Seminarberichte Nr. 14

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Mathematik und

Informatik

Seminarberichte aus dem Fachbereich Mathematik der FernUniversität

14 – 1982

Die Dozentinnen und Dozenten der Mathematik (Hrsg.)

Seminarbericht Nr. 14

Lösung von Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Tschebyscheff- Entwicklungen

von C. Bach-Graf

Fehlerdarstellungen für gewichtete Inter- polationsquadraturformeln (product inte- gration formulas)

von J. Brinker und F. Locher Stoppregeln für Quadraturverfahren

von W. Bruckhaus

A note on stability properties of Rosenbrock type methods

von R. Hausmann

Normkonvergenz der SpektraZscharen bei starker ResoZventenkonvergenz nicht notwendig

beschränker Operatoren von R. Kley

Eigenwertaufgaben mit in ganzen Funktionen auftretendem Eigenwertparameter in den Rand- bedingungen

von H. Linden

Eine Bemerkung zu Eigenwertaufgaben mit Eigenwertparameter3 der polynomial in den Randbedingungen auftritt

von H. Linden

On Hermite-Fejer interpolation at Jacobi zeros

von F. Locher On good cubature formulae

von H.M. Möller

Seite

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LÖSUNG VON RANDWERTAUFGABEN GEWÖHNLICHER DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN DURCH TSCHEBYSCHEFF-ENTWICKLUNGEN

Christa Bach-Graf 0. Einleitung

Das Prinzip, die Lösung eines linearen, regulären oder singu- lären Randwertproblems als Tschebyscheff-Reihe anzusetzten, hat Fox [1962] für Randwertprobleme mit polynomialen Koeffizienten vorgeführt: Die Reihe wird in die Differentialgleichung einge- setzt, die auftretenden Terme in eine Tschebyscheff-Reihe ent- wickelt und daraus durch Koeffizientenvergleich und Auswertung der Randbedingungen ein unendliches System von linearen Glei- chungen für die Tschebyscheff-Koeffizienten der Lösung gewonnen.

Zur Bestimmung einer Näherungslösung in Form eines nach Tschebyscheff-Polynomen entwickelten Polyn0ms L-ten Grades löst Fox [1962] ein endliches Teilsystem mit der "backward- recurrence"-Methode. Während die Ausführungen in Fox [1962]

mehr exemplarischen Charakter haben, wie auch die nachfolgen- den Arbeiten von Scraton [1965], Fox/Parker [1968], Snell [1970], die nun auch Randwertprobleme mit Koeffizienten, die in gleich- mäßig konvergente Tschebyscheff-Reihen entwickelbar sind, betrach-

ten, zeigt Urabe [1967] die Existenz und Eindeutigkeit sowie die Konvergenz einer derartig gewonnenen Approximation gegen die exakte tösung ~,d führt in einer nachfolgenden Arbeit [1969]

numerische Beispiele aus. Auch neuere Arbeiten auf diesem Gebiet, wie z.B. 0laofe [1977], Schonfelder [1980] und Horner [1980], befassen sich lediglich mit Weiterentwicklungen der bereits in Fox [1962] dargelegten Ideen und Ansätze. Schonfelder [198C]

wendet die Methode aus Fox [1962] zur Berechnung der

Tschebyscheff-Koeffizienten spezieller Funktionen auf 40 Dezimalstellen an und Horner [1980] geht die formel- mäßige Erfassung des durch Rekursion ermittelten Näherungs- polynoms zu speziellen Randwertproblemen an.

Wie Beispiele in den oben angeführten Arbeiten zeigen, konvergiert das Verfahren manchmal sehr schnell; und zwar gewährleistet schon ein geringer Polynomgrad L die ge-

wünschte Genauigkeit der Näherungslösung, wenn die Lösungs- funktion eine schnell konvergente Tschebyscheff-Entwicklung besitzt. Liegt uns nun eine Lösungsfunktion mit langsam

konvergenter Tschebyscheff-Entwicklung vor, z. B. eine Funktion mit Polstellen in der komplexen Ebene nahe am gegebenen Inter- vall, so ist mit entsprechend langsamer Konvergenz des Ver- fahrens zu rechnen. Es gibt nun viele Gründe, die einen hohen Polynomgrad L keineswegs wünschenswert erscheinen lassen.

Ein solcher mag in dem hohen Zeitaufwand zur Berechnung der Näherungslösung liegen oder in der Absicht, die Näherungs- lösung mehrfach, da man sie formelmäßig erhält, zeitsparend zur Auswertung heranzuziehen.

Ein Verfahren, das bei Lösungsfunktionen mit langsam konver- genter Tschebyscheff-Entwicklung bedeutend schneller konver- giert als obiges Verfahren, stellen wir in dieser Arbeit vor.

Die Näherungslösung wird nach obigem Prinzip als stetiger Spline, der stückweise aus endlichen Tschebyscheff-Entwick- lungen zusammengesetzt ist, konstruiert. Zur Wahl einer ge- eigneten Intervallunterteilung wird es sich als sinnvoll er- weisen, .die Regularitätsellipse der exakten Lösung des Rand- wertproblems heranzuziehen.

- 2 -

- 3 -

1. Methode zur Bestimmung einer Näherungslösung des Rand- wertproblems

Wir behandeln das Randwertproblem (RWP) mit n Differential- gleichungen (DGL) erster Ordnung

xp y ' - ( C + K ( X) ) y

=

^{g ( X )} O<x::;1, ( 1 • 1 )

nxn n

KEC([O,1];JR ), gEC([O,1]; JR ),

und den n Randbedingungen (RB)

( 1 • 2) Ay(O) + By(1) = a , a E JRn, A,B E JRnxn.

Nach Vorgabe einer Intervallunterteilung des Standard-Inter- valls [O,1] in die Teilintervalle [x.

1,x.], i=1, ... ,N,

l - l

O=x0 < x

1 < ... < xN = 1 , erhalten wir durch Transformation der Teilintervalle [x.

1 ,x.], i=1, ... ,N , auf das Intervall

l - l

[-1,+1] mittels der Variablentransformation

für

x . ( t ) : =

l

h. (N) x.+x ..

l t + l l -1

2 2 , tE [-1,+1] ,

i=1, ... ,N,

das RWP mit den nN Differentialgleichungen erster Ordnung

\

( 1 • 3)

x

P(t) d~ u

= (c

+ K(t))u + g(t) tE[-1,+1],

mit

- - ~ r 7 nN X nN

x,K~C(L-1,+1J; JR )

- nN

gEC([-1,+1]; JR )

x(t): = diag(x

1 (t)In, . . . ,xN(t)In) ,

h (N) h (N)

- . 1 N

C: = diag(

2 C, . . . ,

2 C) , h (N)

hN K ( t) : = diag ( 1 K(x

1( t ) ) , . . . , 2

h (N) h ( N)

( 1 t N

g ( t) : = [g(x

1 (t))] , . . . ,

2 2

und den durch die Stetigkeitsforderung

ui+1(-1) = u. ( 1 )

l i=1, . . . ,N-1,

vervollständigten RB

( 1 • 4) Pu ( -1 ) + Qu ( 1 )

=

^y

mit

P: = diag(A,I , . . . , I ) ,

n n

0 -I 0

n

Q: -I

=

ⁿ

- 4 -

0 ^B

0

-I 0 n

(N)

2 K ( XN ( t) ) ) t t [g(xN(t))])

a

0 y:

=

0

- s -

Unter der Voraussetzung,daß

-

K und g (komponentenweise) in eine Reihe nach Tschebyscheff(T)-Polynomen erster Art

entwickelbar sind, approximieren wir die Tschebyscheff(T)-Ent- wicklungen von K und g durch ihre ~-te bzw. M -te

g

Partialsumme.

xP

ersetzen wir durch seine Entwicklung nach T-Polynomen bis zum p-ten Grad. Setzen wir die Näherungs-

lösung nun als Entwicklung nach T-Polynomen bis zum L-ten Grad an

u:

=

u 0

(N) 2

L

+ ~

v=1

u(N) T

V V

und in das zuletzt gewonnene, (1 .3), (1 .4) approximierende RWP ein, so läßt sich, unter Berücksichtigung elementarer Eigenschaften der T-Polynome, mittels Koeffizientenvergleich ünter Vernachlässigung der Koeffizienten von T

V für V ~ L

die Berechnung der Näherung auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems für den Koeffizientenvektor

(N) (N) t

U:

=

^(u

0 , • • • ,uL ) zurückführen:

( 1 • S ) HU

=

c ^{H E} JR.nN ( L+ 1 ) x nN ( L+ 1 ) , c E JR.nN ( L+ 1 )

Die Regularität der Matrix H ist äquivalent dazu, daß das System

( 1 • 6) (-p d (N))

p I.r-1 x- d t uL

=

p L- 1 ( [ C ^- + p ~ ^{( K ) ] -} uL ^(N) + p Mg ( g) ) ^-

( 1 • 7) Pu(N) (-1) +Qu(N) (1) = y

L L

eindeutig in FJJR.nN) lösbar ist. Pk bezeichnet dabei die Projektion von C[-1,+1] auf Fk(JR.) die jeder Funktion

aus C[-1 ,+1] die k-te PartialsuITme ihrer (formal gebildeten) T-Reihe zuordnet. Statt (Pk(f .. )) ,i=1, . . . ,m, J·=1 _lJ , . . . , ' l Fu··r ~ f :

=

(f .. ), i=l, . . . ,m, j=1, . . . ,l, schreiben wir kurz

lJ

Die mit x i , ^-1 i=1, . . . ,N , in den entsprechenden Komponenten rücktransformierte Funktion ist nun kein Polynom mehr, sondern ein stetiger Spline auf [0,1].

2. Existenz und Eindeutigkeit, Konvergenz, Fehlerabschätzung

Für o=O ist die Existenz und Eindeutigkeit von in JPL (JRnN) gesichert. (O.B.d.A. sei C:::O.)

Satz 2.1

Sei p

=

O • Das R WP ( 1 • 1 ) , ( 1 • 2 ) besitze eine eindeutige

Lösung y in C ¹ ( [O, 1]; JRn). Darüberhinaus sei K E C ¹ ( [O, 1]; JRnxn) Seien ferner MK und L bei fester Intervallunterteilung

hinreichend groß oder max h (N))2/. . min 1 <'<N _l_ ^l 1<"<N _l_

bei festem und L genügend klein.

Dann ist H regulär.

Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich die Frage nach der Konver- genz der Näherungslösungen gegen die exakte Lösung beant- worten.

Satz 2.2

Es seien die Voraussetzungen von Satz 2.1 erfüllt.

(a) Es sei mit

(TTN);=l eine Folge von Intervallunterteilungen

- 6 -

und

h (N) :

=

max

1 ::; iSN

min

1::;iSN

- 7 -

max 0 für

1 ::;i::;N

::; d d reelle Konstante.

Dann gibt es ein UN des RWP (1 .6),

N ~ so daß für N ~ N die

0 0

. , , nN

(1.7) i.n C(L-1,+1J; 1R ) ~

Lösungen versehen mit der Supremum-Norm 11 • II

~

für jedes Tupel (MK ,Jl.lg,L) '-= lli3

gleichmäßig beschränkt sind und für N - ⁰⁰ gegen die exakte Lösung y von ( 1 . 3) , ( 1 . 4) konvergieren.

(b)Es seien (M (L))⁰⁰

K L=1 ' ^{(Mg (L))}

~=

1 c lli bestimmt divergente Folgen und

lim L-co

Dann gibt

log ^(L-1) log ^MK(L) MK(L) + 1

es ein L ~ so daß

0

= 0 .

für ^{L ~} L die

0

Lösungen UL des RWP (1.6),(1.7) für jede Intervallunter- teilung _TIN gleichmäßig beschränkt sind und für L

-

^CO

gegen die exakte Lösung y

-

von (1 .3), (1.4) konvergieren.

Sind ^~ und L bei fester Intervallunterteilung TIN hinreichend groß oder h(N) bei festem MK und L ge- nügend klein (sowie M

s

L-1),so steht uns dann für

-

_s:

₌

_{y -}

-

_{u, y} exakte Lösung von ( 1 . 3) , ( 1. g 4) , u Lösung von (1 .6) ,(1.7), folgende Fehlerabschätzung zur Verfügung:

II

s

^{II ::; C(A,B,K)}

min h~N) 1 ::Si::SN ^l ( 2 , 3)

h. (N)

max max EL-l ( l

2

mit

n

• [ (1 + log(L-1))

1 ::Si::SN 1 Sl::Sn ^~ kl .y. ox.) j=l J J l

n h. (N)

+ log(L-1) (1 + log MK) max max ~ E ( ^l 2 k

1 . o x . ) II y II 1::Si::SN 1::Sl::Sn j=1 MK J l

+ ( 1 + log M )

g max max EM 1 ::Si::SN 1 ::Sl::Sn g

h. (N) ( l

2

c(A,B,K) eine nur von A,B und K abhängige Konstante, E (f): = inf llf-pll

m pEJPm(JR)

die m-te Bestapproximation an f,

( kl . ) l J ,J= , . . . . 1 ,n = : K ^{(g ) -}_{11-1, ... ,n} ^:

=

^g

Wie wir am Beispiel sehen werden, bringt es bei einem RWP, dessen Lösungsfunktion Polstellen in der komplexen Ebene

nahe am gegebenen Intervall hat, Vorteile, zur Abschätzung von s in (2.3) die Halbachsensumme der Regularitätsellipse, die bekanntlich durch die Lage der Polstellen der Lösungsfunktion bestimmt wird, heranzuziehen.

Ist das RWP (1 .1), (1 .2) auf dem Standard-Intervall [-1 ,+1]

definiert, so gilt

Satz 2.4

Die Voraussetzungen von Satz 2.1 seien erfüllt. Ist

- 8 -

- 9 -

fE[Ky,K,g} , f = (flj),1=1, ... ,n, j=1, . . . ,k,kE[1,n}, eine Funktion mit Polstellen in ~\[-1 ,+1] ~ so gilt für den zugehörigen Parameter m E

mit

k ^{h. (N)}

l 2 f l j o xi) ~ C (

p (

N) ) h ( N) (

p (

^{N) ) -rn}

max max ~ E 1~i~N 1~l~n j=1 m

~(N)

p :

=

^min

1:Si~N

~(i) P lj -r=

( i)

(1,plj ) bel. ~

( i)

Plj Halbachsensumme der Regularitätsellipse von f 1 .ox. ,

J l

von (~(i))

P l j und f abhängige Konstante.

3. Ein Kriterium für den effektiven E~nsatz des Verfahrens

Nachdem wir das Verfahren beschrieben und einige theoretische Aspekte beleuchtet haben, werden wir uns nun mit der Frage nach dem effektiven Einsatz des Verfahrens im Sinne einer Konvergenzbeschleunigung gegenüber der in der Einleitung vor- gestellten globalen Methode beschäftigen.

Das Verfahren eröffnet uns nun die Möglichkeit, nicht nur den Polynomgrad L , wie schon bei Urabe [1967,1969] geschehen, sondern auch die Intervallunterteilung rrN und die Grade MK und Mg der Partialsurnrnen der Tschebyscheff-Entwicklungen

von MK und Mg

ist dabei begrenzt, denn wir können im Gleichungssystem (1.5) K und g zu variieren. Der Spielraum für

nur die Tschebyscheff-Koeffizienten bis zum Grade 2L-1 bzw, L-1

berücksichtigen. Urabe's Vorgehen [1967,1969] hat eine Koppe- lung der Anzahl der benötigten Tschebyscheff-Koeffizienten von K und g an den Grad L der Näherungslösung zur Folge und zwar die der größtmöglichen Anzahl 2L und L. Die

Variation von MK und M wird also dort sinnvoll eingesetzt, g

wo es möglich ist, Tschebyscheff-Koeffizienten einzusparen, ohne die Approximationsgüte herabzusetzen. Ein Beispiel zur vorteilhaften Variation von MK

folgenden Abschnitt aufgreifen.

und M

g werden wir im

Ein Kriterium für den effektiven Einsatz des Verfahrens rich- ten wir nun an der Intervallunterteilung TIN aus. Die schnelle Konvergenz der globalen Methode bei genügend glatten Funk-

tionen läßt vermuten, daß die Einführung von Teilungspunkten nicht in jedem Falle im Sinne einer Konvergenzbeschleunigung effektiv ist. Dabei sehen wir eine Konvergenzbeschleunigung dann als gegeben an, wenn durch Hinzunahme von Teilungs- punkten ein Genauigkeitsgewinn erzielt werden kann, ohne den Aufwand zur Berechnung der Näherungslösung zu erhöhen. Da der Lösung des Gleichungssystems (1 .5) der wesentliche Anteil an der numerischen Berechnung der Näherungslösung zukommt, bietet sich die Dimension nN(L+1)

Maß für den Aufwand an.

der Koeffizientenmatrix H als

Möchten wir nun den Aufwand zu einer einmal erreichten Genau- igkeit der Näherungslösung durch Einfügen von Teilungspunkten nicht vergrößern, so ist

N(L+1) ~ a

mit einer Konstanten a zu fordern. Da dies ein Herabsetzen - 10 -

- : 1 -

des Polynomgrads L nach sich zieht, werden wir auf folgendes Kriterium geführt:

Kriterium 3.1

Wir nennen die Einführung von Teilungspunkten zu dem RWP (1 .1) ,

(1 .2) effektiv~ wenn zwei Paare mit

und

k=1, ... ,n, bei geeigneter Wahl von MK(L.), M (L.), j=1,2,

J g J

existieren.

ek(TTN,L,MK,Mg), k=1, ... ,n, bezeichnet dabei das Maximum der Absolutbeträge der Differenz der k-ten Komponente von y und dem Näherungsspline. Unser Lösungsansatz stellt uns zwar die Näherungslösung gleichmäßig auf dem gegebenen Intervall zur Verfügung~ zum numerischen Vergleich begnügen wir uns jedoch mit der Maximumbildung über die Punkte

· - j h (N) . - 1 N .

-o

10

X . . • - X . 1 + -1 0 . , l - ' • • • , ' J - , • • • , •

l J l - l

Einen Anhaltspunkt zur Erfüllbarkeit von 3.1 liefert uns die Fehlerabschätzung aus Satz 2.4 für RWP mit Polstellen in

~\[-1,+1] durch Vergleich der theoretischen Fehlerterme.

Bei einer festen Intervallunterteilung TTN charakterisiert das Produkt (1+log m)(p(N))-m das Verhalten des entsprechenden Summanden aus Formel (2.3) bei wachsendem m , während der

Faktor C(p(N))h(N) konstant bleibt. Für m=L-1 haben wir

Bemerkung 3.2

Gibt es zwei Intervallunterteilungen TIN , TTN , N 1 ,N

2 E JN

1 2

jedes k E JN die Relation

k ~(N1) -(L1 + 1)

< ( 1 + log ( L

1 + 1 ) ) ( P )

4. Beispiele, insbesondere unter dem Aspekt der Erfüllbarkeit des Effektivitätskriteriums

Eingangs seien einige Bezeichnungen eingeführt:

- ( e t

1 ( TT N , L , MK, Mg) , . . . , en (TIN , L, MK, Mg) ) , wo- bei ek(TIN,L,MK,Mg) wie in Kriterium 3.1 definiert ist,

- 12 -

- 1 3 -

e (rrN,L'MK,M)

ITN g

IT N

wobei ek (rrN,L'MK,Mg) wie

a ± b

a ± b(i)

ek(rrN,L'MK,Mg) gebildet wird, aber nur über die Teilungspunkte

- a•10 ±b ,

X . , i =0 , . . , , N , l

- a•10-+b angenommen am i-ten Teilungspunkt, i E {O, ••. , N} .

Beispiel 1

Wir betrachten als erstes das inhomogene RWP mit nicht-polyno- mialer, aber beliebig oft stetig differenzierbarer rechter Seite

XE [0,1] ,

v(O) = O , v'(O) + v¹ (1) =O

in der nach Abschnitt 1 transformierten Form

y' - Ky

=

g,

Ay ( 0) + By ( 1 )

=

^Cl,

mit

7\ •

=

·"'-

.

[ : ~ ] ' B:= [ : ~ ] a:= [ : ] •

Die exakte Lösung lautet

1 -1 +X -X 1 1 .

---_...,..

1 ( e + e ) - (

2

⁺

2

c o s ( 2 1T x ) ) 1 + e

y(x)=

1 -1+x -x

---_'"7"

₁ ^{(e -e} ) + 1T sin ( 21TX) 1 + e

Da die exakte Lösung des RWP als ganze Funktion eine äußerst schnell konvergente Tschebyscheff-Entwicklung besitzt, i s t unser Verfahren hier erwartungsgemäß nicht effektiv im Sinne von Kriterium 3.1. Dies geht aus der Tabelle 1 .1 hervor. Dort haben wir für den Aufwand N(L+1)

=

18 den numerischen Fehler der Näherungslösung zu den äquidistanten Intervalluntertei-

lungen

N (L+1) 1 8

und jeweils M _g

=

L-1 aufgelistet.

e(1T1 ,17,0,16) 9.8-13 4.9-13

7.4-07 3.0-07

Tabelle 1.1

9. 3-05 3.7-04

Im folgenden Beispiel untersuchen wir nun ein RWP, dessen Lö- sungsfunktion in der komplexen Ebene Pole besitzt. Bei dessen numerischer Lösung kommt das Prinzip der Einführung von Tei-

- 14 -

- 15 -

lungspunkten im Sinne von Kriterium 3.1 effektiv zum Einsatz.

Es wird sich zeigen, daß die Lage der Pole dabei ausschlagge- bend ist.

Beispiel 2

Wir betrachten das RWP

v" - xE:[-1,+1], c>O,

(1 +c-)v(-1) = 1, ? v ^{1 (-1)} +v^{1 (1)} = ^0.

Exakte Lösung ist die Funktion

v(x) =

2 2

C + ^X

die auf der imaginären Achse in x = ±ic jeweils einen ein- fachen Pol hat.

Um die Erfüllbarkeit der Voraussetzungen zu Bemerkung 3.2 zu überprüfen, berechnen wir nun zunächst die Halbachsensummen der Regularitätsellipsen der Komponenten von (Ky) ⁰xi, Koxi, i=1, . . . ,N, (g=O). Das sind diejenigen der drei Funktionen

2x

( 2 2) 2

C + ^X

ox. ^I

l

2 2 2 ( 3x - C )

2 2 3°xi'

(C + X )

i=1 , . . . ,N. Da die Pole der drei Funktionen für jedes i E: { 1 , . . . , N} mit denen von vox

i die Regularitätsellipsen

betrachten. Wir setzen

identisch sind, genügt es, von voxi, i=1,.:.,N, zu

(N)

0

=

^{min oi (nN,c)}

1 :S: i.::s;N

und überprüfen die Voraussetzungen zu Bemerkung 3.2 für p ^(N)

Für vox., i=1 , ... ,N, erhalten wir die Pole z. ,z.

-

mit

l l l

und

z.

=

l

X. +X. l

l l -

h~N)

l

+ i ^2c

71TT'

_h.

l

i=1, ... ,N,

( 4 • 1 )

X. - X. l

l l -

+ (

/2I+c2+ lxI-1 +c2) 2

X. - X. l -1,

l l -

i=1, . . . ,N.

Wir beschränken unsere Untersuchungen nun auf folgende Inter- vallunterteilungen

TI 1 : kein Teilungspunkt: X ₀ = -1 ' x1 = 1 '

TI 2 : ein Teilungspunkt: X ₀ = -1 ' x1 ^E (-1,1), x2 = 1 '

TI 3 : zwei Teilungspunkte: X ₀ = -1 , x1 = -s, x2 = ^{E: ,} x3 = 1 ' s E (0,1).

Aus TI

2 bzw. TI

3 wollen wir insbesondere die Intervallunter- teilung n

2 ( 3) bzw. o

bzw.

über

n3 betrachten, die ₀ ^{( 2)} sE(0,1) zum Maximum macht.

Aus (4.1) erhalten wir für p (i), i=1,2,3:

1 • ) 0 ( l)

=

^C +

/i

^{+ c2}

- 16 -

über x

1 E(-1,1)

" ..,

- 1 / -

2 . ) p ( 2 )

=

^P(2)(x1)

1 2 2

/,

²

(!x ^~

^{+ c 2 + /, + c 2 )} 2 /x1 + C + +c

=

^min _{[ X + 1} ⁺

1 x

1 + 1

/x~

^{+ c2 + /, +c 2} ₊

(!x ~

^{+ 0 2 + /, + 0 2}

)2

1 - X

1 - X

1 1

3 • ) p ( 3)

=

^{p (3) (s)}

~0

^+c~

⁼

^{(s2+ c2}

r

[~ 2

/4

^{2 2}

min +c + s +c

=

_{1 - s} +

/22+c2+cl s

und folgende optimalen Halbachsensummen

mit

max p ( 2 ) ( x

1 )

=

p ( 2 ) ( O ) x1 E(-1,1)

max p ( 3 ) ( s)

=

sE(0,1)

P(3)(s )

=

opt

3

/?

^{3 / / 2 3 / I 2}

€ opt = - 2- (

/7

+ 1 + C +

/1 -

/1 + C )

=

^C ₍

ln

(-l

^{+ /}

.l

²

h ^{C C}

s 3

- 1

- 1

-1 '

Für c

=

^0.1 und die beiden Intervallunterteilungen aus rr 3 mit s

=

0. 1 und _s

=

^Eopt

=

0.117428736 haben wir die Re-

I

gularitätsellipsen E sowie

01("1,c)

in Abbildung 1a) und b) eingezeichnet.

Z2

0.1i 'E~1(n 1,c)

--- - - - - - -

-1 - - - -0.1- --

-+0.1 - - - +1

a) E =0.1

--- ^0.1

- - - ....1_1:.. ⁱ

^'E:g,

^{(n c)} -1 - - - +1

--

b) E

=

^E

opt

-Eopt + Eopt

Abbildung 1

- 18 -

- 19 -

Zur Überprüfung der Voraussetzung von Bemerkung 3.2 stehen uns nun die Paare (N

1,N

2)

=

(1,2), (N 1,N

2)

=

(1.3) und (N1 ,N

2)

=

(2,3) zur Verfügung. In Tabelle 2.1 haben wir für c

=

0.1 jeweils die linke und rechte Seite der betreffenden Ungleichung, und zwar mit der optimalen Halbachsensumme, aufgeführt.

( 1 , 2 ) 1 . 22100 1 ,57509

( 1 , 3 ) 1 .34919 2.16505

( 2 , 3) 1. 97678 2.16505

c

=

o.1; N2 ⁼ 3: sopt = 0.117428 ...

N2

=

2: E:opt

=

0

Tabelle 2.1

Wir erkennen, daß die Voraussetzung zu Bemerkung 3.2 für jedes der drei Paare zur optimalen Intervallunterteilung erfüllt ist. Die numerischen Ergebnisse, eingetragen in Tabelle 2.2, bestätigen unsere Erwartung, daß Kriterium 3.1 für hinreichend große Polynomgrade gilt. Es werden die Fehler der optimalen Näherungslösungen zu ^TI

1, ^TI

2 und ^TI

3, wobei s

=

0.11743 bei

TI3 als Näherung an sopt

=

0.117428736 'genommen wird, tabel- liert. Dabei haben wir den Polynomgrad L jeweils so gewählt, daß ein Gleichungssystem der Dimension N(L+1)

=

90 bzw.

N(L+1)

=

102 zu lösen ist.

Die Ergebnisse zeigen, daß unser Verfahren für c = 0.1 bei gleichem Aufwand eine beträchtliche Konvergenzbeschleunigung gegenüber der globalen Methode zu verzeichnen hat. Dabei hat die Einführung von zwei Teilungspunkten unzweifelhaft Vorrang vor der Einführung von nur einem Teilungspunkt.

N (L+ 1) e (,r 1 ,L

1 ,L

1^{-1 ,0) e ( TT} 2 , L 2 , L

2 -1 ., 0) e(,r 3,L

3,L

3-1,0)

90 6.8+0 1 • 5-3 3.9-5

1 . 1 + 1 7.4-3 2.5-4

102 9 .0-1 4.5-6 9. 0-8

1 .5+o 2.2-5 5.8-7

Tabelle 2.2, Li= ^{N (L+1)} i -1,i=1,2,3

Im folgenden beschäftigen wir uns am Beispiel des Falles c = 0.1 mit einigen weiteren Aspekten unseres Verfahrens.

Daß die Effektivität der Einführung von Teilungspunkten desto wirkungsvoller ist, je günstiger die Intervallunterteilung gewählt wird, ersehen wir aus Tabelle 2.3.

3(L+1K

0. 1 0. 115 0.11743 0.1175 0. 12 0.125 0.3

90 1 . 5-4 2.4-5 3.9-5 4.0-5 5.8-5 1.1-4 1 . 4+1 9.6-4 1 . 5-4 2.5-4 2.5-4 3.7-4 7. 1-4 8.7+1 102 1 . 5-5 1 • 3-6 9.0-8 5.3-8 1 • 3-6 5.0-6 2.3+0

9.6-5 8.5-6 5.8-7· 3.5-7 8.6-6 3.2-5 1 . 5+1

Tabelle 2.3 Eingetragen ist - 20 -

- 21 -

Dort ist e(rr

3,L,L-1 ,O) für L = 29,33 und durch ~ festgelegte Intervallunterte

(Hervorgehoben ist das Ergebnis zur

.

⁾

E:ine obigen Sinne kritische j ge mit s

= o.j.

^Wegen

1 ^')

3-'

=

1.34919 > 1.34 ³

ist der im Vergleich zur g t

ßer Lösungsmatrix et,<1as größere numer nicht überraschend. 1 is.t keitsge,..,finn der Näherungs zur

erschei11en nu.r sec.l1s K1ur,~(.r,en .r -d,a

ist eni,ge :z1u.r Der t?elb.-

1st 11erl,au1f· _ff

(den.n ;e::s exi.stiere:1r.1 e.JLn

-1.00 -0.10

Abbildung 2.

-0.110 -0.20 :i.ao 0.20 ^Q.fiQ a.110

X

Fehlerkurven zur Tabelle 2.3 zu den Intervall- unterteilungen aus rr

3 mit 1: s: = 0.1,

4: s: = 0.1175, 7: ^E: ==

0.3

2: s: = 0.115, 5: s: == 0,12,

3: t : : 0.11743,

6: €: = 0.125„

Wir haben bei C

=

^{Ü. 1}

- 23 -

bislang M

=

L-1

K gesetzt. Bringt die Berücksichtigung höherer Tschebyscheff-Koeffizienten von Koxi, i=1, ... ,N, nun weitere Vorteile? Es sei daran erinnert, daß das Verfahren von Urabe [1969] die ersten 2L Tscheby- scheff-Koeffizienten zur Berechnung einer Näherungslösung des Grades L benötigt. Für M = 2L-1

K wir Tabelle 2.4 erstellt.

N(L+1~

2 0. 1 O. 115 0.11743

und N(L+1) = 102 haben

0.1175 O. 12 0. 125

0.3

102 3.8-1 1 . 4-5 1 . 1 -6 8.6-8 1 . 2-7 1 . 5-6 5.3-6 1 .6+0 6.7-1 9.2-5 7.3-6 6.3-7 8.6-7 9.7-6 3.4-5 1 . 0+1

l J ^l -

L

=

101 _{L =} 33

Tabelle 2.4 Eingetragen i~t e(~

3,L,2L-1,0).

Den kleinsten Fehler erhalten wir hier, im Unterschied zu

MK

=

L-1, für E

=

0.11743, welches unter den ausgewählten In- tervallunterteilungen die beste Näherung an Eopt ist. Abge- sehen davon sind die Resultate aber im wesentlichen mit den entsprechenden in Tabelle 2,3 identisch. Diese Übereinstimmung kommt auch im Vergleich von Abbildung 3, in der die Fehlerkurven

jeweils zur ersten Komponente von Tabelle 2.4 aufgezeichnet wurden, mit Abbildung 2 zum Ausdruck. Damit ist die Erhöhung von MK nicht gerechtfertigt. Es ist dies somtt ein Beispiel für die vorteilhafte Nutzung der Variabilität von MK, gegen- über fester Koppelung von MK an L , zur Einsparung von Tsche- byscheff-Koeffizienten. Eine Erklärung für die Übereinstimmung

l

in den Resultaten liegt darin, wie eine Überprüfung für die ausgewählten Intervallunterteilungen aus rr

3 ergibt, daß die bei MK

=

L-1 vernachlässigten Tschebyscheff-Koeffizienten bereits betragsmäßig kleiner sind als der entsprechende gleich- mäßige numerische Fehler.

-J

³

~

3

'o

..

'o

ffi _:1

....1.~ J: 1

u.Jo

IJ... -

..

^~

b

-1 ,00 -o.eo ^{-0,60 -0,40 -0.20} a.oo ^{0,20 0,60} O,BD

X

Abbildung 3. Fehlerkurven zur Tabelle 2.4 zu den Intervall- unterteilungen aus rr

3 mit 1: e: = 0.1, 2: e:.= 0.115, 4: e: = 0.1-175, 5: e: = 0.12, 7: e:

=

^0.3

3: e:

=

0.11743, 6: e:

=

0.125,

1 ,00

- 25 -

Für p=O haben wir unser Verfahren nun eingehend unter-

sucht. Daß für die Übertragung der Ergebnisse auf den linearen singulären Fall keine Schwierigkeiten zu erwarten sind, de- monstrieren wir noch an einem Beispiel mit p=1 .

Beispiel 3

Die Differentialgleichung

=

ist eine auf ein System mit zwei Gleichungen erster Ordnung umgeformte Besselsche Differentialgleichung. Sie hat in x = 0 eine schwach singuläre Stelle. Zu den RB

Jn Besselsche Funktion n-ter Ordnung, haben wir die exakte Lö- sung

[

J1(x)7

= xJ

~

^(x~

In diesem Beispiel sind in der von uns gewählten Darstellung für die DGL, die auch grundlegend für die numerische Behand- lung des RWP ist, die Koeffizienten Polynome höchstens zwei- ten Grades,und die exakte Lösung ist eine in der komplexen

Ebene holomorphe Funktion, besitzt also eine schnell konver- gente Tschebyscheff-Entwicklung. Dies scheint ausschlaggebend für die schnelle Konvergenz schon der globalen Methode zu sein, wie wir in Tabelle 3.1 erkennen. Offenbar wirkt es sich nicht aus, daß der Pol in den Koeffizienten der DGL theoretisch eine singuläre Lösung des RWP zuläßt.

L e('1T

1,L,0,2) e (

...

^{) e('1T}

2,L,0,2) e (

...

^{) e('1T}₄^{,L,0,2) e}

'1T 1 '1T2 '1T 4

(

...

⁾

2 4. l-03 8 .3-04 (1) 1.2-03 7.7-04(1) 3.8-04 3.4-04(2

1.6-02 1.6-02(0) 2 .3-03 2.3-03(0) 4.2-04 3.0-04(0

4 1 .0-05 1. 8-06 (1) 6.8-07 5. 6-07 (1) 4.2-08 3. 7-08 (2

5.8-05 5.8-05(0) 2 .1-06 2 .1-06 (0) 6.6-08 6.6-08(0

8 9.7-12 2.4-12(1) 3.1-13 3.0-14(0) 0

9.4-11 9.4-11(0) 2.4-13 2.4-13(0) 0

Tabelle 3.1

Mit diesen Beispielen haben wir nun einige Vorzüge unseres Ver- fahrens aufgezeigt. zusammenfassend sei gesagt, daß setne An- wendung insbesondere dann erfolgversprechend ist, wenn uns ein RWP mit langsam konvergenter Tschebyscheff-Entwicklung der exak- ten Lösung vorliegt.

- 26 -

0 0

Literaturverzeichnis

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Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Heidelberger Taschenbücher, 110, Heidelberg: Springer 1972

Adresse: Christa Bach-Graf

FB ·Mathematik und Informatik Fernuniversität - GHS - Hagen Postfach 940

D-5800 Hagen 1

- 28 -

FEHLERDARSTELLUNGEN FÜR GEWICHTETE INTERPOLATIONSQUADRATURFORMELN (PRODUCT INTEGRATION FORMULAS)

J. Brinker und F. Locher

Summary

In this note i t is shown that for product integration formulas some of the known methods for error estimation esp. those

which refer to the underlying interpolation property may be applied. Starting from the representation of the interpolation error by divided differences the method of integration by parts yields error estimates of Cauchy type. We discuss the applicability of our method as well as some generalizations and by some examples we demonstrate the effectivity of the proposed error estimates.

1. Einleitung

In den letzten Jahren wurde von verschiedenen Autoren (vgl. [1], [ 3]. , [ 4] , [ 10] , [ 11 ] , [ 1 2]) vorgeschlagen, zur numerischen

Berechnung gewichteter Integrale sogenannte Produkt-Integrations- formeln (product integration formulas) zu verwenden. (Da die Bezeichnung "Produkt-Integration" für die Tensorproduktformeln schon länger benützt wird, sollte man vielleicht besser von

"gewichteten Interpolationsquadraturformeln" sprechen.) In den bisher zu diesem Problemkreis veröffentlichten Arbeiten standen die Herleitung solcher Formeln und deren Untersuchung in Bezug

auf ihre numerischen Eigenschaften (Koeffizientenformeln, Ge- nauigkeit, Implementierung) sowie Konvergenzfragen im Vorder- grund. Bisher scheint aber eine ausgebaute Theorie der von derartigen Verfahren verursachten Formelfehler noch kaum entwickelt worden zu sein. In dieser Note soll nun gezeigt werden, daß einige Fehlerdarstellungen, die für den Fall konstanter Gewichtsfunktion entwickelt wurden, auch für ge- wisse nichtkonstante Belegungen entsprechend modifiziert ihre Gültigkeit behalten. Dies gilt insbesondere für die Fehler-

darstellungen, die vom Newton-Restglied der Polynominterpolation (dividierte Differenzen) ausgehen. Die bei dieser Fehlerab-

schätzungsmethode oft verwendete "Methode der partiellen Inte- gration" bewährt sich auch bei den gewichteten Interpolations- quadraturformeln. Wir erhalten auf diese Weise für Formeln, die bei Interpolation an n+1 Stützstellen für Polynome von

höherem als n-tem Grad exakt sind, zunächst eine Fehlerdarstellung mit Hilfe dividierter Differenzen. Wenn die in dieser Dar-

stellung auftretende Kernfunktion keinen Vorzeichenwechsel hat, erhält man mit dem Mittelwertsatz eine Fehlerdarstellung vorn Cauchy-Typ. Wir zeigen, daß sich die Definitheit dieser Kern- funktionen zu einer gegebenen Belegung µ in vielen Fällen

aus der Definitheit der entsprechenden Kernfunktionen zur konstanten Belegung folgern läßt. Anschließend diskutieren wir ein Optirnalitäts kriteriurn und demonstrieren die Anwendbarkeit unserer Methode

an einigen Beispielen.

- 30 -

- 3 -

2. Die Abschätzungsmethode

Es sei µ eine Gewichtsfunktion üblichen Typs, d.h. µ sei L-integrabel, nicht-negativ und mit positivem Integral, wobei die Existenz aller Momente vorausgesetzt werde. Für µ kommen z.B. folgende Funktionen in Betracht

µ (x)

=

^{1 ,}

µ(x)

=

(1-x)a.(1+x)ß

µ (x)

=

^{lcr-tl ,\ mit}

mit a,ß > -1 ,

crE[-1,1], ,\>-1

Wir betrachten nun interpolatorische Quadraturformeln des Typs

( 2 . 1 )

wobei

1

J

f(t)µ(t)dt -1

-1 ~ t

0 < t 1 < ••• < tn ~ 1 , 1

=

J

-1

lk ( t) µ ( t) d t ,

wn+1 (t) =

R n (p)

=

0

wn+1 (t)

n II (t-t ) v=O \)

für Polynome p vom Höchstgrad n

Im folgenden soll~n Abschätzungen des Quadraturfehlers R (f)

n ent-

wickelt werden. Wir werden uns dabei auf die Abschätzungsmethoden beschränken, die wesentlich die Interpolationseigenschaft ausnützen.

Bei. konstanter Belegung hat sich in vielen Fällen die sogenannte

11V-Methode" im Sinne von Hildebrand [6] zur Fehlerdarstellung bewährt. Der Ausgangspunkt dieser Abschätzungsmethode ist das Interpolationsrestglied

( 2 . 2) r n ( f , x)

=

f [ x, t

O , t

1 , ..• , tn] w n + 1 ( x)

wobei f[./.] die dividierte Differenz der Ordnung n+1 zu den Stützstellen x,t , t

1 , . . . ,t bezeichnet. Durch Integration

o n

erhält man hieraus eine Darstellung des Quadraturfehlers. Eine zentrale Bedeutung bei der Anwendung der V-Methode spielt die Funktion

[µ]

n ^(t) mit

t

= f

^wn+₁ ^{(-r) µ (-r) d-r}

-1

Wesentlich ist, ob

( 2 . 3) JµJ ( 1 )

= J

¹ wn+1 (-r) µ (-r) d-r

=

0 -1

erfüllt ist und ob

(2.4) ^Jµ](t) ~ 0 ( ~)

für tE [-1,1]

gilt. Dabei ist die Nullstellenbedingung verantwo~tlich für eine

Erhöhung der Ordnung der Quadraturformel und die Definitheitsbedingun für die Existenz einer Fehlerdarstellung vom Cauchy-Typ. Wir

formulieren

- 32 -

- 5 -

LEMMA 2. 1.

a) Eine Quadraturformel des Typs (2.1) ist exakt für alle Polynome p mit Grad p ~ n+1 genau dann, wenn

gilt.

b) Falls zusätzlich

Jµ](t) 2! 0 für

( ~)

tE[-1,1]

gilt, hat Cauahy-Typ

R (f) für f E Cn+2

[-1, 1] eine Darstellung vom n

,_· f(n+2)(n) Rn ( f ) - - ( n + 2 ) !

= f(n+2)(11) (n+2) !

f

1 ^{JµJ(t) d~}

-1

f

1 ^{t w~+}₁ ^{(t) µ} (t) dt , -1

<

11

<

1 , -1

und der Peano-Kern K in der Fehlerdarstellung

( 2. 5) R (f)

n

1

=

f

^{f (n+2 ) (t)}

^K

^{(t) dt}

-1

hat im IntervaZZ [-1 ,1] keinen VorzeiahenweahseZ.

BEWEIS,

a) Ausgehend von der Darstellung (2.2) des Interpolationsfehlers erhält man durch Integration

-

( 2 • 6) R ( f)

n

1

= J

-1

- 6 -

f [t,t , ... ,t ] ^w +

1 (t) µ (t) dt

o n n

und hieraus durch partielle Integration

( 2 • 7)

oder auch

( 2 • 8)

R0 (f) = f[t,t

0 , • • • , t

0 Jcil'\t) ¹

1

-

J;

^{ddt f[t,t}₀ ^{, . . . ,t}₀ JJ'l(t) d -1

Für f ECn+2

[-1,1] gilt (vgl. [ 8], S. 192 ff.)

( 2 • 9 ) f[1,t , ... , t ] _{o n}

=

(2.10)

f (n+1) ( i; ) 1 (n+1) !

f(n+2)(i;,.J

"' (n+2) !

Für ein Polynom p vom genauen Grad n+1 folgt somit

R ( p )

=

^a Jµ] ( 1 )

n ^Cl=FÜ

und hieraus die Behauptung.

b) Ausgehend von der Darstellung

(2.11) R (f)

n

= - /

ddt f [ t , t , . . . , t ]

Ji1] (

t ) d t

_1 o n

folgt durch Anwendung des Mittelwertsatzes und Berücksichtigung

- 34 -

von ( 2. 1 O)

(2.12) R (f) =

n

..,

- I -

f (n+2) (n) (n+2)!

1

f

^{-1 < n < 1 .}

-1

Wendet man auf das Integral die partielle Integration wieder

"rückwärts" an, so erhält man

(2.13) R ( f)

n

=

f (n+2) (n) (n+2) !

1 -1

J

t wn+

1 (t) µ {t) dt

Die Definitheit des Peano-Kerns folgt dann mit dem.vorn Fall einer konstanten Belegung her bekannten Schluß (vgl. [1]).

•

Eine wichtige Klasse von Formeln, bei denen eine Erhöhung der Ordnung ei~tritt, erhält man, wenn die Belegung und die Stütz- stellenverteilung symmetrisch und die Stützstellenzahl ungerade ist (Typ: Simpson-Regel). Dann folgt

also

und

t

= f

-1

wn+1 ^{(t) µ(,:)} d,.- -t

= - f

^wn+₁ ^{(--r) µ (-t) dt}

+1

Wir erhalten so

Satz 2.2.

Es gelte

\.l(t)

=

\.1(-t)

t _v

=

^t _n-v , v=0, ••• ,ⁿ

2 n

=

⁰ mod 2

Dann folgt die Fehlerdarstellung

,

R (f)

n

1

= - J

-1

ddt f[t,t

0 , • • • ,tn+

1 JJ!i](t) d t .

3. Mehrfache Anwendung der V-Methode

Bei manchen Quadraturformeln ist der Exaktheitsgrad wesentlich höher als er durch die interpolatorische Herleitung mindestens sein muß und erreicht bei den Gauß-Formeln seinen maximalen Wert.

In diesen Fällen kann man die V-Methode wiederholt anwenden.

Dazu definiert man rekursiv die Funktionen durch

"

t

JµI „

^'IJ:=0

„

^{1 ...}

\1,

~~i

^{( t ) : = [}

^,,

\l=0„1„2., ...

-1

Entsprechend 2::u dem in Abschnitt 2 bewiesenen .Resultat geht

- 36 -

.,

- 9 -

eine Erhöhung der Ordnung mit der Existenz von Randnullstellen gewisser Funktionen

Formeln der Ordnung

,J1,,]

,F einher. Wir hatten gezeigt, daß für

V,

n+1 die Fehlerdarstellung 1

( 3 •

i)

^{R (f)} _n

= - J

-1

gilt, wobei

charakteristisch für diese Formeln ist. Durch partielle Integrati.on.

von (3.1) folgt nun

(3.2) R (f)

n

= -

ddt f[t,t, , ..• , t ]&2

1

_(t)t¹_.+

l

^d22 f(t,t , ..• ,t 1J:2ill{t)dt

o n

L1

^{-1 dt o n}

Hieran erkennt man, daß die Ordnung sogar mindestens n+2 ist, wenn

= o = ~

₂

¹ c-1

^>

Rekursiv beweist man so Lemma 3.1, wobei für den zweiten Teil der Aussage zusätzlich der Mittelwertsatz zur Anwendung komm.t.

LEMMA 3.1.

a) Eine Quadraturformel des betraahteten Typs ist exakt für Polynome vom Grad n+r für ein r > 0 genau dann, LJenn

=

^~(1)

=

⁰

gilt. Der Q,uadraturf eh ler hat dann für f E Cn+r+ 1

[ -1 , 1 ]

die Darstellung

R ( f)

n

=

^(-1)r

f

1 -1

dr . [µ]

f [ t , t , ... , t ]rt (t) d t .

dtr o n r

b) Gilt zusätzlich

für tE[-1,1]

so folgt

1 R (f) = (-1 )r r! f (n+~+1) (n)

f

n (n+r+1) ! _

1

= r ! f (n+r+1) ( )

f

1

(n+r+1) ! n

-1

t r wn+

1 (t) µ (t) dt

-1 < n < 1

In diesem Fall hat der Peano-Kern Kr in der Darstellung

R (f)

n

1

= f

-1

K (t) f (n+r+ 1 ) (t) dt

r

im Intervall [-1,1] k~inen Vorzeichenwechsel.

Bemerkung 3.2.

Man erkennt leicht, daß die Methode der partiellen Integration spätestens mit

folgen

r=n+1 abbricht. Denn für

- 38 -

r=n+2 würde

- 11 -

JµJ ( 1 ) =

n+2

1 -1

J

s-2[µ] ( t ) d t

=

^O

n+1

und wegen

w~~~1

) (t)

=

(n+1) !

erhielte man hieraus durch partielle Integration den Widerspruch

=

n+1 1

= ( -1 )

f

-1 (- 1 )n+1 1

=

f

-1

1 -1

f

JµJ( t)

0 wn+1 (t) dt 2

[wn+1(t)] µ (t) dt

*

⁰

(n) (t) dt wn+1

Umgekehrt zeigt die µ-Orthogonalität der µ-Orthogonalpolynome die Existenz von Funktionen Jµ] mit

n+1 Jiil ( _{1 )}

=

n+1

= ~\1) =

⁰

Es gibt also Formeln, für die unsere Methode genau (n+1)-mal

anwendbar ist; dies sind natürlich die Gauß-Formeln zur Belegungµ . Unser Vorgehen liefert also eine Charakterisierung der Gauß-Formeln.

4. Definite Formeln

Bei konstanter Belegung ist für verschiedene Formelgruppen ge- zeigt worden, daß das nur von der Stützstellenverteilung ab-

'.I

hängige Polynom

t

= J

^wn+₁ ^{(1) d-r}

-1

in [-1 ,1] keinen Vorzeichenwechsel besitzt. Diese Eigen- schaft konnte z.B. für die Newton-Cotes-Formeln und gewisse Gegenbauer - Formeln verifiziert werden [ 2], [ 7], [ 13] . Wir wollen im folgenden zeigen, daß sie sich bei manchen Belegungen "vererbt".

Satz 4. 1 •

Die Belegung sei zusätzlich zu den in Abschnitt 2 genannten Voraussetzungen absolut stetig, und es gelte eine der beiden Bedingungen:

a) µ fällt auf [-1,1] monoton.

b) µ fällt auf

(-1 ,O]

monoton, µ (t)

=

^{µ ( -t)}

t v

=

t n-v für n

=

O mod 2 .

für tE (-1,1] , v=0, ••• ,n 2

Dann folgt aus

,_[1](t) =

ft.

~G w n + ₁ ( t ) d t ;:::

-1 (S)

0

auch

für tE[-1,1]

JµJ (

^t)

= f

^{t w n +} ₁ ^{( t )}

µ (

^{t) d t ;::: 0} für

-1 (S)

tE [-1,1]

- 40 -

- 1 3 -

BEWEIS.

Durch partielle Integration erhält man

( 4 . 1 ) ^{Q[µ] (} t)

=

=

Wegen

µ(t) ~ 0

µ ¹ (t)~O

Q[1\ T) µ ( T) ¹ t - -1 J1\t) µ (t)

.t

-1

f

falls

f

^falls

l

^falls

folgt dann aber sofort

t

J1

\ T) µ ¹ ( T) d -t

-1

f

J1\ T) µ t ( T) d,

tE[-1,1]

t E [ - 1 , 1 ] im Fa 11 a ) t E [-1,0] im Fall b)

{

tE[-1,1]

falls

im Fall a) tE [-1,0] im Fall b)

Die Definitheit von ^r2[ 7J vererbt sich also auf ^{Q [ µ]} in den angegebenen Intervallen. Da im Fall b) offensichtlich eine gerade Funktion ist, ist die Behauptung gezeigt.

Folgerung 4.2.

Ausgehend von Newton-Cotes-Formeln oder von interpolatorischen Formeln zu den Nullstellen der Gegenbauer - Polynome

erhält man unter den Voraussetzungen von Satz 2 an die Belegung eine Fehlerdarstellung vom Cauchy-Typ.

•

,1

In [7] werden die Formeln charakterisiert, die optimal im Sinne der Methode der partiellen Integration bei konstanter Belegung sind. Die dort angewendete Methode, die wesentliche Eigenschaften der Gauß-Quadratur ausnützt, liefert auch für Belegungen, die die Voraussetzungen von Satz 4.1 erfüllen, Optimalitätskriterien. Mit partieller Integration folgt

1 -1

f

1

= - f

^wn+₁ ^{(t) t µ (t) dt}

=

= f 1

-1 1

= f

-1 -1

J1\

₁ ^t)

p {t) n

1

+

f

-1

(tµ(t))' dt

(t2

-1) (tµ {t)) 'dt

(tµ (t)) ¹ dt

Hier ist im Fall einer offenen Formel ein Polynom vorn Grad n mit Höchstkoeffizient ¹

n+2 , das in [-1,1] nicht- negativ ist, wobei das Knotenpolynom wn+

1 zur konstanten Bele- gung der Beziehung

wn+1 (t)

=

ddt { (t2-1) Pn (t)}

genügt [7] . Wir setzen

µ ( t) : = ( 1 -t 2

) ( t µ ( t) ) ¹

~

0 für tE[-1,1]

Dann folgt

1 1

-1

f = - f

-1

p (t) µ(t) dt n

- 42 -