Munich Personal RePEc Archive
Balanced States in Vector Optimization Problems
Polterovich, Victor
CEMI RAS
1984
Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/40907/
MPRA Paper No. 40907, posted 28 Aug 2012 10:59 UTC
УД К 62- 505
У Р А В Н О В Е Ш Е Н Н Ы Е С О С Т О Я Н И Я В З А Д А Ч А Х В Е К Т О Р Н О Й О П Т И М И З А Ц И И
П О Л Т Е Р О В И Ч В. М .
( М о с к в а )
Р а ссм а т ри в а е т ся з а д а ч а от ы ск ан и я т оч к и П а ре т о, у д ов л е т в оря ю щей д оп ол н и т ел ь н ы м у сл ов и я м т и п а рав е н ст в . Д ок а з ы в а е т ся т е оре м а о су щ е ст в ов ан и и ре ш е н и я . П ри в од я т ся п ри м е ры .
Цел ь данной ст ат ьи — пред л ожит ь ест ест венную п ост анов к у зад ачи век
торной опт имизац ии, к от орая, несмот ря на обил ие л ит ерат уры по эт ому в оп росу [1, 2] , до сих п ор пе рассм ат рив ал ась в общем виде. Она в озник л а из ст ремл ения унифиц ироват ь д оказат ел ьст ва ряд а т еорем о сущест во
вании опт имал ьног о распред ел ения ре сурсов при неравновесны х ц енах [ 3—5] . Од нак о имеют ся и д ругие примеры применения описы ваемог о ниже под ход а, один из них сод ержит ся в посл ед нем разд ел е ст ат ьи.
1. У р а в н о в е ш е н н ы е с о с т о я н и я
Пуст ь па множест ве сост ояний X<^Rl зад аны т от ображений Uk : Х ^ 2 Х,
& е Д / = {1 ,. . . , т) . К ажд ое из них описы вает нек от орое пред почт ение (обобщенны й крит ерий опт имал ьност и), есл и инт ерпрет ироват ь м ножест во Uh(x ) к ак сов ок уп ност ь сост ояний , ст рог о л учших, чем х. Всюд у в дал ьней шем счит аем вы пол ненны ми сл ед ующие усл овия.
1. Множест в о X — непуст ой выпуклый компакт .
2. Дл я л юбог о к = 1 , . . . , т от ображение Uh иррефл ек сив ио (т. е. х Ф
<£Uh(x ) Vx) и его г рафик от кры т в X X X; м ножест в а Uh(x ) л ибо пуст ы , л ибо вы пукл ы .
От мет им, чт о посл е работ ы [6] такой сп особ оп исания предпочт ений ст ал ст анд арт ны м; пол нот а ил и т ранзит ивност ь зд есь не пред пол аг ают ся.
Сост ояние х ^ Х назы вают Парет о- опт имал ьны м, есл и (1) f l^ Cz)n t / r( z)= 0 VrejJ/ ,
fteM
где Uh(x ) — замы кание м ножест ва Uh(x ).
При п ост ановке зад ач мног окрит ериал ьног о в ы бора возникает т руд ный мет одол огический в оп рос: к ак опред ел ит ь попят ие решения, чт обы соот вет ст вующее м ножест во сод ержал о «не сл ишком мног о» эл емент ов?
Требование Парет о- опт пмал ьност и решения част о оказы в ает ся ест ест вен
ным, но д ал еко не всегд а ясно, к ак ую из т очек Паре т о сл едует пред почест ь.
Чт обы преод ол ет ь ук азан н ую т руд ност ь, дл я некот оры х спец иал ьны х си
туаций разработ аны сист емы ак сиом , опред ел яющие функц ии вы бора [ 7] . ' Во мног их работ ах с этой же цел ью пред л аг ает ся испол ьзоват ь эксперт ов . [ 2 , S] .
В ряд е сл учаев необход им ая д опол нит ел ьная информ ац ия о жел ат ел ь
ном вы боре может быт ь зад ана усл овиями сл ед ующег о вида:
(2) g k ( x ) = g T( x) V/c, r e Л/,
где gh — числ овая функ ц ия, опред ел енная па X . Буд ем инт ерпрет ироват ь соот ношения
gj (х ) = m in gh (х ) < g T (х ) = max gk (x )
k e M f c s M
89
как указание эксперт а на то, чт о вы бор сост ояния х означал бы нед ост а
точный учет пред почт ения / по срав нению с пред почт еиием г. Тем самы м дл я кажд ог о х вы д ел яют ся крит ерии, «увел ичение» кот оры х наибол ее и наименее в ажно. К ом пром исс межд у пред почт ениями д ост иг ает ся в т ех т очках, где вы пол нены равенст ва (2 ).
Ит ак, пуст ь фик сиров аны множест во X, от ображени я Uk и функц ии gh, к ^ М .
Оп ред ел ен и е 1. Сост ояние х ^ Х назовем уравновешенны м, есл и он о Парет о- опт имал ьно и уд овл ет воряет усл овиям (2 ).
Под черкнем , чт о Парет о- опт имал ьност ь сост ояния на множест ве (3) X 0={ x ^ X \ g h( x ) = g r {x ) V& , г ^ М )
от носит ел ьно от ображении Uh(x)C\ X0 необход има, но от нюд ь не д ост ат оч
на дл я уравновешенност и.
Иног д а вы пол нение усл овий т ипа (2) обеспечивает ся самим м еханиз
мом функ ц иониров ания иссл едуемой сист емы . При эт ом их м ожно инт ер
прет ироват ь л ибо к ак информ ац ию о ц ел есообразном вы боре онт имума Парет о иа множест ве X, л ибо к ак ог раничения на совок уп ност ь сост ояний . В посл еднем сл учае приход им к пробл еме вект орной опт имизац ии на м но
жест ве (3 ), и снов а возникает в оп рос о к рит ериях от бора Парет о- опт имал ь- ны х т очек. Разл ичие межд у д вумя эт ими в озм ожност ям и ст ановит ся осо
бенно ясны м из сл ед ующих эврист ических соображеиий . Есл и разм ер
ност ь X бол ьше, чем 2 т—2, т о «в общей сит уац ии» сл едует ожид ат ь, чт о разм ерност ь Парет о- г раниц ы дл я множест в X и Х 0 од инакова и рав на т—1 (см., нап рим ер, [ 9] ), в т о время как совок уп ност ь уравновешенны х со
стояний «скорей всег о» имеет пул евую разм ерност ь.
Пуст ь /<=71/= {1, 2 , . . . , т ) . Сост ояние х ^ Х назовем /- уравновешенны м, есл и усл овия (1) и (2) вы пол няют ся при замене М на / .
Есл и / сод ержит т ол ько од ин эл емент г, т о /- уравновешенны ми явл яют ся вект оры , «м аксим изирующие» пред почт ение Ur на X .
Введем еще два п ред пол ожения.
3. Функц ии gu непреры вны .
4. Дл я л юбог о /с=Л/ в сяк ое /- уравновешенное, но не уравнов ешенное сост ояние z уд овл ет воряет усл овию
g r( z ) > m in g k(z) Vre=/.
ЯеМ
Посл ед нее, наибол ее ог раничит ел ьное д опущение характ еризует сит уа
цию как «ант аг онист ическую». Оно означает , чт о д ост ижение уравнов е
шенност и дл я л юбог о собст венног о под множест ва крит ериев неизбежно св язано с «ущемл ением» некот оры х д руг их предпочт ений .
Сформ ул ируем т еперь основной резул ьт ат .
Т еорем а 1. Есл и вы пол нены п ред п ол ожения 1—4, т о уравнов ешенное сост ояние сущест вует .
Доказат ел ьст во д ано в прил ожеиии 1.
От мет им, чт о обоснов ание т еоремы 1 сущест венно уп рощ ает ся, есл и пред почт ения зад аны непреры вны ми вогнут ы ми функц иям и uh :X- *- Rl\
в этом сл учае от ображени я Uh имеют вид Uh(x ) = {v\ uk( v ) > u h( x ) , у е Х}
и уд овл ет воряют п ред п ол ожению 2. Рассм от рим иг ру д вух лиц:
т
(5) - У*, K * W ^ m ax п о у = ( у к), 4ft==1’ v/c -
i i
Нет руд но п оказат ь, чт о п ри вы пол нении пред п ол ожения 4 сост ояние явл яет ся уравновешенны м т огда и т ол ько т огда, когд а дл я некот орог о у ' =
9 0
= (Tf**)e ^ m п ара (x\ Y ) рав иов есна по Нэш у в иг ре (4 ), (5 ). От сюд а л егко сл едует т еорема сущест вования.
По- вид имому, уравнов ешенное сост ояние, «к ак п равил о», единст венно.
Но п ока эт а г ипот еза д ок азан а л ишь в д вух очень част ны х сл учаях [3, 4] . Дл я вы числ ения уравнов ешенног о сост оян ия ест ест венно испол ьзоват ь проц есс
7 | т
at т i- JГ 1
где ^('у) — решение зад ачи (4) при ч = ( ”(к)- Пок а этот п роц есс (д оп ус
кающий , как л егко попят ь, многочисл енны е мод ификац ии) обоснов ан л ишь дл я очень прост ой модел и (см. [ 4] ).
Есл и gk { x ) =u h( x ), то при ог оворенны х усл овиях пред л аг аемая п ост а
новка зад ачи вект орной опт имизац ии эквивал ент на хорош о извест ной (см., наприм ер, [ 7] ): м аксим изироват ь функц ию m in w h(;r) при х ^ Х . Ни же рас
см ат ривают ся д ругие, бол ее сод ержат ел ьны е примеры уравновешенны х со
стояний .
2 . Р а с п р е д е л е н и е р е с у р с о в п р и ф и к с и р о в а н н ы х ц е н а х
Пуст ь п видов ресурсов расп ред ел яют ся межд у т участ никам и и д опус
т имое м ножест во имеет вид
т
(7) Х = { х = { с , } Г
| V
с .е У , с„ е Я +”} , 1где ch= (Chi) — вект ор, пот ребл яемы й агент ом к; Y — множест во д опуст имы х вект оров чист ог о вы пуска, У<=/?+п. Символ ом {ch}im обозначена посл ед ова
т ел ьност ь (сц , . . . , Сщ ,. . . , сm ii. . . , Стп) 1 т ак чт о X<=R+nm.
Пред почт ения участ ников описы вают ся, к ак и вы ше, от ображениям и Uh, опред ел енны ми на X . Век т ор цеп на ресурсы фи к си ров ан и равен р = ( ) е
^R+n. Правил о распред ел ения д оход ов межд у участ никам и зад ает ся сист е
мой скал ярны х функций cpft(fJ), к ^ М , $<^R+\ где ^ — сум м арная вел ичина д оход а.
Нижесл ед ующее опред ел ение обобщает бл изкие п онят ия ВСРЕ-расп ре дел ения и р- опт имума, введенны е соот вет ст венно в [3, 4] .
Оп ред ел ен и е 2. Распред ел ение ресурсов x *={c ft*}im назовем р-опт и
мал ьны м, есл и оно Парет о- опт имал ьно дл я сист емы от ображений Uh, к ^ М на множест ве (7) и, сверх т ого, уд овл ет воряет бюд жет ны м ог раничениям i
Ж .
Введем сл ед ующие пред пол ожения.
5. x '^ U r ( x ) при л юбы х я = { са } Л х ' ={ с к' } Г из X , т аких, чт о с / > с Т, с г' Фс т.
6. Множест в о Y — выпуклый компакт в /?+ ".
7. Функ ц ии срл непреры вны , неот рицат ел ьны и уд овл ет воряют т ож
дест ву
Усл овие 5 вмест е с пред пол ожением 2 (см. разд ел 1) факт ически озн а
чает , чт о пред почт ение участ ник а к опред ел яет ся л ишь кол ичест вами им еющихся у него ресурсов .
Т е орем а 2. Пуст ь р > 0 и вы пол нены д опущения 2, 5—7. Тог д а /?- опти- мал ьное распред ел ение сущест вует .
91
Д ок азател ь ств о. Дл я произвол ьног о х ^ Х пол ожим m
gh(х ) =pCk —(ph ( р У У * ) . ke=M.
\ 1
Из п ред п ол ожения 5 сл едует , чт о уравновешенное сост ояние в этой сит уац ии явл яет ся /^- оптимал ьным. Поэт ом у д ост ат очно проверит ь п ри менимост ь т еоремы 1.
Вы пол нение усл овий 1—3 очевид но. Убед им ся в справед л ивост и пред п ол ожения 4. Есл и сост ояние х ={ с к) Л /- уравновешено, ] ФМ , т о в сил у допущений 2, 5
ск= 0 , к ^М\ ] .
тп
Есл и фЛ ^ т о сост ояние х уравнов ешено. В прот ивном 1
сл учае най дется r&J, дл я кот орог о g r (a ;)<0 , чт о и т ребовал ось д оказат ь.
Дл я сл учая, когд а Y сод ержит единственный вект ор и фА линей ны, су щест вование ^- опт имал ьны х распред ел ений бы л о д ок азан о в [ 3—5] . В [3]
пред почт ения описы вал ись гл адкими в озраст ающим и квазивог иут ы ми функц иями пол езност и; в [4] гл адкост ь не пред пол аг ал ась. В [5] пред почт ения был и под чинены усл овиям 2 и 5. Мод ел ь с производ ст вом рас
смат ривал ась в [4] (см. т акже [ 10] ), но в нескол ько ином вариант е.
Независим о от упом янут ы х работ в [11, 12] иссл ед овал ась очень бл из
кая пробл ема. Связь д вух зад ач бы л а зам ечена в [ 5] . По сущест ву, речь идет о рассм от рении описанной вы ше сит уац ии с учет ом сл учай ны х фак т оров.
В этой п ост ановке Y п р — функц ии, от ображающ и е п рост ранст в о со
ст ояний Q соот вет ст венно в 2 Й+ и в R+n. Ищет ся функ ц ия x = {c A}im, где ch : Q- *R +n, к от орая уд овл ет ворял а бы усл овию Парет о- опт имал ьност и от носит ел ьно от ображений Uh X- »- 2Y и, св ерх т ого, равенст вам
ТП
Epc h=q>k ^ Е ^ рст j , к<=М.
г«=1
Зд есь Е — символ мат емат ическог о ожид ания, а
п
р , ( с о ) с л, ( с о ) .
1 = 1
В форм ул е (7) вкл ючения д ол жны вы пол нят ься при всех co^Q.
В [ 11, 12] эт а зад ача изучал ась дл я част ной сит уац ии: распред ел ял ся единственный ре сурс, функц ии фл счит ал ись линей ными, пред почт ения за
д авал ись вогнут ы ми фупкц иям и пол езност и, а от ображение Y (со) пред пол аг ал ось од нозначны м. Пол ученны е в [11, 12] резул ьт ат ы не сл ед уют из т еоремы 1, есл и £2 сод ержит бесконечное числ о эл емент ов. Дл я конеч
ног о числ а сост ояний оп исан ная обобщенная модел ь свод ит ся к д ет ерми
нированной и, сог л асно т еореме 1, ее решение сущест вует . Од нак о, в от л ичие от пост ановки, рассмот ренной в [ 11, 12] (см. т ак же т еорему 2 в [ 4] ), усл овия, обеспечивающие ед инст венност ь решения, не иссл ед овал ись.
3 . К о с в е н н о е з а д а н и е э ф ф е к т и в н ы х т р а е к т о р и й э к о н о м и ч е с к о г о р о с т а
При формал изац ии пробл ем опт имал ьног о п л аниров ания в качест ве м аксим изируем ог о к рит ерия част о принимают сум м у д исконт ированны х цел евы х функций , зав исящ их от т екущег о пот ребл ения. Од нако д аже в т ех сл учаях, когд а цел евые функц ии извест ны , обоснов анное зад ание д исконт а обы чно вы зы вает сущест венны е т руд ност и. Ни же будет п ок азано, чт о при
9 2
опред ел енны х усл овиях вмест о д исконт ирующих коэффиц иент ов м ожно дл я к ажд ог о момент а времени зад ават ь вел ичину х* от ношения ст оимост и пот ребл енны х за год бл аг ко всем им еющим ся ре сурсам (сумме основны х и оборот ны х фонд ов на начал о год а и нац ионал ьног о д оход а). Без сом не
ния, имеют ся и д руг ие парамет ры , косвенны м образом опред ел яющие эф
фективный пл ан; ест ест венны м прет енд ент ом на эт у рол ь явл яет ся норм а пот ребл ения (ср. [13, с. 394] ). Вы бор первичны х п арамет ров зависит от прост от ы их исчисл ения и ст абил ьност и ил и «рег ул ярност и» изменения во времени. Провед енны е подсчет ы показал и, чт о в эт ом смы сл е нормы п о
т ребл ения не имеют особы х преимущест в перед вел ичинами х,. Так , за период 1976—1980 гг. максимал ьное от носит ел ьное от кл онение х* от сред него значения сост авл ял о 2 ,5 %, а дл я норм пот ребл ения — 2 ,8 %.
Прист уп аем к оп исанию модел и. Пуст ь t — д искрет ное время, t =
= 0 , . . ., Т\ Т — г оризонт пл анирования. Траек т ории эконом ическог о рост а будем обозначат ь символ ом {с,, v t, wt}0T, где ct, vt, w t — соот вет ст венно п о
т ребл ение, зат рат ы и вы пуск в момент t. Допуст имы ми счит аем т акие и т ол ько т акие т раект ории, кот оры е уд овл ет воряют усл овиям
(v t- u W t )^ Z t ( t = i , . . . , T ) ,
ct= w t~ v t W0= y0,
где Z t — т ехнол ог ическое м ножест во в момент t\ вект ор начал ьны х ре сур
сов у о фи к сиров ан. Множест во д опуст имы х т раект орий обозначаем че
рез X . Извест ны цел евые фупкц ии u t (c t), зав исящие от пот ребл ения, и функц ия f ( v t), харак т е ризующ ая ценност ь вект ора ресурсов , п ред назна
ченны х дл я исп ол ьзования в запл аиовом период е. Пуст ь, к роме т ого, з а
даны посл ед оват ел ьпост ь чисел х (, 0 < х ,< 1 ( t = 0 ,. . . , Т ) и вект ор цен p ^ R + n. Сп рашив ает ся, сущест вует л и в X т раек т ория, Парет о- онт имал ь- п ая от носит ел ьно функций / и u t ( t =0 , . . . , Т ), дл я кот орой
(8) pc tlp w t =K t Vt.
Эт от в оп рос свод ит ся к пробл еме сущест вования уравнов ешенног о со
ст ояния, есл и дл я л юбог о x ={ c t, v t, M>t}0T e X пол ожит ь
и , (х ) = { х '= {с/ , у / , w x/ } 0T^X\ ut (ct/ ) >U t ( c t )} , 0 ^ t < T , UT+l (x ) = {x ' = {cT/, у / , w x'} 0T^ X \ f (v T') > f (vT) },
g t ( x ) =p c t- K lp w l, 0 < £ ^ r ,
£r+1(.r) = max (K,pw t- p c t).
os;/*sr
Т е оре м а 3. Пуст ь вы пол нены сл ед ующие усл овия:
1) функц ии lit, / опред ел ены на R+ 11, непреры вны , вогнут ы и в озраст а
ют по всем своим арг умент ам;
2) множест ва Z, сод ержат ся в замкнут ы и вы пукл ы ;
3) дл я л юбог о v ^ R +n и произвол ьног о t най дется вект ор w t, такой , чт о (и, w t)e=Zr,
4) есл и (0, y ) ^ Z t, т о у =0;
5) есл и v'&zv, (и, w ) ^ Z t, и 'Фи , то най дется вект ор w '^ w , w'¥ *w, такой , чт о (г/, w ' ) ^ Z t\
6) у о>0 , г/о^О; /?>0.
Тог д а дл я любой посл ед оват ел ьност и чисел х (, 0 < х *< 1 ( O ^ t ^ T ) су
щест вует Парет о- опт имал ьная т раек т ория x ={ c tl vt, ш(}0т, уд овл ет воряю
щ ая равенст вам (8 ).
Доказат ел ьст во д ано в п рил ожении 2.
Извест но, чт о Парет о- опт имал ьная т раект ория максим изирует функц ию
т
У 1, ^t ih (c t )+ ^ T+lf ( v T) о
при некот оры х неот рицат ел ьны х y t. Эт и вел ичины иг рают рол ь д исконт и
рующ их коэффиц иент ов. Таким образом , зад ание п арам ет ров х* косвенны м образом опред ел яет д инамику д исконт а.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1
Не ог ра н и ч и в а я об щ н ост и , м ож е м счи т ат ь , ч т о в н у т ре н н ост ь м н ож е ст в а X не п у ст а. Вв ед ем от об ра ж е н и я
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
^ft(a;) = {9 e fl'| ll?ll = l. q z > q x V z e f / ft(x )};
c o n v T h (x ), есл и Uh { x ) ^ Ф, { g | llg ll< i} , есл и Uk ( x ) — Ф, г д е c o n v r ft(x ) — в ы п у к л ая об ол оч к а T h (x ).
Л е м м а 1. Г ра ф и к от об ра ж е н и я Qk зам к н у т . Есл и U h (x )^ <f i, т о 0& Qh (x ).
Д ок азате л ь ств о. П ок а ж е м в н ач ал е , ч т о от об ра ж е н и е Uh{ x ) п ол у н е п ре ры в н о сн и зу . Пу ст ь х ‘- +х°, z & U k { x °). Т ог д а U h (x °):*=ф. Най д ем п осл е д ов ат е л ь н ост ь a ve £ / fc(x °), сх од я щ у ю ся к z. В си л у от к ры т ост и г ра ф и к а н ай д ут ся ч и сл а t ( v ) , т ак и е, чт о a ve
п ри £3 *t (v ). Сч и т ая п осл е д ов ат е л ь н ост ь t ( v ) в озраст ающ е й , п ол ож и м z ‘=
= a v, t ( v ) = ^ < t ( v + 1 ) ( v = 1 , 2 , . . . ) . Т ог д а z l- *z, z ^ U k i x 1) , чт о и т ре б ов ал ось п ок азат ь . Пу ст ь т еп ерь х'- >- х0, ql^- q°, <7*e()fc(x ' ). Есл и Uh (x °) = (fi, т о q 0(z 'Qh(x °) • Пу ст ь и к { х 0) Ф ф . Т ог д а н ай д ут ся в е к т оры qtae T h (x {) , у д ов л е т в оря ю щ и е соот н ош е н и я м
J+i i+1
qtez ^ q isx l Vz ^ U h { x l) .
Б е з ог ран и ч е н и я об щ н ост и сч и т ае м , ч т о q ta^ q a п ри *-»■<». Т ог д а
i+ 1 г + 1
a ts q ta -*■ q° = asq".
а = 1 а = 1
П у ст ь z ° ^ U k ( x ° ) . П о д ок аз ан н ом у , най д ет ся п осл е д ов ат е л ь н ост ь z ‘- +z°, z ^ U h i x 1) . Т ог д а q t*zt^ q t*x i V t, s. В п ре д ел е и м е ем
q sz ° > q sx °,
сл ед ов ат ел ь н о, q*<^T k (x °), зн ач и т , q ° ^ Q h ( x ° ) . Зам к н у т ост ь д ок а з а н а .
Ост ал ось п ок азат ь , ч т о O ^c o n v T h (x ). Есл и эт о п е т ак , т о ра ссм от ри м в е к т оры </*, в =»1 ,. . . , Z+ 1, д л я к от оры х
1 + 1 J+ i
119*11 = 1, q 'z '5 t q ax V z е Uk (x ), <x*qa = 0, ^ ^ a * = l , а * >0 .
« = 1 j=i
П ре д п ол ож и м д л я оп ре д е л е н н ост и , чт о
i+i
а 1? 1 = — а *q* Ф 0.
»шж2
В эт ом сл у ч ае , к а к л ег к о п он я т ь , q iz = q l x У z ^ U h { x ) .
Посл е д н е е рав е н ст в о н е в оз м ож н о, и б о Uh(x ) от к ры т о. Л е м м а 1 д ок аз ан а.
Об оз н ач и м ч е ре з S п рои зв е д е н и е тп ш а ров ра з м е рн ост и I к ажд ы й : 5 = П 5 Л, а ч е
ре з L — m - мерны й си м п л е к с *
Пу ст ь D(y , qi , . . . , qm) - м н ож е ст в о реш ен и й зад ач и
m
^ *(hqh ^ х -*■ ш а х п о х , х е X ,
к—1
г д е q h ^ R '- Ч е ре з Г (х ) об оз н ач и м сов ок у п н ост ь оп т и м ал ь н ы х в е к т оров в зад ач е
ТП
> 4k gk (x )- >- m in п о у , *Г = ('Га.) е L.
94
Пу ст ь , к ром е т ог о, Q (x ) = I (?л (х). Н а м н ож е ст в е XXL XS оп ре д е л е н о ОТОбра-
ft^
ж е н и е DX T X Q. И сп ол ь з у я л ем м у 1, л ег к о п ров е ри т ь , чт о он о у д ов л е т в оря е т у сл о
в и я м т е орем ы К ак у т ан и и, сл ед ов ат ел ь н о, и м еет н е п од в и ж н у ю т оч к у (х*, f*, q 1* , . . . . . . , 9m*). П ок аж е м , чт о х* - у ра в н ов е ш е н н ое сост оя н и е .
П ре д п ол ож и м п рот и в п ое . Р а ссм от ри м м н ож е ст в о / = {& | т **> 0 } и д оп уст и м , чт о в е рн о од н о и з д в ух у т в е рж д е н и и : a) J — M, сост оя н и е х* н е я в л я е т ся Парет о- онт и- м ал ь н ы м ; б) J ^ M . В п е рв ом сл у ч ае н ай д ет ся н ом е р г е / , д л я к от орог о
Вт
= П
и г (х ')Ф i>.keJ
Во в т ором сл у ч ае
J <={*1 £ * ( * ' ) = m in (**)}.
те М
п оск ол ь к у ч *е Г ( х *) . В си л у п ре д п ол ож е н и я 4 оп ят ь - т ак и ВгФф д л я н е к от орог о г е / . Пу ст ь х ^ В т.Т а к к а к q k ^ Q k { x *) , т о
q h'x ^ q k X * V / c e / ,
п ри че м д л я к — г и м еет м е ст о ст рог ое н е рав е н ст в о. Сл ед ов ат е л ь н о,
ТП
V 4h <lk ( x - x t ) > о,
k= 1
чт о н е в оз м ож н о, и б о х *е / )(' у *1 g t * , . . . , qm*). Ит ак , об а п ре д п ол ож е н и я н е в е рн ы . З н а чит , х — Паре т о- оп т и м ум . К ром е т ог о, J = M. а т ак к ак ч’ е Г ( х * ) , т о, к ак л ег к о п ро
в ерит ь , в е л и ч и н а g k (x ') п е з ав и си т от к . Т е оре м а 1 д ок аз ан а.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3
Ле м м а 2. П у ст ь сост оя п и е x = { x , } 0T, x < = ( c t, v t, w t) Паре т о- оп т п м ал ь п о д л я п од м н ож е ст в а /= *=Л/ ={0 ,. . . , T + i} . Т ог д а с<=О V * ^ / , t^T \ есл и ж е T + 1 &J. т о н ай д ет ся н ом е р / е / , т акой , чт о
C ) = w ^0, V j=0 , x t— 0 v t > j , t*z T .
Д ок азате л ь тв о. Р а ссу ж д а я «от п рот и в н ог о», ст рон м т рае к т ори ю {x t ' } 0r , x t ' = ( c t \ vt , w t' ) , л у ч ш у ю , чем и сх од н а я , д л я н е к от оры х t ^ J и н е х у д ш у ю - д л я ост ал ь н ы х
t^ J.
Вт орое у т в е рж д е н и е н ем ед л е н н о сл ед ует и з ра ссм от ре н и я т рае к т ори и х , ' = х (, t<]\ x / = ( u ? j, 0, W j ) ; x t' =0, t > j ,
г д е j - посл ед ний п ом е р в У, д л я к от орог о w y^ О (су щ е ст в ующ и й в си л у усл ов и й 5), 6 ) ).
П ров е ри м п е рв ое у т в е рж д е н и е . Пу ст ь с тф 0, r ^ J . Сог л асн о т ол ь к о ч т о д ок а з а н н ом у д ост ат оч н о рассм от ре т ь си т у ац и ю : г < / д л я н е к от орог о / е / , п ри ч е м t & J в п ро
м е жут к е r < t < j . П ол ож и м
х / = х (, К г ; Хт — (0, w r, wr);
x t' = (0, w t ', w t' ) , r < t < j ;
* / = ( с ь "j, » / ) ; x t = x t, t > j ,
где в е к т оры w / п ри г < *«£/ и в е к т ор с / ст рои т ся т ак . П оск ол ь к у w r> v r, w r=^v T, т о сог л асн о п я т ом у у сл ов и ю т еорем ы най д ет ся п а ра (w r, w r+ i') ^ Z r+ i, д л я к от орой
w ' + i> w r+ i5 z v r+ i, w '+ i — v T'+ i¥ =vr+ i.
Дей ст в уя п од обн ы м об ра з ом , обе сп е ч и м н е рав е н ст в о
W j ' > W j ,
т ог д а Cj' = w / — V j>Cj, C j' ^C j, и п ост рое н н а я т ра е к т ори я «л уч ш е» и сход н ой . Ле м м а д ок азан а.
Уб е д и м ся в п ри м е н и м ост и т еоре м ы 1. Зам е т и м , чт о п ре д п ол ож е н и е 1 в ы п ол н я е т ся в си л у усл овий 2 ), 4) т е оре м ы 3, а п ре д п ол ож е н и е 2 - в си л у усл ов ий 1), 2 ).
Сп рав ед л и в ост ь п ре д п ол ож е н и я 3 оч е в и д н а. П ров е ри м п ре д п ол ож е н и е 4.
Д оп у ст и м , чт о
J с K ( x ) = {k\ gh ( x ) = m i n £ r ( x ) } , J Ф M,
T<S AT
н о сост оя н и е x = { c f , v t, w t) от Парет о- оп т и м ал ь н о д л я м н ож е ст в а J «у ч аст н и к ов ».
Р а ссм от ри м д в а сл у ч ая .
a) T + 1 &J. Сог л асн о л ем м е 2 пай д ем п ом е р / е / , т акой , ч т о C j=W j=^0. Т ог д а g j ( x ) >0, и б о X j< 1. Н о / с= / £(х ), сл ед ов ат ел ь н о, g t ( x ) >0 д л я в се х t = l , . . . , Г + 1 , чт о н е в оз м ож н о в си л у оп ре д е л е н и я фун к ц и й gt.
9f >
6) T + l^ J. Есл и f T= 0 , т о, оч е в и д н о, сост оя н и е х Паре т о- оп т и м ал ь п о д л я м н о
ж е ст в а /\ {Г+ 1}, и п ри ход и м к у ж е ра ссм от ре н н ом у сл у ч аю . П у ст ь v T^ 0 . Т ог д а в си л у ч ет в ерт ог о у сл ов и я т еоре м ы 3 xv^ О П о л ем м е 2 с< = 0 д л я в се х t & J, сл ед ов ат ел ь н о, ^ ( х ) < 0 п ри t ^ J . Н о т ог д а gt от ри ц ат ел ь н ы д л я в се х t, 0 < / < Г + 1 , чт о н е в оз м ож н о. Т е оре м а 3 д ок аз ан а.
Л И Т ЕР А Т УР А
1. A c h ille s A ., E ls t e r К. П., N c hs e В . B ib lio g r a p h ie zu r Ve c t o r - o p t im ie r u n g (T he or ie u n d A n w e n d u n g e n ).— Ma t h . Op e r a t io n s fo r s c h . S t a t is t ., se r. Op t im iz a t io n , 1979, v. 10, № 2, p. 277- 321.
2. llw a n g G.- L., M as u d A . S . M. M u lt ip le Ob je c t iv e De s is io n M a k in g .— Me t h o d s a n d Ap p lic a t io n s . A s tate- of- the S u r v e y . B e r lin — H e id e lb e r g — Ne w Yo r k : Spr inge r - Ve r la g , 1979.
3. B alas k o Y. B u d g e t C o n s t r a in e d P a r e t o - E ffic ie n t A llo c a t io n s .— J. E c o n o m ic T he o r y , 1979, v. 21, № 3, p. 359- 379.
4. П ол те ров и ч В. М. Оп т и м ал ь н ое расп ре д е л е н и е бл аг п ри н е рав н ов е сн ы х ц ен ах.- ] Эк оп ом и к а и м ат . м ет од ы , 1980, т. XV I, в ы п . 4, с. 746- 759.
5. K e id in g Н. E s is t e n c e o f B u d g e t Co n s t r a in e d P a r e t o - E ffic ie n t A llo c a t io n s .— J. Ec o no m ic T he o r y , 1981, v. 24, № 3, p. 393- 397.
6. Gale D., Mas - Co le ll A . An E q u ilib r iu m E x is t e n c e T h e o r e m fo r a Ge n e r a l Mo d e l W it h o u t Or d e r e d P r e fe r e n c e s .— J. Ma t h . E c o n o m ic s , 1975, v. 2, № 1, p. 9- 15 .
7. R o t h A . E. A x io m a t ic Mo d e ls o f B a r g a in in g . B e r lin — H e id e lb e r g — Ne w Yo r k : S p r in ge r - Ve r lag , 1979.
8. Л ари ч е в О. П., П ол я к ов О. А . Че л ов е к о- м аш и н н ы е п роц е д у ры ре ш е н и я м н ог о
к ри т е ри ал ь н ы х зад ач м ат е м ат и ч е ск ог о п рог ра м м и ров а н и я ,- Эк он ом и к а и м ат . м ет од ы , 1980, т . XV I. в ы п . 1, с. 129- 145.
9. S m ale S. Glo b a l An a ly s is a n d E c o n o m ic s : Ge o m e t r ic An a ly s is o f P a r e t o - Op t im a a n d P r ic e E q u ilib r ia u n d e r Cla s s ic a l H y p o t h e s e s .— J. Ma t h . E c o n o m ic s , 1976, v. 3, № 1, p. 1- 14.
10. Пол те ров и ч В . М. Оп т и м ал ь н ое расп ре д е л е н и е бл аг п ри ф и к си ров а н н ы х ц е н ах.— i В к н .: Сов ет ск о- п ол ь ск и й научны й се м и н а р п о м ат е м ат и ч е ск и м м ет од ам в п л а
н и ров ан и и и у п рав л е н и и эк он ом и к ой (1 0- 15 д е к а б ря 1979 г .). К рат к и е т ези сы . М.: Ц ЭМИ АН СССР , 1979, с. 36.
11. S o b e l J. P o r p o r t io n a l D is t r ib u t io n S c h e m e s .— J. Ma t h . E c o n o m ic s , 1981, v. 8, № ..
p. 147- 159.
12. Gale D., S o b e l J. On O p t im a l D is t r ib u t io n O u t p u t fr o m a Jo in t ly Ow n e d Re s o ur c e .—
J. Ma t h . E c o n o m ic s , 1982, v. 9, № 1/2, p. 51 - 61 .
13. Стол е рю Л . Р ав н ов е си е и эк он ом и ч еск и й рост . М.: Ст ат и ст и к а, 1974.
П ост у п и л а в ре д ак ц и ю 26.Х.1982
B A LA N C E D S T AT E S IN VE C T OR O P T IM IZ A T IO N P R O B L E M S
P O L T U R O V I C H V . M .
T he p r o b le m o f fin d in g a P a r e t o p o in t w h ic h w o u ld s a t is fy a d d it io n a l c o n d it io n s in t h e fo r m of e q u a lit ie s is s t a te d . A t h e o r e m o n e x is te nc e o f a s o lu t io n is pr o ve d.
E x a m p le s ar e g iv e n .
9 6
