¨Ubungsblatt zur Numerischen Mathematik II Aufgabe 21: Zeigen Sie: Im cg-Verfahren ist (dk, gk) (Adk, dk

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 31.05.2011 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

8. ¨Ubungsblatt zur Numerischen Mathematik II

Aufgabe 21:

Zeigen Sie: Im cg-Verfahren ist (dk, gk)

(Ad_k, d_k) = (gk, gk)

(Ad_k, d_k) , (Adk, gk+1)

(Ad_k, d_k) =−(gk+1, gk+1) (g_k, g_k) . Aufgabe 22:

Die Eigenwerte vonA (symmetrisch und positiv definit) seien λ1 ≥λ2 ≥ · · · ≥λn >0. Zeigen Sie:

Mitκ⁰ =λ₂/λ_n gilt f¨ur den Fehler im cg-Verfahren

kx_k−xk_A≤2 Ã√

κ⁰−1

√ κ⁰+ 1

!k−1

kx₀−xk_A f¨urk≥2.

(Falls λ1 À λ2, so ist dies deutlich sch¨arfer als die ¨ahnliche Absch¨atzung mit κ = λ1/λn der Vorlesung.)

Hinweis:qk(λ) =qek−1(λ)·(λ1−λ)/λ1 .

Aufgabe 23:

SeiA∈R^n×n symmetrisch und positiv definit. Zeigen Sie f¨ur jedes (reelle) Polynom q kq(A)k_A= max

λEigenwert vonA|q(λ)|, wobeik · k_A definiert ist wie in der Vorlesung.

Aufgabe 24:

Zeigen Sie, dass dask-te Tschebyscheff-Polynom Tk,k∈N, f¨ur|t| ≥1 die Darstellung

T_k(t) = 1 2

µ³ t+p

t²−1´k

+³ t+p

t²−1´−k¶

besitzt. Zeigen Sie damit, dass f¨urκ >1

¯

¯

¯Tk

³

−κ+ 1 κ−1

´¯

¯

¯≥ 1 2

¯

¯

¯

√κ−1

√κ+ 1

¯

¯

¯

−k

.

Programmieraufgabe 11:

Programmieren Sie das cg-Verfahren f¨ur lineare GleichungssystemeAx=bmit positiv definiter und symmetrischer Matrix A. Untersuchen Sie die Konvergenzgeschwindigkeit f¨ur Matrizen generiert durch

function A = MatrixGenerator(N)

A = -4*diag(ones(N^2,1)) - diag(ones(N*(N-1),1),N) - diag(ones(N*(N-1),1),-N);

for i=0:N-1 for j=1:N-1

A(j+i*N,j+1+i*N) = -1;

A(j+1+i*N,j+i*N) = -1;

end end

mitN = 4,20,40.

Besprechung in den ¨Ubungen am 07.06.2011

Abgabe der Programmieraufgabe bis zum 07.06.2011 per Email an die Adresse num2ub@na.uni-tuebingen.de