HABERMAS, J., 1962: Strukturwandel der Öffentlichkeit.
Neuwied und Berlin: Luchterhand.
HEINTZ, P., 1969: Ein soziologisches Paradigma der Ent
wicklung. Stuttgart: Enke.
HONDRICH, K.O., 1970: Wirtschaftliche Entwicklung, soziale Konflikte und politische Freiheiten. Frank- furt/M : Suhrkamp.
HUNTINGTON, S.P., 1968: Political Order in Changing Societies. New Haven: Yale University Press.
LAZARSFELD, P., 1970: Sociology. In: Main Trends of Research in the Social Sciences, hersg. von der UNESCO.
Paris: Mouton.
LEVASSEUR, E., 1897: L’Enseignement Primaire dans les Pays Civilises. Paris: Berger-Lerraut.
E in P lä d o y er gegen „F orm alisieru n g“
In seinem Aufsatz „Zur Problematik der Ableitung in sozialwissenschaftlichen Aussagensystemen. Ein Plädoyer für Formalisierung“ in der Zeitschrift für Soziologie, Heft 1, 1 9 7 2 schlägt HUMMEL vor, die den Schlüssen mit bestimmten sozialwissen
schaftlichen Hypothesen „zugrundeliegende Logik (zu) erweitern, so daß es möglich wird, die ge
meinten empirischen Zusammenhänge in einer Weise auszudrücken, die bei Anwendung bestimm
ter Deduktionsregeln nicht zu Widersprüchen führt“ . (S. 38; meine Hervorhebung)
1. Im ersten Teü seines Beitrags versucht HUMMELL zu zeigen, wie ein solcher Widerspruch bei „deter
ministischen Je-Desto-Aussagen“ entsteht. Da für die Ableitbarkeit von Widersprüchen nur die Syn
tax der Prämissen, nicht aber ihre Interpretation entscheidend ist, brauchen wir auf die Deutung der im folgenden zitierten Aussagen nicht einzu
gehen.
1.1. Aus den Aussagen (die Variablen sind durch Allquantoren gebunden, die HUMMELL der Ein
fachheit halber nicht mitführt)
1) z(x) < z(y) -* r(x) < r(y) und
2) r(x) < r(y) -* k(x) < k(y)
wird korrekt nach dem Gesetz der Transitivität der Subjunktion
3) z(x) < z(y) k(x) < k(y)
abgeleitet. Daran schließt sich folgende Argumen
tation an, für die sich, wenn man sie nur auf solch einfache Beispiele bezieht, eine Interpretation finden läßt, nach der sie korrekt ist: ,Allgemein ist es im Falle der Zusammenhänge von kompara
tiven Begriffen in Form von Ketten möglich, die
NOWOTNY, H.M., 1969: Procedures o f Macro sociologi
cal Research. Unveröff. Dissertation. Columbia Uni
versity.
SCHUHLER, C., 1968: Politische Ökonomie der armen Welt. München: Trikont.
ZAPF, W., 1967: Materialien zur Theorie des sozialen Wandels. Als Manuskript vervielfältigte Habilitations
schrift. Konstanz.
PETER FLORA, M.A.
Universität Frankfurt, Fachbereich Gesellschafts
wissenschaften, 6 Frankfurt/M.
Vorzeichenregel zu rechtfertigen: man nenne eine monotone ordnungserhaltende Funktion (gleichsinnige Verknüpfung von relationalen Eigen
schaften) positiv und ordne ihr als Vorzeichen (Signum) +1 (abgekürzt: +) zu; man nenne eine ordnungsinvertierende Funktion (gegensinnige Verknüpfung) negativ und ordne ihr als Signum - 1 (abgekürzt: - ) zu. Wenn aus zwei Je-Desto- Aussagen nach Reformulierung gemäß der Tran- sitivitätsregel für Wenn-Dann-Aussagen eine dritte Je-Desto-Aussage deduzierbar ist, gilt: das Signum der deduzierten Aussage ist gleich dem Produkt der Signa der beiden vorausgesetzten Aussagen.
Da die ProduktbÜdung assoziativ ist, ist damit das Signum einer deduzierten Aussage bei einer beliebigen Menge von postulierten Aussagen defi
niert, sofern letztere eine Kette bilden“ (S. 37).
Die Einführung zweier weiterer Prämissen 4) und 5), wovon eine (4) einen „negativen Zusammen
hang“ zwischen der Wenn- und der Dann-Kompo- nente der Subjunktion behauptet, soll dann die Ableitung eines Widerspruchs ermöglichen.
4) z(x) < z(y) -* i(x) > i(y)
5) i(x) < i(y) -*■ k(x) < k(y)
„Wenden wir die Schlußregel der Aussagenlogik (Transitivität der Subjunktion, H.K.) und insbe
sondere die daraus folgende Vorzeichenregel auf (4) und (5) an, so erhalten wir:
6) z(x) < z(y) -» k(x) > k(y)“ (S. 37).
Wenn nun z(x) < z(y) nicht für alle Paare (x, y) falsch ist, läßt sich die Kontradiktion k(x) < k(x)
. k(x) > k (y ) ableiten.
1.2. Die Ableitung dieser Kontradiktion muß aber entgegen HUMMELLS Darstellung nicht durch ir-
Diskussion 385 gendwelche Maßnahmen erst ausgeschlossen wer
den, denn 6) folgt nicht aus 4) und 5). Weder das Gesetz der Transitivität der Subjunktion, noch ir
gendein anderes logisches Gesetz oder irgendeine Menge solcher Gesetze erlaubt diese Ableitung. Die von HUMMELL angeführte „Vorzeichenregel“ ge
stattet vorab zu bestimmen, ob sowohl in der Wenn- als auch in der Dann-Komponente einer Konklusion von der Form einer Subjunktion die Relation „ < “ oder „> “ vorkommt, wenn als Prä
missen nur Subjunktionen von der Art der unter
1) bis 6) zitierten verwendet werden und nur mit dem Gesetz der Transitivität der Subjunktion ge
schlossen wird. Wenn- und Dann-Komponente der Konklusion enthalten dann nicht die gleiche Rela
tion, wenn zu den Prämissen eine ungerade Anzahl von Aussagen zählt, die nicht ihrerseits in Ante
cedens und Konsequens die gleiche Relation ent
halten. Vergleichbare „Vorzeichenregeln“ gibt es außer in der Arithmetik, aus der sie stammen, auch in anderen Bereichen der Mathematik, so z.B. in der Geometrie für die Nacheinanderausführung iden
tischer und punktsymmetrischer Abbildungen.
Selbstverständlich erlaubt aber keine solche Regel eine Operation wie die Ableitung von i(x) < i(y) aus i(x) > i(y), deren Möglichkeit HUMMELL offenbar beim Übergang von 4) und 5) zu 6) unterstellt hat.
1.3. Erst die falsche Verwendung einer gültigen
„Vorzeichenregel“ machte die Ableitung des Wi
derspruchs möglich. Lassen wir einen Augenblick unser Wissen um die Art des Fehlers außer acht, um zu überlegen, welche Konsequenzen wir aus der Ableitbarkeit eines Widerspruchs hätten ziehen können. Da die Theoreme und Regeln der Quan
torenlogik garantieren, daß wir aus wahren Prä
missen nur wahre Konklusionen ableiten können, kann eine inkonsistente Konklusion nur auf inkon
sistente Prämissen zurückzuführen sein, sofern wir bei der Ableitung keine Fehler gemacht haben.
Die Prämissen können inkonsistent sein, weil sie falsch in die Sprache der Quantorenlogik über
setzt wurden. Dann kann man eine andere Über
setzung versuchen. Möglicherweise zeigt sich, daß eine korrekte und hinreichend ausführliche Über
setzung in die Sprache der Quantorenlogik allein unmöglich ist. Dann ist es aber auch unmöglich, mit den Regeln der Quantorenlogik aus solchen Sätzen Widersprüche abzuleiten. Akzeptiert man aber die Übersetzung, so muß mindestens eine der Prämissen falsch sein und deshalb fallengelassen werden. Durch Hinzufügung neuer Regeln läßt sich der Widerspruch in keinem Fall beseitigen,
es sei denn, sie schränkten die Anwendbarkeit bereits vorhandener Regeln ein. HUMMELLS Ziel ist aber die Erweiterung der Ableitungsmöglich
keiten. Solche Regeln kann er deshalb nicht ge
meint haben. Zusätzliche Regeln, welche die An
wendung vorhandener Regeln nicht einschränken, können aber nur entweder in dem Sinne redun
dant sein, daß sie keine Ableitungen ermöglichen, welche die vorhandenen nicht schon zulassen, oder sie müssen zu Widersprüchen führen, denn wie GÖDEL 1930 gezeigt hat, ist die Quantoren
logik vollständig. Alle Sätze, die ein in der Spra
che der Quantorenlogik formulierter Satz logisch impliziert, können mit den Regeln der Quanto
renlogik aus ihm abgeleitet werden. Es gibt sogar ein „mechanisches“ Verfahren, die korrekte Ab
leitung zu finden. Daran ändert sich auch nichts, wenn anstelle von Prädikatbuchstaben Relations
zeichen wie oben „ < “ und „ > “ oder, wie HUM
MELL weiter vorschlägt, Differentialgleichungen eingeführt werden. Zieht man auch Theoreme oder Schlußregeln aus Arithmetik und Infinitesi
malrechnung heran, so werden Konklusionen ab
leitbar, die bei alleiniger Verwendung der Quan
torenlogik unerreichbar bleiben. Bereits ableitbare Widersprüche aber sind auf diese Weise nicht zu eliminieren.
2. Anhand des „statistischen Syllogismus“ will HUMMELL die „Nicht-Konjunktivität“ von
„Wahrscheinlichkeitsimplikationen“ zeigen. Mit
„Wahrscheinlichkeitsimplikationen“ bezeichnet er, was als relative (oder bedingte) Wahrschein
lichkeit bekannt ist, mit „Nicht-Konjunktivität“
die Unmöglichkeit, von und
auf
PCCj/Aj) - r3
P (C j/A |O B |) = r^ zu schließen.
2.1. Da nicht weiter spezifiert ist, welcher A rt die Beziehung zwischen den reellen Zahlen r^, r^ und r^ denn sein soll, ist die Frage nach der Berechenbarkeit von r^ aus ^ und r3 jedenfalls nicht durch den Hinweis darauf zu beantworten, daß eine bestimmte Operation zu inkonsistenten Ergebnissen führt und diese Operation deshalb nicht zulässig sein kann. Schon aus diesem Grund muß HUMMELLS Versuch, Argumentationen über den sogenannten „statistischen Syllogismus“ zum Beweis der Nichtableitbarkeit von r^ aus ^ und
zu verwenden, scheitern.
2 .2 . HUMMELL hat die Argumentationen zum statistischen Syllogismus zwar korrekt wiederge-
geben und neue Beispiele den aus der Literatur bekannten korrekt nachgebildet, aber diese Argu
mentationen gelten einem anderen Problem: dem Schluß von Aussagen über die Verteilung von Merkmalen in einer Folge oder in einer Popula
tion auf Aussagen über die Ausprägung eines Merkmals bei einem bestimmten Element der Folge oder Population. Dieses Problem bestünde auch, wenn r4 aus r2 und r3 nach irgendeinem Verfahren berechenbar wäre, und die erwähnten
„Widersprüche“ etc. träten auch in diesem Falle immer dann auf, wenn nicht x2 ~ l 3 ~ r4 wäre.
2.3. Die Frage nach der Berechenbarkeit von r4
aufgrund von r^ und r^ ist anhand der Theoreme und der Definitionen der Wahrscheinlichkeitstheorie zu beantworten. Die Substitution in der Definition der relativen (bedingten) Wahrscheinlichkeit er
gibt:
P(C1/B 1) =P C q n B ^
P(B!) r2
PCCyAj) =P C q n A !) PCAj) ~ r3
PCq/AjOBj) =PCCjOAjnBj) PCAjHB j T = r4
Sind Zähler und Nenner aller Quotienten bekannt und sind sowohl Bj und A j als auch CjHBj und CtHAi unabhängig voneinander, so ist r4 bere
chenbar, da P (A jn B j) = PCA^PCB.) und H AjOBj) = PCCjOAOPCCjOBj). Aus diesen Angaben ist r4 also ableitbar, aus r2 und r3 allein jedoch nicht, denn, da nur relative Wahrschein
lichkeiten und Wahrscheinlichkeiten von Durch
schnitten Vorkommen, müßten alle Theoreme, die bei dieser Ableitung helfen könnten, Spezialfälle der Definition der relativen Wahrscheinlichkeit bzw. des schon darauf basierenden speziellen Multiplikationstheorems sein. Deren Verwendung setzt aber solche Angaben voraus.
3. Mit „Nicht-Transivität“ der Wahrscheinlich
keits-Implikation bezeichnet HUMMELL die Nicht- ableitbarkeit von r^ aus ri und r^, wobei
P(B/A) = rj P(C/B) = r2
P(C/A) = r3
3.1. Die Nichtableitbarkeit von r3 soll — wenn auch nur für einen speziellen Fall - aus einem Diagramm (S. 123) ersichtlich sein, in dem AHB und BOC nicht leer sind, AHC dagegen leer ist.
Daraus folgt, daß P(B/A) > 0, P(C/B) > 0 und P(C/A) = 0, daß also ein Schluß von r * > 0 und r2 > 0 auf r^ > 0 nicht möglich ist. Nur wenn diese Ableitbarkeitsbeziehung oder eine, die diese impliziert, postuliert worden wäre, wäre dieses Beispiel aber ein Gegenbeispiel. Ein Gegenbeispiel einer bestimmten A rt aber kann allenfalls zeigen, daß eine Ableitung dieser Art nicht möglich ist.
Gezeigt ist hier nur, daß in einer Situation, wie sie das Diagramm wiedergibt, eine Ableitung von r3 > 0 aus rj > 0 und r2 > 0 nicht möglich ist, nicht aber etwa, daß eine Ableitung von r3 aus rj und r2 in diesem Fall nicht möglich ist und daher auch nicht, daß sie nicht generell möglich ist.
3.2. Wie oben (2) so zeigt auch hier ein Rekurs auf Theoreme und Definitionen aus Wahrschein
lichkeitstheorie und Mengenlehre die Nichtableit
barkeit. Wie oben r4 wird auch hier r3 ableitbar, wenn weitere Prämissen zur Verfügung stehen.
Das zu zeigen bemüht sich HUMMELL auf den Seiten 125-128.
4. Unter der Überschrift „Probabilistische Je- Desto-Aussagen“ beschäftigt HUMMELL sich mit der Ableitbarkeit von 3) aus 1) und 2):
1) Je größer x j, desto größer x2
2) Je größer x 2, desto größer x3
3) Je größer x j, desto größer x3
4.1. Mit den sprachlichen Mitteln der Relations
logik lassen sich diese Aussagen wie folgt wieder
geben.
1”) 0 J ) (x t (j) > Xj (i) -> x2 (j) > x2 (i)) 2”) (i, j) (x2 (j) > x2 (i) -»• x3 (j) > x3 (i)) 3”) (i,j) (Xi 0) > X! (i) -*■ x3 (j) > x3 (0) wobei der Wertbereich von i und j die Menge deijenigen Gegenstände ist, denen die Eigenschaf
ten X |, x 2, x3 in geringerem oder größerem Maße zukommen können. Nach dem Gesetz der Transi- tivität der Subjunktion ist 3”) aus 1”) und 2”) ableitbar.
4.2. Allerdings sind 1”), 2”) und 3”) nicht pro
babilistisch. Es ist auch nicht ohne weiteres zu sehen, inwiefern 1), 2), 3) probabilistisch sein sollen. Sie entsprechen vielmehr, wie auch 1”),
Diskussion 387 2”), 3 ”) , genau den Beispielen, die HUMMELL
(S. 3 7 ) für deterministische Je-Desto-Aussagen gibt. (Siehe auch oben 1), 2), 3) in 1.1.) Hier wählt er nun Korrelationskoeffizienten zur Über
setzung:
1’) Corr (x j, X2) = r^ 2
2’) Corr (x2? X3) = ^ 3
3’) Corr (x j, x3) = r1 3
wobei er unterstellt, daß die Koeffizienten posi
tiv sind. Der Korrelationskoeffizient aber ist rein arithmetisch definiert. Eine probabilistische Aussage erhält man erst dann, wenn man aufgrund einer Stichprobe den Korrelationskoeffizienten in einer Population zu schätzen versucht. Die dazu erfor
derliche Verwendung der Wahrscheinlichkeitstheo
rie erst bringt probabilistische Aussagen mit sich.
Die Formulierung „ . . . daß . . . Beziehungen .. . probabilistisch sind, insofern die jeweils explikati
ven Variablen nicht hinreichend sind zur genauen Prognose der jeweils abhängigen Variablen“ (S. 128) kann bei einem Autor, der kurz zuvor eigens die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie bemüht hat, nur befremden. Eine Prognose wird nicht schon dadurch probabilistisch, daß sie unvollkom
men ist. Möglicherweise hat HUMMELL unterstellt, daß eine probabüistische Beziehung vorliegt, wenn rxy< 1 ist.
4 .3 . Nun sieht HUMMELL aber, daß C o rr(x 1, x2)
= Corr (x2, X i ) ist. Daher müßte la) „je größer X2, desto größer Xj“ äquivalent 1) sein und dem
entsprechend 3) auch aus la) und 2) ableitbar sein. Von dieser Konsequenz nimmt er an, daß wir sie im allgemeinen nicht akzeptieren. Ihr zu entgehen, sieht er zwei Möglichkeiten: eine Ablei
tungsregel, welche die Ableitung von 3) erlaubt, aufzugeben, oder die Übersetzung von 1) in 1’) usw. als inkorrekt zu betrachten. Da kommt ihm
scheinbar der Umstand zu Hüfe, daß r ^ nur unter bestimmten Bedingungen aus und r23 bere
chenbar ist, und daß sich daran auch durch Zuhü- fenahme der Pfadanalyse nichts ändert.
Nun kann, je nach Art der Funktionen x j, X9, X3, die den i,j Werte aus dem Bereich der Variablen der Relation „ > “ zuordnen, 1) durchaus äquivalent
la) sein. 1) kann dann gleich alsBijunktion ge
schrieben werden. Liegt zunächst nur la) vor, so kann man trotzdem mit einem Theorem der Arith
metik und dem Gesetz der Transitivität der Sub- junktion auf 3) schließen. Einfache Beispiele sind:
x2(i) = xj(i) + n bzw. x2(i) = XjCOc und die Theoreme i < j = i+ n < j + n bzw.c =£ 0 * (i < j
= ic < je). Wie X2® = l/x j(i) zeigt, ist diese Operation aber nicht bei jeder Funktion möglich. Dementsprechend kann die Darstellung
V) . . 3’) je nach Art der Funktion korrekt sein.
Nur muß man beachten, daß sie für jedes r < 1 schwächer ist als 1”) . . 3”), also nicht deren volle Bedeutung wiedergibt, und zwar nicht etwa, weü r ein Wahrscheinlichkeitsmaß enthielte, sondern weil es auf Mittelwerten beruht. Ist wegen der Be
schaffenheit der Funktionen Xj 1) nicht äquivalent la), so ist die Darstellung 1’) . . . 3’) inkorrekt.
Die geringeren Ableitungsmöglichkeiten mit Kor
relationskoeffizienten ändern daran nichts. Sie machen nur die Menge der noch ableitbaren fal
schen Konklusionen zu einer echten Teümenge der ursprünglich ableitbaren.
5. HUMMELLS Beitrag enthält durchaus weitere gravierende Fehler. Die Beschränkung des Raumes macht es unmöglich, darauf näher einzugehen.
Vielleicht erübrigt sich dies auch.
5.1. Mit der Fülle gravierender Fehler, die fast seine gesamte Arbeit wertlos machen, kontrastiert der Anspruch, mit dem er seinen Lesern rät zu
„formalisieren“ . Dabei gebraucht er diesen Ter
minus, der in der Logik eine ganz bestimmte Bedeutung hat, synonym mit „von Logik und Mathematik Gebrauch machen“ . Sicher ist es gut, wenn nötig, davon Gebrauch zu machen, nur müßte es der richtige sein. HUMMELLS Beitrag enthält noch weitere terminologische Eigenheiten, so seine Verwendung von „generelle-Wenn-Dann- Aussage“ (S. 34), „Deterministische-Je-Desto- Aussage“ (S.34), „kausale Implikation“ (S.36),
„Wahrscheinlichkeitsimplikation“ (S. 118), „Pro
blem der Transitivität“ (S. 119), „Problem der Konjunktivität“ (S. 120), „Probabüistische Je- Desto-Aussage“ (S. 128) etc.
5.2. Leider ist HUMMELLS Aufsatz symptoma
tisch für viele Beiträge aus den Sozialwissenschaf
ten. Häufig wird nicht versucht, Kompetenz einzu
setzen, um Probleme zu lösen, sondern mehr oder weniger mißverstandenes Büdungswissen auszubrei
ten, um den Eindruck von Kompetenz zu er
wecken. Neuerdings stammt solches Büdungs
wissen häufig auch aus dem Bereich der Wissen
schaftslehre. So machte auf der Tagung der Inter
national Political Science Association in Mann
heim (5. - 10.7.1971) die internationale Crdme
der Politikwissenschaften reichen Gebrauch von Termini aus der Wissenschaftslehre, wie etwa dem KUHNschen „Paradigma“ , offenbar aber nicht in der Absicht, ihre bisherige Tätigkeit anders als rein verbal zu reformieren. Den Vogel schoß dabei ein
deutscher Teilnehmer mit der Bemerkung ab, POPPERS Idee des peaceful (im Original: piecemeal)
engineering rechtfertige die Verwendung von Korrelationskoeffizienten zur Erklärung sozialer Sachverhalte.
Dipl. Volkswirt Dr. HERBERT KEUTH, Universität Mannheim, 68 Mannheim
