Dreieck

Unterrichtseinheit Kreise im Dreieck

durchgeführt von OStR Hans Knichel (Saarbrücken) Lerngruppe: Klasse 10

Zeit: 3 Schulstunden

Das Problem

In ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis c = 8 cm und den Seiten a = b = 12 cm werden fortwährend Kreise mit möglichst großen Radien so einbe- schrieben, dass der nächstkleinere Kreis die Seiten a und b und den vor- hergehenden Kreis berührt.

Welchen Flächeninhalt haben alle Kreise zusammen?

Zunächst die Lösung eines Schülers

Wir betrachten das Ausgangsdreieck und den ersten einbeschriebenen Kreis.

Kongruenz- und Ähnlichkeitsuntersu- chungen und die Nutzung des Satzes von Pythagoras liefern:

h=8 2

r=2 2 =h/4 x=2

Und damit ergeben sich die Flächenin- halte vom ersten Kreis und seinem umbeschriebenen Trapez:

A_1.Kreis =8π und A_1.Trapez =24 2

Und nun zur Strategie: Der Flächeninhalt des ersten Kreises verhält sich zum Flächeninhalt des ersten Trapezes (aufgrund der Ähnlichkeit) wie der Flächenin- halt des zweiten Kreises zum Flächeninhalt des zweiten Trapezes und damit wie der Flächeninhalt des dritten Kreises zum Flächeninhalt des dritten Trapezes und so weiter. Also gilt:

h

x x

r

r

4 4

8

4

A A

A A

A A A

A

1.Kreis 1.Trapez

alle Kreise alle Trapeze

alle Kreise Dreieck alle Kreise

alle Kreise

32 2

= = =

=

= 8 24 2

2 6

32 3 π

π

π

Das entspricht etwa 75% der gesamten Dreiecksfläche.

Und jetzt der alternative (direkte )Weg des Lehrers

Die Kreise gehen jeweils durch Streckung mit dem Faktor k= 1

2 aus ihren Vor- gängern hervor:

A

A k A

A

1

2

2 1

2

2 4 6

2 3

8

1

2 8

8 1

2 8 1

2 8 1

2 8

8 1 1

4 1 4

1 4

.Kreis

.Kreis .Kreis

alle Kreise

Herleitung wie oben

=

= ⋅ =

F

H I K

= +

F H I

K

F H I

K

F H I

K

= + +

F

H I K

F

H I K

F H

G I

K J

π

π

π π π π

π

a f

?

Da Folgen und Reihen in den Lehrplänen für normale¹ Gymnasien im Saarland nicht vorkommen, steht hier keine Formel zur Bestimmung der geometrischen Reihe zur Verfügung. Eine der üblichen Herleitungen liefert:

1 1 4

1 4

1 4

1 1 1

4 4 3

2 3

+ +

F H I

K

F H I

K

und somit:

Aalle Kreise =32 3 π

1 Geometrische Folgen und Reihen können an mathematisch-naturwissenschaftlichen Zwei-

Die Schüler variieren die Aufgabe

1. Das Dreieck wird an der Basis gespiegelt.

2. Das Ausgangsdreieck soll gleichseitig oder rechtwinklig sein.

3. Statt Kreise werden “auf dem Kopf stehende” gleichseitige Dreiecke einbeschrieben.

4. Welchen Umfang haben alle Kreise zusammen?

5. Es werden nur die ersten drei Kreise betrachtet.

6. Welchen Inhalt hat die Ergänzungs- fläche zu den ersten drei Kreisen?

7. Bestimme das Verhältnis der Flä- cheninhalte von Inkreis (erster Kreis) und Dreieck.

8. Berechne den Flächeninhalt des Umkreises.

9. Wann hat ein Viereck einen Um- kreis?²

10. Statt Kreise werden Quadrate ein- beschrieben. Welchen Flächenin- halt und welchen Umfang haben alle Quadrate zusammen?

Die Bearbeitung der Vorschläge wird als schriftliche Hausaufgabe unter den Schülern aufgeteilt.

1 Die Klasse hat Erfahrung mit dem Variieren von Aufgaben; es gibt keine Lenkung seitens des Lehrers.

2

Die Meinung des Lehrers

Das am Anfang stehende Problem “Kreise im Dreieck” ist für alle Beteiligten (Lehrer wie Schüler) eine anspruchsvolle Aufgabe. Für den Mathematikunter- richt in Klassenstufe 10 bietet es vielfältige Aktivitäten (Skizzieren, Konstruie- ren, Schätzen, Messen, Rechnen, ...), eine gute Möglichkeit zum Aufgreifen be- reits behandelter Inhalte (Kongruenz- und Ähnlichkeitsbetrachtungen, Flächen- inhalte, Satz des Pythagoras, trigonometrische Beziehungen, ...) in neuem Zu- sammenhang und ist Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer Verfahren (Ver- hältnisbetrachtungen, Berechnung unendlicher Summen, ...). Hinzu kommt die stets verblüffende (anschauliche und rechnerische) Betrachtung unendlich vieler Kreise mit insgesamt doch nur endlichem Flächeninhalt (und Umfang).

Es geht auch einfach

Der folgende Lösungsweg (Vorschlag einer Schülerin) zur Variation Nr.4 überraschte die Schüler und - einige Wochen vorher - auch den Lehrer:

U U U U

d d d

d d d h

= + + +

= + + +

= + + +

=

=

1 2 3.

1 2 3

1 2 3

8 2

. . ...

...

( ...)

Kreis Kreis Kreis

π π π

π π

π

Hier noch weitere Varianten: Dreiecke im Kreis, Kreise im Quadrat, Quadrate im Kreis, Kugeln im Tetraeder, Kugeln im Kegel, andere Dreiecke mit der Um- fangssumme U =8 2π, ... .

h

d1

d₂ d₃ . . .

Anhang 57: Rösselsprung

Unterrichtseinheit Variation des Rösselsprungproblems durchgeführt von StR Matthias Heidenreich (Calw)

Lerngruppe: Leistungskurs 12 Zeit: 2 Schulstunden

1. Das Initialproblem

Eines der ältesten und berühmtesten Probleme aus den Bereich „Schach und Mathematik“ ist die Forderung an den Springer, nacheinander alle Felder des Schachbretts zu durchlaufen, so daß jedes Feld genau einmal betreten wird. Die Ursprünge dieses Problems liegen rund 1000 Jahre zurück; die erste mathemati- sche Darstellung sowie Ansätze zur Lösung lieferte Euler 1759. Das Problem ist erschöpfend gelöst; es existieren etliche Lösungsmethoden basierend auf geeig- neten Zerlegungen und Zusammensetzungen.

Die bedeutendste empirische Regel zur Erzeugung eines vollständigen Rössel- sprungs stammt von Warnsdorf 1823:

a) Bei jedem Zug wählt man das Feld, von welchem unter den zur Wahl stehen- den Feldern die wenigsten Springerzüge nach anderen, noch unbesetzten Feldern möglich sind.

b) Ergeben sich mehrere Felder mit gleichen Minimalzahlen, so ist die Wahl unter ihnen frei.

Beispiel eines Rösselsprungs nach dieser Regel:

48 19 42 5 50 9 40 7

43 4 49 20 41 6 51 10

18 47 44 61 52 59 8 39

3 54 21 56 45 62 11 58

22 17 46 53 60 57 38 29

35 2 55 26 37 30 63 12

16 23 36 33 14 25 28 31

1 34 15 24 27 32 13 64

Seit jeher wurde die Aufgabenstellung variiert. Die Brettgröße und -form wurde verändert, der Springer wurde zum Koch, Janus oder zu einem anderen Phanta- siegebilde transformiert. An den Rösselsprung wurden Zusatzbedingungen ge- stellt oder die Forderungen der ursprünglichen Aufgabe wurden abgeschwächt.

Jede einzelne Veränderung läßt sich mit anderen kombinieren, so daß der Auf- gabenreichtum fast unerschöpflich ist. Viele der neue entstandenen Probleme sind ungelöst bzw. wurden noch nicht näher untersucht.

2. Warum das Rösselsprungproblem?

Warum gerade die Variation eines klassischen Problems der Unterhaltungsma- thematik? Schon der Begriff „Unterhaltungsmathematik“ bewirkte bei einigen Schülern (und vielleicht auch Mathematikern) staunendes Kopfschütteln. Wie kann ein theoretisches und nüchternes, teilweise sogar sprödes Fach (so die meist einhellige Meinung) gleichzeitig unterhaltend sein?

Die gewählte Aufgabe verbindet beides: Gleichzeitig unterhaltend und doch reich an mathematischen Inhalten. Zudem: Nicht der Stoff, sondern die Methode bestimmt, was Inhalt ist.

Die Aufgabe umgeht ein Problem, mit dem sich der Mathematikunterricht von jeher auseinandersetzen muß. Durch Erfahrung bedingte und sich verstärkende Leistungsunterschiede sind hier nahezu ausgeschaltet. Aktiver Schachspieler oder Regelunkundiger - sie alle starten an der gleichen Linie, da die Zugregel für den Springer auch einem völligen Laien sofort zu erklären ist.

Neben den o.a. Argumenten für die Aufgabenvariation bestechen bei diesem In- itialproblem vor allem die schier unerschöpfliche Anzahl von möglichen Varia- tionen. Zugleich unterscheiden sich die Anschlußprobleme nach Neuigkeits- und Schwierigkeitsgrad beträchtlich vom Original.

3. Rahmenbedingungen und Einführungsstunde

Als Versuchsklasse wurde ein Leistungskurs 12 ausgewählt. Mit 16 (weiblichen und männlichen) Schülern besaß er fast ideale Größe. Neben „Sprachflücht- lingen“ befanden sich auch solche Schüler in dem Kurs, die schon an mathemti- schen Wettbewerben teilgenommen hatten. Es konnte also von einer inhomoge- nen Zusammensetzung gesprochen werden.

Zu Beginn der Stunde wurden die Schüler über die Ziele der Unterrichtseinheit informiert. Anhand eines einfacheren Beispiels sollten sie Grundtechniken des Variierens kennenlernen. Hier bot sich das Initialproblem aus Anhang 11 an.

Auf eine genauere Darstellung des zugehörigen Unterrichtsgeschehens soll hier verzichtet werden.

Im zweiten Abschnitt der Stunde wurde die Rösselsprungaufgabe vorgestellt (s.

Arbeitsblatt auf der nächsten Seite).

Einzelne Schüler erinnerten sich an die Aufgabe, ohne jedoch die genaue For- mulierung zu kennen. Nachdem das Problem dargestellt war, folgte ein kurzer historischer Abriß. Nun sollte jeder Schüler durch Probieren versuchen, einen vollständigen Rösselsprung zu finden.

Schon nach dieser kurzen Berührungsphase machten die Schüler erste Vorüber- legungen zu Lösungsstrategien oder Lösbarkeitsbedingungen Bereits hier wurde (unbewußt oder bewußt?) variiert:

- Hängt die Lösbarkeit von dem Anfangs- und Endfeld ab?

- Gibt es eine Lösung für das 4×4-Brett?

Wenn ja, läßt sich daraus eine Lösung für das Schachfeld konstruieren?

- Wie kann man aus einem festgefahrenen Versuch durch Rücknahme von Zü- gen eine Lösung gewinnen (also ein Backtracking-Verfahren)?

Hier läßt sich die These formulieren, daß gerade die Variation des Initialpro- blems - also das Wenden, Begreifen, Hindurchschauen, Umzentrieren usw. - ein wesentlicher Bestandteil einer Lösungsstrategie sein kann. Schon bei der Lösung eines Problems kann also dessen Veränderung Wesentliches beitragen. Etwas mutiger formuliert: Variation ist Problemlösen.

Der Gong beendete die erste kreative Phase und ließ die Schüler mit einer Reihe offener Fragen zurück. Sie hatten nun die Aufgabe, sich bis zur nächsten Stunde mit dem Problem auseinanderzusetzen. Hierzu sollte weiter eifrig gerösselt und über mindestens eine Variation des Originals nachgedacht werden. Eine Bege- benheit am Rand: Schon auf dem Nachhauseweg überraschte mich eine Schüle- rin freudig damit, sie habe die langweilige Englischstunde mit dem Problem verbracht und sei immerhin auf 62 Züge gekommen.

4. Variationen

Zu Beginn der nächsten Stunde berichteten die Schüler von ihren Ergebnissen.

Eine Schülerin hatte durch Backtracking (Sackgassen werden bis zur nächsten Verzweigung gestrichen) und einer Art Warnsdorf-Regel relativ schnell eine Lösung gefunden. Eine andere Schülerin fand durch geeignete Klasseneinteilun- gen der Felder auf konstruktive Weise einen vollständigen Rösselweg.

Nach diesen ermutigenden Resultaten wurde den Schülern jetzt die Warnsdorf- sche Regel vorgestellt und plausibel gemacht. Es war für sie nun ein Leichtes, eine vollständige Lösung zu erzielen.

Jetzt folgte die eigentliche Variationsphase. Geplant war zunächst ein Sammeln von Vorschlägen an der Tafel. Erst danach sollten sich die Schüler über Konse- quenzen, mehr oder minder sinnvolle Variationen, Niveau und Schwierigkeit, Lösbarkeit, Beweisskizzen etc. Gedanken machen. Tatsächlich lief der Unter-

richt anders. Meist wurden die Variationen direkt nach Vorschlag diskutiert, als unsinnig verworfen, als schwierig oder trivial bewertet oder abermals variiert.

Ich mochte hier nicht steuernd eingreifen, weil es möglicherweise der Motivati- on geschadet hätte. Zudem bringt die Diskussion über die Konsequenzen einer Abänderung neue Spielarten hervor.

Unerwartet waren bereits die ersten Vorschläge von gewagtem Ausmaß: In An- lehnung an die in der vorangegangenen Stunde gelernte Strategie, jedes Wort abzuändern bzw. zu negieren, veränderten die Schüler folgerichtig zunächst den Springer, d.h. seine „Gangart“:

Analogisieren 1 Ersetze den (1;2)-Springer durch den (1;3)-Springer.

Nach kurzer Zeit kam der Hinweis, daß die neue Aufgabe nicht lösbar sei, da der Springer dabei nur gleichgefärbte Felder besetzen kann. Als nächster Vorschlag kam ein naheliegendes

Abschwächen Ersetze den (1;2)-Springer durch den (1;3)-Springer und mache alle Felder gleichfarbig.

Jetzt lagen die nächsten Abänderungen auf der Hand: (2;3)-Springer; (5;5)- Springer usw.. Also:

Verallgemeinern 1 Ersetze den (1;2)-Springer durch den (n;m)-Springer.

Weiter wurde eifrig die Gangart des Springers manipuliert.

Verallgemeinern 2 Ersetze den Springer durch 2 (n) abwechselnd ziehende Springer.

Hier erkannte ein Schüler unmittelbar, daß diese Variante trivial ist, da zu einer Lösung lediglich die Mitte eines vollständigen Rösselweges aufgesucht und von dort aus gegenläufig gewandert werden muß (bei den Springern analog).

Der nächste Vorschlag der Schüler war für mich Neuland:

Verschärfen Überlaufene Felder (Rechtecke) gelten als besetzt.

Wir erkannten schnell, daß diese Aufgabe für das herkömmliche Brett nicht lös- bar ist. So gelangte man zur Frage nach Form und Größe des Bretts:

Analogisieren 2 Ersetze das quadratische Brett durch ein rechteckiges.

Analogisieren 3 Ersetze das quadratische Brett durch ein nichtrechteckiges.

Verallgemeinern 3 Ersetze das quadratische Brett durch ein m×n-Brett.

Die Lösung dieser Aufgaben ist nicht leicht. Jedoch erkannten die Schüler be- reits, daß das Rösselsprungproblem für bestimmte Brettformen nicht lösbar ist (z.B. nicht für das 3×3-Brett und für das 2×n-Brett). Hier ließ ich jedoch nicht locker, da kurz zuvor das Beweisprinzip der vollständigen Induktion mit ihnen behandelt worden war. Tatsächlich äußerte eine Schülerin nach einigermaßen

gezielter Fraugestellung, daß ein Nachweis für beliebige quadratische Bretter so vielleicht möglich sei.

Durch den Hinweis, daß die Brettform frei von jeglicher Konvention sei, faßten einige Schüler neuen Mut:

Verallgemeinern 4 Ersetze das (zweidimensionale) Brett durch ein dreidimen- sionales Brett.

Hier wich der Kurs ein wenig vom Thema ab. Es wurde hitzig debattiert, wie denn die Schachregeln für den dreidimensionalen Fall im Sinne eines Perma- nenzprinzips analogisiert werden könnten.

Nach meinem Vorschlag:

Verallgemeinern 5 Ersetze das (zweidimensionale) Brett durch ein n-dimensi- onales Brett.

war die Konfusion zunächst groß. Hier waren einige Schüler dankbar, daß zu- nächst nur variiert und nicht gelöst werden mußte.

Nun wurde in einer anderen Richtung fortgeschritten.

Analogisieren 4 Ersetze den Springer durch eine andere Figur.

Das Ausgangsproblem ist für den Bauer nicht sinnvoll. Für die Figuren Läufer, Turm, Dame und König ist es trivial.

Die Frage nach einem vollständigen Rösselweg bei vorgegebenem Anfangs- und Endfeld tauchte kurz auf, wurde aber nicht näher erfolgt. Solche Variationen könnten lauten:

Geringfügiges Das Startfeld soll vom Endfeld direkt erreichbar sein Ändern 1 (geschlossener Rösselsprung).

Geringfügiges Das Startfeld (Endfeld, Start- und Endfeld) ist vorgegeben.

Ändern 2

Den Schülern gingen nun langsam die Ideen aus. Daher ein erneuter Impuls:

Existiert so etwas wie eine inverse Aufgabe? Darauf folgender Vorschlag:

Umzentrieren Nach wie vielen Feldern hat sich der Springer frühestens festgefahren?

Hier beendete der unbarmherzige Gong eine interessante Stunde. Trotz der gro- ßen Ausbeute sind noch weitere Variationen möglich und lohnend:

Verstärken 1 In der Matrixschreibweise soll der vollständige Rösselweg

zusätzlich ein magisches Quadrat bilden.

Verstärken 2 Der geometrische Kantenzug soll punktsymmetrisch sein.

Abschwächen Der Springer soll möglichst viele Felder erreichen.

Iterieren Wie läßt sich durch Umbilden eines Rösselweges ein neuer Rösselweg ergeben?

Reagieren Wie viele verschiedene Lösungen gibt es? usw.

5. Nachbetrachtung, Ausblick

Auch wenn viele Fragen offen blieben und der geplante Unterrichtsverlauf nicht zustande kam - den Schülern und mir hat diese Einheit viel Spaß gemacht.

Vielleicht sind wir etwas weiter mit der Frage: Was ist Mathematik?

Gerade nach dem langen und steinigen Weg durch die Unebenheiten der Epsi- lontik war die Unterrichtseinheit eine erfrischende Abwechslung. Positive Rückmeldung erhielt ich auch von den Schülern: Neben Anfragen zu einer Facharbeit über das Thema und zu weiterführender Literatur wünschten sich viele Schüler eine Wiederholung solcher Einheiten.

Bei aller Freude müssen jedoch auch kritische Anmerkungen gemacht werden.

Gerade die schwächeren Schüler konnten dem Tempo und den sich fortgesetzt ändernden Fragen teilweise nicht mehr folgen. Um auch ihnen gerecht zu wer- den, hätte man für den gleichen Stoff wohl die doppelte Zeit benötigt. Zudem fiel auf, daß die im sonstigen Unterricht aktiven und motivierten Schüler auch hier die meisten Beiträge beisteuerten.

Angesichts der geringen Erfahrungen mit Variationstechniken gab es erstaunlich viele und vielfältige Vorschläge. Weitergehende Variationen (z.B. magische Ei- genschaft) sind wohl nur bei größerer Vertrautheut mit dem Thema zu erwarten.

Je öfter die Schüler jedoch variierten, desto mehr erkannten sie, daß jede zu- nächst noch so abwegig erscheinende Idee einer näheren Untersuchung wert ist.

Hier hängt viel vom Umgang mit falschen Antworten bzw. unsinnigen (gibt es die überhaupt?) Vorschlägen ab.

Die Stunde wäre sicherlich anders verlaufen, wenn ich mich nicht selbst schon mit dem Thema Rösselsprung auseinandergesetzt hätte. Ein Lehrer auf dem Wissensstand der Schüler läßt ihnen vielleicht noch mehr Freiraum, obgleich natürlich auch die Risiken zunehmen (Aber was riskiert man schon?). Auch hier stellt sich die sicherlich nicht neue Frage, wieviel der Lehrer zum Unterrichts- verlauf beisteuern sollte. Ideal ist sicher eine Funktion als Moderator, welcher nur Impulse gibt. Tatsächlich sind die Schüler (zumindest die meines Kurses) jedoch noch stark auf den Lehrer fixiert. Das muß indessen kein durchgehender Nachteil sein. Am Ende der Stunde war es durchaus angebracht, selbst Variatio- nen vorzuschlagen und damit für neue Anstöße zu sorgen.

Anschließen sollte sich nun eine metakognitive Betrachtung. Dabei sollte deut- lich werden, daß es sich beim Variieren nicht um einen Pausenfüller, sondern um ernsthafte mathematische Arbeit handelt.

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