Seminarberichte Nr. 12

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Publikationsserver der Universitätsbibliothek

Mathematik und

Informatik

Seminarberichte aus dem Fachbereich Mathematik der FernUniversität

12 – 1982

Die Dozentinnen und Dozenten der Mathematik (Hrsg.)

Seminarbericht Nr. 12

Uber einen Ansatz zu einer Morse-Sturmsehen

·Theorie für Systeme Differentialgleichungen vierter Ordnung

von H.S.P. Grässer

Lifting tensorproduats along non-adjoint funators von G. Greve, J. Szigeti und W. Tholen

A generalization of an oddness-theorem for bimatrix games

von H. Meister

An elementary proof of the aonsistenay theorems for almost aonvergenae

von R. Neuser.

The Hahn-Banaah Theorem for totally aonvex spaaes von D. Pumplün

Faatorizations, loaalizations, and the Orthogonal Subaategory Problem

von W. Tholen

Completions of aategories and Shape Theory von W. Tholen

- Seite -

1

17

37

49

53

81

125

THEORIE FÜR SYSTEME DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VIERTER ORDNUNG

H.S.P. GRÄSSER

1. EINLEITUNG

Die beiden vollständigsten Berichte Über die.Sturmsehe Theorie für lineare Differentialgleichungen sind wohl [11] und [10].

Beide enthalten auch ziemlich ausführliche Hinweise auf die

Literatur. Marston Morse, in seinen vielen Beiträgen zu diesem Thema, hat fast durchaus die Variationsrechnung als Ausgangs- punkt gewählt, und (8] und (9] sind sicher seine wichtigsten Bücher auf diesem Gebiet. Weil der Ansatz in der vorliegenden Arbeit, in direktem Anschluss an Morse, auch in der Variations-

rechnung liegt, wurde der Name Mok-0e im Titel an den von Sturm gekoppelt.

Wenn man hier von der Variationsrechnung spricht, meint man vor Allem die Theorie der zweiten Variation (welche natürlich als solche schon lange in Detail bekannt ist (z.B [l])). Wir wollen nun zeigen wie dieser Ansatz von Morse zu einer

Sturmsehen Theorie für Sy-0teme von Differentialgleichungenvlektek Ordnung auf Variationsproblemen sogenannter zweiter Ordnung beruht.

Im Vorwort zu [9] schreibt Morse: "Apart from the development of Sturmlike theorems in my ColloquiumLectures {d.h. [8]} most applications of variational methods to the Sturm theory have been restricted to the case m = l"{d.h. auf den Fall elnek abhängigen Variablen}. Hier hat sich inzwischen, vor Allem was die Sturmsehe Theorie pek Je anbetrifft, einiges geändert, wie man aus (11],[10] und der dort zitierten Literatur sehen kann. Auch finden Systeme von Gleichungen hÖhekek Ordnung mehr Interesse; man siehe zum Beispiel [7] und di~ dort angegebenen Arbeiten.

Das den Systemen selbstadjungierter Differentialgleichungen entsprechende -0ekondake Problem in d~r Variationsrechnung wurde

- 1 -

anscheinend erst vor nicht zu langer Zeit in Detail untersucht ([ 2],[3],[4], wo die beiden letzten Arbeiten sich mit singu- lären Problemen befassen). Solches bisheriges geringe Inte- resse ist wohl der Tatsache zuzuschreiben, dass viele Probleme höherer Ordnung auf ein P4oblem von Lagnange erster Ordnung zurückgeführt werden können. Dieses ist jedoch nicht der Fall für viele derartige Probleme {z.B. [5], auch Leighton ([ 6)) war sich dessen bewusst}. Fernerhin hat die Erfahrung ge-

zeigt, dass es oft einfacher ist die di~ekte Methode zu be- nutzen, selbst wenn das Problem von Lagrange angewendet werden kann. Man sollte in dieser Hinsicht jedoch auch Morse [9]

zitieren, der offenbar etwas anderer Meinung ist: "It is my belief that when the systematic carrying over of the methods of this book to the general Bolza problem is completed (as i t can be) much light will be thrown on equations of order higher than the second."

Es ist nun das Ziel hier anzudeuten wie die direkte Übertragung von der Methode von Morse auf übersichtliche Weise vor sich gehen kann. Nach einer kurzen Übersicht über das einfachste Problem in der Variationsrechnung werden Probleme zweiter Ordnung einge- führt und deren zweite Variation definiert. Die Transver-

salitätsbedingungen und die Brennpunkte welche die Grundlage des Morsesehen Ansatzes bilden werden dementsprechend behandelt.

Zum Schluss wird gezeigt wie man sich von dem unterliegenden Variationsproblem befreit.

2. DAS EINFACHSTE PROBLEM IN DER VARIATIONSRECHNUNG

E ' X -nn+l . f f ' f h „

· s sei c= ein o enes, ein ac -zusammenhangendes Gebiet mit lokalen Koordinaten (x,yi), i = l, . . . ,n. {In Allem was folgt, nehmen Lateinische Indizes i , j , . . . immer die Werte 1,2, . . . ,n an.} Gegeben ist eine Funktion f Ec³ [XXE.n]:

( 2 • 1) i i i i

f: (x,y ,p ) t-+ f(x,y ,p ) , und g ist eine Kurve

( 2. 2) g : yi ⁼ gi (X) _{1 X~} ,;,;: ""' X --,,, X,&

2,

mit g E D ^{1 [} x , x ] .

l 2

- 2 -

Man betrachtet zwei feste Punkte

in X und die Menge

G

aller Kurven in X welche P₁ und P₂ ver- binden und zur Klasse D¹[x

1 ,x

2 ] gehören;

werden zugela~~en ^genannt. Die Kurve

Elemente von G

( 2. 3) ^{i i} i _,,. _,,.

g : y = g (x) +

e:n

(x), x₁ ~ x ~ x_{2 ,} e:

i 1 '

ist also zugelassen wenn n ED [x , x ] und e: E:R klein genug ist,

1 2

während gilt ( 2. 4)

Es ist klar, dass g

0 = g.

Das *ntegral ( 2. 5)

~·

J ( e:) :=

J

^{2 f (x, y (x) , y' (x) ) dx}

_xi

(' := d/dx) soll nun einen Extremwert in G erreichen. {Bei Argumenten wie in (2.5) lassen wir die Indizes weg.} Eine not- wendige Bedingung dass dieser Wert entlang der Kurve g angenom- men wird, ist, dass

( 2. 6) J'(O)

=

^0.

Entlang Strecken von g wog EC¹ ist, gilt (2.6) dann und nur dann wenn die Funktionen gi die Euler-Lagrangeschen Gleichungen

( 2. 7) {(f . ) ' - f .}(x,y,y',y")

=

0

l l

p y

befriedigen, und in diesem Falle wird g eine (primäre) Extremale genannt. Es ist wichtig zu bemerken, dass hier ausdrücklich

~ngenommen wird, dass das Variationsproblem regulär ist, das heisst, dass in X

( 2. 8)

gilt

det{ f . ,

1

^{-4= 0 •}

\ plpJ /

Die zweite Vaniation ^{von J} entlang g wird durch J"(O) bestimmt, wobei

( 2. 9)

- 3 -

mit

(2.10) _/

0 (n) := _2Jx² n(x,n(x),n'(x))dx.

Xl - - -

Hier ist die quadratische Form 2D durch (2.11)

definiert; die* bedeuten dabei, dass die Koeffizienten entlang der unter1iegenden Extremale berechnet werden, das heisst die Argumente (x,y,p) nehmen die Werte (x,g(x),g'(x)) ,x

1 ¾ x ¾ x

2 , an.

Es ist klar, dass g dem Integral J einen Minimumwert zuteilen kann nur wenn

(2.12) s = 1,2.

Diese Ungleichung definiert das sogenannte ~ekonda~i (ade~

akze~~o~i~Qhe) Va~iation~p~oblem mit Funktional (2.10). Offen- sichtlich müssen die ni in (2.3), wenn sie eine Lösung dieses Problems darstellen, die sogenannten ]aQobi~Qhen Vi66e~ential- gle,i.Qhungen

(2.13)

{ ( n . )

^{1 -}

n . }

(x 'u 'u ¹ 'u ^II)

=

0, X 1 ¾ ^X ¾ ^X 2 '

r 1. l.

'-:, - n

befriedigen, mi i; Randbed-ingungen - (2.14)

Die Gleichungen (2.13) sind selbstkonjugiert und bilden die Basis der Morse-Sturm-Theorie in [9].

3. VARIATIONSPROBLEME ZWEITER ORDNUNG

Auch hier können wir uns kurz fassen und auf [2]-[5] hinweisen was ein grosser Teil des Details betreffend der nächsten

dreieinhalb Abschnitte anbetrifft.

- 4 -

Nun betrachten wir eine Funktion f:XXR²n + R:

( 3 . 1) mit

( 3 • 2)

i i i i i i 3 m

f: (x,y ,p ·,q ) ,... f(x,y ,p ,q ) , f EC [XxR ],

( \

det\ f i . J =f O.

q qJ„

Wo oben in (2.2) sei g eine Kurve in X welche P₁ und P₂ verbindet, nur dass jetzt g E C ⁴[x

1 ,x

2 ] . In dem Problem zwe.J.,:te.Jt O!tdnung,

etwas oberflächlich formuliert, ist die Menge G der zugelassenen Kurven gelegen in X, mit G cD⁴ [x

1,x₂ ^{] ,} welche sich in den

Punkten P₁ und P₂ be.1tUh1te.n. Man sucht also eine Kurve

r

^EG

welche dem Funktional (mu:ta.:t.Ls mu:tand.l.o wie ( 2. 5))

( 3. 3)

rXz

I :

= J

f ( x , y ( x) , y ' ( x) , y ^{11 (} x) ) dx

Xl

in G einen Extremwert zueEteilt~. Jede glatte Lösung dieses Problems muss wieder eine Ex:t.Jte.male. sein, also die Euler- Lagrangeschen Gleichungen

( 3. 4) { ( f i ) ^{II - '} f i ) ¹ + f i } ( X I y ^I y ^{I I} y ^{II I} y ^{III I} y i V.)

=

^Q

q p y

befriedigen, mit Randbedingungen

( 3 • 5) i i

wo a ,b vorgeschriebene Konstanten sind. Diese Bedingungen s s

sind die Berührungsbedingungen der Kurven in G bei P₁ ,P_{2 •} 4. DIE ZWEITE VARIATION

Nun sei C(u) eine einparametrige Schar von Kurven aus G, welche

·in Parameterdarstellung gegeben sind durch

( 4. 1)

Die zweite Variation des Integrals

( 4 • 2)

rx2

I ( u ) : = _ 1 f ( x , Y , Y , Y ) dx ( Y

C (u"j X X XX X

l

- 5 -

X • . 2

:= 8Y/8x)

entlang eine-0 Mitgliede-0 C(u0 ) EC(u) wird definiert als

(4. 3)

Wir setzen

0 ² I ( u ^{O } :}

= (

u-u ^{O ) 2 III (} u ^{G } •}

i } ~*2 i := (u-u0)Y (x,uo ,u Y :=

u

cS*y'i := (u-uo)Y i , . . . xu

Dann folgt nach umständlicher aber nicht zu schwieriger Rechnung, wenn man (3.5) beachtet, dass

( 4. 4) i

(f)o*y dx +

x2

~2

J

D(x,o*y,o*y',o*y")dx, C(uo)Xl

wo die quadratische Form-2~, welche (2.11) entspricht, definiert wird durch

( 4. 5) 2~(x,n,~,r;) := f . ^* ,n ⁱ nj + 2f*. , ni~ j + 2f . ·

*

ll ⁱ itj +

Y¹YJ _Y¹_PJ yJ.qJ

+ ^{f*. -~i~j} + 2f*. -~ 1

?)

₊ f*' -~·i1:_:.j'

P¹PJ pJ.qJ qlqJ

mit den Werten der Koeffizienten entlang C(u_{0 )} gemessen. Wenn C(uo) eine Extremale ist, verschwindet das erste Integral in ( 4 • 4) wegen ( 3 • 4) • .

5. DIE TRANSVERSALITÄTSBEDINGUNG

Jetzt wenden wir uns Problemen mit veränderlichen Endpunkten

zu, das heisst die Bedingungen (3.5) werden nicht mehr auferlegt.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird P₂ jedoch noch fest- gehalten (dieses verkürzt die Analysis erheblich), während der

Anfangspunkt P₁ auf. einer glatten r-dimensionalen Untermannig- faltigkeit von R n+l ,

( 5. 1) liegt.

( 5 • 2)

S : x = 8(ua.), yi = ijJi(ua.), a. = 0,1, . . . ,r ¾ n, Weil y~ = yi(x

1) , gilt also i a. i a.

1jJ (u ) = y {8 (u ) } •

Man muss offenbar annehmen, dass P₂ nicht auf S liegt. In (3.5) war auch die Richtung von g im Punkt P₁ fest vorgeschrieben, was wir

jetzt nicht mehr tun wollen. Es wird vorausgesetzt, dass die Richtungen der zugelassenen Kurven g auf S (d.h. im Punkte P_{1 ) ,} durch ein Vektorfeld in Rn+l bestimmt werden~

( 5 • 3)

wobei die <Pi vorgeschriebene glatte Funktionen sind. Wir bemerken dass die Bedingungen (3.5) für P₁ als Spezialfall r = 0,

<Pi= Konstante,in diesen veränderlichen Bedingungen enthalten sind.

Nun betrachten wir ein etwas allgemeineres Funktional als (3.3), nämlich

(5.4)'

J

x₂

J : = F ( x

1 ,

^{y ( x} 1 ) , y ' ( x

1 )) + f ( x , y ( x) , y ' ( x) , y" ( x) ) dx , - C(uo)Xl

wo F E C² eine gegebene Funktion ist. · Sie ist auf S und durch V erklärt; also können wir schreiben

( 5 ·• 5)

J

Xz

f (x,y (x) ,y' (x) ,y" (x)) dx, C(uo)x

1

mit G ( u a.) : = F \ 8 ( u a.) , 1jJ ( u a.) , <j) ( u a.) } . Nun sei

( 5. 6) ₌ a.

U (u)

eine glatte Kurve auf S. Die Menge der im 09igen Sinne zugelas- senen Kurven bezeichnen wir mit G'. Es sei V (u) c G' eine

einparametrige Schar, deren Anfangspunkte durch K bestimmt sind, mit Parameterdarstellung

( 5 • 7) D (u) : y i

=

^Y i ^{(x, u) ,}

- 7 -

und wir nehmen an dass durch jedem Punkt von K genau ein Mitglied von V(u) geht, das heisst aYi/au #

·o.

Die unterliegende Extremale

r

soll in V(u) durch den Parameterwert uo bestimmt sein:

D(uo) =:

r.

Die Richtungen der Mitglieder von V(u) auf K sind durch V bestimmt;

es muss also gelten

( 5 • 8)

Setzen wir

e

^(d:i. (u)) =: 8(u), haben wir also

( 5. 9) ,Y (8(u) ,u) ⁱ

=

cp ⁱ (U (u) ,u). a

X

Differentiation nach u ergibt, wenn man u

=

u₀ setzt,

(5.10)

mit

(5.11)

und

(5.12)

wobei

i i a

n (x)

=

^C (x) v , a

C~(x)

K~ (x) i a i a

: =

cp ß ( U ( U O ) ) - y XX ( X ' U O ) 8 ß ( U ( U O ) ) '

u u

i i :i. i a ,a

( 5 . 13 ) n (X) :

=

^{y u (X' u O ) ' n' :-_ -(X) :}

=

^{y xu (X' u O ) ' V :}

=

^{u ( u O ) •}

Damit haben wir gezeigt dass, wenn

r

die Mannigfaltigkeit S im Punkte P⁰ ₁ (x⁰_l ,Yi(x₁°,u )) ₀ schneidet, dann muss

r

die sogenannten -0ekondähen An6ang-0bedingungen

(5.14)

befriedigen.

Jetzt nehmen wir an, dass

(5.15) der Rang der Matrix

nein

Cl

=

r.

Es ist verhältnismässig leicht aus der ersten Variation abzuleiten ([2]), dass die Extremale

r

im Punkt P~ auch die Than-0veh-0afität-0-

b e d,[ n g u 11 ⁰

(5.16) (oG) + lr (f-P.Yi - R.Yi )ox + P.oYi + R.oYil

=

O

U O l X l XX l l X

J

^o

X 1

- 8 -

befriedigen muss, wo die Werte der Jacobischen kanonischen Variablen

(5.17) Pl. : = f . -l ( f . ) ' , R. : = f i' , l l

p q q

entlang

r

berechnet werden. Extremalen, für welche (5.14) und (5.16) gelten, werden k~iti-0che Ext~emalen gennnnt.

6. BRENNPUNKTE

Wir berechnen nun die zweite Variation (4.3) des Funktionals (5.5) und erhalten einen Ausdruck der Art (5.4):

X

= B (uY)vavB + 2

J

²n(x,n,n',n")dx.

aß o (r)xo

l

( 6 • 1)

Hier ist Baß =.Bßa eine recht komplizierte symmetrische Funktion welche f,g,~i,~i und deren Ableitungen enthält. Im Folgenden

soll Baß immer Baß(u

0)

^bedeuten.

Es ist klar, dass wir jetzt ein Variationsproblem mit Funktional J₂ (n,v) vor-uns haben: In dem (x,nj)-Raum Hn+l sucht man Funktionen ni : x ~ ni(x) welche J ₂ minimieren und den Bedingungen S5.14)

genügen. Das heisst, die Lösung ni = ni(x) muss ihren Anfangspunkt auf der Fläche

( 6 • 2)

in Hn+l haben, mit vorgeschriebener Richtung ( 6. 3) n'l · = K (xi ⁰)v . a

a l

Der Endpunkt P ₂ ü;t im gewöhnlichen Sinne fest, also haben wir ein Problem genau wie in §5. Die Lösungen müssen -0ekondä~e Ext~emalen

sein, das heisst die Jacobischen Gleichungen

( 6. 4) E.<²)(n) := {(n .)" - (n .) '+ n i.}(x,n~ ... ,niv) = o

l z:_;l ~l n

befriedigen, wo n durch (4.5) entlang der primären Extremale

r

gegeben ist.

Die entsprechenden Transversalitätsbedingungen (5.16) können leicht gefunden werden. Die Jacobischen kanonischen Variablen sind hier

- 9 -

-10-

( 6 . 5) 'ITi:= nc;;i. - (nl';i)'' µi := nl';i.

Dann findet man dass (5.16) hier lautet

( 6 • 6)

wobei der Index Q wie zuvor auf die Anfangsfläche hinweist.

i 2

Wenn man in (6.1) die quadratische Form 2Q durch 2r2-A~(n) i ersetzt, erhält man das Funktional

A ß

Jx

^{2 i 2}

( 6 • 7) J 2 ( n ) : = Ba. ß ^V a. V + [ 2 n - A ~ ( n ) ] dx . (f) X

1 i

Die Jacobischen Gleichungen lauten jetzt ( 6 • 8)

Eine Lösung von (6.8) welche den Anfangsbedingungen (6.2), (6.3) sowie den Transversalitätsbedingungen (6.6) genügt, wird eine

kniti.oche .oekondäne Extnema.le genannt.

Jetzt definieren wir Bnennpunkte.

VEFINITION=

E.o .oei reine

pnimane kniti.oche Ext~ema.le mit

A~6a.ng.6-

punkt a.u6

einen

Ma.nnig6a.ltigkeit S a.u6 welchen die Richtungen den zugela..6.oenen Kunven dunch ein Vektan6eld V vange.ochnieben .oind.

Va.nn ,ü;t ein Punkt

x

^a.u6

r

ein BRENNPUNKT de..o Pa.a.ne..6 ^(S ,V)

-=---- ~-

wenn .die. e.nt1.>pnechenden Ja.cobi-0c.hen Gleichungen nic.htt~ivia.le

l~.oungen

~i be.oitzen, welc.he (6. 2), (6. 3) und (6. 6) be6nied-lgen, . und wenn gilt, da..o .o

( 6 • 9)

Wenn (3.2) und (5.15) erfüllt sind, besitzen Gleichungen eine maximale Menge unabhängiger ß~j) (x~,x), j = l, . . . ,n, welche (6.2), (6.3) ([2]). Es gilt also

die Jacobischen .. i ( 0 )

Losungen a.(j) x₁ , x , und (6.6) befriedigen

,6.10) i ( O O)

_ et(j) _ x₁ ,x₁

= ca

ⁱ⁽ x ^O 1)v ^a.i (j), a.(')(x ,x) ^-1" i -J 0 l 0 !

=

Ka. i ( ^{X O} _{1 ) V (} ^CU j) ,

(6.11) i _{(xo xo)} i ^o a.2 ^1.;

(x~,x~) i ^{0 a, 2}

B ( j) l ' l

=

C a, (x ) l V ( . ) J B (j)

=

_{K ( a,)} (x₁)v(j)'

- 10 -

und

(6 .12) C a i( X 0) l TI.(') J.. 01 J + K ⁱ⁽ 0. X ⁰⁾ l ll•(') J.. ^Öl J

=

Ba.Bv(j)' ^{B 1}

(6.13) C _a i( X ⁰⁾ TT.(') 02 + K (x ^{i O)} µ; ( . ) ^{I> 2 1}

=

_{B Bvt.)'} ^ß2

l J.. J a l J.. J a ·~

· 01 01 CJ.l

wo dJ..e TTi(j) ,lli(j) ,v(j) haben auf die a~j) bzw

- - --- -T -

Jede kritische sekondäre Extremale n (x~ 1x) kann also als eine lineare Kombination

(6.14)

=

^{A j i} a(j) (x₁ ^O ,x) + B B(j) ^{j i} (x₁ ^O ,x) dieser unabhängigen Lösungen ausgedrückt werden.

Setzt man dann

vo a ^:= A ^j V ( ^a j) ^l + _{B v(j)'} ^{j a2}

1T ~ := Aj o ^l + ^{Bj o 2}

µ?

^{:= Aj · 0 l +}

J.. Tri (j) 1Ti(j) J.. ^lJ i ( j) Bj o 2 ].li(j)'

dann kann leicht nachgewiesen werd~n, dass ni(x~ 1x) die Bedingungen (6.2), (6.3) und (6.6) im Bezug auf diese Mengen befriedigt.

Brennpunkte können wie folgt bestimmt werden:

SATZ: Vie B~ennpun~te

~un

eine~ ~~iti~ehen Ext~emale ~lnd die Null-

~tellen de~ 6olgenden Vete~mlnante:

(6.15) d(x~ ,x) := det a~j) (x~ ,x), B~j) (x~ ,x)

i i i i

a (j) (x~ ,x), B

Gfx~

,x)

Diese Brennpunkte bilden die Grundlage der Morse-Sturmsehen Theorie. Wir zeigen jetzt kurz wie man sich von dem unter- liegenden Variationsproblem befreien kann.

7. SYSTEME DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VIERTER ORDNUNG

Wir betrachten nun die sogenannte freie quadratische Form, ohne Hinweis auf ein Variationsproblem,

- 11 -

( 7 • 1) 2 w (x, n ,

s ,

^{r;; ).}

^{: =}

^{A ..} _l.J ^{n n i j + 2B ..} _l.J ^{n i}

s

^{j + 2c ..} _1.J ^{n i r;; j +}

+ D .. cicj + 2E. ,sil';;j + F .. r;;ir;;j, X ~ X ~ X

l.Js s l.J 1.J 1 2'

wobei

( 7 • 2) F .. (x) r;; r;; i j

>

0 wenn 1.J

und

A . .E Co [ x , x ] , B . . ,C . . , D .. E C ¹ [ X 1 , X

2 ] , E , · , F . · E C ² [ X , X 2 ] ,

1.J 1 2 1.J 1.J J..J 1.J 1.J 1

während A .. , D .. , F. . symmetrisch sind.

l.J 1.J 1.J

Aus dieser freien Form bilden wir nun die akzeJ-0ohi-0Qhe rahm

( 7 • 3) 2 A( _{W X,n1s1~} ^Cr) _:= 2 ( _W X,n,s,~ C r ) - ,'1(ni)2. ^~A i

Die~anonischen Funktionen 'IT.,µ. sind definiert durch

1. 1.

( 7. 4)

TI. (x) 1.

µ. (x) l

: = (

^{U,) , - (Jj I , ) ( X t} n ( X ),-n I (X) t n ¹¹ (X) I n ¹¹ ,. (X) ) /

s1. r;:1. -

:= w . (x,n(x) ,n' (x) ,n" (x)), ' l

r;;

wo ni E C ³ willkürliche Funktionen sind. Mittels dieser·

bilden wir jetzt Operatoren L. :

1.

n.

t+L.(n) := (1T. 1 -w .).

1. 1. 1. 1.

n

Nun seien ni,r;i E C⁴ ''gegebene Funktionen _, und (1T i ' i ' ^{µ · )}

(TT

i ' i

µ )

sollen wie in (7.4) definiert sein. Eine längere, aber direkte, Rechnung zeigt nun dass

i - - i n L. (n) - n L. (n)

1. 1.

Es folgt unmittelbar, dass die freien Jacobischen Gleichungen ( 7. 5) ^{( 11 1 ) -( 1 (} i V)) Ü

wr;;i - wsi + wni x,u,u , ... ,u

=

-0elb-0tadjun9ieht -0ind.

Jetzt erlaubt die Bedingung (7.2) es, Existenzsätze zu beweisen.

Brennpunkte werden eingeführt als Nullstellen der Determinante (6.15), nachdem Bedingungen analog zu (6.2), (6.3) und (6.6) eingeführt

worden sind. Was die Letzgenannten anbetrifft, nehmen wir jetzt an, dass beideßndpunkte variabel sind, und betrachten die beiden Matrizenpaare

- 12 -

Es seien fernerhin Baß

=

B~a- gegebene Konstanten. Im Zusammenhang mit der akzessorischen Form (7.3) definieren wir dann das sogenannte Ensemble Wr(A) von n~eien Bedingungen po-0i~ive~ Vimen-0ion r, welches aus den folgenden Gleichungen besteht:

(a) Die Jacobischen Gleichungen ( 7. 6) (w .)" - (w . ) '

Sl ~l

und

(b) Randbedingungen

( 7 • 7)

( 7. 8)

n i (x) = s

+ w . n l

- An" i

=

O,

Eine nichttriviale Lösung ni von Wr(cr) ist ein Eigenvektor vom System Wr' mit Eigenwert a.

Der Uberga~g w + w\ entspricht genau der Methode die man bei der Bestimmung der Eigenwerte einer reellen quadratischen Form

i j

a .. z z anwendet.

lJ

Diese freien Bedingungen'Wr(A) sind der Ausgangspunkt zur Morse- Sturmsehen Theorie, welche sich vor Allem mit der Charakteri- sierung des Indexes der kri tisc_hen Extremalen befasst: Mit r

>

⁰

ist der algeb~ai-0Qhe Index (bzw. die "Nullheit") einer kritischen Extremale dieses freien Problems gleich der Anzahl von positiven

(bzw. nullwertigen) Eigenwerten A von Wr(A), wo jeder Eigenwert mit seiner eigenen Multiplizität gezählt wird.

Es zeigt sich, dass Gleichungen vierter Ordnung viele Eigenschaften haben welche nichttriviale Verallgemeinerungen solcher zweiter

Ordnung sind. Eine im Allgemeinen durchaus offene Frage is auch die, wenn man sich mit parameterunabhängigen Variationsproblemen befasst, bei welchen die Bedingungen (2.8), bzw. (3.2), nicht mehr gelten.

- 13 -

LITERATURHINWEISE [l] BLISS, G.A.

Leetu1te-0 an the ea.leulu-0 06 va.1tia.tion-0.

Chicago Press, Chicago, 1946.

[2] "GRASSER, H.S.P.

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Die Transversalitäts- und Brennpunktbedingungen bei Variationsproblemen zweiter Art mit veränderlichen Endpunkten. Tyd-0k1ti6 Na.uu1twet. 5 (1965), 196-214.

[3] GRASSER, H.S.P.

On the theory of conjugate points for parameter-invariant higher order problems in the calculus of variations.

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An envelope theorem for parameter-invariant second order problems in the calculus of variations. Tyd-0k1ti6

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On a general Hamilton-Jacobi the_ory for m-th order single integral calculu3 of variations problerns, Part I. I-0t.

Lomba.1tdo Aeea.d Sei. Let. Re.nd A. 104 (!"970), 332-355;

Part 2. Ibid 105 (1971), 721-741.

(6] LEIGHTON, Walter

Quadratic functionals of second order. T1ta.n-0. Ameft. Ma.th.

Soe. 151 (1970), 309-322.

[7) LEWIS, Roger; WRIGHT, Lynne C.

Cornparison and oscillation criteria for selfadjoint vector- rnatrix differential equations. Pa.ei6ie

J.

Ma.th. ⁹⁰

(1980), 125-134.

[8] MORSE, Marston

The ea.leulu-0 06 va.1tia.tion-0 in the la.1tge. Arnerican Mathe- matical Society, Providence, 1934.

[9] MORSE, Marston

Va.Jtia.tiona.l a.na.ly-0i-0. Wiley, ✓ New York-London, 1973.

[ 10 ] REID, W. T.

Stu1tmia.n Theo1ty 601t 01tdina.1ty di66e1tentia.l equa.tion-0.

Springer, New-York-Heidelberg-Berlin, 1980.

[11] SWANSON, D.A.

Compa~l-0on and o-0clllatlon theo~y

06

llnea~ dl66e~entlal eq uaLi.o n-0. Academic Press, New York-London, 1968.

Department of Mathematics and Applied Mathematics University of South Africa

P.O. Box 392 Pretoria

0002 South Africa.

- 15 -

Georg GREVE, Jen8 SZIGETI, and Walter THOLEN

This note contains an attempt to axiomatize structure properties of non-adjoint functors which still allow canonical liftings of

tensorproducts. The type of functors which is adequate for this purpose is described by the notion of a presemitopoZogiaaZ funator.

These functors are, roughly spoken, non-adjoint semitopological func- tors [12], more precisely: a functor is semitopological iff i t is presemitopological and right adjoint (see the Proposition below). It turns out that the major results for semitopological functors hold in a generalized form for presemitopological functors: they are fai thful, they can be completely · described. by a factoriz·ation

structure (Theorem 1), and they are characterized as full reflexive restrictions of so called pretopoZogiaaZ funators which can be

correspondingly considered as "non-adjoint topological functors"

(Theorem 2) .

Although presemitopologicity is an extremely weak property one is able to l i f t tensorproducts along presemitopological functors

(Theorem 3). Even more: within the context of closed categories

these tensorproducts are left adjoint to inner homfunctors, provided the lifting functor is also cosernitopological. This holds in parti- cular for every topological functor and the inclusion functor of every full coreflective subcategory. Therefore one has plenty of examples, only a few of them could be mentioned in this paper.

The definition of a presemitopological functör was given before by the first author [5] who already briefly mentioned the useful lifting properties of presemitopological functors. Theorem 1 was

- 1 7 -

first announced (in a slightly different form) by the second author [11].

1. PRESEMITOPOLOGTCAL FUNCTORS

Throughout this paper let P : A - X be a functor. For a diagram

(= functor) D: V - A (V may be empty or a proper class), an object A of A , and a cocone /; : PD - tiPA _I we call an A-morphism e : A - B

a P -lifter of (D,i;,A), iff the following holds: There exists a cocone ß : D - tiB in A wi th P ß = tiPe • /; such that for all A - morphisms f : A - C and all cocones y : D - tiC in A wi th

Py

=

tiPf • /; there is a unique A -morphism t : B - C wi th te

=

f and ti t • ß

=

y .

tiPB B

-;:::

¹

PD trPA tiPt 1 l t

~

^{'f 1 1}

tiPC C

P is called presemitopological (pretopological resp.), iff every triple (D,i;,A) admits a P -lifter (a P -lifter whose P - image is an X -isomorphism resp.) Dual notions: P -colifter,

copresemitopological, copretopological.

RE.MARKS 1 . If P is fai thful, every P -lifter is an A -epi- morphism; this can be directly seen from the definition.

2. If P is presemitopological, then P ~s faithful.

This can be shown as in Lemma 3.2 of [12] using the principle

developped in [1] (see also [11]). Since only P -lifters to discrete

1 8

data, i.e. sinks (x. : PA. - PA} . EI of X -morphisms, are needed, we

l. l. l.

therefore get from assertion 1:

3. P is presemitopologicai, i f f every sink (xi : PAi - PA) iEI admits a P -lifter.

PROPOSITION 1. Every full and faithful functor is pretopological and, therefore, presemitopological.

2. P is semitopological [12], i f and only i f P

~s presemitopological and has a left-adjoint.

3. P is topological [12], i f and only i f P is pretopological and has a full and faithful left adjoint.

PROOF. 1. All P -lifters can be taken tobe identities.

2. Every semitopological functor P is known tobe right adjoint. Now, let (D,s,A)) be given as above. We form

with being the discrete category with one object with D

00

=

A, D

/V=

D,

0

V = V u 7

0

o,

^{D :} V - A

0 0

A P -semifinal prolongation g: PA- PB of s

0 (cf. [ 12]) lifts to an A -morphism e : A- B which easily turns out to be a P -

lifter of (D,s,A). Vice versa, let P be presemitopological and right adjoint, and let ^{1;; :} PD - t-X be a P -cocone. Its P -semifinal prolongation can be constructed as (Pf) ( nX) : X - PB where

nX: X - PFX is the unit of the left adjoint F of P at X and where f: FX-B is a P -lifter of (D,tsnX• 1;;, FX).

3. A left adjoint of P is full and faithful, iff the units are isomorphisms, and a topological functor has a full and faithful left adjoint (cf. [12]). Thus the assertion follows from the constructions given in 2. II

Assertion 3 of the Proposition is formally similar to a result due to Fay, Brürnmer and Hardie [4] P is topological, iff P is

_ 19 _

semitopological and has a full and faithful left adjoint.

By the Proposition one has immediately a whole host of examples which are, however, not typical because they are described by

strenger notions like topologicity or semitopologicity. The following examples are not covered by these strenger notions.

EXAMPLES. 1. Let (X,~) be a partially ordered set considered as a category X with Ob X= X, IX (x,y) I ~ 1 for all x,y EX, and IX(x,y) ¹ = 1 iff x~y. The unique faithful functor P: X-1 (see above) is pretopological, iff every non-void subset of X has a supremum in X. From this example one sees that "pretopological" is not selfdual whereas "topological" is (cf. [12]).

2. Let set functor

G~pf. in be the category of finite groups. The underlying P: G~pf. - En..of. 1.n 1.n is presemitopological. The same holds if G~pf. is replaced by Af. with A being any monadic category

1.n 1.n

over En.-6.

3. Many categories in algebra which are not semitopological over En.-6 are still presemitopological over En.-6, for instance: finitely generated groups,rings, or algebras; solvable groups or algebras;

p -groups; torsion groups; simple modules or algebras; semisimple modules or algebras; Noetherian modules or rings, etc.

4.

Let

Met 1

be the category of metric spaces whose metric is bounded by 1 ; morphisms f : (X,d) - (X¹ ,d') are non-expanding maps, i.e. d' (f(x) ,f(y)) ~d(x,y) for all x,yEX . The underlying

set functor P :

Met

1 - En.-6 is known to be semitopological but not cosemitopological because of the missing right adjoint (there is no couniversal solution for a two element set). Nevertheless, P is copretopological: given spaces (X,d) and (X. , d.) , i E I, and set

1. 1.

mappings f.

:x-x.,

l l we can provide ^X with the new metric d*(x,y)=sup{d(x,y}, d.rf.(x), f.(y)1, iEii1 ,

1.~ ^{l l ·}

- 20 -

Then i<\: (X,d) - (X,d)

*

is a P -colifter of ( (X. , d. ) I , ( f. ) I ,

J. J. J.

(X,d)).

Since P has a full and faithful left adjoint this example shows that assertion 3 of the Proposition becomes wrang if

"pretopological" is replaced by "copretopological".

5. Take P: Con.n. - Top to be the base point-forgetting functor

*

from pointed connected spaces to topological spaces. P is not semitopological, but presemitopological: given objects (X,~),

(X . , X. ) ,

J. J. i EI, in Con.n and a sink

*

^{( f. :} X. - X) . EI of

J. J. J.

continuous mappings one gets a P -lifter ^{TT :} X - X/~ from the

smallest equivalence relation identifying all f. (X.) with x .

J. J.

The same result can be obtained for other notions of connectedness.

Similarly one proves presemitopologicity of the forgetful functor from connected groups to Top.

6. Take (P

9,n,µ) tobe the covariant power set monad with P X= { Y o ~ X

I

Y ^-:/=

yj}.

The Kleisli category of this monad is the cate- gory En..6Rel of sets with morphisms R: X - Y being relations RCXxY with R-1

Y=X (cf. [10] 1.3). Theinclusionfunctor J : En..6 ... En..6Rel turns out to be presemitopological : given a sink

(R. : X. - X) I of relations one gets a J -lifter TT : X - X/~

.J. J. from

the smallest equivalence relation such that x ~ y if there is

an ^{X .} E X . wi th ^{X .} R. ^X and ^{X •} R . y .

J. J. J. 1 J. J.

The power set monad can be lifted to the so called Vietoris

monad on the category of compact Hausdorff spaces (cf. [14],[10] Ex.

1.5.23). Correspondingly to the result above one can show that the canonical left adjoint functor into the Kleisli category of this monad is presemitopological.

- 21

2. THE CHARACTERIZATION THEOREM

In this section we will characterize pretopological and

presemitopological functors by factorization structures. From [12]

we recall some phrases: Let E c Mor A be a subclass which is closed under composition with isomorphisms. An (E-) factorization of a cone a. : /J.A - D in A consists of an A -morphism e : A - B ( in E) and a cone µ : /J.B - D in A wi th a.

=

^{µ •} t:.e • This f actorization is called

- rigid, iff every endomorphism t of B wi th te

=

e and

µ • t:.t = µ is the identity morphism,

- P -semiinitial,, iff for every cone y : /J.C - D in A and every X -morphism x : PC - PA wi th Pa. • !::.x

=

Py there is a unique morphism b C - B w i th Pb

= (

Pe) x and µ • !J.b

=

y ,

- l,ocal,1.,y orthogonal, (with respect to

E),

iff for every

p : K - L in E. , every k : K - A in A , and every cone ;>,. : ti.L - D in A wi th ;>,. • t:.p = a. • t:.k there is a unique morphism t : L - B wi th t p

=

ek and µ • 6 t

=

^{;>,. ,}

As in [12], Lemma 2.9, one can show:

LEMMA. Let a.

=

^{µ • /J.e} be a P -s emiinitial, factorization. Then for every P -1.,ifter p : K - L , every x : PK - PA in X , and every cone >,. : t:.L - D in A with P>,. • t:.Pp

=

Pa. • t:.x there is a unique

morphism t L - B with (Pt) (Pp)

=

(Pe) x and µ • /J.t

=

;>,. • Therefore, i f e is a P -1.,ifter and P is faithful, the factorization is

l,ocal, 1.,y orthogonal, with respect to the cl,ass of ai 1., P -1.,ifters. II

Now we can state the main result of this section:

THEOREM 1. The fol,7.,owing assertions are equivaient:

(i) P is presemitopol,ogicai.

22

cone in A admits a ZocaZZy orthogonal and P -semiinitiaZ E - factorization.

(iii) Every cone in A admits a rigid and P -semiinitiaZ factorization.

PROOF. (i) => (ii) : Given a: tA-D with D: V-A we form the full subcategory V of the comma-category (P+PA) consisting of all objects (C,x) with CE Ob A and x: PC - PA such that there is a cone y : tC - D wi th Py := Pa • t,,x (y is uniquely determined as P is faithful) . There is a canonical projection functor

5 : V -

A ,

(C, x) .,. C , and a cocone c;, : PD. - tPA wi th c;, (C ,x)

=

x. This cocone admits a P -lifter e : A- B , and by the universal property of e one gets, f or every d E Ob V , a unique morphism µd : B - Dd wi th

( µd) e

=

ad. Therefore we have an E -f actorization a

=

µ • te wi th E being the class of all P-lifters. By construction of D, this factorization is obviously P -semiinitial. Therefore, by the above Lemma, the factorization is locally orthogonal.

(ii) => (iii): If every cone in A admits a locally orthogonal.

E

-factorization, then

E

necessarily consists of epimorphisms only (cf. [12], Corollary 6.4, [2], Lemma 1). Therefore, every E -

factorization is in particular rigid.

(iii) => (i): As in [12] one first shows P tobe faithful. Thus, gi ven (D,

s

,A) wi th D V - A , we form the full subcategory

f5

of the commacategory (A+A) consisting of all objects (f,C) with f : A- C in A such that there is a cocone y :· D - i\C wi th

Py

=

t,,Pf •

s .

One gets a cone a : tA - D with a(f,C)

=

f and

5 : V -

^A being the projection functor. We now consider a rigid and

p -semiinitial factorization a = µ • te and have to show that e:A-B is a ^p -lifter of (D,E;,,A). But this can be done

23

analogously to the proof of [ 1 2 ] , Theorem 3. 1 . 11

Analyzing the equivalence (i} ^~ (iii) one obtains irnmediately:

COROLLARY. P is pretopological, i f and only i f for every cone a: 6.A-D 1.,n A there is a P -initial cone µ : 6.B-D and an A - morphism e : A - B such that a = µ • 6.e and Pe is an X -is omorphism.

REMARKS. 1. From Theorem 1 i t follows that A is E -cocomplete for E being the class of all P -lifters, provided P is

presemitopological. This means, that pushouts of E -morphisms along arbitrary A -morphisms exist and belong to

E,

and that multiple pushouts of (class-indexed) families of E -morphisms exist and

belong to E (cf. [12]).

2. It is interesting to look at the meaning of Theorem 1 and the Corollary for the mentioned examples. For instance; by application

of the dual of the Corollary one obtains: Given spaces (X.,d.),

l. l.

i EI, in Me..t

1 , ·and mappings

f.:x.-x,

l. l. i EI, then there is a largest metric on X making all fi Me..t

1 -morphisms, provided there is at least one metric on ^X with this property.

3. As in case of semitopological functors one has also external characterizations (cf. [13]) for presemitopological functors. There is one external characterization arising from the characterization

(iii) in Theorem 1, and there ist another one which can be obtained directly from the Definition and which we mention here without proof:

P is presemitopological (pretopological), i f f for all functors

S : B - A , L : C - ^{A , K :} C - A , K : C - B and for every natural trans formation ^{(j) :} PL - PSK there exis t a functor F : B - A and natural transformations ^{p :} L - FK, cr : S - F (with cr being an is omorphis m) such that ^Pp

=

^{PoK • (J)} and the fo l lowing universal property holds:

24

ß: s-G with Pa.= PßK • (!) there exists a unique o: F-G with a.

=

^{oK • p and ß}

=

o • a •

PFK F

7

_PoK ^{1 1 1} 0

~

PGK G ^f

3. THE REPRESENTATION THEOREM

Every semitopological functor is the composition of a topological functor and ~ preceding full reflexive embedding. This has been

. .

shown in [12], and the construction given there turned out tobe the MacNeiZ.Z.e compZ.etion (cf. [6]) of the given semitopological functor.

We now show the non-adjoint analogue of this theorem:

THEOREM 2. The fol.Z.owing assertions are equival.ent:

(i) P is presemitopoZ.ogicaZ..

(ii) There is a pretopoZ.ogicaZ. functor

T : B - X and a fu Z. Z. reflexive embedding E : A - B wi th P

=

TE .

(iii) Same as (ii), but~ in addition~ with E being initial.Z.y dense (cf. [6]).

PROOF. (ii) • (i) can be easily checked, and (iii) • (ii) is trivial. Hence, (i) • (iii) remains tobe shown. The category B is constructed as follows: objects are all P -lifters, and a B -

morphism from e: A- B to e' : A' - B¹ is given by an X -morphism _ 25 _

x and an A -morphism g : B - B^I such tha t

PA ^X PA'

PB Pg

!

^Pe'

-

^PB'

commutes, composition is horizontal. The functor T:

B-X

sends such a square to x . The functor R : B - A which sends this square to g , is the ref lector of the embedding E : A - B which assigns to .every f: A-A ^I the square

PA

P1A

j

PA

Pf

Pf

PA'

l

^P1A'

PA'

We apply the cri.terion given in the .Corollary of Theorem 1 in order to show that T is pretopological. For this purpose we consider a class-indexed source of B -morphisms given by squares

X,

PA ^]. PA.

Pe PB

l

^{Pg. ].} PB.

r

^{Pe. ]. (*)}

].

By Theorem 1 , ( g. e : A - B.) I admi ts a locally orthogonal and P -

]. ].

semiinitial factorization g. e

=

m. e , i EI . There is a unique

]. ].

morphism t wi th te

=

e and m. t

=

g.

]. ]. giving the following factorization of (*) in

B:

X.

PA PA ^]. PA.

Pe

l

PB Pt

l ^P€

_{Pm ..}

¹

^{i Pe. ].}

PC ^]. PB.

].

26

T rnaps the left factor on 1PA (which is an isornorphism). The farnily consisting of the right factors is T -initial; this can be easily proved by application of the Lemma preceding Theorem 1.

Finally, E is initially dense, since the reflection rnorphism

PA

Pe

1

PB

is T -initial. II

Pe PB

j

^PlB

PB

REMARK. Like sernitopologicity is generalized to presernitopologi- city one can analogously generalize the notion of a topologically algebraic functor (cf. [8],[2],[7]): P is called pretopologiaally algebr<;1.ia.3 iff every cone a : t:.A- D in A adrni ts a factorization

a = µ • Lle wi th e : A- B being an A -epimorphisrn and ^{µ : t.B -} D

being P -initial. Without giving any details we just rnention that there is a characterization of pretopologically algebraic functors which corresponds to a result due to Herrlich and Strecker [7]:

Topologically algebraic functors are just those functors adrnitting a

"reflexive universal initial completion".

4. LIFTINGS OF HOMFUNCTORS AND TENSORPRODUCTS

In this section we shall describe how to use the rnethods developped above to l i f t hornfunctors and tensorproducts.

Let V be a syrnrnetric rnonoidal closed category with inner

hornfunctor H and tensorproduct 0 Take

A

tobe a tensored

V

category, and let P : A - V be a V -functor. Thus we have a V -

;"\

natural transforrnation PAB: A(A,B) - H (PA,PB) and ^V -adjunctions

27

A X

- e A __ n_A _ _ , A(A,-), -® X ^{_ _ a. _ _ , H ( X , - )} e:

sx

for all A E ObA and XE ObV ; here A (-, -) : A op ® A - V denotes the external homfunctor of A (cf. l3],[9]). In the following we are mainly interested in the underlying situation, i.e. we consider the

P : A - V , A ( - , - ) : A op x A - V

0 0 0 0 0 and

underlying functors

- e -

:V xA -A

0 0 0 (there will be no danger of confusion by using the same notations for the V -data and the underlying functors).

Furthermore there is a natural transformation PXA: X® PA - P (Xe A) defined by the following diagram

X H (PA,X ® PA)

A(A,XeA)

j

^H(PA,PXA)

H(PA,P(XeA))

Obviously, PXA is a P -epimorphism (cf. [12]) if P is V - faithful, i.e. if PBC A is a monomorphism for all B,CEO~.

For the rest of the paper, we assume P tobe V - faithful and fix a full subcategory S

0 of A and functors

0

- 0 -

such that, for every

A ^X

s -

^{A , h :}

s

⁰P ^X A - A

o o o o o o '

SE ObS

0

s

there is an adjunction

- 0 S ~ h(S,-) ö

satisfying the following compatibility conditions (naturally for all

SE ObS

0 , A E ObA ) :

0

- 28 -

Ph (S ,A)

=

A (S ,A) , P (A iEl S)

=

^{PA 0 PS}

s

^~

s

PE A • p A ( S ,A) S

=

^{p O A}

The following Theorem describes how to extend the "partial functors"

-

^~

-

^h to functors with domain A ^X A

0 0 ' A⁰P x A

0 0

THEOREM 3. "(1) Assume that~ for all A,B E ObA ,

- 0

(A(A,B) A(f,B)

Ph(S,B))SEObS _0, fEA(S A) _,

resp.:

the source

has a P -cosemifinal lifting (= dual of P -smifinal lifting; cf.

[ 1 2 ] ) , i . e . t h er e i s an ob j e c t h ( A, B) in A a morphism

0

eAB : Ph (A,B) - A(A,B) ~n V , and a source

0

(h(A,B) ^{h (} f, B)

h(S,B))SEObS _0, fEA(S A) _,

in A such that the diagram

0

Ph(A,B)

A ( A , B ) - - - P h ( S , B ) A(f,B)

commutes and fulfils the obvious couniversal property. Then these data can be chosen in such a way that h can be uniquely extended to a functor

h : A op x A - A

0 0 0

·- 29 -

making the morphisms eAB a natural transformation e : Ph ( - , - ) - A ( - , -) •

(2) Assume that, for all A,B E ObA ,

0 the sink

(P (A@ S) PA@Pf

PA@ PB p(PA)B

p ( PA EB B) ) S E ObS f E A ( S B)

0 , ,

admi ts a P -lifter, i. e. there is an obj ect A ~ B 'in morphism dAB : PA EB B -A x B in A ,

0 and a sink

(A ~ S Amf

Am B) S E ObS f E A ( S, B)

o'

in A , such that the diagram

0

P(AP.'JB)

P(A~S) - - - ~ P ( P A E B B )

P

(PA) B • (PA@Pf)

A 0 a

commutes and fulfils the obvious universal property. Then these data can be chosen in such a way that - 0 - can be uniquely extended to a functor

- 0-: A

0 x A - A

0 0

making the morphisms dAB a natural transformation d : ( ( P-)

EB-) - ( -

^{3 - ) .}

_ 30 -