Seminarberichte Nr. 5

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Mathematik und

Informatik

Seminarberichte aus dem Fachbereich Mathematik der FernUniversität

05 – 1979

Die Dozentinnen und Dozenten der Mathematik (Hrsg.)

Seminarbericht Nr. 5

FERNUNIVERSITÄT

Gesamthochschule

~@llifüÖ[n)<])[r =

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aus dem

Fachbereich Mathematik

herausgegeben von den Dozenten der Mathematik

Nr. 5-1979

Inhaltsverzeichnis

Durch Monoide erzeugte kartesisch abgeschlossene Kategorien

von Alfred Frölicher

Affine parts of monads

von Harald Lindner

Generalized manifolds

von Eckhard Lohre

Compactness and hypercompleteness

von R. Börger, w. Tholen, M.B. Wischnewsky, H. Wolff

Note on total categories

von Walter Tholen

How many monoidal closed structures are there 1,,n Top ?

von Georg Greve

Amalgamations in categories

von Walter Tholen

Injectives in topoi~ III: Stability under coproducts

*

von F.E.J. Linton

Projektive Objekte in topologisch-algebraischen Kategorien

von Walter Sydow

*

Seite

7 -

49 -

57 -

83 -

- 105 -

- 111 -

- 121 -

- 153 -

- 165 -

,.,;. ~

...

, .

Durch Monoide erzeugte kartesisch abgeschlossene Kategorien*)

Alfred Frölicher, Universität Genf

Die Untersuchungeinbettbarer wegbestimmter Räume zeigt, daß ein solcher Raum X vollständig bestimmt wird durch die ihm zu Grunde liegende Menge zusammen mit einer der beiden Mengen ex oder

FX, wo ex die Menge der stetigen Kurven JR ~ X, Fx die Menge der stetigen Funktionen X-+ JR bezeichnet. Dabei bestimmen sich ex und FX gegenseitig wie folgt:

(a) (b)

(c

(f

JR -+ X) EeX <==> Vf EFX ist foc X-+ JR) EFX <==> Vc EeX ist foc

JR -+ JR stetig;

JR • JR stetig.

Ferner wird die Stetigkeit einer beliebigen Abbildung ~ : X • y zwischen einbettbaren wegbestimmten Räumen durch eine der äquiva- lenten Bedingungen ~

*

Da umgekehrt jedes Tripel (X,ex,Fx), wo X eine Menge ist und ex bzw. F X Mengen von Abbildungen JR • X bzw. X ^• JR, welche

(a) und (b} erfüllen, einen wohlbestimmten einbettbaren wegbestimm- ten Raum liefert (man versieht X mit der bezüglich aller c aus ex finalen Topologie), läßt sich die Kategorie K der einbett- baren wegbestimmten Räume (die ja z.B. für die meisten Betrachtungen der Analysis einen hinreichend allgemeinen Rahmen bilden dürfte) bis auf Isomorphie sehr einfach, ohne Verwendung von Topologien, aus dem Monoid e (JR, JR) der stetigen reellen Funktionen kon- struieren. Dabei ist eine gewisse nicht triviale Eigenschaft des

*) Diese Arbeit wurde im wesentlichen während eines Aufenthaltes an der Fern- universität Hagen abgefaßt; der Verfasser möchte Herrn D. Pumplün für die Ermöglichung dieses Aufenthaltes sowie für die sehr nützlichen Bemerkungen und Anregungen danken.

- 7 -

- 2 -

Monoids C ( IR , IR ) dafür verantwortlich, daß die Kategorie ^K kar- tesisch abgeschlossen ist. Zum besseren Verständnis der skizzierten Motivierung der nachfolgenden Betrachtung sei auf die Arbeit

"Sur la transformation de Dirac d'un espace

a

(Publications du Dept. de Math. Lyon, 1973, t. 10-2) hingewiesen, wo die Einbettbarkeit eines kompakt erzeugten Raumes untersucht wird; für wegbestimmte Räume lauten die Ergebnisse (die wir hier aber nicht benötigen)ganz analog.

Ausgehend von einem beliebigen Monoid H von Selbstabbildungen einer festen Grundmenge E werden wir in der vorliegenden Arbeit zu-

nächst die in analoger Weise bestimmte Kategorie K betrachten und zeigen, daß sie stets vollständig und covollständig ist.

zentrales Thema ist dann die Frage: wann wird K kartesisch abgeschlossen? Wir werden eine dafür notwendige und hinreichende Bedingung für H angeben.

Für die Kategorie K spielt es eine Rolle, ob das Ausgangsmonoid H alle konstanten Abbildungen von E nach E enthält (kurz:

"H enthält alle Konstanten") oder nicht. Im ersten Fall hat eine 1-punktige Menge genau eine, im zweiten Fall genau zwei Strukturen.

Die Bedingung an H für kartesische Abgeschlossenheit von ^K lautet für die beiden Fälle etwas verschieden, und auch der

gegebenenfalls kartesisch abschließende Funktor ist in den beiden Fällen von verschiedener Natur. Wir werden daher mehrere Betrach- tungen für die beiden Fälle getrennt durchführen, obwohl man durch näheres Studium des kategorischen Hintergrundes etliches gleich- zeitig behandeln könnte.

- 8 -

- 3 -

Obwohl die Eigenschaft von H, welche die kartesische Abgeschlossen- heit von K garantiert, sich unkompliziert formulieren läßt, ist es doch in vielen expliziten Beispielen nicht leicht zu entscheiden, ob sie erfüllt ist oder nicht. Wir werden diese Frage für einige Monoide beantworten.

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- 4 -

§ 1 Die von einem konkreten Monoid erzeugte Kategorie

Mit Me bezeichnen wir die Kategorie der Mengen, mit Me(A,B)

somit die Menge der Abbildungen einer Menge A nach einer Menge B.

Unter einem konkreten Monoid H verstehen wir ein Monoid, bestehend aus Selbstabbildungen einer festen Grundmenge E, mit der Kompo- sition als Operation; d.h. H ist eine Teilmenge von M~(E,E), für die gilt:

( 1) ( 2) cr,T EH => ^CTOT EH.

Ist ein solches Monoid H gegeben, so betrachten wir als Objekte einer Kategorie K alle Tripel X= (¾,Cx,Fx), wo MX eine Menge ist, ex c Me. (E, MX) und F X c Me. (MX, E) , für welche folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Ax. I: Für eine Abbildung ^C : E ^• MX gilt:

c EeX <=> foc EH für alle f E F · X' Ax II: Für eine Abbildung f :

¾ ^• E gilt f EFX <=> foc EH für alle c E ex.

¾ wird die dem Objekt zugrunde liegende Menge genannt,

die Struktur des Objektes. Die Elemente von ex nennen wir auch (man denke an das Beispiel H

=

Man könnte daher die Objekte von ^K auch als Paare (Mx,ex) oder (Mx, FX) einführen; aus Symmetriegründen ziehen wir die Darstellung als Tripel vor.

- 10 -

- 5 -

Ist Y =(My,Cy,Fy) ein zweites Objekt, so besteht die Morphismen- menge K(X,Y) aus denjenigen Abbildungen ~ : MX+

My,

bzw.

Mit der natürlichen Komposition der Morphismen hat man dann eine Kategorie K und einen treuen Funktor M: K ^• Me, wobei MX= MX und M~ = ~ ist.

Alle Strukturen auf einer festen zugrundeliegenden Menge N bilden eine geordnete Menge bezüglich der wie folgt definierten, als ¹¹ S'¹ geschriebenen Relation "feiner gleich":

(C,F) S (c• ,F')<=> lN (N,C,F) -. (N,C¹,F¹⁾ ist ein Morphismus.

Dies ist gleichbedeutend mit C c C ¹ bzw. F :J F ^{1 •}

Ist N eine Menge und C

0 eine beliebige Teilmenge von Me(E,N), so gibt es unter allen Strukturen (C,F)

feinste. Sie wird wie folgt erhalten:

auf N mit C c C eine

0

F := {f C := { c

N ^• E;

E ^• N;

focEH füralle cEC},

0

foc EH für alle f EF}.

Wir nennen diese Struktur (C,F) die von C erzeugte Struktur.

0

Die Verifikation, daß das angegebene Paar (C,F) die Axiome erfüllt, ist trivial.

Dual dazu gilt: sind N und F

0 cMe(N,E) gegeben, so gibt es unter allen Strukturen (C,F) auf N mit F c F eine gröbste; sie wird

0

entsprechend beschrieben und heißt die von F

0 erzeugte Struktur.

- 11 -

- 6 -

Satz (1). Die Strukturen auf einer festen Menge N bilden einen vollständigen Verband.

Beweis: Sei {(C.,F.); iEI} eine Familie von Strukturen auf N.

l l

Die durch

V

(C,F) bildet, wie man sofort erkennt, das Supremum der gegebenen Familie; dabei gilt zudem:

F = (\ ^{F. .} Entsprechend bildet die durch iEI ¹

(C',F') das Infimum, und dabei gilt C' =

V

iEI ¹

( \ C .•

iEI ¹

erzeugte Struktur

Insbesonders hat man auf jeder Menge N die diskrete, d.h. die

feinste aller Strukturen; für sie ist die Funktionenmenge F maximal, d.h. F = ^Me(N,E). Dual dazu ist die indiskrete, d.h. die gröbste aller Strukturen auf N, deren Kurvenmenge C maximal ist:

C

=

~ : M X ~ My ein Morphismus ~ : X ^• Y.

Spezielle Objekte.

Mit Hilfe der 1-punktigen Menge {O} bilden wir die Objekte S die Menge {O} mit der diskreten Struktur;

T die Menge {O} mit der indiskreten Struktur.

Offenbar ist T stets ein Terminalobjekt von K.

Das Objekt S ist natürlich stets ein Generator von K, und es liefert uns eine Darstellung des Vergißfunktors M: K ^• Me:

M = ^K(S,-)

Wir betrachten nun S und T noch genauer, indem wir zwei Fälle unterscheiden:

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- 7 -

Fall 1: H enthalte alle Konstanten.

Dann gehören für jedes Objekt (N,C,F) von K alle konstanten Abbildungen E ^• N zu C und alle konstanten Abbildungen

N ^• E zu F. Daher kann eine 1-punktige Menge nur eine Struktur haben und somit gilt dann S = T.

Fall 2: H enthalte nicht alle Konstanten.

Dann ist die diskrete Struktur einer Menge N von der Form (0, Me(N,E)). Somit gilt dann S f T; jede 1-punktiqe Menge trägt zwei verschiedene Strukturen. und mehr als zwei sind a priori unmöglich.

Als weiteres spezielles Objekt von K haben wir in jedem Fall E = (E,H,H).

Für ein beliebiges Objekt X= (MX,CX,FX) folgt nun:

ex

=

=

Wir bemerken noch, daß im obigen Fall 1 nebst S auch E

Generator von K ist, und wir werden später die Unterkategorie von K betrachten, für welche E gleichzeitig Cogenerator ist.

Initiale und finale Strukturen Sind X.

l für i EI und Y Objekte von K und (J)i: My ^• MX.' i EI,

l

Abbildungen, so heißt die Struktur von Y initial bezüglich der Abbildungen (J)i, wenn folgende universelle Eigenschaft gilt:

Für ein beliebiges Objekt Z ist eine Abbildung ij; : MZ ~ My

genau dann ein Morphismus von Z nach Y, wenn für jedes i EI die Abbildung (j) . ,'.) ij;

l ein Morphismus von Z lieh sind dann alle (J)i Morphismen).

- 13 -

nach X.

l ist (natür-

- 8 -

Satz (2). Es sei N eine Menge, {X.; i EI}

l eine Familie von Objekten von K und (!)i : N .... MX., i EI, Abbildungen. Dann

l

existiert auf N genau eine diesbezüglich initiale Struktur.

Beweis: Entweder indem man das Supremum all derjenigen Strukturen auf N betrachtet, welche jedes (!)i zu einem Morphismus machen, oder indem man auf N die durch

U

*

iEI ^l

(e,F) betrachtet. Insbesonders gilt für die initiale Struktur (e,F):

(c : E .... N) E e <=> (4). oc : E .... Mx ) E ex

l . .

l l

V i EI.

Für den dualen Begriff der finalen Struktur gilt analog:

Satz (3). Es seien N und Xi wie oben; (!)i : MX ... N, i EI,

l

Abbildungen. Es existiert auf N genau eine diesbezüglich finale Struktur.

Korollar (4). Die Kategorie K ist vollständig und covollständig.

Der Vergißfunktor M: K ^• Me besitzt einen Adjungierten und einen eoadjungierten, kommutiert also mit Limiten und eolimiten. Man

erhält Limiten bzw. eolimiten in K indem man sie in Me bildet und anschließend mit der initialen bzw. finalen Struktur versieht.

Bemerkung. Insbesonders sieht also das Produkt zweier Objekte X,Y aus K wie folgt aus:

X ^7f y

=

wobei eine Abbildung C

=

die Kurven von X nY sind die Paare von Kurven von X und von

Y, bzw.

=

- 14 -

- 9 -

Die Unterkategorie K~ der separierten Objekte

Ein Objekt X= (Mx,cx,Fx) heißt separiert, wenn es für alle a, b E MX mit a °I b ein f E F X mit f ( a) /. f ( b) gibt ⁷

K~ bezeichne die entsprechende volle Unterkategorie von K.

Ist X ein beliebiges Objekt von K, so definiert

x ~y <=> f(x) = f(y) für alle f EFX eine Äquivalenzrelation auf Mx· Es sei

TI= TIX: M - - > M /~

X X

die kanonische Projektion, und sX sei das Objekt, das man erhält, indem man M /~

X mit der bezüglich ^'IT finalen Struktur versieht. Es folgt sofort, daß sX separiert ist.

Lemma (5). TI : X+ sX hat die folgende universelle Eigen-

schaft: jeder K-Morphismus ^~ : ^{X •} Y wo Y separiert ist, faktorisiert eindeutig über sX gemäß dem Diagramm

sX

Der Beweis ist klar: ~ faktorisiert zunächst als Abbildung:

~ = ~oTI. Da sX die bezüglich TI finale Struktur hat, ist

~ ein Morphismus.

Es folgt nun, daß es zu jedem Morphismus ~:X+ Y einen wohl- bestimmten Morphismus s~ : sX + sY gibt, so daß TIYo~

=

Korollar (6). s : K + K~ ist ein zur Inklusion i : K~ + K

coadjungierter Retraktionsfunktor. Als reflexive Unterkategorie von K ist also auch K~ vollständig und covollständig.

- 15 -

- 10 -

Satz (7). Für jedes Objekt X aus K gilt: die Struktur von X ist initial bezüglich TI : X .... sX.

Beweis. Es genügt, zu zeigen: ist c E .... M so, daß

X

Tioc E csX' dann folgt c E ex. Sei also Tioc E Csx· Sei ferner f E FX = K (X, E). Nach Lemma 5 faktorisiert f mittels TI:

f = foTI, wobei

f

foc = (foTI) oc = fo(Tioc), womit wegen f EFsX und Tioc ECsX folgt: f oC EH. Da f E F X beliebig war, ergibt dies C E

ex.

Bemerkung: E ist Cogenerator von K~ , und auch Generator, falls H alle Konstanten enthält.

§ 2 Kartesische Monoide

Wir formulieren zunächst zwei Bedingungen, die an ein konkretes Monoid gestellt werden können. Dazu führen wir folgende Bezeich- nungen ein: Für eine Abbildung y E + Me(E,E) bezeichnet

y : E xE + E die durch y(s,t) = (y(s)) (t) definierte Abbildung.

Ferner sei:

rH := {y ii>H := {<P

Bedingung 1:

Ähnlich sei:

AH

.

E ^• H;

H + E;

y :

(J)OY EH

.... _Me(E,E);

l/JH ^{:= { (j)} Me(E,E) ^• E;

Bedingung 2: y :

<PoY EH

yo(CT,T) EH ^{V 0} ,T EH}

<P0Y EH V yE fH}

E ....

HEÖH}

V <P

yo(cr,T) EH V 0,T EH}

(j)OY EH V y E AH}

E ....

EE

1

El/JH ^{= > y} E AH V (j)

- 16 -

- 11 -

Definition. Unter einem kartesischen Monoid verstehen wir ein konkretes Monoid H CM~(E,E), welches zusätzlich die Bedingung 1 erfüllt, falls H alle Konstanten enthält, die Bedingung 2 andernfalls.

Das Ziel dieses Paragraphen ist es, den folgenden Satz zu beweisen:

Theorem(8). Die von einem konkreten Monoid H erzeugte Kate- gorie K ist kartesisch abgeschlossen genau dann, wenn H ein kartesisches Monoid ist.

In einem ersten Teil dieses Paragraphen zeigen wir, daß die Bedingung hinreichend ist, wobei wir eine Fallunterscheidung machen.

Fall 1: H enthalte alle Konstanten. H erfüllt also nach Voraussetzung Bedingung 1, welche äquivalent ist zur Aussage

ist ein Objekt von K • Sind Y,Z beliebige Objekte und ist cECy, fEFz, dann haben wir Abbildungen

K(Y,Z)

f oc*

-"-*--> H

Da H, wie soeben bemerkt, eine natürliche Struktur trägt, können wir die Menge K(Y,Z) mit der bezüglich all dieser Abbildungen initialen Struktur versehen; das so erhaltene Objekt bezeichnen wir mit Jf(Y,Z). Also

f oc

*

:fC(Y I Z) * >(H,fH,<IiH) initial bezüglich aller c ECy, f EFz

M:fC(Y,Z) = K(Y,Z).

- 17 -

- 12 -

Lemma (9). Für eine Abbildung Y Bedingungen äquivalent:

E .... K(Y,Z) sind folgende

a) Y

b) y

E ~ H(Y,Z) ist ein Morphismus, E TI Y • z ist ein Morphismus.

Beweis: Von den folgenden Aussagen ist die erste zu a), die letzte zu b) und jede zur nachfolgenden offenbar äquivalent:

1) Vc E Cy, V f E Fz f*oC oY * ^{: E •} H ein Morphismus 2) V c E Cy, V f E Fz f*oC *

: oy _E rH

3) V f E F2, EH: ~

o(0,T)

V c E Cy, V 0,T f*0c oY EH

4) _{Vc ECY,} Vf EF2, V 0,T EH: foyo(o,coT) EH 5) \/ c ECy, V f E F

2, VcrEH: foyo(cr,c) EH 6) V c E Cy, \/ rJ E H: yo(rJ,c) EH.

Dabei benützt man für 3) <=> 4) die Identität foyo:1,c)

und für 4 <=> 5) benutzt man, daß {coT; c ECy, T EH} = cy.

Korollar (lo): Für eine Abbildung c.p

gende Bedingungen äquivalent:

MX .... K(Y,Z) sind fol-

a) b)

X .... JC(Y,Z) ist ein Morphismus X TI Y .... Z ist ein Morphismus.

Beweis: Wir erwähnen wieder eine Kette von äquivalenten Bedin- gungen, welche a) und b) verbindet:

1) Vc ECX (f)OC E .... JC (Y, Z) ein Morphismus 2) ,,...___,,,

Vc ECX (;)O C ^{E 7r y ....} z ein Morphismus 3) Vc ECX, V d E Cy, V TEH: ^..,--.._/ (l)o Co ( T, d) E_Cz 4) _{Vc ECX'} Vd ECy, V TEH: ~o ( C oT, d) E cz

5) \/C ECX' Vd ECy: ~ <.po(c,d)E cz 6) ~* (CX rrY) C Cz.

- ¹⁸ -

- 13 -

Korollar (11). X ist ein Funktor:

X : K⁰P x K • K

welcher den Horn-Funktor von K liftet:

MoX

=

Beweis. Korollar 10 ergibt sofort, daß die Evaluationsabbildungen e : X(Y,Z) ,ry ^• Z Morphismen sind. Daraus ergibt sich, daß für Morphismen

es ist

(j)' ljJ auch

,-.,

*

cp = eo (1 ^7T cp)

:Jf(cp,lj!) ein Morphismus ist, denn

und

Satz (12). Der Funktor :Jf schließt K kartesisch ab.

Beweis. Korollar 10 liefert Bijektionen zwischen K (X,:Jf (Y ^I Z)) und K(X nY,Z) welche eine Funktortransformation bilden.

Um nachzuprüfen, ob cp 1-7()) wirklich die gewünschten Bijektionen liefert, muß man zeigen, daß es zu jedem Morphismus

ljJ: XnY + Z eine Abbildung cp: MX+ K(Y,Z) mit ljJ

=

Das bedeutet, daß, wenn eine Funktion ljJ von zwei Variablen ein Morphismus ist, daß sie dann auch partiell ein Morphismus

ist. Diesgilt offenbar genau dann, wenn alle konstanten Abbildungen zwischen zwei beliebigen Objekten Morphismen sind. Wir haben

gesehen, daß dies der Fall ist, wenP- das Monoid H alle Konstanten enthält, nicht aber andernfalls. Dies ist der Grund, weshalb

Bedingung 1 im zweiten Fall nicht hinreicht, um kartesische Abgeschlossenheit von K zu garantieren.

Fall 2: H enthalte nicht alle Konstanten. Der Beweis geht ganz ähnlich, jedoch mit dem wesentlichen Unterschied, daß wir den abschließenden Funktor :Jf konstruieren, indem wir nicht die

- 19 -

- 14 -

Mengen K(Y,Z), sondern die Mengen Me.(MY,MZ) strukturieren.

Gemäß Bedingung 2 ist

A

H := (Me.(E,E), AH'

v

ein Objekt von K •

Für c E Cy, f E F z haben wir Abbildungen f*oc

*

Indem wir obige Struktur auf Me.(E,E) setzen, können wir

Me.(My,Mz) mit der bezüglich all diesen Abbildungen initialen Struktur versehen; das so erhaltene Objekt bezeichnen wir mit

Jf ( Y, Z) . Also : Jf(Y,Z)

*

f O c

* >(Me.(E,E), 11

8 , ~H) initial bezüglich aller CE cy, f E Fz

Daß man so einen Funktor J{: K⁰P xK ^• K erhält, der K kar- tesisch abschließt, beweist man nun, indem man die zu (10), (11) und (12) analogen Ergebnisse aufstellt, mit dem einzigen Unter- schied, daß nun

MoJf = ^Me.o (MxM) gilt anstelle von Mo~ = K(-,-).

Im nachfolgenden 2. Teil wird nun gezeigt, daß, wenn die vom Monoid H erzeugte Kategorie K kartesisch abgeschlossen ist, notwendigerweise H ein kartesisches Monoid sein muß. Dabei unterscheiden wir wie vorher die zwei Fälle:

Fall 1: H enthalte alle Konstanten. Nach Voraussetzung existiert ein kartesisch abschließender Funktor X: K⁰P x K ^• K.

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Wie wir gesehen haben, ist im Fall 1 M mittels des Terminal- objektes T darstellbar: M = K(T,-). Für ein Terminalobjekt ist natürlich T TI - = ^Id, woraus wegen der Adjunktion auch X(T,-) ~ Id folgt. Somit ergibt sich:

MoX = K(T,X) = K(T TI-,-) ;; K(-,-).

Weil der Funktor M: K • Me treu ist und weil jeder Me-Iso- morphismus a : MX+ N mittels M von einem K-Isomorphismus

~ : X ^• Y herkommt, folgt: es gibt einen zu X isomorphen Funktor x•

' für welchen MoX' = ^{K (-, -)} gilt. Wir können daher von Anfang an den kartesischabschließenden Punktur X so wählen, daß MoX = K(-,-) gilt.

Sei B ein Objekt von K. Da X kartesisch abschließt, ist -TI B zu X(B,-) adjungiert; wir beschreiben eine gewählte Adjunktion mittels der Coeinheit der Adjunktion

E : X(B,-) TIB .+ IdK' die gebildet wird durch die Morphismen EX : X(B,X) TIB + X.

Für

Ex

~ : Z + X(B,X) so daß

- - - - = - - - - + X

(1)

X(B,X)TIB kommutiert.

Indem wir auf den Funktor anwenden, erhalten wir die Abbildung

- 21 -

- 16 -

Diese Abbildung hat folgende universelle Eig211schaft:

Ist N eine Menge und g : N ^X MB -+ Mx einE:: PLl:,ildlmq ^j für welche für jedes p E N die partielle Abbi 1 drn.HJ

y -~ g(p,y) : = g (y)

p ein Morphismus von ^B nacI1 ^X ist (d. h. g EK(B,X)

p für alle p E N) , dann existiert genau eine Abbildung g : N ^• K(B,X), so daß

g

(2)

kornmutiert „

Um die Existenz von g nachzuweisen, versehen ^w:ir die Menge ^N mit der diskreten Struktur, d.h., wir bilden

N := (N, {konst.Abb. E -+ N}, Me. (N,E})

Dann ist g ^{N TI} B -+ X ein K-Morphismus, denn für jedes c

=

2) E

CN

1 konstant mit ei.nem gewissen Wert p EN, und weil g E K (B, X)

p folgt sofort qoc ECK. Wir können daher die universelle Eigenschaft der K-Morptüsmen ^r· ·x dnwenden:

es gibt einen Morphismus g : N-+ JC(B,X) mit g ~⁰ sxo(g ·nl).

Die Eindeutigkeit der Abbildung g derart ^{dat:S ( 2)} kommutiert folgt sofort, da jede Abbildung g : N ·+ K(B,X) ja ein K--Mor-- phisrnus N-+ JC(B,X) ist.

Da nun die Evaluationsabbildung

die genau gleiche universelle Eigenschaft hat wje die soeben betrachtete Abbildung Ex ergibt sich durch gegensej tige An-,

wendung der universellen Eigenschaft: es gibt genau eine Abbildung

und

TX: K(B,X) -+ K(B,X) mit

T X ist eine Bijektion. Wir versehen nun K (B, X) mit einer neuen Struktur und bezeichnen das so erhaltene Objekt von K mit

'Jt' (B,X} dadurch, daß wir verlangen:

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TX: ^X• (B,X) ⁺ X(B,X)

soll ein K-Isomorphismus sein. Es folgt nun trivialerweise:

die Morphismen

X¹ (B,X) 7TB + X

haben die universelle Eigenschaft der Coeinheit der Adjunktion.

Dies bedeutet: ^X' ist ebenfalls ein Funktor ^K0P x ^{K • K} der K kartesisch abschließt; für ihn gilt immer noch

MX• (X,Y) = K(X,Y)

aber zusätzlich noch (weil die Coeinheit der Adjunktion aus den Evaluationsabbildungen besteht): für eine Abbildung

~ : M X + K(Y,Z) gilt

~ : X + X'(Y,Z) Morphismus

ein

1 {~

Morphismus Wir betrachten nun das Objekt K ^:= X• (E,E).

Es ist also ^M _K = K(E,E) = H und für eine Abbildung y : E ⁺ H folgt:

y ECK ^<=> y E + K ein Morphismus

<=> y E ^7f E ⁺ E ein Morphismus

<=> V a, TE H : yo(0,T) EH

<=> y E f H

Es gilt also rH ⁼ CK. Daraus folgt unmittelbar:

<I>H == FK.

Also ist K

=

Fall 2: H enthalte nicht alle Konstanten. Wir sahen, daß in diesem Fall M; K(S,-) gilt. Da c

8 ⁼ 0, ist für jedes Objekt X

- 23 -

- 18 -

die Struktur von S TTX die diskrete, und somit ist jede Abbildung Ms TT X -+ My ein Morphismus S TT X + Y. Also gilt

K (S TT X, Y) ;;;, Me (Mx,My).

Für einen K kartesisch abschließenden Funktor X gilt somit:

M0X = K(S,X(-,-)); K(STT-,-); Me.o(MxM).

Wie im vorangehenden Fall 1 schließt man daraus, daß man den kartesisch abschließenden Funktor sogar so wählen kann, daß Mo X = Me. o (M x M) gilt. Man hat dann also

Sei E eine zugehörige Coeinheit der Adjunktion für ein festes Objekt B:

EX X(B,X) TTB-+ X

Es gilt also: zu jedem K-Morphismus (!) : Z TT B -+ X existiert genau ein K-Morphismus ^{(!) :} Z-+ X(B,X) mit ^(!)

=

Durch Anwenden von M erhalten wir die Abbildungen:

Wir zeigen, daß für diese folgende universelle Eigenschaft gilt:

zu jeder Abbildung g : N x MB -+

Mx

g = EX 0 (g x 1) • Zu diesem Zwecke betrachten wir das Objekt N = N mit der diskreten Struktur.

Für die diskrete Struktur gilt im Fall 2: CN = 0, denn wegen FN

=

- 24 -

- 19 -

Wiederum haben nun die Abbildungen sx und die Evaluations- abbildungen

ex: Me(MB,MX) XMB + Mx

die gleiche universelle Eigenschaft, woraus wir wie im Fall 1 schließen: es gibt Bijektionen

mit e _X =

Genau wie im Fall 1 schließt man daraus, daß man einen K kar- tesisch abschließenden Funktor X• finden kann, für den gilt:

MX '(X, Y) = Me (Mx, My)

und für eine Abbildung ~ : Mx+ Me(My,Mz) ist

~ : X .... X' (Y, z) ein}

<=>

Morphismus

X'ITY-+ Z ein Morphismus

Man betrachtet wiederum das Objekt K ^:= X• (E,E). Es ist nun MK = Me(E,E) und für eine Abbildung y : E + Me(E,E) folgt wie im Fall 1:

<=>

woraus sofort K = (Me(E,E), A

8, ~H) folgt. Die Tatsache, daß K ein Objekt von K ist, ist zur Bedingung 2 äquivalent.

Damit ist der Beweis von Theorem 8 abgeschlossen.

Theorem (13). Ist H ein kartesisches Monoid, welches alle Konstanten enthält, so ist auch die von den separierten Objekten gebildete volle Unterkategorie K~ von K kartesisch abge- schlossen.

Beweis. Es genügt zu zeigen, daß für Objekte X,Y aus K gilt:

Y separiert => X(x,Y) separiert. Seien also ~ ~ ~ zwei Punkte

?r::. -

- 20 -

von X(X,Y). Es existiert also a EMX mit ~(a) i t(a) und

somit, da Y separiert ist, existiert f EFY mit f(~(a)) i f(t(a)) Dies können wir auch als {foea) (~) i (foea) (t) schreiben, wobei

die Evaluation in a bezeichnet. ist also eine Partial- abbildung von e X{X,Y) TIX • Y, und damit folgt {weil nach Voraussetzung H alle Konstanten enthält!), daß

e _a : X(X,Y) ^• Y ein Morphismus ist. Also liegt die ~ und

w

trennende Funktion

§ 3 Dualität

foe a in FX(X,Y).

Im folgenden sei K die durch ein kartesisches Monoid H

erzeugte Kategorie, X der in§ 2 konstruierte, K kartesisch abschließende Funktor. Wir betrachten den wie folgt definierten

op -

Dualitätsfunktor D : K ^~ K : D

=

Wegen der kartesischen Abgeschlossenheit von K sind die kanonischen Abbildungen ex: X ^• DDX K-Morphismen. Es gilt aber sogar der

Satz (14). Die Struktur von X ist stets initial bezüglich ex : X .... DDX.

Beweis, Es genügt, die universelle Eigenschaft für Abbildungen von E nach X nachzuweisen, d.h. zu zeigen, daß für

c · E "Mx gilt: wenn (exoc) EK(E, DDX), dann c EK(E,X)

=

Zun~chst folgt aus (exoc) EK(E, DDX), daß die zugehörige Ab- bildunq EirDX-+ E, für welche (t,f) i---+ f(c(t)) gilt, ein

smus ist. Wir zeigen nun, daß für f E F X auch die

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zugehörige partielle Abbildung t 1--> f(c(t)), d.h. f0c, ein K-Morphismus E ^• E ist, was mit f0c EH äquivalent ist und sofort die Behauptung c ECX liefert. Die partielle Abbildung wird erhalten, indem man zuerst die Abbildung t 1--> (t,f) aus- übt, welche genau dann ein K-Morphismus ist, wenn die konstante Abbildung cf : E + DX mit Wert f ein K-Morphismus ist.

Letzteres ist äquivalent zur Aussage: cf : ETTX + E ist ein

K-Morphismus; dabei ist cf(t,x) = f(x). Um dies zu verifizieren, betrachten wir eine beliebige Kurve (0,c) von ETTX, wo also

CT EH und c ECX gilt. Für f EFX ist dann cfo (0,c) = f0c in der Tat in H, d.h., eine Kurve von E.

Oft kann mit Hilfe einer algebraischen Struktur der Grundmenge E eine verschärfte Dualität erhalten werden. Wir betrachten binäre Operationen, doch könnte man allgemeiner auch n-stellige Ver- knüpfungen untersuchen. Ist X ein Objekt von K, so heißt eine Operation m : Mx x MX + Mx zulässig, falls m : xnx + X ein K-Morphismus ist.

Satz (15). Jede zulässige Operation m: ExE+E auf der Grundmenge induziert auf jedem Dualobjekt eine zulässige Operation

DX TT DX + DX.

Beweis. Die assozierte Abbildung DX nDX 7f X + E läßt sich wie folgt aus K-Morphismen zusammensetzen:

DX TT DX 1T X + DX TT X TT DX 1T X + E TT E + E.

Nehmen wir nun an, es sei auf E eine zulässige algebraische Struktur eines gewissen Typs gegeben (bestehend aus einer oder mehreren Operationen). Es sei dann K

0 die Kategorie, deren Objekte mit einer zulässigen algebraischen Struktur des gleiche~

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Typs versehene Objekte von K sind, und deren Morphismen die- jenigen K-Morphismen sind, welche zusätzlich homomorphe Abbil- dungen sind. Aus Satz (15) folgt dann leicht, daß man einen Funktor

D : K _,_ K op

0

hat. Der Funktor K ^(-,E) K ^op ~ En~ läßt sich zu einem

0 0

Funktor D : K op ^• K liften und man erhält eine natürliche

0 0

Transformation des identischen Funktors von K in den Funktor D0D : K ^• K. Da D

0DX als Unterobjekt von DDX erhalten wird und X ^• DDX über D DX

0 faktorisiert, folgt auch für diese Dualität: die Struktur von X ist bezüglich

Für eine so verschärfte Dualität erhält man i.a. viel mehr reflexive Objekte X (d.h. solche, für welche ex: X+ D

0DX

ein K-Isomorphismus ist). Folgende Probleme treten auf: Wann werden alle Objekte reflexiv? Wann.bilden die reflexiven Objekte eine vollständige und covollständiqe Unterkategorie? Es sei auch vermerkt. daß man die gleiche Kategorie K mittels verschiedener Grundmengen E und Monoide H erhalten kann, so daß sich bei gegebener Kategorie auch die Frage der geeigneten Wahl von E und H stellt (vgl. § 5).

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